2019-2020年中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题

专题10 动态几何类问题【考点综述评价】所谓“动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．动态几何问题有两个显著特点：一是“动态”，常以图形或图象中点、线、面的运动(包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换)为重要的构图背景；二是“综合”，主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合．解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动，根据题意画一些不同运动时刻的图形，想像从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决．【考点分类总结】考点1：单点运动问题【典型例题】（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．【答案】43或47或4．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM =90°时，∵∠BOM =∠AOC =60°，∴∠BMO =30°，∴MO =2BO =2×4=8，∴Rt △BOM 中，BM =22MO OB -=43，∴Rt △ABM 中，AM =22AB BM +=47．综上所述，当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为43或47或4．故答案为：43或47或4．【方法归纳】从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明．【变式训练】（2017辽宁省辽阳市）如图1，抛物线213y x bx c =++经过A （23-，0）、B （0，﹣2）两点，点C 在y 轴上，△ABC 为等边三角形，点D 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0），过点D 作DE ⊥AC 于点E ，以DE 为边作矩形DEGF ，使点F 在x 轴上，点G 在AC 或AC 的延长线上．学科/-网（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF 沿GF 所在直线翻折，得矩形D 'E 'GF ，当点D 的对称点D '落在抛物线上时，求此时点D '的坐标；（3）如图2，在x 轴上有一点M （23，0），连接BM 、CM ，在点D 的运动过程中，设矩形DEGF 与四边形ABMC 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）21323y x x =+-；（2）D ′（43，109）；（3）22423(0)353412383(2)23t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩． 【分析】（1）把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）由等边三角形的性质可知∠BAC =60°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE =t ，DE =3t ，AF =23t ，然后再证明AD =DF =2t ，过点D ′作D ′H ⊥x 轴与点H ，接下来，再求得点D ′的坐标，最后将点D ′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（3）当0＜t ≤43时，S =ED •DF ；当43＜t ≤2时，S =矩形DEGF 的面积﹣△CGN 的面积．∵∠D ′FH =∠AFD =30°，∴D ′H =12D ′F =t ，FH =3D ′H =3t ，∴AH =AF +FH =33t ，∴OH =AH ﹣AO =3323t -，∴D ′（3323t -，t ）．∴当0＜t ≤43时，S =ED •DF =23t ． 当43＜t ≤2时，如图3所示：∵CG =AG ﹣AC ，∴CG =3t ﹣4，∴GN =3343t -，∴S =ED •DF ﹣12CG •GN =223t ﹣12（3t ﹣4）×3（3t ﹣4）=25312383t t -+-． 综上所述，S 与t 的函数关系式为22423(0)353412383(2)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩．考点2：多点运动问题【典型例题】（2017甘肃省天水市）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，∠B =30°，点P 从点B 出发，以3c m /s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发，以1c m /s 的速度沿BA ﹣AC 方向运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【分析】作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质得BH =CH ，利用∠B =30°可计算出AH=12AB =2，BH =3AH =23，则BC =2BH =43，利用速度公式可得点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，然后分类讨论：当0≤x ≤4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ =x ，BP =3x ，DQ =12BQ =12x ，利用三角形面积公式得到234y x =；当4＜x ≤8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ =8﹣x ，BP =43，DQ =12CQ =12（8﹣x ），利用三角形面积公式得383y x =-+，于是可得0≤x ≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x ≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D ．△BDQ 中，DQ =12CQ =12（8﹣x ），∴y =12•12（8﹣x ）•43，即383y x =-+，综上所述，23(04)383(48)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎩．故选D ．学+科.网【方法归纳】从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明．【变式训练】（2017四川省雅安市）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （1，0），B （-3，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE =PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF ⊥x 轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-；（2）P （﹣2，﹣2）；（3）点M 的坐标为（1212-+，0），（1212--，0），（313-+，0），（313--，0）． 