中考数学重难点专题十三 拓展类型

初三数学教学中的知识点拓展与延伸随着初中数学的学习逐渐深入，学生们需要不断拓展和延伸所学知识点，提高数学思维的能力和应用数学的能力。

本文将从初三数学教学中的知识点拓展与延伸的角度出发，探讨几个具体的例子。

一、平面几何的知识点拓展与延伸平面几何是初三数学中的重要内容，知识点包括直线、角、三角形、四边形等。

通过拓展和延伸，可以进一步加深学生对这些知识点的理解。

1. 直线的拓展：在初三数学中，学生学习了平行线和垂直线的性质，而在高中数学中，学生还将接触到斜线的概念。

可以引导学生思考，如果两条直线既不平行也不垂直，它们之间的关系是怎样的？通过抽象推理和几何分析，学生可以得出世界坐标系和直线之间的关系。

2. 角的延伸：在初中数学中，学生学习了角的概念和角的性质，如邻补角、对顶角等。

在高中数学中，学生将接触到更多类型的角，如同位角、内角和外角等。

可以通过绘制图形和角度测量的实践操作，拓展学生对角的认识，使他们能够深入理解角的几何和代数性质。

二、代数的知识点拓展与延伸代数是初三数学中的另一个重要内容，知识点包括多项式、因式分解、方程与不等式等。

通过拓展和延伸，可以培养学生的代数思维和运算能力。

1. 多项式的拓展：在初中数学中，学生学习了一元多项式的概念和运算法则。

在高中数学中，学生将接触到多元多项式，需要进一步掌握多元多项式的展开和合并。

可以通过解决实际问题，如二元一次方程组的求解等，引导学生理解多元多项式的概念和应用。

2. 不等式的延伸：在初中数学中，学生学习了一元一次不等式的解集表示和图示法。

在高中数学中，学生将学习更高阶的不等式，如一元二次不等式。

可以通过实际问题的引入，让学生探索解决一元二次不等式的方法，提高他们解决实际问题的能力。

三、统计与概率的知识点拓展与延伸统计与概率是初三数学中的另一个重要内容，知识点包括数据收集与整理、图表的绘制与分析、概率的计算等。

通过拓展和延伸，可以提高学生的数据分析和概率计算能力。

类比、拓展类探究1．(1)【观察猜想】如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则线段BC、BD、CE之间的数量关系为________；(2)【问题解决】如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．第1题图解：(1)BC＝CE＋BD；【解法提示】∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE,∴△ADB≌△EAC，∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB＋AC＝CE＋BD；(2)如解图①，过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ，第1题解图①易证△ABC ≌△DEA ， ∴DE ＝AB ＝2，AE ＝BC ＝4， ∴BE ＝AB ＋AE ＝6，在Rt △BED 中，由勾股定理得BD ＝62＋22＝210； (3)BD 的长为3 2.【解法提示】如解图②，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥AB 交BA 的延长线于点F ，则四边形BEDF 为矩形．第1题解图②易证△CED ≌△AFD ， ∴CE ＝AF ，ED ＝DF ， ∴四边形BEDF 为正方形， ∴BE ＝DF ＝BF ＝DE . 设AF ＝x ，DF ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝42＋x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴BF ＝2＋1＝3，DF ＝3，在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝32＋32＝3 2.2．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF.【问题发现】(1)如图①，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是________，数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，(1)中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明；【解决问题】(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．第2题图解：(1)EF⊥BC，EF＝3BC；【解法提示】如解图①，连接AH，第2题解图①∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，AH⊥BC，∴AH＝32BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，32BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝3BC.(2)EF⊥BC仍然成立，但EF＝BC.证明：如解图②，连接AH，第2题解图②∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，12BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝BC；(3)线段EF的长为7.【解法提示】如解图③，连接AH，第2题解图③∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，∴AH＝AB2－BH2＝7 2，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，∴EF＝2AH＝7.3．在等边△ABC中，F为BC的中点，D为BC上的动点，以AD为边作等边△ADE，过点F作AB的平行线FG，交AE于点G.【特例发现】(1)如图①，当点D 与点F 重合时，直线CE 和AB 的位置关系是________；DG 与AE 的位置关系是________．【类比探究】(2)如图②，当点D 移动到如图所示的位置时，上述结论还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝BC ，∠ADB ＝60°，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点E 作EF ∥CD 交AC 于点F ，若AD ＝5，CD ＝32，请直接写出线段EF 的长度．第3题图解：(1)CE ∥AB ；DG ⊥AE .【解法提示】∵△ABC 与△ADE 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，AF ＝AE ，∠BAC ＝∠F AE ＝∠ABF ＝60°， ∵∠BAC ＝∠BAF ＋∠F AC ，∠F AE ＝∠F AC ＋∠CAE ， ∴∠BAF ＝∠CAE ，∴△ABF ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACE ，∴CE ∥AB ， ∵AB ∥FG ，∴CE ∥FG ∥AB ，∵点F 为BC 的中点，∴点G 为AE 的中点， ∵△AEF 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (2)结论仍然成立．证明如下：∵△ABC 和△DAE 均为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BAC ，∴AB ∥CE . ∵FG ∥AB ，∴AB ∥FG ∥CE ，∵点F 是BC 的中点，∴点G 是AE 的中点， ∵△ADE 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (3)线段EF 的长为74.【解法提示】如解图，过点A 作AG ＝AD ，交BD 于点G ，延长EF 交AD 于点H ，第3题解图∵∠ADB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ， ∴△ABC 和△ADG 均为等边三角形，∴∠BAC ＝∠DAG ＝∠AGD ＝60°，AG ＝AD ＝5， ∴∠BAG ＝∠CAD ，∠AGB ＝120°，∴△ABG ≌△ACD ，∴∠AGB ＝∠ADC ＝120°，∴∠CDE ＝120°－60°＝60°. 又∵∠AGD ＝60°，∴CD ∥AG . ∵EF ∥CD ，∴EF ∥CD ∥AG . 在等边△ADG 中，∵AE ⊥GD ，∴点E 是DG 的中点，∴点H 是AD 的中点， ∴EH 是△ADG 的中位线，∴EH ＝12AG ＝52. 在△ACD 中，∵FH ∥CD ，∴FH 是△ACD 的中位线，∴FH ＝12CD ＝34， ∴EF ＝EH －FH ＝52－34＝74. 4．【问题发现】(1)如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，连接EF ，则线段BE 、EF 、DF 之间的数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，在△ADC 中，AD ＝2，CD ＝4，∠ADC 是一个不固定的角，以AC 为边向△ADC 的另一侧作等边△ABC ，连接BD ，则BD 的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；【解决问题】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，BC ＝42，若BD ⊥CD ，垂足为点D ，则对角线AC 的长是否存在最大值？若存在，请直接写出其最大值；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)BE＋DF＝EF；【解法提示】如解图①，延长CD至点G，使得DG＝BE，第4题解图①∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.（2）存在．在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，如解图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE.第4题解图②由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE＝BD，∵DE≤DC＋CE＝4＋2＝6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；(3)存在，AC的最大值为22＋2 6.【解法提示】如解图③，以BC为边作等边△BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，则BC＝BE，∠CBE＝60°.F第4题解图③∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°.∴∠ABD＋∠CBD＝∠CBE＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴AC ＝DE ，∵在等边△BCE 中，EF ⊥BC ， ∴BF ＝12BC ＝12×42＝22， ∴EF ＝3BF ＝3×22＝26，以BC 为直径作⊙F ，则点D 在⊙F 上，连接DF ， ∴DF ＝12BC ＝22，∴AC ＝DE ≤DF ＋EF ＝22＋26， 即AC 的最大值为22＋2 6. 5.【问题发现】(1)如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ；填空：①∠AEB 的度数为________；②线段AD 、BE 之间的数量关系为________． 【拓展探究】(2)如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE .请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由；【解决问题】(3)如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出．．．．点A 到BP 的距离．第5题图解：(1)①60°；②AD＝BE；【解法提示】①∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，∵∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°.②由①得△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝180°－45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.(3)3－12或3＋12.【解法提示】∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：如解图①，过点A作AM⊥BP于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，可证得△APD≌△AP′B，∴PD＝P′B＝1，AP′＝AP，∵CD＝2，∴BD＝2，∵PD＝1，∴PB＝3，∴AM＝12PP′＝12(PB－P′B)＝3－12.