重难点03填空压轴题（代数篇）目录题型01 求值类类型一代数式求值类型二方程、不等式求值类型三函数求值题型02 规律探究类类型四数字规律探究类型五图形规律探究类型六函数规律探究题型03 函数最值类类型七一次函数的最值问题类型八二次函数的最值问题类型九反比例函数与其它函数的最值问题题型04 函数临界点类类型十一次函数的最值问题类型十一二次函数的最值问题类型十二反比例函数的最值问题题型01 求值类类型一 代数式求值1．已知，2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222a b xy ab x y +++= 【答案】5-【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子进行因式分解，再利用整体代入法求值即可．【详解】解：∵()()2222a b xy ab x y +++ 2222a xy b xy abx aby =+++()()ax ay bx by bx ay =+++()()ax by ay bx =++，∵2a b x y +=+=，∴()()4a b x y ++=，∴4ax ay bx by +++=，∵5ax by +=，∴1ay bx +=-，∴原式155=-⨯=-；故答案为：5-．2．如图，正方形ABCD 内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S ，则正方形ABCD 的边长为 ．（用含S 的式子表示）【答案】22s + 【分析】本题考查了列代数式，将阴影部分适当划分，找到对应图形的长和宽即可求解．【详解】解：如图所示：由题意得：1EF AG DH ===，设正方形ABCD 的边长为a ，DE m =，则1FI a =-，1AF a m =--则()()1111122S a m a m a =--⨯+⨯-+⨯=- ∴22s a += 故答案为：22s + 3．若111111120112012201320142015a a <<+++++，则自然数a = ． 【答案】402【分析】本题主要考查了估算计算．熟练掌握缩放原数据估算计算，是解决问题的关键． 设1111120112012201320142015x =++++，缩放数据得到115520152011x ⨯<<⨯， 得到1402.2403x<<即得402a =． 【详解】设1111120112012201320142015x =++++，∵1111115201120122013201420152011++++<⨯， 1111115201120122013201420152015++++>⨯， ∴115520152011x ⨯<<⨯， ∴20111201555x <<， ∴1402.2403x <<， ∴1402.24031111120112012201320142015<<++++ ∴402a =．故答案为：402．4．下列说法正确的有 ．（选序号） ①若1(1)1x x --=，则满足条件x 的值有3个．②若223m x -=，39m y =-，则用含x 的代数式表示y 为93y x =-+．③已知22(20)(28)100x x -+-=，则2(24)x -的值是34．④1，2，3，⋯，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．【答案】②③/③②【分析】①分三种情况讨论，110x <>-=，211x <>-=，311x <>-=-，计算后看符合题意的有几个； ②根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算，然后等量代换；③先把22(20)(28)100x x -+-=化为22(244)(244)100x x -++--=的形式，然后计算，求出最后结果；④设两个自然数的平方差()()m n m n =+-求出(158)m n ≤<≤的取值范围，分析()m n +与()m n -同奇同偶，进而得到这个数是奇数或是4的倍数，求出表示成某两个自然数的平方差的数的个数，再求出不能表示成某两个自然数的平方差的个数．【详解】解：①若1(1)1x x --=，110x <>-=，则1x =，不合题意211x <>-=，则2x =，311x <>-=-，则0x =，不合题意，∴满足条件x 的值有1个，∴故①不符合题意；②223m x -=，293n x ∴=÷，99n x ∴=，39m y =-，39y x ∴=-，即用含x 的代数式表示y 为93y x =-+，∴故②符合题意；③22(20)(28)100x x -+-=，22(244)(244)100x x ∴-++--=，22(24)8(24)16(24)8(24)16100x x x x ∴-+-++---+=，22(24)32100x ∴-+=，2(24)34x ∴-=，∴故③符合题意；④设两个自然数的平方差()()(158)m n m n m n =+-≤<≤，()m n +∵与()m n -同奇同偶，∴这个数是奇数或是4的倍数，在1，2，3，⋯，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的有14个，∴不能表示成某两个自然数的平方差的数共有：58(2914)15-+=个，∴故④不符合题意；故答案为：②③．【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算、二元一次方程的解，掌握法则的应用，③的拆项法是解题关键．5．四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中4a =，8b =，0.5()m a b c =++． （1）若2c =，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为 ；（2）若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为 ．6．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为532=+，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为432≠+，所以432不是“佳佳数”．已知M 是一个“佳佳数”，则M 最大值是 ；交换M 的百位数字与十位数字得到一个新三位数N ，在N 的末位数字后加2得到一个新的四位数P ，在M 的十位数字与个位数字之间添加M 的十位数字得到一个新四位数Q ，若Q P -能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为 ．