【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出点E 的坐标，利用待定系数法得出直线BD 的解析式，利用PC =PE 建立方程即可求出a 即可得出结论；（3）设出点M 的坐标，进而得出点G ，N 的坐标，利用FM =MG 建立方程求解即可得出结论．（﹣1，0），设直线BD 的解析式为y =mx +n ，∴304m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，∴26m n =-⎧⎨=-⎩，∴直线BD 的解析式为y =﹣2x ﹣6，设点P （a ，﹣2a ﹣6）．∵C （0，﹣3），E （﹣1，0），根据勾股定理得，PE 2=（a +1）2+（﹣2a ﹣6）2，PC 2=a 2+（﹣2a ﹣6+3）2．∵PC =PE ，∴（a +1）2+（﹣2a ﹣6）2=a 2+（﹣2a ﹣6+3）2，∴a =﹣2，∴y =﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P （﹣2，﹣2）；（3）如图，作PF ⊥x 轴于F ，∴F （﹣2，0）．设M （d ，0），∴G （d ，d 2+2d ﹣3），N （﹣2，d 2+2d ﹣3）．∵以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM =MG ，∴|d +2|=|d 2+2d ﹣3|，∴d =1212-±或d =3132-±，∴点M 的坐标为（1212-+，0），（1212--，0），（3132-+，0），（3132--，0）．考点3：线动问题研究【典型例题】（2017黑龙江省龙东地区）如图，矩形AOCB 的顶点A 、C 分别位于x 轴和y 轴的正半轴上，线段OA 、OC 的长度满足方程15130x y -+-=（OA ＞OC ），直线y =kx +b 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，将△BCN 沿直线BN 折叠，点C 恰好落在直线MN 上的点D 处，且tan ∠CBD =34． （1）求点B 的坐标；（2）求直线BN 的解析式； （3）将直线BN 以每秒1个单位长度的速度沿y 轴向下平移，求直线BN 扫过矩形AOCB 的面积S 关于运动的时间t （0＜t ≤13）的函数关系式．【答案】（1）B （15，13）；（2）183y x=+；（3）215 (08)33996(813)2t t S t t t <≤⎧⎪=⎨-+-<≤⎪⎩． 【分析】（1）由非负数的性质可求得x 、y 的值，则可求得B 点坐标；（2）过D 作EF ⊥OA 于点E ，交CB 于点F ，由条件可求得D 点坐标，且可求得OM ON =34，结合DE ∥ON ，利用平行线分线段成比例可求得OM 和ON 的长，则可求得N 点坐标，利用待定系数法可求得直线BN 的解析式；（3）设直线BN 平移后交y 轴于点N ′，交AB 于点B ′，当点N ′在x 轴上方时，可知S 即为▱BNN ′B ′的面积，当N ′在y 轴的负半轴上时，可用t 表示出直线B ′N ′的解析式，设交x 轴于点G ，可用t 表示出G 点坐标，由S =S 四边形BNN ′B ′﹣S △OGN ′，可分别得到S 与t 的函数关系式．【解答】（3）设直线BN 平移后交y 轴于点N ′，交AB 于点B ′，分两种情况讨论：①当点N ′在x 轴上方，即0＜t ≤8时，如图2，由题意可知四边形BNN ′B ′为平行四边形，且NN ′=t ，∴S =NN ′•OA =15t ；【方法归纳】按线动的位置进行分类，画出各状态图形，利用这些等量关系转化为方程来解决．【变式训练】（2017辽宁省营口市）如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断．考点4：面动问题研究【典型例题】（2017四川省攀枝花市）如图1，在平面直角坐标系中，，直线MN分别与x轴、y轴交于点M （6，0），N（0，3，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）．（1）等边△ABC的边长为_______；（2）在运动过程中，当t=_______时，MN垂直平分AB；（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA—AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似．求t的值；②当点P 在线段AC 上运动时，设PEF S S ∆=，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）3；（2）3；（3）①t =1或34或32；②S=2333t t -+，当t =32时，△PEF 的面积最大，最大值为9332，此时P （3，332）． 【分析】（1）根据，∠OMN =30°和△ABC 为等边三角形，求证△OAM 为直角三角形，然后即可得出答案．（2）易知当点C 与M 重合时直线MN 平分线段AB ，此时OB =3，由此即可解决问题；（3）①如图1中，由题意BP =2t ，BM =6﹣t ，由△PEF 与△MNO 相似，可得PE EF =23或EF PE=23，即5323t t -=33或32532t t -=33，解方程即可解决问题； ②当P 点在EF 上方时，过P 作PH ⊥MN 于H ，如图2中，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；∵∠BAC=60°，∴EF=3AE=32t，当点P在EF下方时，PE=BE﹣BP=3﹣52t，由235302ttt⎧⎪≥⎪≤⎨⎪⎪->⎩，解得0≤t＜65，∵△PEF与△MNO相似，∴PEEF=236或EFPE=236，∴5323tt-=33或32532tt-=33，解得t=1或t=34．当点P在EF上方时，PE=BE﹣BP=52t-3，∵△PEF与△MNO相似，∴PEEF=23或EFPE=23，∴5323tt-=33或32532tt-=33，解得t=32或3．∵0≤t≤32，且52t-3＞0，即65＜t≤32，∴t=32.综上所述，t=1或34或32．②当P点在EF上方时，过P作PH⊥MN于H，如图2中，由题意，EF=32t，FC=MC=3﹣t，∠PFH=30°，∴PF=PC﹣CF=（6﹣2t）﹣（3﹣t）=3﹣t，∴PH=12PF=32t-，∴S=12•EF•PH=12×32t×【方法归纳】根据题意画一些不同运动时刻的图形，想象从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决．【变式训练】（2017天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），点O （0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；（3）当∠BP A'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）（2，1）；（2）1；（3）点P 的坐标为（332-，332-）或（2332-，32）． 