第5题解图第二种情况：如解图②，同理可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP ′)＝3＋12. 综上所述，点A 到BP 的距离为3－12或3＋12.6．如图①，以▱ABCD 的较短边CD 为一边作菱形CDEF ，使点F 落在边AD 上，连接BE ，交AF 于点G .(1)猜想BG 与EG 的数量关系，并说明理由； (2)延长DE ，BA 交于点H ，其他条件不变， ①如图②，若∠ADC ＝60°，求 DGBH 的值；②如图③，若∠ADC ＝α(0°<α<90°)，直接写出．．．．DG BH 的值．(用含α的三角函数表示)第6题图解：(1)BG ＝EG ； 理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵四边形CDEF是菱形，∴EF＝CD，EF∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴∠BAG＝∠EFG，∠ABG＝∠FEG，∴△ABG≌△FEG(ASA)，∴BG＝EG；(2)①由(1)知△ABG≌△FEG，∴AG＝FG，设CD＝a，FG＝b，则AB＝a，AG＝b，∵四边形CDEF是菱形，∠ADC＝60°，∴△EFD是等边三角形，∠FDE＝60°，∴DF＝CD＝a，∵AB∥CD，∴∠HAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD＝DF＋FG＋AG＝a＋2b，∴BH＝AB＋AH＝a＋a＋2b＝2a＋2b，∵DG＝DF＋FG＝a＋b，∴DGBH＝a＋b2a＋2b＝12；②DGBH＝cosα.【解法提示】如解图，分别过点C、H作CO⊥AD于点O，HN⊥AD于点N，第6题解图∵△ABG ≌△FEG ，∴AG ＝FG ， 设CD ＝a ，FG ＝b ，则AB ＝a ，AG ＝b ， ∵四边形CDEF 是菱形，∠ADC ＝α， ∴∠ADH ＝α，∴DF ＝2DO ＝2a cos α， ∴AD ＝DF ＋FG ＋AG ＝2a cos α＋2b ， ∵AB ∥CD ，∴∠HAD ＝∠ADC ＝α， ∴AN ＝12AD ＝a cos α＋b ， ∴AH ＝ANcos ∠HAD ＝a cos α＋b cos α，∴BH ＝AB ＋AH ＝a ＋a cos α＋b cos α＝2a cos α＋bcos α，∵DG ＝DF ＋FG ＝2a cos α＋b ， ∴DG BH ＝2a cos α＋b2a cos α＋b cos α＝cos α.7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 顺时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ .(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，线段BQ 与CP 的数量关系为________； (2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝15°，BP＝4，请直接写出BQ的长．第7题图解：(1)BQ＝CP；【解法提示】如解图①，连接OQ，第7题解图①∵PQ是由OP旋转60°得到的，∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ＝60°，OP＝OQ.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，∵CO＝BO，OP＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(2)成立，证明如下：如解图②，连接OQ，第7题解图②∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴OQ＝OP，∠POQ＝60°.∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COB＋∠BOP＝∠BOP＋∠POQ，即∠COP＝∠BOQ，∵OC＝OB，PO＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(3)BQ的长为43－4.【解法提示】如解图③，连接OQ，第7题解图③∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴∠POQ＝60°，PO＝OQ，由(2)知△OBC是等边三角形，∴OB＝OC，∠BOC＝∠POQ＝60°，∴∠BOQ＝∠COP，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ，∠CPO＝∠BQO，过Q作QD⊥BP于D，∵∠QPO＝∠PQO＝60°，∠BPO＝15°，∴∠QPD＝45°，∵∠QDP＝90°，∴∠PQD＝45°，∴PD＝DQ，∴∠DQO＝15°，∵∠BQO＝∠BPO＝15°，∴∠BQD＝30°，∴BQ＝2BD，PD＝QD＝3BD，∴BP＝DB＋PD＝BD＋3BD，∵BP＝4，∴BD＝23－2，∴BQ＝2BD＝43－4.8．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E 在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.(1)如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为________，线段EA，EB，EC的数量关系为________；(2)如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝25，请直接写出△BDE 的面积．第8题图解：(1)BD＝CE；BE2＋CE2＝EA2；【解法提示】∵∠ABC＝∠ADE＝α＝60°，DA＝DE，BA＝BC，∴△ADE, △ABC是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，∵DA＝EA，BA＝AC，∴△DAB ≌△EAC ，∴BD ＝CE ，∠DBA ＝∠ECA ，∴∠DBA ＋∠ABE ＝∠ECA ＋∠ABE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2.∵△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AE ，∴BD 2＋BE 2＝AE 2即EC 2＋EB 2＝EA 2.(2)12CE 2＋BE 2＝12AE 2；理由如下：∵∠ADE ＝∠ABC ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAC ＝45°，AE ＝2AD ，AC ＝2AB ，∴∠DAB ＝∠EAC ，∴△DAB ∽△EAC ，∴∠DBA ＝∠ECA ，BD CE ＝AD AE ＝12， ∴∠DBE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2，即(22CE )2＋BE 2＝(22AE )2，则12CE 2＋BE 2＝12AE 2；(3)2.【解法提示】如解图，第8题解图∵∠EBC ＋∠EBA ＝90°，∴∠EBC ＝∠ECA ，∴∠EBC ＋∠ECB ＝∠ECA ＋∠ECB ＝∠BCA ＝45°，∵点D ，E ，C 在一条直线上，∴∠BED ＝45°，∵∠DBE ＝90°，∴∠BDE ＝45°，∴BD ＝BE ，设BD ＝x ，则DE ＝CE ＝AD ＝2x ，在Rt △ADC 中，AC ＝2BC ＝210，AD 2＋CD 2＝AC 2，即(2x )2＋(22x )2＝(210)2，解得x ＝2或x ＝－2(舍)．则S △BDE ＝12BD ·BE ＝12×2×2＝2.9．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G .(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF .求证：DE ·CD ＝CF ·AD ；(2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形．试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE ·CD ＝CF ·AD 成立？并证明你的结论；(3)如图③，若BA ＝BC ＝3，DA ＝DC ＝4，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出DE CF 的值．第9题图(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DECF＝ADCD，∴DE·CD＝CF·AD；(2)解：当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°，∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DFDG＝DEDA，∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DFDG＝CFCD，∵DFDG＝DEDA，DFDG＝CFCD，∴DE·CD＝CF·AD，即当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立；(3)解：DECF＝2524.【解法提示】如解图，过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，第9题解图∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD.∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝CDAB＝BCBD＝BD，∴△BAD≌△BCD(SSS)，∴∠BCD ＝∠A ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＋∠CBM ＝180°，∴∠MBC ＝∠ADC ，∵∠CND ＝∠M ＝90°，∴△BCM ∽△DCN ，∴CM CN ＝BC CD ，∴CM x ＝34，∴CM ＝34x ，在Rt △CMB 中，CM ＝34x ，BM ＝AM －AB ＝x －3，由勾股定理得：BM 2＋CM 2＝BC 2，∴(x －3)2＋(34x )2＝32，解得x ＝0(舍去)，x ＝9625， ∴CN ＝9625，∵∠A ＝∠FGD ＝90°，∴∠AED ＋∠AFG ＝180°，∵∠AFG ＋∠NFC ＝180°，∴∠AED ＝∠CFN ，∵∠A ＝∠CNF ＝90°，∴△AED ∽△NFC ，∴DECF＝ADCN＝49625＝2524.10. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在BC、AC边上，连接BE、AD交于点P.设AC＝kBD，CD＝kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：(1)如图①，若k＝1，则∠APE的度数为；(2)如图②，若k＝3，试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数；(3)如图③，若k＝3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．第10题图解：(1)45°；(2)(1)中的结论不成立，理由如下：作AF∥CB，BF∥AD，AF、BF相交于点F，连接EF，交AD于点H，如解图①，∵AF∥CB，BF∥AD，第10题解图①∴∠FBE ＝∠APE ，∠F AC ＝∠C ＝90°，四边形ADBF 是平行四边形． 由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝AF ，∴AC AF ＝CD AE ＝3，又∵∠F AC ＝∠C ＝90°，∴△F AE ∽△ACD ，∴AC AF ＝AD EF ＝BF EF ＝3，∠FEA ＝∠ADC ，又∵∠ADC ＋∠CAD ＝90°，∴∠FEA ＋∠CAD ＝90°＝∠EHD ，∵AD ∥BF ，∴∠EFB ＝90°，在Rt △EFB 中，tan ∠FBE ＝EF BF ＝33，∴∠FBE ＝30°，∴∠APE ＝30°，∴(1)中结论不成立；(3)(2)中的结论成立，其理由如下：如解图②，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，DH 、EH 相交于点H ，连接AH ，第10题解图②∵EH ∥CD ，DH ∥BE ，∴∠APE ＝∠ADH ，∠HEC ＝∠C ＝90°，四边形EBDH 是平行四边形， ∴BE ＝DH ，EH ＝BD ，由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝EH ，∴AC EH ＝CD AE ＝3，又∵∠HEA ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△HEA ，∴AD AH ＝AC EH ＝3，∠ADC ＝∠HAE ，∠CAD ＋∠ADC ＝90°，∴∠HAE ＋∠CAD ＝90°，∴∠HAD ＝90°，在Rt △DAH 中，tan ∠ADH ＝AH AD ＝33，∴∠ADH ＝30°，∴∠APE ＝30°.。