【答案】 B 8c >【分析】本题考查了代数式求值，数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键． （1）根据已知求得7m =，进而分别求得A ，B ，C 中与M 距离，即可求解；（2）根据已知得60.5m c =+，表示出A ，B ，C 与M 距离，根据点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，得0.560.52c c -+<-，0.560.52c c -+<+，令0.5x c =，则62x x -<-，()62x x -<--，由绝对值的几何意义可知，62x x -<-表示数轴上数x 到6的距离比到2的距离小，则2642x +>=；()62x x -<--表示数轴上数x 到6的距离比到2-的距离小，则2622x -+>=，得>4x ，进而即可求解． 【详解】解：（1） ∵4a =，8b =当2c =，∴()0.5m a b c =++()0.54827=⨯++= ∵473-=，871-=，275-=∴A ，B ，C 中与M 距离最小的点为B ，故答案为：B ．（2）∵0.5(48)60.5m c c =++=+，则A ，M 之间的距离为：60.540.52c c +-=+，B ，M 之间的距离为：60.580.52c c +-=-，C ，M 之间的距离为：60.50.56c c c +-=-+，∵点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离， ∴0.560.52c c -+<-，0.560.52c c -+<+，令0.5x c =，则62x x -<-，()62x x -<--，由绝对值的几何意义可知，62x x -<-表示数轴上数x 到6的距离比到2的距离小，即x 在两个数中点的右侧，则2642x +>=；()62x x -<--表示数轴上数x 到6的距离比到2-的距离小，即x 在两个数中点的右侧，则2622x -+>=， 即：当>4x 时，62x x -<-，()62x x -<--，亦即：当0.54c >时，0.560.52c c -+<-，0.560.52c c -+<+，∴当8c >时，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，故答案为：8c >． 7．若一个四位自然数M ，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952，满足()25249+=；若一个四位自然数N ，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于N 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：7239，满足229372-=；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是 ．如果一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，且()18228,11M N a F M N ++-=，若(),F M N 为整数时，记(),ab G M N a b=+，则(),G M N 的最大值是 ． 【答案】 7025 1【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，完全平方公式，平方差公式，根据新定义以及最大，最小的四位数的特征写出,M N ，求其差；根据依题意表示出(),F M N ，进而根据()18228,11M N a F M N ++-=是整数，分类讨论，进而求得,a b 的值，求得(),ab G M N a b=+，取最大值，即可求解．【详解】解：∵9981⨯=，∴最大的 “和数”千位最大只能为8，则百位为1∵817263549+=+=+=+=∴最大的十位为8，则个位为1∴最大的 “和数”为8181最小的“差数”的千位为1，百位最小为0时，完全平方数之差没有相差10的数，则百位数为1，此时226511-=∴最小的“差数”为1156∴最大的“和数”与最小的“差数”之和是818111567025-=∵一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，∴()210010M a b b a =+⨯++，()2210010N a b b a =-⨯++ ∴22221001002001010010010M N a b ab b a a b b a +=+++++-++2200200202a ab b a =+++∵()18228,11M N a F M N ++-= 22002002021822811a ab b a a ++++-= 2200200202022811a ab a b +++-= 2219819822222202222811a ab a b a ab a b +++-++---= ∵(),F M N 为整数时∴()()222228218a ab a b a b a +---=+--能被11整除∴()()21a b a +-118k =+∴k 为偶数，当0k =时，()()14a b a +-=∵144,224⨯=⨯=，0,0a b >>∴212a b a +=⎧⎨-=⎩不合题意， 当411a b a +=⎧⎨-=⎩解得：22a b =⎧⎨=⎩∴1ab a b=+， 当2k =时，()()115a b a +-=∵3515⨯=，0,0a b >>∴513a b a +=⎧⎨-=⎩∴4,1a b ==， ∴45ab a b =+， 当4k =时，()()126a b a +-=∵26213=⨯∴1312a b a +=⎧⎨-=⎩∴310a b =⎧⎨=⎩（舍去） ……，综上所述，(),G M N 的最大值为1，故答案为：7025；1．8．对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k 倍（k 为整数），则称M 为“k 阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为1m ，去掉百位数字后剩余的两位数为2m ，规定()125F M m m =+，则最大的“4阶比例中项数”是 ；若100101N m n =++（其中14m ≤≤ ，28n ≤≤，m ，n 均为正整数）是一个“k 阶比例中项数”，且()F N 能被8除余3，则满足条件的N 之和是 ．【答案】 961 823【分析】本题考查因式分解的应用，能够运用题干当中的新定义是解答本题的关键．