【分析】（1）由点A 和B 的坐标得出OA =3，OB =1，由折叠的性质得：OA '=OA =3，由勾股定理求出A 'B 的值，即可得出点A '的坐标为（2，1）；（2）由勾股定理求出AB =2，证出OB =OP =BP ，得出△BOP 是等边三角形，得出∠BOP =∠BPO =60°，求出∠OP A =120°，由折叠的性质得：∠OP A '=∠OP A =120°，P A '=P A =1，证出OB ∥P A '，得出四边形OP A 'B 是平行四边形，即可得出A 'B =OP =1；（3）分两种情况：①点A '在y 轴上，由SSS 证明△OP A '≌△OP A ，得出∠A 'OP =∠AOP =12∠AOB =45°，得出点P 在∠AOB 的平分线上，由待定系数法求出直线AB 的解析式，即可得出点P 的坐标；②由折叠的性质得：∠A '=∠A =30°，OA '=OA ，作出四边形OAP A '是菱形，得出P A =OA =3，作PM ⊥OA 于M ，由直角三角形的性质求出PM 的长，把32y =代入313y x =-+求出点P 的纵坐标即可． 【解答】（1）∵点A （3，0），点B （0，1），∴OA =3，OB =1，由折叠的性质得：OA '=OA =3，∵A 'B ⊥OB ，∴∠A 'BO =90°，在Rt △A 'OB 中，A 'B =22'OA OB -=2，∴点A '的坐标为（2，1）；①如图③所示：点A '在y 轴上，在△OP A '和△OP A 中，∵OA ′=OA ，P A ′=P A ，OP =OP ，∴△OP A '≌△OP A （SSS ），∴∠A 'OP =∠AOP =12∠AOB =45°，∴点P 在∠AOB 的平分线上，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把点A 30），点B （0，1）代入得：301k b b +==⎪⎩，解得：331k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为31y x =+，∵P （x ，y ），∴31x =+，解得：x 33-P 33-33-）；②如图④所示：由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，∵∠BP A'=30°，∴∠A'=∠A=∠BP A'，∴OA'∥AP，P A'∥OA，∴四边形OAP A'是菱形，∴P A=OA=3，作PM⊥OA于M，如图④所示：学/科+-网∵∠A=30°，∴PM=12P A=32，把y=32代入313y x=-+得：32=313x-+，解得：x=2332-，∴P（233-，3）；综上所述：当∠BP A'=30°时，点P的坐标为（33-，33-）或（233-，3）．【新题好题训练】1．（2017内蒙古通辽市）如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若线段AB=6，AC=x，S△P AB=y，则y与x的函数关系图象大致是（）A．B．C ．D ．【答案】D ． 【分析】根据已知条件推出△APC ∽△PBC ，根据相似三角形的性质得到PC =(6)x x -，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】∵PC ⊥AB 于C ，∠APB =90°，∴∠ACP =∠BCP =90°，∴∠APC +∠BPC =∠APC +∠P AC =90°，∴∠P AC =∠BPC ，∴△APC ∽△PBC ，∴PC BC AC PC =，∵AB =6，AC =x ，∴BC =6﹣x ，∴PC 2=x （6﹣x ），∴PC =(6)x x -，∴y =12AB •PC =236x x -+ =23(3)9x --+，故选D ． 2．（2017四川省泸州市）已知抛物线2114y x =+具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（3，3），P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C ．【分析】过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线2114y x =+于点P ，由PF =PE 结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF 周长取最小值，再由点F 、M 的坐标即可得出MF 、ME 的长度，进而得出△PMF 周长的最小值．3．（2017山东省泰安市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1c m /s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2c m /s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形P ABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16cm 2C ．15cm 2D ．12cm 2【答案】C ．【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC =6cm ，设运动时间为t （0≤t ≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形P ABQ =t 2﹣6t +24，利用配方法即可求出四边形P ABQ 的面积最小值，此题得解．【解答】在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC =22AB BC -=6cm ．设运动时间为t （0≤t ≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形P ABQ =S △ABC ﹣S △CPQ =12AC •BC ﹣12PC •CQ =12×6×8﹣12（6﹣t ）×2t =t 2﹣6t +24=（t ﹣3）2+15，∴当t =3时，四边形P ABQ 的面积取最小值，最小值为15．故选C ． 4．（2017新疆乌鲁木齐市）如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线3y x =上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）A ．52B ．62C ． 21022D ．82【答案】B ．【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A 点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形P ABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．5．（2017辽宁省营口市）如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断．学/科..网【解答】当0＜t≤2时，S=12t2，当2＜t≤4时，S=12t2﹣12（2t﹣4）2=﹣32t2+8t﹣8，观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．故选C．6．