初三数学复习整理知识点概括与拓展思维数学是一门综合性较强的学科，它既是一种工具，也是一种思维方式。

对于初三学生来说，数学的学习和掌握不仅仅是为了应对考试，更是为了培养逻辑思维和解决问题的能力。

本文将以初三数学的复习为基础，概括重要的知识点，并拓展思维，帮助学生更好地理解和运用数学知识。

一、代数知识的复习与应用1. 分式的运算与化简在初三以及之前的学习中，我们已经学习了关于分式的四则运算和化简的方法。

在复习中，我们要注意加深对于分母、分子的理解，并且掌握将分数转化为整数的方法，以便更好地运用于实际生活中。

2. 带字母的代数式的运算复习带字母的代数式的运算是十分重要的，它不仅帮助我们建立代数思维模式，还为后续学习函数、方程等提供了基础。

在复习中，我们要注意掌握多项式的相加、相减和乘法法则，并熟练运用代数式解决实际问题。

3. 方程与不等式的解法应用在初三数学中，方程与不等式的解法是最为重要的一部分。

我们要熟悉一元一次方程、一元二次方程的解法和一元一次不等式、一元二次不等式的解法，并能灵活地应用于实际问题中。

二、几何知识的复习与应用1. 直线、射线与线段的特征复习直线、射线与线段的特征是为了巩固对于几何基本概念的理解，我们要熟悉它们的定义，并能够准确地运用其性质。

2. 平行线与相交线的性质熟练掌握平行线与相交线的性质是初三数学的基础，我们要能够判断两条线是否平行、垂直，并能灵活地应用于解决平行线、相交线相关问题。

3. 三角形与四边形的性质应用在复习中，我们要掌握三角形和四边形的基本性质，并能够准确地判断出它们的分类和性质。

同时，要能够应用三角形和四边形的性质解决实际问题，提高几何思维能力。

三、统计与概率知识的复习与应用1. 数据收集与整理的方法在统计学习中，数据的收集与整理是非常重要的一环。

我们要学会用表格、图表等方式对数据进行整理和呈现，并利用统计方法对数据进行分析和解读。

2. 概率的计算与应用复习概率的计算是为了提高对于事件发生可能性的理解和判断。

全国中考数学提分知识点一览最近，全国各地的初中生正在备战中考，在这个备战的过程中，数学是不可避免的一门学科。

如果你想在中考中取得好成绩，在数学方面，你需要不断提高自己的能力和技巧。

那么，想要提高数学成绩，应该掌握哪些知识点呢？接下来，我们将为大家详细地介绍中考数学提分的知识点。

一、拓展算法拓展算法是初中数学中的一个重要内容，它包括了因式分解、分式的加减乘除、配方法、代数式及其运算等多个知识点。

拓展算法在中考中占据着重要地位，因此，你需要对这些知识点有深入的理解和掌握。

1. 因式分解因式分解是指将多项式化为乘积的过程。

不同的题型会要求你使用不同的因式分解方法，如公因式法、提公因式法等，因此你需要在做题的过程中多加练习，增加运用所学知识点的熟练度。

2. 分式的加减乘除分式是初中数学中的一项基础内容，也是中考数学中的难点之一。

掌握好分式的加减乘除不仅有利于做题，还能为你在其他领域的学习中打下基础。

3. 配方法配方法是解多项式的一种通用方法。

通过配方法，可以将多项式转换为完全平方+差积或完全立方+差积的形式，从而便于你进行下一步的计算和处理。

4. 代数式及其运算代数式是初中数学中数学概念的重点之一，也是中考数学中的核心内容之一。

代数式包括多项式、幂函数、指数函数、三角函数等，只有熟练地掌握代数式的运算方法，才能更好地应对中考中代数式的考查。

二、比例与相似比例与相似是初中数学中的一项重要内容。

掌握好这些知识点不仅有利于做题，还能为你的日常生活带来更多的便利。

1. 比例比例是指两个量之间的大小关系。

知道怎么求比例、比例的性质等，可以帮助你在复杂问题中找到问题的关键点，从而更快地解题。

2. 相似相似是初中数学中的一项基础知识点。

掌握好相似的相关知识可以帮助你更好地理解平面图形的变化规律，从而在中考中更好地处理几何题目。

三、平面图形平面图形是初中数学中的又一个重点内容。

掌握好平面图形的各项知识可以帮助我们更好地理解和研究问题，也可以为我们的数学解题能力提供更多的支撑。

专题13 视图重点分析中考视图与投影仍是考查重点内容，尤其视图与投影与实际生活有关系的应用问题。

在中考的难度不大，分数约占3-6分左右。

难点解读难点一：投影1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．2．平行投影、中心投影、正投影（1）中心投影：在点光下形成的物体的投影叫做中心投影，点光叫做投影中心．【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光近的物体的影子短，离点光远的物体的影子长．（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．【注意】阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影．难点二：视图1．视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．2．三视图：1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．3．三视图的画法1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．难点三：几何体的展开与折叠1．常见几何体的展开图几何体立体图形表面展开图侧面展开图圆柱圆锥三棱柱2．正方体的展开图正方体有11种展开图，分为四类：第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．真题演练1.如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，则下面四个平面图形中不是这个几何体的三视图的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】几何体三视图分别为左视图，俯视图，和主视图，根据左视图是从左面看到的图形，主视图是从正面看到的图形，俯视图是从上面的看到的图形，逐项判断即可．【详解】从正面看，从左到右小正方形的个数一次是，，，主视图如下：从左面看，从左往右小正方形的个数为，，左视图如下：从上面看，从左往右小正方形的个数为，，，俯视图如下：综上可以到的几何体的三视图故选：D．【点拨】本题考查了几何体的三视图和学生的空间想象能力，细心观察图中几何体每个正方形的位置是解题关键．2. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．选项C左视图与俯视图都是，故选C.3.如图所示的几何体，该几何体的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据俯视图的定义即可判断．【详解】解：从上往下看得到的图形是，故选：D．【点拨】本题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4.如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据主视图的意义和画法可以得出答案．【详解】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．【点拨】本题考查了简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．5.如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】俯视图是从上面看，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．【点拨】此题主要考查了三视图的知识，关键是树立空间观念，掌握三视图的几种看法．6.如图所示正三棱柱的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】找到从正面看所得到的图形即可解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选：B．【点拨】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．7.如图，由五个完全相同的小正方体组合搭成一个几何体，把正方体A向右平移到正方体P前面，其“三视图”中发生变化的是（ ）A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C【解析】根据三视图的意义，可得答案．【详解】若把正方体A向右平移到正方体P前面，主视图与左视图均与原来的一样，没有发生变化，只有俯视图发生了变化，故选C．【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．8.如图所示几何体的左视图是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．解：如图所示，几何体的左视图是：故选：C．【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．9.甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（）A．甲和乙左视图相同，主视图相同B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同C．甲和乙左视图相同，主视图不相同D．甲和乙左视图不相同，主视图相同【答案】D【解析】根据俯视图，即可判断左视图和主视图的形状．【详解】由甲俯视图知，其左视图为，由乙俯视图知，其左视图为，故它们的左视图不相同，但它们两个的主视图相同，都是．故选：D．【点拨】本题考查了三视图的知识，关键是根据俯视图及题意确定几何体的形状，从而可确定其左视图和主视图．10.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（）A．7个B．8个C．9个D．10个【答案】A【解析】根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数．解：根据题意得：则搭成该几何体的小正方体最多是1＋1＋1＋2＋2＝7（个）．故选：A．【点拨】此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键．11.如图，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出从左面看到的图形即可．解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：，故选：D．【点拨】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．12.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据三视图可知此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长母线2．解：此几何体为圆锥，圆锥母线长为9 cm，直径为6cm，侧面积，故选：A．【点拨】本题考查由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题关键．13.一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数字，从而可得出结论．【详解】由已知条件可知：主视图有3列，每列小正方形的数目分别为4，2，3，根据此可画出图形如下：故选：B．【点拨】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养学生观察能力．。

班级：________姓名：________专题十三二次函数图象与性质综合题类型一二次函数的对称性及增减性问题(建议时间：________)1.如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)．(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；(2)点C(m，n)在该二次函数图象上.①当m＝－1时，求n的值；②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．第1题图2. (2020安徽)在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x＋m经过点A，抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A，B，C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y＝x＋m上，并说明理由；(2)求a，b的值；(3)平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．3.如图，已知抛物线C∶y＝x2－bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点Q.(1)填空：b＝________，c＝________；(2)直线y＝a与抛物线C交于点E(x1，y1)，F(x2，y2)，与过点B，Q的直线交于点P(x3，y3)．①若0≤a≤3，求x1＋x2＋x3的取值范围；②若|EF|＝22，求a的值．(3)将抛物线C向左平移m(m>0)个单位后得到抛物线C1，当－3≤x≤－2时，抛物线C1对应的二次函数有最小值2，求m的值．第3题图4. (2020湘潭)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋5与x轴交于A，B两点．(1)若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b≥4, 0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．5.已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)．(1)求抛物线的对称轴；(2)若抛物线与x轴交于P，Q两点，且PQ＝4，①求抛物线的表达式；②将该抛物线在0≤x≤4之间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到个新函数的图象，记这个函数的最大值为M，最小值为m，若M－m≤6，求t的取值范围．6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点A(0，－3)和B(3，0)．(1)求c的值及a，b满足的关系式；(2)若抛物线在A，B两点间从左到右上升，求a的取值范围；(3)结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点M(－1＋m，n)，N(4－m，n)？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值；若不能，请说明理由．类型二二次函数新定义问题(建议时间：________分钟)1.若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝kx＋m(k≠0)在y轴上有共同的交点，且抛物线的顶点位于该条直线上，称该抛物线与直线互为“关系函数”．直线的“关系函数”表达式不唯一．(1)求抛物线y＝x2＋4x＋3的“关系函数”表达式；(2)若直线y＝kx－1与抛物线y＝x2－4x＋c互为“关系函数”，求k，c的值；(3)设互为“关系函数”的抛物线顶点为(－m，n)，且mn＝2，它的一个“关系函数”表达式为y＝2x ＋4，求该抛物线的表达式，并确定在－2≤x≤2范围内该函数的最大值．2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，点P(x0，y0)为此抛物线上的一点，若函数y＝mx＋n满足以下两个条件：(I)m＝2ax0＋b；(Ⅱ)直线y＝mx＋n经过点P(x0，y0)．我们就称直线y＝mx＋n为抛物线y＝ax2＋bx＋c上关于点P(x0，y0)的“锦鲤函数”．(1)已知抛物线y＝x2－2x＋3，点P(2，y0)为此抛物线上一点，求抛物线y＝x2－2x＋3关于点P(2，y0)的“锦鲤函数”的解析式；(2)若P(x0，y0)为抛物线y＝ax2＋bx＋c上任意一点，直线y＝mx＋n为抛物线y＝ax2＋bx＋c上关于P(x0，y0)的“锦鲤函数”，请判断直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点个数，并说明理由．。

中考数学专题复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：互数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的同象是它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k>0时它的同象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k<0时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：反曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线→两线与坐标轴围成的形面积，即如图：AOBP=S△AOP=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例1 （2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数ayx=在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=ayx=过一、三象限；当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=ayx=过二、四象限；故选C．点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．例2 （2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数22a ayx-+ =图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．解：a2-a+2，=a2-a+14-14+2，=（a-12）2+7 4 ，∵（a-12）2≥0，∴（a-12）2+7 4 ＞0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． 故选A ．点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a 2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数ky x=（k ≠0）：（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．例3 （2012•台州）点（-1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数6y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 2 思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答． 解：∵函数6y x=中k=6＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵-1＜0，∴点（-1，y 1）在第三象限， ∴y 1＜0， ∵0＜2＜3， ∴（2，y 2），（3，y 3）在第一象限， ∴y 2＞y 3＞0， ∴y 2＞y 3＞y 1． 故选D ． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．对应训练1．（2012•毕节地区）一次函数y=x+m （m ≠0）与反比例函数my x=的图象在同一平面直角坐标系中是（ ）A ．B ．C ．D ．1．C2．（2012•内江）函数1y x=的图象在（ ） A ．第一象限 B ．第一、三象限 C ．第二象限 D ．第二、四象限 2．A2x≥0，1x中x≠0，故x＞0，此时y＞0，则函数在第一象限．故选A．3．（2012•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数2yx=的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2．3．＞考点二：反比例函数解析式的确定例4 （2012•哈尔滨）如果反比例函数1kyx-=的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）A．2 B．-2 C．-3 D．3思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得-2=11k--，即2=k-1，解得k=3．故选D．点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．对应训练4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数1b yx+ =的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．3yx=-B．1yx=C．2yx=D．2yx=-4．D4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，解得：b=-3或1．∵反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0 ∴b＜-1，∴b=-3．则反比例函数的解析式是：y=13y x -=，即2y x=-． 故选D ．考点三：反比例函数k 的几何意义例5 （2012•铁岭）如图，点A 在双曲线4y x=上， 点B 在双曲线ky x=（k ≠0）上，AB ∥x 轴， 分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为D 、C ，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k 的符号，再延长线段BA ，交y 轴于点E ，由于AB ∥x 轴，所以AE ⊥y 轴，故四边形AEOD 是矩形，由于点A 在双曲线4y x=上，所以S 矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k ，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．解：∵双曲线ky x=（k ≠0）上在第一象限， ∴k ＞0，延长线段BA ，交y 轴于点E ， ∵AB ∥x 轴， ∴AE ⊥y 轴，∴四边形AEOD 是矩形， ∵点A 在双曲线4y x=上， ∴S 矩形AEOD =4， 同理S 矩形OCBE =k ，∵S 矩形ABCD =S 矩形OCBE -S 矩形AEOD =k-4=8， ∴k=12． 故选A ．点评：本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即反比例函数ky x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．对应训练5．（2012•株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数21,y yx x-==的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）A．3 B．3 2 tC．32D．不能确定5．C5．解：把x=t分别代入21,y yx x-==，得21,y yt t==-，所以B（t，2t）、C（t，1t-），所以BC=2t-（1t-）=3t．∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t，∴△ABC的面积=133 22tt⨯⨯=．故选C．考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6 （2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数22yx=的图象交于A、B 两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．解：A、12y xyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩①②，∵把①代入②得：x+1=2x，解得：x1=-2，x2=1，代入①得：y1=-1，y2=2，∴B（-2，-1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC=12×1×2=1，S△BOD=12×|-2|×|-1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．对应训练6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1C．x＞1 D．-2＜x＜16．A6．解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx(m≠0)的交点坐标为（1，4），（-2，-2），由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方，∴当y1＞y2时x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．故选A．【聚焦山东中考】1．（2012•青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数3yx-=的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y31．A1．解：∵反比例函数y=-3 x 中，k=-3＜0，∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选A．2．（2012•菏泽）反比例函数2yx=的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成立的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．不能确定2．D3．（2012•滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=5x-；③y=x2+8x-2；④y=22x；⑤y=12x；⑥y=ax中，y是x的反比例函数的有（填序号）。