（1）根据“k 阶比例中项数”的含义直接作答即可；（2）经过分析确定个位数为1，根据N 是“k 阶比例中项数”得到m 与n 的数量关系，根据()F N 被8除余3，得到另外一个m 与n 的数量关系，通过列举法确定N 的值．【详解】解：（1）若一个三位数是“4阶比例中项数”那百位和个位数字积的4倍是十位上数字的平方，设这个三位数为X abc =，则10010X a b c =++c ，且24b a c =⨯⨯，其中，,,a b c 均为整数，且均在1到9之间，∴2b 为4的倍数，∴b 可能是2，4，6，8，当2b =时，此时1ac =，这个三位数是121；当4b =时，此时4ac =，当4a =，1c =时，这个三位数最大，为441；当6b =时，此时9ac =，当9a =，1c =时，这个三位数最大，为961；当8b =时，此时16ac =，当8a =，2c =时，这个三位数最大，为882；则最大的“4阶比例中项数”是961；（2）由题意可知，2n km =，()()10510110515F N m n n m n =+++=++，∴10512m n ++是8的倍数，∵14m ≤≤ ，28n ≤≤，m ，n 均为正整数，∴n 可能是2，3，4，5，6，7，8，当2n =时，m 的值为1、2、4，512104n +=，当2,1n m ==时，1051210104114m n ++=+=不是8的倍数，不符合题意；当2,2n m ==时，1051220104124m n ++=+=不是8的倍数，不符合题意，当2,4n m ==时，1051240104144m n ++=+=是8的倍数，符合题意，此时421N =；， 当3n =时，m 的值为1、3，512155n +=，当3,1n m ==，1051210155165m n ++=+=不是8的倍数，不符合题意；当3,3n m ==时，1051230155185m n ++=+=不是8的倍数，不符合题意，当4n =时，m 的值为1、2、4，512206n +=，同理，当4,1n m ==，1051210206216m n ++=+=，符合题意，此时141N =，其余不符合题意； 当5n =时，m 的值为1，同理，不符合题意；当6n =时，m 的值为1、2、3、4，512308n +=，同理，当6,2n m ==时，1051220308328m n ++=+=，符合题意，此时261N =；当7n =时，m 的值为1，同理，不符合题意；当8n =时，m 的值为1、2、4，512410n +=，同理，当8n =时，均不符合题意；综上，符合条件的N 有421或141或261，故符合条件的N 之和为823．故答案为：961，823．类型二 方程、不等式求值9．已知方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为43x y =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()1112222131621316a x b y c a x b y c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩的解为 ． 【答案】135x y =⎧⎨=⎩【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程()()()()1112222131621316a x b y c a x b y c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩变形为11122211321132x y a b c x y a b c -+⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨-+⎪⋅+⋅=⎪⎩，根据方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为43x y =⎧⎨=⎩得到143132x y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即可求出135x y =⎧⎨=⎩． 【详解】解：()()()()1112222131621316a x b y c a x b y c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩变形为11122211321132x y a b c x y a b c -+⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨-+⎪⋅+⋅=⎪⎩， ∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为43x y =⎧⎨=⎩， ∴143132x y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴135x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：135x y =⎧⎨=⎩ 10．如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A ，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为()F A ；若10020100002010100M a b c d =++++为“星星数”，10000100010512N a b c d =++++为“月亮数”（其中18≤≤a ，04b ≤≤，08c ≤≤，07d ≤≤，且a ，b ，c ，d 为整数），则2a b d ++的值为 ；在此条件下，若()()F M F N +的值能被13整除，则满足条件的M 的值为 ．11．定义新运算“⊕”，对于任意实数a ，b 都有32a b a b +⊕=． （1）若2a =-，6b =，则a b ⊕的立方根是 ；（2）若不等式45x ⊕≥成立，则该不等式的解集是 ．【答案】 17 94745【分析】本题考查整式的加减运算，不定方程，根据星星数和月亮数的定义，得到12a d c ++=，12510b c ++=⨯=，进而求出2a b d ++的值即可，求出()()()138411057F M F N c b a c a +=++++++，根据()()F M F N +的值能被13整除，得到1057c a ++能被13整除，设105713c a x ++=，得到13725x a c -=-，根据,a c 的范围，分类讨论进行求解即可，本题的难度大，属于填空题中的压轴题．