（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q 到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．【答案】16．【分析】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时P A+AB+BQ 最短．作QD⊥PF于D．首先证明四边形ABCP是平行四边形，P A+BQ=CB+BQ=QC，利用勾股定理即可解决问题．7．（2017辽宁省抚顺市）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设APOQ=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．【分析】（1）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；（2）存在．证明方法类似（1）；（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出APOQ=ABOB，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，ABOB的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；【解答】（1）连接：AB=PB．理由：如图1中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（3）连接BQ．8．（2017江苏省宿迁市）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC3，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．【答案】（1）CE=6﹣2；（2）562-；（3）23π．【分析】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得''AD DBDE EC=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为¼'CC的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【解答】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，∴∠B′AD=∠EDC′，∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=3，∴DB′=31-=2，∴△ADB′∽△DEC′，∴''AD DBDE EC=，∴32=，∴x=6﹣2，∴CE=6﹣2．9．（2017四川省广元市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点A （﹣3，0），B （﹣2，3），C （0，3），其顶点为D ． 学+科-网（1）求抛物线的解析式；（2）设点M （1，m ），当MB +MD 的值最小时，求m 的值；（3）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点N ，E 为直线AC 上任意一点，过点E 作EF ∥ND 交抛物线于点F ，以N ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+；（2）185；（3）278；（4）E （﹣2，1）或317-+，317+或317--，3172）． 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B 点关于直线x =1的对称点B ′，连接B 'D ，B 'D 与直线x =1的交点即是点M 的位置，继而求出m 的值．（3）根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE 的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（4）设出点E的，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标．【解答】（1）将A，B，C点的坐标代入解析式，得：9304233a b ca b cc-+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式m=﹣32时，△APC的面积的最大值是278；（4）由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2），点E在直线AC上，设E（x，x+3）：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），则点E的坐标为：（﹣2，1）．②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x=3172-+或x=3172-，即点E的坐标为：（3172-，3172+）或（3172--，3172-）．综上所述：满足条件的点E坐标为E（﹣2，1317-+317+317--317-）．10．（2017四川省德阳市）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 1：2y mx n =+（m ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴的负半轴交于点C ，其中A （-1，0），C （0，-1）．（1）求抛物线C 1及直线AC 的解析式；（2）沿直线AC 上A 至C 的方向平移抛物线C 1，得到新的抛物线C 2，C 2上的点D 为C 1上的点C 的对应点，若抛物线C 2恰好经过点B ，同时与x 轴交于另一点E ，连结OD 、DE ，试判断ΔODE 的形状，并说明理由；学+6/科+-网（3）在（2）的条件下，若P 为线段OE （不含端点）上一动点，作PF ⊥DE 于F ，PG ⊥OD 于G ，设PF ＝h 1，PG ＝h 2，试判断h 1•h 2的值是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时P 点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）21y x =-，y =﹣x ﹣1；（2）△ODE 是等腰三角形；（3）当x =52时，h 1h 2的值最大，是25此时点P （52，0）． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C 1及直线AC 的解析式；（2）△ODE 是等腰三角形，根据D 在直线AC 上，所以D （a ，﹣a ﹣1），由△AOC 是等腰直角三角形，可得△HCD 是等腰直角三角形，则CH =DH =a ，即点C 平移到D 处：向下平移a 个单位，再向右平移a 个单位，所以抛物线 C 2：y =（x ﹣a ）2﹣1﹣a ，因为抛物线C 2恰好经过点B ，把B （1，0）代入可得a 的值，分别求得：OD =OE =5；（3）如图2，用面积法，分别表示h 1、h 2的长，相乘求最大值即可．∵A 、B 对称，∴B （1，0）．如图1，设D （a ，﹣a ﹣1），过D 作DH ⊥y 轴于H ．∵OA =OC =1，∠AOC =90°，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴∠HCD =∠ACO =45°，∴△HCD 是等腰直角三角形，∴CH =DH =a ，由平移得：抛物线 C 2：y =（x ﹣a ）2﹣1﹣a ，把B （1，0）代入得：0=（1﹣a ）2﹣1﹣a ，a （a ﹣3）=0，a 1=0（舍），a 2=3，∴抛物线 C 2：y =（x ﹣3）2﹣4，∴D （3，﹣4），E （5，0），∴OE =5．由勾股定理得：OD =2234=5，∴OD =OE ，∴△ODE 是等腰三角形；。