初三数学学科知识点拓展与延伸数学作为一门理科学科，是学生从小学到初中都必修的学科之一。

在初三阶段，学生需要巩固和拓展他们在前几年中所学的数学知识，并且为高中学习做好准备。

本文将讨论一些初三数学学科知识点的拓展与延伸，以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

1. 平面几何的扩展平面几何是初中数学学科中重要的一个部分。

在初三，学生已经掌握了如平行线、垂直线和三角形的性质等基本概念。

为了进一步拓展他们的几何知识，可以引入一些高级的几何概念，如相似三角形和圆的性质。

学生可以学习相似三角形的边长比例关系以及利用相似三角形解决实际问题的方法。

此外，学生还可以学习圆的周长和面积的计算方法，以及圆锥和圆柱的体积计算方法。

2. 代数方程的推广代数方程是初中数学学科中另一个重要的内容。

在初三，学生已经学习了一元一次方程和一元一次不等式的解法。

为了深入理解和应用代数方程，可以引入一些高级的代数概念，如一元二次方程和一元二次不等式的解法。

学生可以学习如何利用公式法和因式分解法解决一元二次方程和一元二次不等式，并应用于实际问题中。

另外，学生还可以学习如何解决两个未知数的方程组和不等式组。

3. 数据与统计的拓展数据与统计是初中数学学科中的一个重要分支，通过收集、整理和分析数据，学生可以获得对现象的深刻理解。

除了学习如何收集和整理数据外，学生还可以进一步学习如何分析和解读数据。

例如，学生可以学习如何使用频数表、频率表和直方图来表示和分析数据，以及如何计算平均数、中位数和众数等统计指标。

此外，学生还可以学习如何进行简单的概率计算，如计算事件的概率和利用概率解决问题。

4. 函数的延伸与应用函数是数学学科中的一个重要概念，它描述了变量之间的依赖关系。

在初三，学生已经学习了一些基本的函数概念，如一次函数和二次函数。

为了进一步理解和应用函数概念，学生可以学习其他类型的函数，如指数函数、对数函数和三角函数等。

通过学习这些函数，学生可以更好地理解函数的性质和图像，并应用于实际问题中，如成长模型和波动模型等。

中考数学重难点知识归纳一、代数基础知识1. 代数式：包括单项式、多项式、分式等基本概念，以及代数式的化简、求值等基本技能。

2. 方程与不等式：包括一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式与不等式组等，掌握解法和应用。

3. 函数：包括一次函数、二次函数、反比例函数等，理解函数的性质和图像，掌握函数的求值和应用。

二、几何基础知识1. 平面几何：包括线段、角、三角形、四边形、多边形等基本概念，以及图形的性质和判定。

2. 立体几何：包括点、线、面、体等基本概念，以及空间图形的性质和判定。

三、函数与方程1. 函数与图像：掌握函数与图像的关系，能够通过图像解决实际问题。

2. 方程与求解：掌握一元二次方程的解法，能够解决实际问题。

四、平面几何1. 三角形：掌握三角形的性质和判定，能够解决实际问题。

2. 四边形：掌握四边形的性质和判定，能够解决实际问题。

五、立体几何1. 空间图形：掌握空间图形的性质和判定，能够解决实际问题。

2. 空间距离：掌握空间距离的计算方法，能够解决实际问题。

六、概率与统计1. 概率：掌握概率的基本概念和计算方法，能够解决实际问题。

2. 统计：掌握统计的基本知识和方法，能够解决实际问题。

七、代数式与方程1. 代数式的化简：掌握代数式的化简方法，能够解决实际问题。

2. 方程的求解：掌握一元一次方程、一元二次方程的解法，能够解决实际问题。

八、圆与三角形1. 圆的基本性质：掌握圆的基本性质和判定，能够解决实际问题。

2. 三角形的相似与全等：掌握三角形相似与全等的判定方法，能够解决实际问题。

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题专题十三几何证明之三角形全等与圆综合1、已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．解：（1）∵CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，∵∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°，∵∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上，∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O，∵AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3）∵4AK＝9BK，∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，∵AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m，∵OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝，∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，∴LK＝，∵OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．3、已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．4、已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．5、如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．证明：（1）连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，∴圆O的半径为4；（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，∴AD＝4，∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．6、如图，在△ABC中，A B＝AC，△O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与△O交于点F，延长BA到点G，使得△BGF＝△GBC，连接FG．（1）求证：FG是△O的切线；（2）若△O的径为4．△当OD＝3，求AD的长度；△当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．（1）证明：连接AF，△BF为△O的直径，△△BAF＝90°，△F AG＝90°，△△BGF+△AFG＝90°，△AB＝AC，△△ABC＝△ACB，△△ACB＝△AFB，△BGF＝△ABC，△△BGF＝△AFB，△△AFB+△AFG＝90°，即△OFG＝90°，又△OF为半径，△FG是△O的切线；（2）解：△连接CF，则△ACF＝△ABF，△AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，△△ABO△△ACO（SSS），△△ABO＝△BAO＝△CAO＝△ACO，△△CAO＝△ACF，△AO△CF，△＝，△半径是4，OD＝3，△DF＝1，BD＝7，△＝＝3，即CD＝AD，△△ABD＝△FCD，△ADB＝△FDC，△△ADB△△FDC，△＝，△AD•CD＝BD•DF，△AD•CD＝7，即AD2＝7，△AD＝（取正值）；△△△ODC为直角三角形，△DCO不可能等于90°，△存在△ODC＝90°或△COD＝90°，当△ODC＝90°时，△△ACO＝△ACF，△OD＝DF＝2，BD＝6，△AD＝CD，△AD•CD＝AD2＝12，△AD＝2，AC＝4，△S△ABC＝×4×6＝12；当△COD＝90°时，△OB＝OC＝4，△△OBC是等腰直角三角形，△BC＝4，延长AO交BC于点M，则AM△BC，△MO＝2，△AM＝4+2，△S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，△△ABC的面积为12或8+8．7、如图I，四边形ADBC内接于△O，E为BD延长线上一点，AD平分△EDC，（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，若CD为直径，过A点的圆的切线交BD延长线于E，若DE＝1，AE＝2．求△O的半径．（1）证明：△四边形ADBC内接于△O，△△EDA＝△ACB，由圆周角定理得，△CDA＝△ABC，△AD平分△EDC，△△EDA＝△CDA，△△ABC＝△ACB，△AB＝AC；（2）解：连接AO并延长交BC于H，AM△CD于M，△AB＝AC，△AH△BC，又AH△AE，△AE△BC，△CD为△O的直径，△△DBC＝90°，△△E＝△DBC＝90°，△四边形AEBH为矩形，△BH＝AE＝2，△BC＝4，△AD平分△EDC，△E＝90°，AM△CD，△DE＝DM＝1，AE＝AM＝2，在Rt△ABE和Rt△ACM中，△Rt△ABE△Rt△ACM（HL），△BE＝CM，设BE＝x，CD＝x+2，在Rt△BDC中，x2+42＝（x+2）2，解得，x＝3，△CD＝5，△△O的半径为2.5．8、如图，AB为△O的直径，弦CD△AB，垂足为F，CG△AE，交弦AE的延长线于点G，且CG＝CF．（1）求证：CG是△O的切线；（2）若AE＝2，EG＝1，求由弦BC和所围成的弓形的面积．解：（1）证明：连接OC．△CD△AB，CG△AE，CG＝CF，△△CAG＝△BAC，△AFC＝△G＝90°，△OA＝OC，△△ACO＝△BAC．△△CAG＝△ACO，△OC△AG，△△OCG＝180°﹣△G＝90°，△CG是△O的切线；（2）过点O作OM△AE，垂足为M，则AM＝ME＝AE＝1，△OMG＝△OCG＝△G＝90°．△四边形OCGM为矩形，△OC＝MG＝ME+EG＝2．在Rt△AGC和Rt△AFC中△Rt△AGC△Rt△AFC（HL），△AF＝AG＝AE+EG＝3，△OF＝AF﹣OA＝1，在Rt△COF中，△cos△COF＝＝．△△COF＝60°，CF＝OC•sin△COF＝2×＝，△S弓形BC＝﹣×2×＝π﹣．9、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作△Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交△Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）求证：△BDE＝△ADP；（3）设DE＝x，DF＝y．请求出y关于x的函数解析式．解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入y＝kx+4，得：4k+4＝0，解得：k＝﹣1，则直线AB的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）由已知得：OB＝OC，△BOD＝△COD＝90°，又△OD＝OD，△△BOD△△COD（SAS），△△BDO＝△CDO，△△CDO＝△ADP，△△BDE＝△ADP；（3）如图2，连结PE，△△ADP是△DPE的一个外角，△△ADP＝△DEP+△DPE，△△BDE是△ABD的一个外角，△△BDE＝△ABD+△OAB，△△ADP＝△BDE，△DEP＝△ABD，△△DPE＝△OAB，△OA＝OB＝4，△AOB＝90°，△△OAB＝45°，△△DPE＝45°，△△DFE＝△DPE＝45°，△DF是△Q的直径，△△DEF＝90°，△△DEF是等腰直角三角形，△DF＝DE，即y＝x．10、如图1，在△ABC中，△ACB＝90°，△ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆△O与CB交于点D．（1）求证：AC是△O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求△O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP△AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：△BE△EF，△△BEF＝90°，△BF是圆O的直径，△OB＝OE，△△OBE＝△OEB，△BE平分△ABC，△△CBE＝△OBE，△△OEB＝△CBE，△OE△BC，△△AEO＝△C＝90°，△AC△OE，△AC是△O的切线；（2）解：△△ACB＝90°，△EC△BC，△BE平分△ABC，EH△AB，△EH＝EC，△BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，△Rt△BHE△Rt△BCE（HL），△BH＝BC＝9，△BE△EF，△△BEF＝90°＝△BHE，BF是圆O的直径，△BE＝＝＝3，△△EBH＝△FBE，△△BEH△△BFE，△＝，即＝，解得：BF＝10，△△O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，△EH△AB，△OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos△EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos△EOA＝＝，△OA＝OE＝，△AE＝＝＝，△AC＝AE+EC＝+3＝，，△AB＝OB+OA＝5+＝，△ACB＝90°，△△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，△CP＝＝＝．11、△ABC内接于△O，弦BD与AC相交于点E，连接BO，且AC△BD．（1）如图1，求证：△OBC＝△ABD；（2）如图2，作CG△AB于G，交BD于F，若△BAC＝△ABO+30°，求证：BO＝BF；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OF与AB相交于点M，与BC相交于点N，若NC：MA＝5：3，且S△BMN＝16，求线段AE的长．解：（1）延长BO交△O于点K，连接CK，则BK为△O的直径，△△BCK＝90°，△△OBC+△K＝90°，△AC△BD，△△AEB＝90°，△△ABE+△A＝90°，△，△△A＝△K△△OBC＝△ABD；（2）作OH△BC于H，则BC＝2BH，△△K+△KBC＝90°，△△BAC+△KBC＝90°，△△ABO+30°+△KBC＝90°，△△ABC＝60°△BC＝2BG，△BG＝BH，且△ABD＝△OBC，△BGF＝△BHO＝90°，△△BFG△△BOH（AAS）△BO＝BF；（3）作OH△BC于H，△△BFG△△BOH，△BF＝BO，△△MFB＝△BON，且BF＝BO，△ABD＝△OBN，△△BFM△△BON（ASA）△BM＝BN，且△ABC＝60°，△△MBN为等边三角形，△S△BMN＝BM2＝16，△BM＝BN＝8，△NC：MA＝5：3，△设NC＝5x，AM＝3x，△BC＝8+5x，BH＝＝BG，CG＝BG＝•（）△GM＝HN＝8﹣＝，△△MNB＝60°，△OH＝HN＝•（），△△OBC＝△ABD＝△ACG，△tan△OBC＝tan△ACG，△，△＝，△x＝1，△AM＝3，CN＝5，HN＝GM＝，OH＝，BH＝△OB＝＝＝7，△sin△OBH＝sin△ABD，△△AE＝＝．12、如图1，AB为△O的直径，BC为△O的切线，过点B作OC的垂线与△O的另一交点为点E，连接CE．（1）求证：CE为△O的切线；（2）如图2，过点C作BC的垂线交AE的延长线于点F，若BC＝AB，求的值．解：（1）证明：如图，连接OE，设OC与BE的交点为M△OB＝OE△OBM＝△OEM△BE△OC△△BMO＝△EMO△△BOC＝△EOC△在△OBC和△OEC中△△OBC△△OEC（SAS）△△OEC＝△OBC△BC为△O的切线△OB△BC△△OBC＝90°△△OEC＝90°△CE为△O的切线；（2）△AB为△O的直径，△△BEA＝90°△OB△BC△AF△OC△AB△BC，CF△BC△AO△CF△四边形AOCF为平行四边形△AF＝OC△BC＝AB△设BC＝AB＝2k，则OB＝OA＝k 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝k△AF＝k△△ABE+△CBE＝90°，△CBE+△BCO＝90°△△ABE＝△BCO△sin△ABE＝sin△BCO△＝sin△BCO＝＝△＝sin△ABE＝△AE＝×2k＝△EF＝AF﹣AE＝△＝．。