【详解】解：∵10020100002010100M a b c d =++++为“星星数”，∴12a d c ++=，∴21a d c +=-，∵10000100010512N a b c d =++++为“月亮数”，∴12510b c ++=⨯=，∴9b c =-，∴()2212917a b d c c ++=-+-=；∵10020100002010100M a b c d =++++的万位上数字为()1a +，千位上数字为2b ，百位上的数字为c ，十位上的数字为()2b +，个位上的数字为d ；∴()()()1001021012F M c b d a b =++++++ 100102010102c b d a b =++++++100121030c b a d =++++；∵10000100010512N a b c d =++++的万位上数字为a ，千位上数字为b ，百位上的数字为5，十位上的数字为()1c +，个位上的数字为2d +；∴()()()500101210F N c d a b =++++++5001010210c d a b =++++++1010512c a b d =++++，∴()()1001210301010512F M F N c b a d c a b d +=+++++++++11013202542c b a d =++++∵21d c a =--，∴()()()1101320221542F M F N c b a c a +=+++--+1101320422542c b a c a =+++--+1141318540c b a =+++1141318540c b a =+++10413135331057c b a c a =++++++()138411057c b a c a =++++++∵()()F M F N +的值能被13整除，∴1057c a ++能被13整除，设105713c a x ++=（x 为正整数）， ∴13725x a c -=-， ∴当4x =时，92a c =-，∵04b ≤≤，9b c =-∴094c ≤-≤，∴59c ≤≤，∵08c ≤≤，∴58c ≤≤，∵18≤≤a ，∴92a c =-不符合题意；当9x =时，222a c =-，∴当7c =时，8a =，此时：972,27185b d =-==⨯--=，94745M =；当8c =时，6a =，此时：981,28187b d =-==⨯--=，72837M =，非“星星数”故舍去；当9x >时，不存在,a c 满足题意；综上：94745M =；故答案为：17，94745．12．关于x 的一元一次不等式组32132325x x x m -+⎧≥-⎪⎨⎪->⎩至少有3个整数解，且关于y 的分式方程3222my y y y -+=--有整数解，那么符合条件的所有整数m 的和为 ．【答案】2-【分析】本题考查了解不等式组和分式方程，先解不等式组，根据不等式组至少有3个整数解，确定m 的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定m 的值，从而求出符合条件的所有整数m 的和，熟练掌握不等式组的解和分式方程的解的情况是解题的关键．【详解】解：32132325x x x m -+⎧≥-⎪⎨⎪->⎩①②解①得，7x ≤，解②得，52m x +>， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为572m x +<≤， 又∵不等式组至少有3个整数解，∴55m +<，解得5m <， 由分式方程3222my y y y-+=--两边都乘2y -得，()223my y y +-=， 整理得，()14m y -=，当10m -≠时，方程的解为41y m =-，且 2y ≠， ∵关于y 的分式方程有整数解，∴11m -=或11m -=-或12m -=-或14m 或14m -=-，∴2m =或0m =或1m =-或5m =或 3m =-∵5m <，∴5m =不合，舍去，∴符合条件的所有整数m 的和为20132+--=-，故答案为：2-．13．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有两个根1x ，2x ，且满足1212x x <<<．记=+t a b ，则t 的取值范围是 ．【答案】10t -<<【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，12x x a +=-，12x x b =，得到()()12111t x x =---，由1212x x <<<可得()()120111x x <--<，即得到()()1211110x x -<---<，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．【详解】解：由根和系数的关系可得，12x x a +=-，12x x b =，∴()12a x x =-+，12b x x =，∴()()()121212111t a b x x x x x x =+=-++=---，∵1212x x <<<，∴1011x <-<，2011x <-<，∴()()120111x x <--<，∴()()1211110x x -<---<，即10t -<<，故答案为：10t -<<．14．已知，数轴上从左到右有三点A ，B ，C ，它们在数轴上对应的数分别为a ，b ，(c a b c ，，均不为整数)，且67c a <-<，1k b k <<+（k 为正整数）为正整数．在点A 与点B 之间的所有整数依次记为1p ，2p ，3p ⋯，m p ；在点B 与点C 之间的所有整数分别记为1q ，2q ，3q ，⋯，n q ．若22222222123123n n p p p p q q q q ++++=++++，则k 的值为 ．【答案】24【分析】本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键．根据题意得出AC 之间共有6个或7个整数，进而可得23m ，设AC 之间的数分别为2x，1x -，x ，1x +，2x +，3x +，4x +，根据题意列出一元二次方程，再计算即可． 【详解】解：67c a <-<，AC ∴之间共有6个或7个整数， 6个连续的整数满足22222222123123n n p p p p q q q q ++++=++++，3m ∴≥．当3m =时，AC 间有7个整数，则A ，B 之间的3个整数设为2x ，1x -，x ，B ，C 之间的4个整数为1x +，2x +，3x +，4x +，()()()()()()2222222211234x x x x x x x ∴-+-+=+++++++，25x ∴=-或1r =-．