2020中考数学 压轴专题 动态几何之“双动点”问题（含答案）1. 已知，如图，在△ABC 中，已知AB =AC =5 cm ，BC =6 cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线QD 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ，且QD ⊥BC ，与AC ，BC 分别交于点D ，Q ；当直线QD 停止运动时，点P 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （0＜t ＜3）s ．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ//AC ？（2）设四边形APQD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形APQD ：S △ABC =23：45？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第1题图解：（1）当t s 时,PQ//AC ，∵点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线QD 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ， ∴BP ＝t ，BQ ＝6−t ． ∵PQ//AC ， ∴△BPQ ∽△BAC ，第1题解图∴C B Q B B A BP =，即665t t -=，解得t ＝1130s ． ∴当t 为1130s 时，PQ//AC ；（2）过点A 、P 作AN ⊥BC ，PM ⊥BC 于点N 、M ， ∵AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ， ∴BN ＝CN ＝3cm ， ∴AN ＝222235-=-BN AB ＝4cm ．∵AN ⊥BC ，PM ⊥BC ， ∴△BPM ∽△BAN ， ∴AN PM AB BP =，即45PM t =，解得PM ＝t 54， ∴S △BPQ ＝21BQ ·PM ＝21（6−t ）·t 54＝t t 512522+-， ∵AB ＝AC ＝5cm ，AN=4cm ,CN=3cm ,DQ//AN , ∴△CDQ ∽△CAN ， ∴CN CQ AN DQ =，即34tDQ =，∴DQ=34t , ∴S △CDQ ＝21CQ ·DQ ＝32t 2． ∵S △ABC ＝21BC ·AN =21×6×4＝12， ∴y ＝S 四边形APQD ＝S △ABC −S △CDQ −S △BPQ ＝12−32t 2−（t t 512522+-）＝12−t t 5121542-（0＜t ＜3）； （3）存在．∵由（2）知，S 四边形APQD ＝S △ABC −S △CDQ −S △BPQ ＝12−21t 2−（t t 512522+-）＝12−t t 5121542-，S △ABC ＝12， ∴452312512154122=-t t -，解得t 1＝4114123-+，t 2＝4114123--（舍去）． ∴当t ＝4114123-+s 时，S 四边形APQD ：S △ABC ＝23：45．2. 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，点P 从点A 出发，沿折线AB −BC 向终点C 运动，在AB 上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC 上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒34个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．设点P 运动的时间为t 秒．（1）求线段AQ 的长；（用含t 的代数式表示）（2）连接PQ ，当PQ 与△ABC 的一边平行时，求t 的值；（3）如图②，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，以PE ，EQ 为邻边作矩形PEQF ，点D 为AC 的中点，连接DF ．设矩形PEQF 与△ABC 重叠部分图形的面积为S ．①当点Q 在线段CD 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式；②直接写出DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2时t 的值．第2题图解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，由勾股定理得：AC ＝2222610-=-BC AB ＝8，∵点Q 在CA 上，以每秒34个单位移动， ∴CQ ＝34t ， ∴AQ ＝AC -CQ =8−34t ．（2）∵P 点从AB -BC 总时间36510+=4s , ∵点P 在AB 或BC 上运动，点Q 在AC 上， ∴PQ 不可能与AC 平行， ①当点P 在AB 上，则PQ//BC ，此时AC AQ AB AP =，即834810t 5t-=，解得t =s 23; ②当点P 在BC 上,此时PQ//AB ，∴CA CQ BC CP =，即46-3t 2368t-=（），解得t ＝3s ， 综上所述，t ＝32s 或3s 时，PQ 与△ABC 的一边平行； （3）①∵点D 是AC 的中点， ∴CD=4，当点Q 运动到点D 时，t 34＝4，解得t ＝3， 点Q 与点E 重合时，t 316＝AC ＝8，得t ＝23，分三种情况讨论如下： （i ）点Q 与点E 重合时，316t ＝AC ＝8，得t ＝23，当0≤t ≤23，此时矩形PEQF 在△ABC 内，如解图①所示，∵AP ＝5t ，易得AE ＝4t ，PE ＝3t ，∴EQ ＝AQ －AE ＝8－34t －4t ＝8－316t ， ∴S ＝PE ×EQ ＝3t （8－316t ）＝－16t ２＋24t ；第２题解图（ii ）点P 与点B 重合时，5t ＝10，得t ＝2，当23≤t ≤2时，如解图②所示，设QF 交AB 与T ，则重叠部分是矩形PEQF 的面积减去△PFT 的面积． ∵AQ ＝8－34t ，∴QT ＝43AQ =43（8－34t ）=6-t ， ∴FT =PE -QT =3t -(6-t )=4t -6, EQ =AE -AQ =4t -(8-34t )=316t -8, ∴S =PE ·EQ -21EQ ·Ft =3t ·（316t -8)-21·（316t -8)（4t -6） =316t 2+8t -24； (iii )当2<t ≤3,点P 在BC 上，且点F 在△ABC 外，如解图③所示，此时点E 与点C 重合，PC ＝6－3（t －2）＝12－3t ，QC ＝34t ，QT ＝43(8-34t )＝6－t ，BP ＝3（t －2），PR ＝34·3（t －2）＝4t －8，FR ＝FP －PR ＝34t －（4t －8）＝8－38t ，FT ＝43FR ＝6－2t ． ∴S ＝PT ×QC －21FR ·FT ＝（12－3t ）·34t －21·（8－38t ）·（6－2t ） ＝－320t ２+32t －24；第２题解图②53，56. 