轴对称与旋转（压轴题组）1．综合与实践问题情境：数学活动课上.老师出示了一个问题：如图①.在平行四边形ABCD中.BE⊥AD.垂足为E.F为CD的中点.连接EF.BF.试猜想EF与BF的数量关系.并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题.实践探究：（2）希望小组受此问题的启发.将平行四边形ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠.如图②.点C的对应点为C′.连接DC′并延长交AB于点G.请判断AG与BG的数量关系.并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想.将▱ABCD沿过点B的直线折叠.如图③.点A的对应点为A′.使A′B⊥CD于点H.折痕交AD于点M.连接A′M.交CD于点N．该小组提出一个问题：若此平行四边形ABCD的面积为20.边长AB＝5.BC＝25.求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题.直接写出结果．【答案】（1）EF=BF.理由见解析. （2）AG=BG.理由见解析. （3）223．【详解】解：（1）结论：EF=BF.理由如下：如图.过点F作FH∥AD交BE于点H.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC.∵FH∥AD.∴DE∥FH∥CB.∵F为CD的中点.即DF=CF.∴1EH DF HB FC== ∴EH =HB .∵BE ⊥AD .FH ∥AD .∴FH ⊥EB .∴EF =BF .（2）结论：AG =BG .理由如下：连接CC ' .由折叠知识得：BF CC '⊥ .FC FC '= .∵DF =FC .∴DF FC FC '==.∴,CC F C CF C DF DC F ''''∠=∠∠=∠ .∴CC D CC F DC F C CF C DF '''''∠=∠+∠=∠+∠.∴90CC D '∠=︒，∴CC GD '⊥ .∴DG ∥BF .∵DF ∥BG .∴四边形DFBG 是平行四边形.∴DF =BG .∵12AB CD DF CD ==， . ∴12BG AB = . ∴AG =GB .（3）如图.过点D 作DJ ⊥AB 于点J .过点M 作MT ⊥AB 于点T .∵S 平行四边形ABCD =AB ×DJ .∴DJ =20=45. ∵BC ＝5∴()222225-4=2AJ AD DJ =-= . 在平行四边形ABCD 中.AB ∥CD .∵A B CD '⊥ .∴A B AB '⊥ .∵DJ ⊥AB .∴∠DJB =∠JBH =∠DHB =90°.∴四边形DJBH 是矩形.∴BH =DJ =4.∴541A H A B BH ''=-=-= .∵MT ⊥AB .DJ ⊥AB .∴MT ∥DJ .∴ △ATM ∽△ADJ .∴MT AT DJ AJ = . ∴4=22MT DJ AT AJ ==. 设AT =x .则MT =2x .根据折叠得：45ABM MBA '∠=∠=︒ .∴MT =TB =2x .∴3x =5.解得：53x = . ∴103MT = . ∵,90A A AJD NHA ''∠=∠∠=∠=︒ .∴ △ADJ ∽△A ＇NH .∴DJ AJ NH A H='.∴422NH DJA H AJ==='.∴NH=2.∴110255233 ABM A BMS S'==⨯⨯=.∴2512212323A BM NHABHNMS S S''=-=-⨯⨯=四边形．2．（2021·山东中区·九年级期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标.及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标.（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图.在平面直角坐标系中.点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点.点B的横坐标为1.过点B作x轴的垂线.交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C.分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'.连接BC、CC'、B C''、BB'．①当四边形BB C C''为正方形时.求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时.直接写出a的取值范围．【答案】（1）(1.﹣2).(1.2).（2）y＝2（x﹣1）2﹣5.（3）①a＝23.②34≤a≤1或﹣14≤a＜﹣15【详解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1.﹣2）. 由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1.2）.故答案为：（1.﹣2）.（1.2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5.∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①当x＝1时.y＝1﹣3a.∴B （1.1﹣3a ）.∴C （1.3a ﹣1）.∴BC ＝|1﹣3a ﹣（3a ﹣1）|＝|2﹣6a |.∵抛物线L 的对称轴为直线x ＝42a a--＝2. ∴点B '（3.1﹣3a ）.∴BB '＝3﹣1＝2.∵四边形BB 'C 'C 是正方形.∴BC ＝BB '.即|2﹣6a |＝2.解得：a ＝0（舍）或a ＝23． ②抛物线L 的对称轴为直线x ＝2.顶点坐标为（2.1﹣4a ）.∵L 与“同轴对称抛物线”关于x 轴对称.∴整点数也是关于x 轴对称出现的.∴封闭区域内在x 轴上的整点可以是3个或5个.L 与x 轴围成的区域内整点个数为4个或3个.（i ）当a ＞0时.∵L 开口向上.与y 轴交于点（0.1）.∴封闭区域内在x 轴上只可能有3个整点.两个区域内各有4个整点.∴当x ＝1时.﹣2≤1﹣3a ＜﹣1.当x ＝2时.﹣3≤1﹣4a ＜﹣2. 解得：34≤a ≤1. （ii ）当a ＜0时.∵L 开口向下.与y 轴交于点（0.1）.∴封闭区域内在x 轴上只可能有5个整点.两个区域内各有3个整点.∴当x ＝2时.1＜1﹣4a ≤2.当x ＝﹣1时.5a +1＜0. 解得：1145a -≤<-. 综上所述：34≤a ≤1或﹣14≤a ＜﹣15． 3．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图1.在Rt ABC △中.90C ∠=︒.边6,8AC BC ==.点M N 、分别在线段AC BC 、上.将ABC 沿直线MN 翻折.点C 的对应点是点C '.（1）当M N 、分别是边AC BC 、的中点时.求出CC '的长度.（2）若2CN =.点C '到线段AB 的最短距离是________.（3）如图2.当点C '在落在边AB 上时.①点C '运动的路程长度是______.②当3611AM =时.求出CN 的长度． 【答案】（1）245.（2）85.（3）①4.② 6011. 【详解】 解：（1）设MN 交CC '于O∵M 、N 分别为AC 、BC 的中点∴AM =CM .CN =BN∴MN ∥AB （中位线定理）.12MN AB =∵MC MC '=.NC NC '=∴MN 垂直平分CC '∴OC OC '=.12OC CC '= ∴CC AB '⊥且点C '落在AB 上∵∠C =90°∴2210AB AC BC =+=∵1122AC BC AB CC '= ∴245AC BC CC =AB '=（2）如图2中.过点N 作NH ⊥AB 与H∵2NC NC ='=.BC =8∴6BN BC CN =-= ∵sin NH AC B BN AB ==∠ ∴185AC BN NH AB == ∵点C '是在以N 为圆心.C N ' 长为半径的圆上.∴当点C '落在线段NH 上时.点C '到线段AB 的距离最短∴最短距离85NH NC '=-=.（3）①如图3-1所示.当点N 与B 重合时.BC '的值最大.最大值=BC =8. 如图3-2中.当M 与A 重合时.BC '的值最小.最小值=AB -AC '=AB -AC =4 观察图形可知.当点C '落在AB 上时.点C '的运动的路程长度为4②如图3-3中.过点M 作ME ⊥AB 于E .过点N 作NF ⊥AB 于F .设CN =x .则BN =8-x . ∵sin NF AC B BN AB ==∠.cos BF BC B BN AB ==∠ ∴()385AC BN NF x AB ==-.()485BC BN BF x AB ==- ∵A A ∠=∠.90AEM ACB ==∠∠∴MEA BCA △∽△∴AM AE EM AB AC BC== ∴10855AE =.1445ME =∵363061111MC MC AC AM '==-=-= ∴22223014442115555EC MC ME ⎛⎫⎛⎫''=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()108424804108855555115C F AB AE EC BF x x ''=---=----=-- 由翻折的性质得：90ACB MC N '==∠∠∴90EC M FC N ''+=∠∠∵90EC M EMC ''+=∠∠∴EMC FC N ''=∠∠∴MEC C FN ''△∽△∴EM EC FC FN'=' ∴()()144425558043881155x x =--- 解得6011x = 经检验6011x =是分式方程的解 ∴6011CN =4．