当AC 上有6个整数，222222(2)(1)(1)(2)(3)x x x x x x -+-+=+++++，无整数解．当4m =时，AC 间有7个整数，则A ，B 之间的4个整数设为2x ，1x -，x ，1x +，B ，C 之间的3个整数为2x +，3x +，4x +，2222222(2)(1)(1)(2)(3)(4)x x x x x x x ∴-+-+++=+++++，23x ∴=或1r =-，当4m =，AC 间有6个整数时，则A ，B 之间的4个整数设为2x ，1x -，x ，1x +，B ，C 之间的2个整数为2x +，3x +，222222(2)(1)(1)(2)(3)x x x x x x ∴-+-+++=+++，无整数解；当5m =时，则A ，B 之间的5个整数设为2x ，1x -，x ，1x +，2x +，B ，C 之间的2个整数为3x +，4x +，222222(2)(1)(1)(2)(3)x x x x x x ∴-+-+++=+++，无整数解或2222222(2)(1)(1)(2)(3)(4)x x x x x x x -+-+++++=+++，无整数解当6m =时，则A ，B 之间的5个整数设为2x ，1x -，x ，1x +，2x +，3x +，B ，C 之间的2个整数为4x +，2222222(2)(1)(1)(2)(3)(4)x x x x x x x ∴-+-+++++++=+，无解．综上所述，25x =-或23或1-，则2524b -<<-或2425b <<或01b <<．25k ∴=-，24k =或0k = k 是正整数．24k ∴=，故答案为：24．15．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且14AB =．动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()s 0t t >．（1）当t = s 时，4PB =；（2）若点P 表示的数是x ，当2426x x ++-的值最小时，则t 的取值范围是 ．【答案】 2或3.6 12t ≤≤【分析】本题考查的是绝对值的化简，一元一次方程的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先求解B 对应的数，再由()856145PB t t =---=-，再建立方程求解即可；（2）分三种情况化简绝对值，再求解代数式的值，得到2426x x ++-的最小值为10，此时23x -≤≤，再建立方程即可得到答案．【详解】解：（1）∵点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且14AB =，∴8146-=-，即B 对应的数为6-，而P 运动中对应的数为：85t -，∴()856145PB t t =---=-，∵4PB =， ∴1454t -=，∴1454t -=或1454t -=-，解得：2t =或 3.6t =．故答案为：2或3.6；（2）当3x ≥时， ∴2426x x ++-2426x x =++-42x ，当3x =时，此时代数式有最小值10；当23x -<<时， ∴2426x x ++-2462x x =++-10=，当2x ≤-时， ∴2426x x ++-2462x x =--+-24x =-，当2x =-时，此时最小值为10； 综上：2426x x ++-的最小值为10，此时23x -≤≤，当852t -=-时，解得2t =，当853t -=时，解得1t =，∴12t ≤≤．故答案为：12t ≤≤．16．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 ．【答案】1297【分析】本题考查了一元一次方程的拓展应用，可设()21b c k +=-，2a c k +=，()21a b k +=+，解得：2122a k k =+，2112b k =+，2122c k k =-，即可求解；会解含有参数的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，可设()21b c k +=-，2a c k +=，()21a b k +=+， 解得：2122a k k =+，2112b k =+，2122c k k =-， a ，b ，c 为正整数，21212k k ∴-≥， k 是正整数，6k ∴≥，30a ∴≥，19b ≥，6c ≥，∴2221297a b c ++≥，∴222a b c ++的最小值为1297；故答案：1297．17．如果p ，q 是非零实数，关于x 的方程||20232024||x p q --=-始终存在四个不同的实数解，则||||||||||p q p q pq p q p q p q pq p q +-+++++-的值为 ． 【答案】1【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定0q <且||||p q >是解题的关键． 【详解】解：方程||20232024||x p q --=-，0q ∴->，即0q <，20232024x p q ∴--=或20232024x p q --=-，20232024x q p ∴-=+或20232024x p q -=-，方程始终存在四个不同的实数解，0p q ∴+>，0p q ->，0p ∴>且||||p q >， ∴111111p q p q pq p q p q p q pq p q+-++++=+-+-=+-， 故答案为：1．18．已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t 秒，两个图形的重叠部分面积为S 平方厘米，则当60S =时，t = ．【答案】4或13/13或4【分析】本题考查一元二次方程的几何应用，直角梯形，长方形的面积等知识，分①当线段DE 未进入正方形内部时，②当线段DE 进入正方形内部，但点C 还在线段FI 上时，③当点C 在线段FI 的延长线上，但AB 未进入正方形内部时，④点C 在线段FI 的延长线上，线段DE 在正方形内部，且AB 进入正方形内部时，⑤当线段DE 由正方形内部转为不在内部，但AB 还在正方形内部时，⑥当线段AB 由正方形内部转为不在内部时，共六种情况讨论列出方程或推导60S ≠即可得解．