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4．动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回．点P ，Q 运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达C 时停止运动，点Q 也同时停止．连接PQ ，设运动时间为t （0＜t ≤5）秒．（1）当点Q 从B 点向A 点运动时（未到达点A ）求S △APQ 与t 的函数关系式；写出t 的取值范围； （2）在（1）的条件下，四边形BQPC 的面积能否为△ABC 面积的1513若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由；（3）伴随点P 、Q 的运动，设线段PQ 的垂直平分线为l ，当l 经过点B 时，求t 的值．第3题图解：（1）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝222243+=+BC AB ＝5；如解图①，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，AP ＝t ，AQ ＝3−t ，第3题解图①则∠AHP ＝∠ABC ＝90°，∵∠PAH ＝∠CAB ，∴△AHP ∽△ABC ， ∴BCPHAC AP =， ∵AP ＝t ，AC ＝5，BC ＝4， ∴PH ＝54t ，∴S △APQ ＝21（3−t ）·54t ， 即S ＝−2t 52＋t 56，t 的取值范围是：0＜t ＜3． （2）在（1）的条件下，四边形BQPC 的面积能为△ABC 面积的1513．理由如下： 依题意得：−2t 52＋t 56=21152 ×3×4，即−2t 52＋t 56=54． 整理，得（t −1）（t −2）＝0， 解得t 1＝1，t 2＝2， 又0＜t ＜3，∴当t ＝1或t ＝2时，四边形BQPC 的面积能为△ABC 面积的1513； （3）①如解图②，当点Q 从B 向A 运动时l 经过点B ，第3题解图②BQ ＝BP ＝AP ＝t ，∠QBP ＝∠QAP ， ∵∠QBP ＋∠PBC ＝90°，∠QAP ＋∠PCB ＝90° ∴∠PBC ＝∠PCB ，∴CP ＝BP ＝AP ＝t ∴CP ＝AP ＝21AC ＝21×5＝2.5， ∴t ＝2.5；②如解图③，当点Q 从A 向B 运动时l 经过点B ，第3题解图③BP ＝BQ ＝3−（t −3）＝6−t ，AP ＝t ，PC ＝5−t ，过点P 作PG ⊥CB 于点G ， 则PG//AB ， ∴△PGC ∽△ABC ， ∴BCGCAB PG AC PC ==， ∴PG ＝AC PC ·AB ＝53（5−t ）， CG ＝AC PC ·BC ＝54（5−t ）， ∴BG ＝4−54(5−t ）＝54t ， 由勾股定理得BP 2＝BG 2＋PG 2， 即（6−t ）2＝（54t ）2＋[53（5−t ）]2， 解得t ＝1445． 综上所述，伴随点P 、Q 的运动，线段PQ 的垂直平分线为l ，经过点B 时，t 的值是2.5或1445． 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ，点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm /s ，当点P 运动到点E 停止运动，点Q 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？（2）当点Q 在BE 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t ，使PQ 分四边形BCDE 两部分的面积之比为S △PQE ：S 五边形PQBCD ＝1：29？若存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．解：（1）如解图①，在Rt △ABC 中，第4题解图AC ＝6，BC ＝8， ∴AB ＝2286+＝10．∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点．， AD ＝DC ＝3，AE ＝EB ＝5，DE//BC 且DE ＝21BC ＝4， ∵PQ ⊥AB ，∴∠PQB ＝∠C ＝90°， 又∵DE//BC ，∴∠AED ＝∠B ， ∴△PQE ∽△ACB ，∴BCQEAB PE =. 由题意得：PE ＝4−t ，QE ＝2t −5， 即852104-=-t t ，解得t ＝1441； （2）如解图②，过点P 作PM ⊥AB 于M ， 由△PME ∽△ACB ，得ABPEAC PM =， ∴10t -46=PM ，得PM ＝53（4−t ）．S △PQE ＝21EQ ·PM ＝21（5−2t ）·53（4−t ）＝53t 2−1039t ＋6， S 梯形DCBE ＝21×（4＋8）×3＝18， ∴y ＝S 梯形DCBE -S △PQE =18−（53t 2−1039t ＋6）＝−53t 2+1039t ＋12． （3）假设存在时刻t ，使S △PQE ：S 五边形PQBCD ＝1：29， 则此时S △PQE ＝301S 梯形DCBE ， ∴53t 2−1039t ＋6＝301×18，即2t 2−13t ＋18＝0， 解得t 1＝2，t 2＝29（舍去）． 当t ＝2时， PM ＝53×（4−2）=56，ME ＝54×（4−2）＝58， EQ ＝5−2×2＝1，MQ ＝ME ＋EQ ＝58＋1＝513， ∴PQ ＝22MQ PM +＝52055135622=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．∵21PQ ·h ＝S △PQE =53， ∴h ＝56·)2056(20520562055或=. 5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒． （1）求线段CD 的长；（2）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得S△CPQ ：S △ABC =9：100？若存在，求出t 的值；若不存在，则说明理由；（3）是否存在某一时刻t ，使得△CPQ 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t 的值；若不存在，则说明理由．解：（1）如解图①，∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝10．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC ＝21BC •AC ＝21AB •CD ． ∴CD ＝1086⨯=⨯AB AC BC ＝4.8， ∴线段CD 的长为4.8； （2）①过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如解图②所示．由题可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝4.8−t ．∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∴∠HCP ＝90°−∠DCB ＝∠B ．∵PH ⊥AC ，∴∠CHP ＝90°,∴∠CHP ＝∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ，∴AB PC AC PH =,∴10t 8.48-=PH ， ∴PH ＝t 54-2596，∴S △CPQ ＝21CQ ·PH ＝21t （t 54-2596）＝−52t 2+2548t ； ②存在某一时刻t ，使得S △CPQ ：S △ABC ＝9：100．∵S △ABC ＝21×6×8＝24，且S △CPQ ：S △ABC ＝9：100， ∴（−52t 2+2548t ）：24＝9：100． 整理得：5t 2−24t ＋27＝0．即（5t −9）（t −3）＝0．解得：t ＝59或t ＝3． ∵0≤t ≤4.8，∴当t ＝59秒或t ＝3秒时，S △CPQ ：S △ABC ＝9：100； （3）①若CQ ＝CP ，如解图①，则t ＝4.8−t ；解得：t ＝2.4；②若PQ ＝PC ，如解图②所示，∵PQ ＝PC ，PH ⊥QC ，∴QH ＝CH ＝21QC ＝21t ． ∵△CHP ∽△BCA ．∴ABCP BC CH =, ∴108.4621t t -=，解得：t ＝55144； ③若QC ＝QP ，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，如解图③所示．同理可得：t ＝1124． 综上所述：当t 为2.4秒或55144秒或1124秒时，△CPQ 为等腰三角形．第5题解图6. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BD ⊥AC 于点D ，且BD =8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2 cm /s ；同时直线PQ 由点B 出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动过程中始终保持PQ//AC ，直线PQ 交AB 于点P 、交BC 于点Q 、交BD 于点F ．连接PM ，设运动时间为t （0＜t ＜5）．（1）当t 为何值时，PM//BC ？（2）设四边形PQCM 的面积为y cm 2，求y 与t 之间的函数关系式； （3）已知某一时刻t ，有S 四边形PQCM =43S △ABC 成立，请你求出此时t 的值.第6题图解：（1）∵当PM//BC 时，△APM ∽△ABC ， ∴AP ＝AM ，∴10−t ＝2t ，∴t ＝310； （2）∵四边形PQCM 为梯形，y ＝21（PQ ＋MC ）DF ， ∵PQ ＝PB ＝t ，MC ＝10−2t ，BF ：BD ＝BP ：AB ,∴BF ＝54108 t t ， ∴DF ＝8−t 54, ∴y ＝21(t ＋10−2t )·(8−t 54）=252t −8t ＋40； （3）由（2）知，252t −8t ＋40=40×43， 解得t ＝10±53，又∵0<t<5,∴当t ＝10-53s 时，使S 四边形PQCM ＝43S △ABC 成立.7. 如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，AD ＝6 cm ，CD ＝4 cm ，BC ＝BD ＝10 cm ，点P 由B 出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE//AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ ＝252S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由； （4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．第7题图解：（1）当PE//AB 时，∴DBDP DA DE =． 而DE ＝t ，DP ＝10−t ，∴10106t t -=， ∴t ＝415， ∴当t ＝415s 时，PE//AB ； （2）∵AD//BC ,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，∴EF//CD ，∴四边形CDEF 是平行四边形,∴∠DEQ ＝∠C ，∠DQE ＝∠BDC ．∵BC ＝BD ＝10，∴△DEQ ∽△BCD ,∴CD EQ BC DE =,410EQ t =, ∴EQ ＝52t , 如解图，过B 作BM ⊥CD 交CD 于M ，过P 作PN ⊥EF 交EF 于N ，∵BC ＝BD ，BM ⊥CD ，CD ＝4cm ，∴CM ＝21CD ＝2cm ， ∴BM ＝6496410021022==-=-cm ，∵EF//CD ，∴∠BQF ＝∠BDC ，∠BFG ＝∠BCD ，又∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ，∴∠BQF ＝∠BFG ，∵ED//BC ，∴∠DEQ ＝∠QFB ，又∵∠EQD ＝∠BQF ，∴∠DEQ ＝∠DQE ，∴DE ＝DQ ，∴ED ＝DQ ＝BP ＝t ，∴PQ ＝10−2t ．又∵△PNQ ∽△BMD ， ∴BM PN BD PQ =，∴6410210PN t =-，∴PN ＝)5t -，∴S △PEQ ＝21EQ ·PN ＝⨯⨯t 5221)5t -=2255-+；第7题解图（3）存在.此时t 的值为1s 或4s .S △BCD ＝21CD ·BM ＝21×4×46＝86， 若S △PEQ =252S △BCD ， 则有2646255-+=252×86, 解得t 1＝1，t 2＝4，∴当t=1或4时，S △PEQ =252S △BCD ； （4）五边形PFCDE 的面积不发生变化.理由如下：在△PDE 和△FBP 中， ∵DE ＝BP ＝t ，PD ＝BF ＝10−t ，∠PDE ＝∠FBP ，∴△PDE ≌△FBP （SAS ）．∴S 五边形PFCDE ＝S △PDE ＋S 四边形PFCD ＝S △FBP ＋S 四边形PFCD ＝S △BCD ＝86,∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．8. 如图．在△ABC 中．AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，AD 是BC 边上的高．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动．速度为1 cm /s ．同时，直线EF 由BC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1 cm /s ，EF//BC ，并且EF 分别交AB 、AD 、AC 于点E ，Q ，F ，连接PQ ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形BDFE 是平行四边形？（2）设四边形QDCP 的面积为y （cm 2），求出y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形QDCP ：S △ABC ＝9：20？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使点Q 在线段AP 的垂直平分线上？