（2021·湖北当阳·一模）如图.在矩形ABCD 中.11AB =.6AD =.点E 是边AB 上的点（不与点A .B 重合）.将A ∠沿DE 折叠.点1A 是点A 的对应点.点F 是边BC 上的点.将B 沿EF 折叠.点1B 是点B 的对应点.且点1B 在直线1EA 上．（1）若DE EF =.求CF 的长.（2）若点F 是BC 的中点.求tan ADE ∠的值.（3）当点1B 恰好落在边DC 上时.求四边形1DEBB 的面积．【答案】（1）1.（2）13或32.（3）44213+或44213- 【详解】解：（1）将A ∠沿DE 折叠.点1A 是点A 的对应点.∴△AED ≌△.∴1EDA DEA ∠=∠.∵将B 沿EF 折叠.点1B 是点B 的对应点.∴EFB △≌1EFB △.∴1BEF B EF ∠=∠.∴90DEF ∠=︒.∵90EDA DEA DEA FEB ∠+∠=∠+∠=°.∴DEA FEB ∠=∠.∵DE EF =.∴DAE △≌EBF △（AAS ）.∴BF AE =.DA BE =.∵11AB =.6AD =.∴6EB =.5AE BF ==.∴1CF =.（2）由（1）知.DAE △∽EBF △.∴AE AD BF BE=. ∵点F 是BC 的中点.∴3BF =.∴6311AE AE=-. ∴2AE =或9AE =.在Rt ADE △中.1tan 3ADE ∠=或3tan 2ADE ∠=. （3）连接BB '.交EF 于M 点.∵点1B 恰好落在边DC 上.∴EF 是BB '的垂直平分线.∴BM EF ⊥.∴FEB FBB '∠=∠.∵ADE FEB ∠=∠.∴ADE CBB '∠=∠.∵AD BC =.90A C ∠=∠=︒.∴△AED ≌CBB '△（AAS ）.∴AE B C '=.∴BE DB '=.∵//BE DB '.∴四边形DEBB '是平行四边形.设AE y =.BF x =.则B F x '=.6CF x =-.B C y '=.在Rt B CF '△中.()2226x y x =+-.∴21236x y =+.∵DAE △∽EBF △. ∴611y x y =-. ∴2611x y y =-.∴2236222y y y +=-. 解得11133y ±=. ∴四边形1DEBB 的面积44213=±,综上：四边形1DEBB 的面积为44+213或44213-．5．（2021·河北竞秀·一模）如图.平行四边形ABCD 中.AB ＝9.AD ＝13.tan A ＝125.点P 在射线AD 上运动.连接PB .沿PB 将△APB 折叠.得△A 'PB ．（1）如图1.点P 在线段AD 上.当∠DP A'＝20°时.∠APB ＝ 度.（2）如图2.当P A '⊥BC 时.求线段P A 的长度.（3）当点A'落在平行四边形ABCD 的边所在的直线上时.求线段P A 的长度.（4）直接写出：在点P 沿射线AD 运动过程中.DA ′的最小值是多少？【答案】（1）80或100.（2）线段P A 的长度为15313.（3）线段P A 的长度为4513或9或1175.（4）DA ′的最小值是4109-．【详解】解：（1）当PA '在直线AD 的右侧时.△APB 折叠得到△A 'PB . 1=(18020)802APB A PB '∴∠=∠︒-︒=︒ 当PA '在直线AD 的左侧时.1=(18020)1002APB A PB '∴∠=∠︒+︒=︒. 故答案为：80或100.（2）如图.作BH AD ⊥于H .平行四边形ABCD 中.//,AD BC PA BC '⊥PA AD '∴⊥90APA '∴∠=︒45APB A PB '∴∠=∠=︒PH BH ∴=12tan 5A = 设12,5BH x AH x ==.22139AB AH BH x ∴=+==913x ∴=1081213BH x ∴== 45513AH x == 10813PH BH ∴== 10845153131313PA PH AH ∴=+=+=. （3）①当点A '在AD 上时.,AB A B PA PA ''==BP AD ∴⊥12tan 5A = 5451313AP AB ∴==. ②当点A '在BC 上时.由折叠可知.,AB A B AP A P ''==//AD BCAPB PBA ABP '∴∠=∠=∠AB PA ∴=∴四边形ABA P '是菱形.9AP ∴=.③当点A '在AB 的延长线上时.1902ABP ABA '∠=∠=︒1311755AP AB ∴== 综上所述.线段P A 的长度为4513或9或1175. （4）如图.作DH AB ⊥于H .连接,BD DA '.1213,tan 5DH AD A AH=== 12,5,954DH AH BH ∴===-=22410BD DH BH ∴+=DA BD BA ''≤-DA BD A B ''∴≤-9A B AB '==DA '∴的最小值是4109．6．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在平面直角坐标系中.二次函数y ＝ax 2＋bx＋c 的图象与x 轴交于 A 、B 两点.与y 轴交于点C .过点D （53,24-）且顶点P 的坐标为（﹣1.3）．（1）求二次函数的解析式.（2）如图1.若点M 是二次函数图象上的点.且在直线CD 的上方.连接MC .MD ．求△MCD 面积的最大值及此时点M 的坐标.（3）如图2.设点Q 是抛物线对称轴上的一点.连接QC .将线段QC 绕点Q 逆时针旋转90°.点C 的对应点为F .连接PF 交抛物线于点E .求点E 的坐标．【答案】（1）222y x x -=-+.（2）△MCD 面积的最大值为12564.M 的坐标：547(,)416-（3）(2,2)E - 【详解】解：（1）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点P 的坐标为（﹣1.3）.∴设二次函数的解析式为2(1)3y a x =++ 将点53(,)24D -代入.得 2351342a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭解得1a =-∴二次函数的解析式为()213y x =-++222x x =--+∴222y x x -=-+ （2）如图.过点M 作MN y ∥轴.交直线DC 于点N .222y x x-=-+.令0x=.则2y=()0,2C∴53(,)24D-设直线CD的解析式为y kx b=+则53242k bb⎧-+=⎪⎨⎪=⎩解得122kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线CD的解析式为122y x=+点M是二次函数222y x x-=-+图象上的点.N是122y x=+上的点. 设()2,22M m m m--+.1(,2)2N m m+则12MCD C DS x x MN=⨯-⨯△2151(222)222m m m=⨯⨯--+--25542m m⎛⎫=-+⎪⎝⎭255125()4464m=-++当54m=-时.222m m--+=()213m-++25147(1)3341616=--++=-=547(,)416M∴-此时.△MCD 面积的最大值为12564 （3）设点(1,)Q n -.如图.当2n <时.过点Q 作HG x ∥轴.交y 轴于点G .过点F 作FH HG ⊥于点H .将线段QC 绕点Q 逆时针旋转90°.点C 的对应点为F . 90CQF ∴∠=︒.QC QF =.90CGQ FHQ FQC ∠=∠=∠=︒CQG FQH CQG QCG ∴∠+∠=∠+∠QCG FQH ∴∠=∠∴HQF GCQ △≌△,HQ CG FH QG ∴==(0,2)C ,(1,)Q n -1,2QG CG n ∴==-213,1HG n n FH ∴=-+=-=(3,1)F n n ∴-+(1,3)P -设直线PF 的解析式为y ax b =+.则31(3)a b n a n b =-+⎧⎨+=-+⎩解得14a b =⎧⎨=⎩∴直线PF 的解析式为4y x =+2422y x y x x =+⎧∴⎨=--+⎩解得1113x y =-⎧⎨=⎩.2222x y =-⎧⎨=⎩ (2,2)E ∴-②如图.当2n >时.过点C 作CK PQ ⊥于点K .过点F 作FL PQ ⊥于点L .同理可得.LQF KCQ △≌△2,211QK LF n LK n n ∴==-=-+=-(1,1),(3,1)L n F n n ∴-+--同理可得.直线PF 的解析式为4y x =+2422y x y x x =+⎧∴⎨=--+⎩解得1113x y =-⎧⎨=⎩.2222x y =-⎧⎨=⎩ (2,2)E ∴-③当2n =时.旋转后的C 点与F 点重合.此时过P 的点的直线由无数条.不能确定点E 的坐标.根据题意舍去.E ．综上所述.(2,2)7．（2021·湖北新洲·九年级期中）问题背景：（1）如图1.等边△ABC.点P在△ABC左侧且∠APC＝30°.将△APC绕点A顺时针旋转60°.画出图形．探究思考：（2）在（1）的条件下.求证：PB＝AC.拓展创新：（3）如图2.等边△ABC.∠AMC＝60°.AM＝6.CM＝4.直接写出BM的长．【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3）192．【详解】（1）解：如图所示.