【详解】解：标记和作图如下，其中DE BC ⊥于E ，四边形ABCD 是直角梯形，四边形FGHI 是正方形：依题意可知，12AB DE ==厘米，12AD BE ==厘米，18BC =厘米， ∴6CE BC BE =-=厘米， ∴116123622CDE S CE DE =⋅=⨯⨯=△(平方厘米)，2212144ADEB S AB ===四边形(平方厘米) ①当线段DE 未进入正方形内部时，2CF t =厘米，CF CE ≤即26t ≤， ∴03t <≤，此时重合部分是CPF ，36CPF CDE S S S =<=△△平方厘米， 即此时无解，②当线段DE 进入正方形内部，但点C 还在线段FI 上时，2CF t =厘米，CE CF FI <≤，即6213t <≤， ∴3 6.5t <≤，则重合部分是直角梯形CDPF ，()26EF DP CF CE t ==-=-厘米， ∴()()11262126022CDPF S S DP CF DE t t ==+⋅=-+⨯=直角梯形， 解得：4t =；③当点C 在线段FI 的延长线上，但AB 未进入正方形内部时，2CF t =厘米，FI CF BC <≤即13218t <≤，()26EF CF CE t =-=-厘米∴6.59t <≤，此时重合部分是五边形PFIQD ，()1226247224 6.57284PFIQD DEFP S S S EF DE t t =>=⨯=-=->⨯-=五边形四边形平方厘米， 即此时无解，④点C 在线段FI 的延长线上，线段DE 在正方形内部，且AB 进入正方形内部时，2CF t =厘米，2F t =厘米，BC CF CE FI <<+，即182613t <<+， ∴99.5t <<，则重合部分是五边形ADPIB ，厘米，∴2212144ADPIB ADEB S S S AB =>===五边形四边形(平方厘米)，解此时无解；⑤当线段DE 由正方形内部转为不在内部，但AB 还在正方形内部时，2CF t =厘米，CE FI CF BC FI +<<+，即61321813t +≤<+， ∴9.515.5t ≤<，则重合部分是长方形ABIP ，()312BI FI BF FI CF BC t =-=--=-厘米， ∴()3121260ABIP S S BI DE t ==⋅=-⨯=长方形， 解得：13t =；⑥当线段AB 由正方形内部转为不在内部时，2CF t =厘米，BC FI CF +≤，即18132t +≤，∴15.5t ≥，则此时重叠部分为线段或无重叠，无解， 综上所述：4t =或13． 故答案为：4或13．类型三 函数求值19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 、()22,B x y 在双曲线3y x=上，且120x x <<，分别过点A ，点B 作x 轴的平行线，与双曲线9y x =分别交于点C ，点D ．若AOB 的面积为94，则AC BD的值为 ．【答案】12/0.5【分析】作AF x ⊥轴，作BH x ⊥轴，用含1x 、2x 的代数式，表示出AF 、BH 、FH 的长，根据AC BD x∥∥轴，表示出C 、D 的坐标，进而表示出AC 、BD 的长，代入ACBD，得到12x AC BD x =，根据反比例函数的几何意义，得到94AOBAFHB SS ==梯形，代入梯形面积公式，应用因式分解，得到212x x =，即可求解， 本题考查了，反比例函数的几何意义，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义． 【详解】解：过点A 作AF x ⊥轴于点F ，过点B 作BH x ⊥轴于点H ，∵点()11,A x y 、()22,B x y 在双曲线3y x=上， ∴13AF x =，23BH x =，21FH x x =-， ∵AC BD x ∥∥轴，∴点C 纵坐标为：13x ，点D 纵坐标为：23x ，∴点C 横坐标为：11933x x =，点D 横坐标为：22933x x =，∴11122233x x x ACBD x x x -==-， ∵AOFBOHS S=，∴94AOBAOHB AOFAOHB AOFAFHB SS S S SS =-=-==梯形， ∴()()2112339224x x AF BH FH x x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，整理得：2221212320x x x x --=，即：()()2121220x x x x +-=， ∴2120x x +=或2120x x -=， ∴2112x x =-（舍）， 212x x =，∴1121122x x AC BD x x ===， 故答案为：12．20．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，()6,0B -，CB 与y 轴交于点D ，14CD BD =，点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，且x 轴平分ABC ∠，则k 的值为 ．【答案】154-【分析】作y 轴的垂线，构造相似三角形，利用4BD CD =和B ()60-，可以求出C 的横坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点C 的坐标，进而确定k 的值．【详解】解：过C 作CE y ⊥轴，垂足为E ，如图：∵()60B -，， ∴6OB =，∵90CED BOD ∠∠==︒，CDE BDO ∠=∠ ∴CDE BDO ∽， ∴14CEDE CD BOODBD， ∴32CE =；4OD DE ， 又∵x 轴平分CBA ∠，BO AD ⊥，∴90BOA BOD ∠=∠=︒，ABO DBO ∠=∠， 又∵OB OB =， ∴(ASA)BOA BOD △≌△ ∴AO OD =， ∵90CAB ∠=︒， ∴90CAE BAO ∠+∠=︒，又∵90OBA OAB ∠+∠=︒， ∴OBD OBA CAE ∠∠∠==， 又∵90BOD CEA ∠∠==︒ ∴CAE DBO ∽， ∴CE AEODOB， 设DE n =，则4AO OD n ==，9AE n =，∴39246n n，解并检验得12n =，255OE n ∴==， ∴点C 坐标为35(,)22-∴3515()224k， 故答案为：154-． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求C 的坐标，依据C 在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k 的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．21．如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点211,242P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，定点()4,0A 、()0,2B ，连结AB ．