若存在，求出此时点F 到直线PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．第8题图解：（1）如解图①中，连接DF ， 第8题解图①∵AB ＝AC ＝5，BC =6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3，在Rt △ABD 中，AD ＝223-5＝4，∵EF//BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴ADAQ BC EF =， ∴446t EF -=， ∴EF ＝23（4−t ）， ∵EF//BD ，∴EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形，∴23（4−t ）＝3， ∴t ＝2，∴t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；（2）如解图②中，作PN ⊥AD 于N ，第8题解图②∵PN //DC ，∴ACAP DC PN =， ∴553t PN -=， ∴PN ＝53（5-t ）， ∴y ＝21DC ·AD −21AQ ·PN ＝6−21（4−t ） ·53（5−t ）＝6−（t t 10271032-＋6）=t t 10271032+-（0＜t ＜4）； （3）存在.理由：由题意（t t 10271032+-）：12＝9：20， 解得t ＝3或6（舍去）；∴当t ＝3s 时，S 四边形QDCP ：S △ABC ＝9：20；（4）存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H ．第8题解图③∵QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝21AP ＝21（5−t ），由题意cos ∠CAD ＝AQAN C A AD =， ∴()544521=--t t ， ∴t ＝37， ∴t ＝37s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上． ∵sin ∠FPH ＝53=PF FH ， ∵PA ＝5−37＝38，AF ＝AQ ÷122554=， ∴PF ＝127， ∴FH ＝207． ∴点F 到直线PQ 的距离h ＝207．9. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC ＝2，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，同时动点Q 从点C 出发，以相同的速度沿射线BC 运动，当点P 出发后，过点Q 作QE ⊥BD ，交直线BD 于点E ，连接AP 、AE 、PE 、QE ，设运动时间为t （秒）．（1）请直接写出动点P 运动过程中，四边形APQD 是什么四边形？（2）请判断AE ，PE 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）设△EPB 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式；（4）直接写出△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍时t 的值．第9题图解：（1）四边形APQD 是平行四边形；【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，P 、Q 速度相同， ∴∠ABE ＝∠EBQ ＝45°，AD ∥BQ ，AD ＝BC ＝2，BP ＝CQ ， ∴BC ＝AD ＝PQ ，∴四边形APQD 是平行四边形.（2）AE ＝PE ，AE ⊥PE ；理由如下：∵EQ ⊥BD ，∴∠PQE ＝90°−45°＝45°，∴∠ABE ＝∠EBQ ＝∠PQE ＝45°，∴BE ＝QE ，在△AEB 和△EPQ 中，AB PQ ABE PQE BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△EPQ （SAS ），∴AE ＝PE ，∠AEB ＝∠PEQ ，∴∠AEP ＝∠BEQ ＝90°，∴AE ⊥PE ；（3）过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如解图①所示：BQ ＝t ＋2，EF ＝22+t ， ∴y ＝21×22+t ×t ，即y ＝t t 41212+；第9题解图①（4）△EPQ 面积是△EDQ 面积的2倍时t 的值为1或3.【解法提示】分两种情况：① 当P 在BC 延长线上时，作PM ⊥QE 于M ，如解图②所示：知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

2019-2020学年初三数学解析中考动态几何问题动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。

在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。

解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。

通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。

下面就动点型、动线型、动面型等几何题作一简要分析。

一. 动点型 1. 单动点型例1. 如图1，在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E ，F 分别是垂足，求PE+PF 的长。

分析与略解：P 是AD 边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。

当P 点在D （或A ）处时，过D 作DG ⊥AC ，垂足为G ，则PE=0，PF=DG ， 故PE+PF=DG ， 在Rt △ADC 中，13512DC AD AC 2222=+=+=由面积公式有：1360AC DC AD DG =⋅=，再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG=1360。

图12. 双动点型例2. （2003年吉林省）如图2，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止。

若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度为每秒dcm 。

图3是点P 出发x 秒后△APD 的面积)cm (S 21与x （秒）的函数关系图象，图4是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积)cm (S 22与x （秒）的函数关系图象。

（中考数学专题3） 动态几何问题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．D NCM B A（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）A DC B P M Q 60图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。