（2）证明：如图2.连接PP'.由旋转得.AP'＝AP.∠P AP'＝60°.∠AP'B＝∠APC＝30°.∴△APP'是等边三角形.∴∠AP'P＝60°.AP＝AP'＝PP'.∴∠PP'B＝60°﹣30°＝30°.∵AP'＝PP'.∠PP'B＝∠AP'B.BP'＝BP'.∴△AP'B≌△PP'B（SAS）.∴PB＝AB.∵△ABC是等边三角形.∴AB＝BC.∴PB＝AC．（3）解：当点M在AC的右侧时.如图3.将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG.连接CG.过点B作MH⊥BG.交BG的延长线于点H.设AG交BC于点T.由旋转得.AG＝AM.∠MAG＝60°.∠AGB＝∠AMC＝60°.BG＝CM＝4.∠ABG＝∠ACM. ∵△ABC是等边三角形.∴∠ACB＝∠ABC＝60°.∴∠AGB＝∠ACB＝60°.∵∠BTG＝∠ATC.∴△BTG∽△ATC.∴BT GT AT CT=.∵∠ATB＝∠CTG.∴△ATB∽△CTG.∴∠BAT＝∠BCG.∠AGC＝∠ABC＝60°.∵∠BAG+∠ABG+∠AGB＝180°.∴∠BCG+∠ACM+∠ACB＝180°.∴点G、C、M三点共线.∵AG＝AM.∠MAG＝60°.∴△AGM是等边三角形.∴GM＝AM＝6.∵∠AGM＝∠AGB＝60°.∴∠MGH＝60°.∵MH⊥BG.∴GH＝12GM＝3.MH3＝3∴BH＝BG+GH＝4+3＝7.∴BM22227(33)BH MH+=+19当点M在AC的左侧时.如图4.将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG.连接BM.同图3理可证.点G、B、M三点共线.GM＝AM＝6.BG＝CM＝4.∴BM＝GM﹣BG＝6﹣4＝2.综上所述.BM的长为219或2．故答案为：219或2．8．（2021·重庆八中九年级期中）在△ABC中.CA＝CB.CA⊥CB.点D是射线AC上一动点.连接BD.将BD绕点D逆时针旋转90°得ED.连接CE．（1）如图1.当点D在线段AC上时.若DE＝10.BC＝3.求△ABD的周长.（2）如图2.点D在AC延长线上.作点C关于AB边的对称点F.连接FE.FD.将FD绕点D 顺时针旋转90°得GD.连接AG.求证：AG＝CE.（3）如图3.点D在AC延长线上运动过程中.延长EC交AG于H.当BH最大时.直接写出CD AB的值．【答案】（1）32102.（2）见解析.（3102+【详解】（1）解：如图1.在Rt△BCD中.BC＝3.BD＝DE＝10.∴CD＝1.∴AD＝AC﹣CD＝BC﹣AD＝3﹣1＝2.∵CA＝CB.CA⊥CB.∴AB＝22+＝32.CA CB∴△ABD的周长是：3210++2.（2）证明：如图2.连接BG交EF于N.连接CF交AB于M.AB与EF交于点P.DF与BG交于O. ∵∠BDE＝∠GDF＝90°.∴∠BDE+∠ADF＝∠GDF+∠ADF.即：∠BDG＝∠FDE.∵DE＝BD.DG＝DF.∴△BDG≌△EDF（SAS）.∴BG＝EF.∴∠BGD＝∠DFE.∵∠DOG＝∠FOB.∴∠BNP＝∠ONF＝∠GDO＝90°.∵∠BPN＝∠MPF.∴∠CFE＝∠ABG.∵CF＝2CM＝2AM＝AB.∴△GAB≌△ECF（SAS）.∴AG＝CE.（3）如图3.由（2）得.△GAD≌△ECF.∴∠GAB＝∠ECF.∴∠GAB﹣∠CAB＝∠ECF﹣∠BCM. ∴∠CAB＝∠BCM＝45°.∴∠GAC＝∠ECB.∵∠ACB＝90°.∴∠ACH+∠ECB＝90°.∴∠ACH+∠GAC＝90°.∴∠AHC＝90°.∴点H在以AC为直径的⊙I运动.如图4.当BH 过I 时.BH 最大.不妨设半径AI ＝CI ＝HI ＝1.∴BC ＝AC ＝2.∴IB 22IC BC +5作HT ⊥AC 于T .作EK ⊥AD 于K .∴∠HTI ＝∠ACB ＝90°.∴HT ∥BC .∴△HTI ∽△BCI . ∴HT BC ＝TI IC ＝HI IB . ∴2HT ＝1TI 5∴HT 25.TI 5∵∠BCD ＝∠BDE ＝∠K ＝90°.BD ＝DE .由“一线三等角”得.△BCD ≌△DKE .∴CD ＝EK .BC ＝DK ＝2.∵tan ∠KCE ＝tan ∠HCT . ∴EK CK ＝HT CT. ∴CD CD BC +25551+2555+∴CD BC 2555-2AB 2555-∴CD AB 102+ 9．（2021·河南汝阳·九年级期中）如图1.矩形AEGH 的顶点E 、H 在矩形ABCD 的边上.且AD ：AB ＝AH ：AE ＝1：2．（1）请直接写出HD ：GC ：EB 的结果（不必写计算过程）.（2）如图2.矩形AEGH 绕点A 旋转一定角度.此时HD ：GC ：EB 的结果与（1）的结果有变化吗？如有变化.写出变化后结果并说明理由.若无变化.请说明理由．【答案】（1）HD ：GC ：EB ＝1：5：2.（2）无变化.见解析【详解】解：（1）如图1.作GF ⊥CD 于点F .连接AG .则∠DFG ＝∠GFC ＝90°.∵四边形AEGH 和四边形ABCD 都是矩形.∴∠D ＝∠AHG ＝∠EGH ＝90°.AB ＝DC .AE ＝HG .∴∠DHG ＝180°﹣∠AHG ＝90°. ∴四边形DFGH 是矩形.∴HG ＝DF .HD ＝GF .∠FGH ＝90°. ∴12AD AH AB AE ==. ∴G D DC A AH H =. ∴AH HD DF FC ++＝AH HG . ∴AH GF HG FC ++＝AH HG. 整理得GF AH＝FC HG . ∵∠GFC ＝∠AHG .∴△GFC ∽△AHG .∴∠FGC ＝∠HAG .∴∠FGC +∠HGA ＝∠HAG +∠HGA ＝90°.∴∠FGC +∠HGA +∠FGH ＝180°.∴点A 、G 、C 在同一条直线上.∴点G 在矩形ABCD 的对角线AC 上.由GF AH ＝FC HG 得GF FC ＝AH HG ＝AH AE ＝12. ∴FC ＝2GF .∴GC ＝22(2)GF GF +＝5GF .∴GF ：GC ：FC ＝GF ：5GF ：2GF ＝1：5：2.∵∠FGH +∠EGH ＝180°.∴点E 、G 、F 在同一条直线上.∵∠B ＝∠BCF ＝∠CFE ＝90°.∴FC ＝EB .∴HD ：GC ：EB ＝1：5：2．（2）无变化.理由：由（1）得：AH AD ＝AG AC ＝AE AB . ∴AH AG ＝AD AC .AG AE ＝AC AB. ∵AE ＝HG ＝2AH .∴AG ＝22(2)AH AH +＝5AH .∴AH ：AG ：AE ＝AH ：5AH ：2AH ＝1：5：2.如图2.由旋转得.∠DAH ＝∠CAG ＝∠BAE .∴△DAH ∽△CAG ∽△BAE .∴HD GC ＝AH AG＝15.GC EB ＝AG AE ＝52. ∴HD ：GC ：EB ＝1：5：2.∴HD ：GC ：EB 的结果无变化．．10．（2021·湖北汉川·九年级期中）如图.若抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数.且0a ≠）与直线l 交于点()1,0A -.()2,3C -.与x 轴另一交点为()3,0B ．（1）则抛物线的解析式为______.（2）若将直线AC 绕点A 逆时针旋转90°交抛物线于点P ．①求点P 的坐标.此时AC AP的值为______. ②若M 是抛物线上一动点.过点M 作x 轴的垂线.垂足为N .连接BM .是否存在点M 使MN AC BN AP=若存在.请求出点M 的坐标.若不存在.请说明理由． 【答案】（1）223y x x =--.（2）①35.②存在.251,525⎛⎫-- ⎪⎝⎭.869,525⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【详解】解：（1）将A 、B 、C 三个点的坐标代入可得：0930423a b c a b c a b C -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩. 解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩. ∴解析式为：223y x x =--.（2）①作点C 关于x 轴的对称点C '.交x 轴为点D .则()2,3C '.作直线AC '与抛物线交与点P .则点P 为所求.根据题意中可得：3CD =.3AD =. ∴45CAD ∠=︒.∴'90CAC ∠=︒.设直线AC '的解析式为y mx n =+.由题意得：032m n m n =-+⎧⎨=+⎩. 解得：11m n =⎧⎨=⎩. ∴直线AC '的解析式为1y x =+.将直线和抛物线的解析式联立得：2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩. 解得1110x y =-⎧⎨=⎩（舍去）或2245x y =⎧⎨=⎩. ∴点P 的坐标为（4.5）.根据图象可得：223332AC =+=225552AP +=∴此时35AC AP =. ②假设存在点M 使MN AC BN AP=． 设点()2,23M m m m --. ∵35AC AP =. ∴35MN BN =. ∴223335m m m --=-.解得25m=-或85m=-.3m=（舍去）当25m=-时.2512325m m--=-.∴251,525M⎛⎫--⎪⎝⎭.当85m=-.2692325m m--=.∴869,525M⎛⎫-⎪⎝⎭.∴存在符合条件的点M.M的坐标为251,525⎛⎫--⎪⎝⎭.869,525⎛⎫-⎪⎝⎭．。