（1）点A 是否在点P 的运动路径上： ；（填“是”或“否”）（2）若点P 只是在第一象限内运动，过点P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 取得最大值时，点P 的坐标是 ． 【答案】 是 ()2,2【分析】（1）当4m =时，求出纵坐标即可做出判断；（2）过点P 作PG x ⊥轴，PG 交AB 于E ，先求出一次函数AB 的解析式，再根据勾股定理求出AB 的长，根据三角形内角和可得出PEQ ABO ∠=∠，根据解直角三角形的计算求出sin PQ PE ABO =⋅∠，可知当PE 最长时，PQ 最长，根据211,242P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，表示出()21214PE m =--+，可求出当2m =时，PE 最大为1，即可得出最后结果． 【详解】解：（1）()4,0A ，211,242P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，当4m =时，211112164204242m m -++=-⨯+⨯+=，∴点A 在点P 的运动路径上，（2）如图，过点P 作PG x ⊥轴，PG 交AB 于E ，设直线AB 的解析式为：y kx b =+()4,0A ，()0,2B ，402k b b +=⎧∴⎨=⎩， 解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为：122y x =-+， 42OA OB ==，，在Rt BOA中，BA ==PEQ AEG ∠=∠，90PQE EGA BOA ∠=∠=∠=︒P BAO ∴∠=∠， PEQ ABO ∴∠=∠∴在Rt PQE △中，sin sin OA PQ PE PEQ PE ABO PE AB =⋅∠=⋅∠=⨯=，∴当PE 最长时，PQ 最长，211,242P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，211242PG m m ∴=-++，122EG m =-+，()22211111222142244PE m m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当2m =时，PE 最大为1，此时()2,2P ，故答案为：是；()2,2．【点睛】本题考查了二次函数的应用，函数值的求解，二次函数的最值求解，解直角三角形的应用，勾股定理，一次函数解析式的求解，三角形内角和定理正确作出辅助线，判断出当PE 最长时，PD 最长是解答本题的关键．22．如图1，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x AD =，y AE CD =+，y 关于x 的函数图象如图2，图象过点()0,2．则：（1）BC = ．（2）y 关于x 的函数图象的最低点的横坐标是 ．【答案】1/1-【分析】本题考查动点问题的函数图象，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，观察函数图象，根据图象经过点(0,2)即可推出AB 和AC 的长，构造NBE CAD △≌△，当A 、E 、N 三点共线时，y 取得最小值，利用三角形相似求出此时的x 值即可． 【详解】解：∵图象过点(0,2)，即当0x AD BE ===时，点D 与A 重合，点E 与B 重合， 此时2y AE CD AB AC =+=+=， ∵AB AC =，90BAC ∠=︒1ABAC ， BC =过点A 作AF BC ⊥于点F ，过点B 作NB BC ⊥，并使得BN AC =，连接NE ， 如图所示：AD BE =，NBE CAD ∠=∠，(SAS)NBE CAD ∴≌，NE CD ∴=，又y AE CD =+，y AE CD AE NE ∴=+=+，当A 、E 、N 三点共线时，y 取得最小值，如图所示，此时： AD BE x ==，1AC BN ==，sin 452AF AC ∴=⋅︒=， 又BEN FEA ∠=∠，NBE AFE ∠=∠NBE AFE ∴∽∴NB BEAF FE=，=，解得：1x =，∴1．1．23．（2024·浙江宁波·一模）如图，点A 为反比例函数1(0)k y x x=>上一点，连结AO 并延长交反比例函数2(0)k y x x=<于点B ，且219k k =．点C 在y 轴正半轴上，连结CA 并延长交x 轴于点E ，连结BC 交x轴于点F ，若4ACAE=，10COB S ∆=，则COF 的面积为 ．【答案】254【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义．过点A 作AN x ⊥轴于N ，过点B 作BM x ⊥轴于M ，根据反比例函数比例系数的几何意义得12AON BOMSk Sk =，再由219k k =，得19AON BOM S S =△△，证AON BOM ∽△△相似得2AON BOMSAN SBM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则13AN BM =，可设AN a =，3BM a =，再证ANE COE ∽△△和BMF COF ∽△△相似得::3:5BM CO BF CF ==，则::3:5BOF COF S S BF CF ∆∆==，由此可得COF 的面积．【详解】解：过点A 作AN x ⊥轴于N ，过点B 作BM x ⊥轴于M ，如图所示：点A 在反比例函数1(0)k y x x=>的图象上， 点B 在反比例函数2(0)k y x x=<的图象上， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：Δ112AON S k =，Δ212BOM S k =， ∴Δ1Δ2AON BOM S kS k =， 219k k =，∴1219k k =-，∴19AON BOM S S ∆∆=， AN x ⊥轴，BM x ⊥轴，∴AN BM ∥，AON BOM ∴∽△△，∴2ΔΔAON BOM S AN S BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴219AN BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴13AN BM =， 设AN a =，则3BM a =，4ACAE=， 4AC AE ∴=，5CE AC AE AE ∴=+=，即：:5CE AE =， AN x ⊥轴，∴AN OC ∥，ANE COE ∴∽△△， ::1:5AN OC AE CE ∴==， 55OC AN a ∴==，BN x ⊥轴，∴BM OC ∥，BMF COF ∴∽△△， ::BM CO BF CF ∴=，即3:5:a a BF CF =，:3:5BF CF ∴=，::3:5BOF COF S S BF CF ∆∆∴==，∴可设3BOF S m ∆=，5COF S m ∆=，10COB BOF COF S S S ∆∆∆=+=，3510m m ∴+=， 解得：54m =， 2554COF S m ∴==△． 故答案为：254． 24．如图，正比例函数 y =x 与反比例函数k yx =（x ＞0）的图象交于点A ，OA A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1BA OA ∥，交反比例函数的图象于点A ₁；过点A ₁作A B A B ⊥₁₁₁，交x 轴于点B ₁；再作121B A BA ∥，交反比例函数的图象于点A ₂，依次进行下去…根据以上信息，解答下列问题．（1）k 的值为 ．（2）点101A 的横坐标为 ．【答案】 1 【分析】（1）根据直OA 的关系式为y x =，以及OA AB ⊥，可得到AOB 是等腰直角三角形，进而得到212A B B △、323A B B ⋯⋯△都是等腰直角三角形，设OC a AC ==，则点(,)A a a ，根据OA 1a =，进而得到点A 的横坐标为1，进一步求出k 值即可；（2）求出点1A 1，同理得出点2A 3A 4A 的横；点5A【详解】解：（1）如图，过点A 、1A 、2A 、3A ⋯分别作AC x ⊥轴，11A C x ⊥轴，22A C x ⊥轴，33A C x ⊥轴⋯，垂足分别为C 、1C 、2C 、3..C ⋯．直线OA 的关系式为y x =，OA AB ⊥，AOB ∴是等腰直角三角形，同理可得11A BB 、212A B B △、323A B B ⋯⋯△都是等腰直角三角形，设OC a AC ==，则点(,)A a a ， ∵OA1a ∴=， ∴(1,1)A ，∴111k =⨯=；故答案为：1；（2）∵(1,1)A ，∴点A 的横坐标为1，设1A D b =，则点1(2,)A b b +，点1A 在反比例函数1y x=的图象上，(2)1b b ∴+⨯=，解得：1b =，∴点1A 的横坐标为211=；设1222B C c A C ==，则点2,)A c c ，点2A 在反比例函数1y x=的图象上，∴)1c c ⨯=，解得：b =∴点2A同理可得：点3A点4A点5A..⋯．∴点101A【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．25．给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点(),M x y 在反比例函数11y x=上，若点A 绕着M 点旋转180︒后得到点B ，我们称B 是A 关于M 的“伴随点”．若()2,A t 关于M 的“伴随点”为B ，由A B 、和坐标原点构成的三角形是以OA 为直角边的等腰直角三角形，则t 的值是 ．0 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，反比例函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，分点M 在第三象限和第一象限，作MH AN ⊥于H ，利用ONA AHM ∽，得2OA ON AM AH==，表示出点M 的坐标，从而得出答案，理解定义，并利用相似三角形的性质表示出点M 的坐标是解题的关键．【详解】解：当点M 在第三象限时，如图1，作MH AN ⊥于H ， 则12AM OA =，∵90OAM ONH MHA ∠=∠=∠=︒，∴NOA MAH ∠=∠，∴ONA AHM ∽， ∴2OA ON AM AH==， ∵2ON =，AN t =-，∴1AH =，12MH t =-， ∴12,12M t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ∴()12112t t ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得t =t ， ∵点A 在第四象限，∴0t <，∴0t =>不合，舍去，∴t = 当点M 在第一象限时，如图2，同理可知，t =；当A 在()2,0时，则()0,2B ，此时()1,1M 符合题意；综上，t 0，0． 26．（2023·浙江温州·三模）如图1，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度400OA =米，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，点E 为抛物线最高点，立柱AB ，CD ，GH 都与x 轴垂直，BN OA ∥，120m BC =，40m HF =，若F ，G ，O 和B ，D ，O 均三点共线．则立柱比HG CD= ，以及EF AB = ．【答案】 53/213 13【分析】本题考查了二次函数的性质以及正比例函数在实际生活中的综合应用，关键是求出E 、F 、H 、G 、D 、C 、B 、A 点的坐标，表示出HG 、CD 、AB 、EF 的长度，(均用含a 的代数式表示)，进而求比即可．根据已知条件抛物线过原点及(400A ，0)利用交点式写出抛物线的解析式()400y ax x =-，易得顶点(200E ，40000)a -，由于BN x ∥轴且H 、F 、C 、B 皆在BN 上，故他们纵坐标相同；根据120m BC =，40m HF =，且FE 为对称轴，AB x ⊥轴，得B 横坐标为400，进而推出H 、F 、C 点横坐标分别为160、200、280，因为HG EF DC AB y ∥∥∥∥且GD 在抛物线上，可得(160G ，38400)a -、(280D ，33600)a -，再根据直线OG 过原点，求得OG 解析式为240y ax =-，由于F 在OG 上，可求得F 纵坐标48000a -，则H 、C 、B 纵坐标均为48000a -，表示出HG 、EF 、CD 、AB 的长度，进而求比值即可．【详解】解：根据题意，可知二次函数图象过(400A ，0)，故设抛物线为()400(0)y ax x a =-<， ∵E 为抛物线顶点；∴(200E ，40000)a -，∵AB x ⊥轴，∴B 点横坐标为400，∵BN x ∥轴，∴H 、F 、C 、B 纵坐标相同，。