备考2019中考数学高频考点剖析专题十三平面几何之线段数量关系问题考点扫描☆聚焦中考线段数量关系问题是平面几何中的基础性问题，是每年中考的单独考查的情况不是很多，往往融入到平面几何的综合性问题中，考查的知识点包括线段概念性问题、线段相等问题和线段和差计算问题三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

也有少量的解析题。

解析题主要以三角形及其四边形问题综合考查为主。

结合近几年来全国各地中考的实例，我们从三方面进行实数的概念和计算问题的探讨：（1）线段概念性问题；（2）线段和差问题；（3）线段与几何图形综合性问题．考点剖析☆典型例题例1（已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN=AC+BC=AB=5cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN=AC﹣BC=7﹣2=5cm．综合上述情况，线段MN的长度是5cm．故选：D．例2如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段【解答】解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．故选：C．例3如图，平面上有四个点A、B、C、D，请用直尺按下列要求作图：（1）作直线AB；（2）作射线BC；（3）连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD；（4）找到一点F，使点F到A、B、C、D四点的距离之和最短．【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求；（2）如图，射线BC即为所求；（3）如图，点E即为所求；（4）如图，点F即为所求．例4已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC= 6 ；（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB﹣2PC的值；（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．【考点】线段的和差．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）由（1）得AC=AB，CD=AB，根据线段的和差即可得到结论；（3）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD﹣AM﹣DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．【解答】解：（1）当D点与B点重合时，AC=AB﹣CD=6；故答案为：6；（2）由（1）得AC=AB，∴CD=AB，∵点P是线段AB延长线上任意一点，∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=AC=（AB+BC）=8，DN=BD=（CD+BC）=5，∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，DN=BD=（CD﹣BC）=1，∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．例5已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（ab+100）2+|a﹣20|=0，P是数轴上的一个动点．（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．（2）已知线段OB上有点C且|BC|=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数．（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．【解答】解：（1）∵（ab+100）2+|a﹣20|=0，∴ab+100=0，a﹣20=0，∴a=20，b=﹣10，∴AB=20﹣（﹣10）=30，数轴上标出AB得：（2）∵|BC|=6且C在线段OB上，∴x C﹣（﹣10）=6，∴x C=﹣4，∵PB=2PC，当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，当P在线段BC上时，x P﹣x B=2（x c﹣x p），∴x p+10=2（﹣4﹣x p），解得：x p=﹣6，当P在点C右侧时，x p﹣x B=2（x p﹣x c），x p+10=2x p+8，x p=2，综上所述P点对应的数为﹣6或2．（3）第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6…则第n次为（﹣1）n•n，点A表示20，则第20次P与A重合；点B表示﹣10，点P与点B不重合．考点过关☆专项突破类型一线段概念性问题1. 下列说法中不正确的是（）①过两点有且只有一条直线②连接两点的线段叫两点的距离③两点之间线段最短④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点A．①B．②C．③D．④【解答】解：①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误③两点之间线段最短，正确；④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点，正确；故选：B．2. 如图，已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，且AB=8cm，则MN的长度为（）cm．A．2 B．3 C．4 D．6【考点】两点间的距离．【分析】根据MN=CM+CN=AC+CB=（AC+BC）=AB即可求解．【解答】解：∵M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=AB=4．故选C．3. 把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是（）A．过一点有无数条直线B．两点确定一条直线C．两点之间线段最短 D．线段是直线的一部分【考点】线段的性质：两点之间线段最短．【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是两点之间线段最短，故选：C．4. 如图，已知线段AB=6延长线段AB到C，使BC=2AB，点D是AC的中点，则BD= 3 ．【解答】解：如图：，由BC=2AB，AB=6，得BC=12，由线段的和差，得AC=AB+BC=6+12=18，由点D是线段AC的中点，得AD=AC=×18=9cm．由线段的和差，得BD=AD﹣AB=9﹣6=3，故答案为：3．5. 已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段BC的中点，则AM的长是8或12 cm．【考点】两点间的距离．【分析】应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即点C在点B的右侧或点C在点B的左侧两种情况进行分类讨论．【解答】解：①如图1所示，当点C在点A与B之间时，∵线段AB=10cm，BC=4cm，∴AC=10﹣4=6cm．∵M是线段BC的中点，∴CM=BC=2cm，∴AM=AC+CM=6+2=8cm；②当点C在点B的右侧时，∵BC=4cm，M是线段BC的中点，∴BM=BC=2cm，∴AM=AB+BM=10+2=12cm．综上所述，线段AM的长为8cm或12cm．故答案为：8或12．6.已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（）A．10 B．50 C．10或50 D．无法确定【考点】两点间的距离．【分析】根据题意画出图形，再根据图形求解即可．【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，如图1，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20；∴MN=50．（2）当C在AB上时，如图2，同理可知BM=30，BN=20，∴MN=10；所以MN=50或10，故选C．7.如图，C为线段AB上的一点，AC：CB=3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，若线段DE 为2cm，则AB的长为多少？【解答】解：设AB=x，由已知得：AC=x，BC=，∵D、E两点分别为AC、AB的中点，∴DC=x，BE=x，DE=DC﹣EC=DC﹣（BE﹣BC），即：x﹣（x﹣x）=2，解得：x=10，则AB的长为10cm．8. 已知线段AB=10cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，点D是线段AC的中点，试求线段AD的长．【解答】解：分两种情况：①如图1，当点C在线段AB上时，AC=AB﹣BC=10﹣4=6cm．∵点D是AC的中点，∴AD=AC=3cm．②如图2，当点C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=10+4=14cm．∵点D是AC的中点，∴AD=AC=7cm．9. 如图，平面上有射线AP和点B、点C，按下列语句要求画图：（1）连接AB；（2）用尺规在射线AP上截取AD=AB；（3）连接BC，并延长BC到E，使CE=BC；（4）连接DE．【解答】解：如图所示：（1）连接AB；（2）用尺规在射线AP上截取AD=AB；（3）连接BC，并延长BC到E，使CE=BC；（4）连接DE．10. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过多少秒时线段PQ的长为5厘米?【解答】解：设运动时间为t秒．①如果点P向左、点Q向右运动，由题意，得：t+2t=5﹣4，解得t=；②点P、Q都向右运动，由题意，得：2t﹣t=5﹣4，解得t=1；③点P、Q都向左运动，由题意，得：2t﹣t=5+4，解得t=9．④点P向右、点Q向左运动，由题意，得：2t﹣4+t=5，解得t=3．综上所述，经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米．故答案为或1或3或9．类型二线段和差问题1. 如图，点E是AB的中点，点F是BC的中点，AB=4，BC=6，则E、F两点间的距离是（）A．10 B．5 C．4 D．2【解答】解：∵点E是AB的中点，点F是BC的中点，AB=4，BC=6，∴EB=AB=×4=2，BF=BC=×6=3，∴EF=EB+BF=2+3=5．故选：B．2．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b【考点】两点间的距离．【分析】根据AB两点之间的距离即为0到B的距离与0到A的距离之和，由数轴可知a＜0，b＞0，得出AB的距离为b﹣a．【解答】解：∵A、B两点所对的数分别为a、b，∵a＜0，b＞0，∴AB之间的距离为b﹣a，故选C．3. 如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（）A．A→C→D→B B．A→C→F→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B【考点】线段的性质：两点之间线段最短．【分析】根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B，据此解答即可．【解答】解：根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．故选：B．4. 如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M、N、P、Q，且m+p=0，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是q．【解答】解：绝对值最小的数是q，故答案为：q5. 如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段AB，使AB=2a﹣b（不写作法，保留作图痕迹）．【考点】作图—复杂作图．【分析】首先作射线，再截取AD=DC=a，进而截取BC=b，即可得出AB=2a﹣b．【解答】解：如图所示：线段AB即为所求．6．如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=10，CD=4，求线段MN的长．【考点】两点间的距离．【分析】根据线段的和差，可得AC+BD，根据线段中点的性质，可得MC，ND，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由AB=10，CD=4，∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6．∵M、N分别为AC与BD的中点∴MC=AC，ND=BD∴MC+ND=（AC+BD）=×6=3，∴MN=MC+ND+CD=3+4=7．7. 如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=10cm，则MN= 5 cm；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=BCMN=MC+CN=．故填：5．（2）∵AC=3，CP=1，∴AP=AC+CP=4，∵P是线段AB的中点，∴AB=2AP=8∴CB=AB﹣AC=5，∵N是线段CB的中点，CN=CB=，∴PN=CN﹣CP=．8. 已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB，AB=6，∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4；∵点Q为PB的中点，∴PQ=QB=PB=×2=1；∴AQ=AP+PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB，AB=6，∴AB=BP=6，∵点Q为PB的中点，∴BQ=3，∴AQ=AB+BQ=6+3=9．故AQ的长度为5或9．9. 已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P与A的距离：PA= 4t ；点P对应的数是﹣24+4t ；（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，若P、Q同时出发，求：当点P 运动多少秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度？【解答】解：（1）PA=4t；点P对应的数是﹣24+4t；故答案为：4t；﹣24+4t；（2）分两种情况：当点P在Q的左边：4t+8=14+t，解得：t=2；当点P在Q的右边：4t=14+t+8，解得：t=，综上所述：当点P运动2秒或秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度．类型三线段与几何图形综合性问题1．根据下列语句画出图形，并指出答案．（1）如图，按照上北下南、左西右东的规定画出了东西南北的十字架，请以十字线的交点O为端点，在图上画出表示北偏西45°的射线．（2）尺规作图：如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a﹣b．（不写做法，保留作图痕迹）【解答】解：（1）答：如图OA表示北偏西45°．（2）答：如图AD=2a﹣b．…（4分）2．如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．（1）求线段BC，MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．【考点】两点间的距离．【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用BC=MB﹣MC，MN=CM+CN即可求出线段BC，MN的长度即可．（2）先画图，再根据线段中点的定义得MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC﹣NC得到MN=acm．【解答】解：（1）∵M是AC的中点，∴MC=AC=3cm，∴BC=MB﹣MC=7cm，又N为BC的中点，∴CN=BC=3.5cm，∴MN=MC+NC=6.5cm；（2）如图：∵M是AC的中点，∴CM=AC，∵N是BC的中点，∴CN=BC，∴MN=CM﹣CN=AC﹣BC=（AC﹣BC）=acm．3．如图，已知P是线段AB上一点，AP=AB，C，D两点从A，P同时出发，分别以每秒2厘米，每秒1匣米的速度沿AB方向运动，当点D到达终点B时，点C也停止运动，设AB=a（厘米），点C，D 的运动时间为t（秒）．（1）用含a和t的代数式表示线段CP的长度；（2）当t=5时，CD=AB，求线段AB的长；（3）当CB﹣AC=PC时，求的值．【解答】解：（1）∵AB=a，AP=AB，∴AP=a，∵AC=2t，∴CP=AP﹣AC=a﹣2t；（2）∵CD=AB，∴PC+PD=（AP+PB），∴AP=2PC=AB，∴a=2（a﹣2t），当t=5时，解得a=30，∴AB=30cm；（3）∵CB﹣AC=PC，∴AC=PB，∵AP=AB，∴PB=AB，∴AC=PC=PB=2t，∴AB=6t，∵PD=t，∴=．4. 如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数﹣6 ，点P表示的数8﹣5t （用含t的代数式表示）；（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？【解答】解：（1）∵OA=8，AB=14，∴OB=6，∴点B表示的数为﹣6，∵PA=5t，∴P点表示的数为8﹣5t，故答案为﹣6，8﹣5t；（2）根据题意得5t=14+3t，解得t=7．答：点P运动7秒时追上点H．5. 如图①，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．（1）若点C恰好是AB中点，则DE= 6 cm；（2）若AC=4cm，求DE的长；（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．【考点】两点间的距离；角平分线的定义；角的计算．【分析】（1）由AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE=（AC+BC）=AB=6cm，（2）由AC=4cm，AB=12cm，即可推出BC=8cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD=DC=2cm，BE=EC=4cm，即可推出DE的长度，（3）设AC=acm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE=（AC+BC）=AB=cm，即可推出结论，（4）由若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB=60°，即可推出∠DOE的度数与射线OC的位置无关．【解答】解：（1）∵AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，∴AC=BC=6cm，∴CD=CE=3cm，∴DE=6cm，（2）∵AB=12cm，∴AC=4cm，∴BC=8cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD=2cm，CE=4cm，∴DE=6cm，（3）设AC=acm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DE=CD+CE=（AC+BC）=AB=6cm，∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变，（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB，∵∠AOB=120°，∴∠DOE=60°，∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．6.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a ﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB= 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t ；点Q表示的数为8﹣2t ．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=AB；（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论；（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，列方程即可得到结论；（4）由点M表示的数为=﹣2，点N表示的数为=+3，即可得到结论．【解答】解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴﹣2+3t=8﹣2t，解得：t=2，∴当t=2时，P、Q相遇，此时，﹣2+3t=﹣2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，又PQ=AB=×10=5，∴|5t﹣10|=5，解得：t=1或3，∴当：t=1或3时，PQ=AB；（4）∵点M表示的数为=﹣2，点N表示的数为=+3，∴MN=|（﹣2）﹣（+3）|=|﹣2﹣﹣3|=5．。

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中考数学重点知识点及重要题型知识点1：一元二次方程的基本概念1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2。

2．一元二次方程3x 2+4x —2=0的一次项系数为4,常数项是-2。

3．一元二次方程3x 2-5x —7=0的二次项系数为3,常数项是—7。

4．把方程3x （x-1）-2=—4x 化为一般式为3x 2—x-2=0.知识点2：直角坐标系与点的位置1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。

2．直角坐标系中,x 轴上的任意点的横坐标为0。

3．直角坐标系中,点A(1，1)在第一象限. 4．直角坐标系中,点A(—2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中,点A(-2，1）在第二象限.知识点3：已知自变量的值求函数值1．当x=2时，函数y=32-x 的值为1。

2．当x=3时，函数y=21-x 的值为1。

3．当x=-1时,函数y=321-x 的值为1。

知识点4：基本函数的概念及性质1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 21-=是反比例函数.4．抛物线y=—3（x —2）2—5的开口向下。

5．抛物线y=4(x-3）2-10的对称轴是x=3。

6．抛物线2)1(212+-=x y 的顶点坐标是(1，2).7．反比例函数xy 2=的图象在第一、三象限。