2022-2023学年河南省开封市五县高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．2i-D ．2【答案】A【分析】根据复数除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．【详解】由()1i 3i z +=-，则3i12i 1iz -==-+，所以z 的虚部为2-．故选：A ．2．下列说法正确的是（）A ．三点可以确定一个平面B ．一条直线和一个点可以确定一个平面C ．四边形是平面图形D ．两条相交直线可以确定一个平面【答案】D【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可.【详解】对于A ，不共线的三点确定一个平面，故选项A 错误；对于B ，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B 错误；对于C ，空间四边形不是平面图形，故选项C 错误；对于D ，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D 正确.故选：D.3．已知向量()1,a x = ，(),4b x = ，且//a b r r，则x =（）A ．2-或2B ．2-C ．2D ．0【答案】A【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()1,a x = ，(),4b x = ，且//a b r r，所以240x -=，解得2x =或2x =-.故选：A.4．如图，点G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形是（）A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③【答案】B【分析】根据平行直线、异面直线、相交直线的判定方法，即得解.【详解】①中HG ∥MN ，②中易知,GH MN 既不平行也不相交，因此,GH MN 是异面直线；③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，故HG ，NM 必相交，④中，,,G M N 三点共面，但H ∉平面GHN ，因此,GH MN 是异面直线；②④正确．故选：B ．5．已知复数z 满足i i z z +=，则z =（）A ．12B ．1C ．22D ．2【答案】C【分析】求出复数和其对应的共轭复数，即可求出z 的值.【详解】由题意，在i i z z +=中，()1i i z +=，即()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -===+++-，∴11i 22z =-，22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.6．某车间生产一种圆锥型高脚杯，杯口直径为2R ，高为R ，将该高脚杯装满水（水面与杯口齐平），现将一直径为2r 的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入（整个铁球在水面以下）水中并静止后，从杯口溢出水的体积为高脚杯容积的18，则r R=（）A ．13B ．3132C ．12D ．32【答案】B【分析】求出圆锥型高脚杯的体积、小铁球的体积，由从杯口溢出水的体积为高脚杯容积的18可得答案.【详解】由题可得圆锥型高脚杯的体积321ππ33R V R R =⋅=，小铁球的体积为34π3r ，由题可得331π4π833R r ⨯=，即3132r R =.故选：B.7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c a b =+，π6C =，ABC 的面积为32，那么c =（）A ．31-B ．3C ．31+D ．231+【答案】C【分析】根据2c a b =+，再根据1π3sin 262S ab ==可得6ab =，然后利用余弦定理222π2cos6c a b ab =+-，可得2241263c c =--，即可解出c ．【详解】因为2c a b =+,因为ABC 的面积为32，π6C =，所以1π3sin 262ab =，即有6ab =.又222π2cos6c a b ab =+-，所以2241263c c =--，即2423c =+，所以31c =+.故选：C.8．如图，已知正四棱椎S ABCD -的侧棱长为23，侧面等腰三角形的顶角为30︒，则从A 点出发环绕侧面一周后回到A 点的最短路程为（）A ．26B ．23C ．6D ．6【答案】D【分析】把正四棱锥的侧面沿着SA 剪开，得到它的侧面展开图，得到一个由四个全等的顶角为30︒的等腰三角形组成的图象，所求的路径即为1AA ，求解即可.【详解】把正四棱锥的侧面沿着SA 剪开，得到它的侧面展开图(如图).要使路程最短，必须沿着线段1AA 前行.在1SAA 中，1304120ASA ∠=︒⨯=︒，123SA SA ==，则130SAA ∠=︒.作1SH AA ⊥于H ，则132SH SA ==，3AH =，126AA AH ∴==.故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．圆柱的侧面展开图是矩形B ．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180 所形成的曲面C ．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台D ．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面【答案】ABD【分析】对于A ，由圆柱的侧面展开图判断；对于B ，由圆绕着它的直径所在的直线旋转判断；对于C ，由直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转判断；对于D ，由圆柱、圆锥、圆台的特征判断.【详解】对于A ，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A 正确；对于B ，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180 所形成的曲面，所以B 正确；对于C ，当直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，所以C 错误；对于D ，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D 正确．故选：ABD ．10．下列关于复数的说法正确的是（）A ．复数()i ,R z a b a b =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数()i ,R z a b a b =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若12,z z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若12,z z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称【答案】AC【分析】AB 选项，根据复数的概念和分类作出判断；CD 选项，利用共轭复数的概念，乘法法则和几何意义判断出CD.【详解】对于A ：当复数()i ,R z a b a b =+∈是实数时，0b =，若0b =，则z a =为实数，故()i ,R z a b a b =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数()i ,R z a b a b =+∈是纯虚数，则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若12,z z 互为共轭复数，设()1i ,R z a b a b =+∈，则()2i ,R z a b a b =-∈，所以()()2222212i i i z z a b a b a b a b =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若12,z z 互为共轭复数，设()1i ,R z a b a b =+∈，则()2i ,R z a b a b =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误.故选：AC.11．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1:2，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（）A ．侧面积之比为1:4B ．侧面积之比为1:8C ．体积之比为1:27D ．体积之比为1:26【答案】BD【分析】计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果.【详解】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1:3，高之比为1:3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1:9，体积之比为1:27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1:8，体积之比为1:26.故选：BD.12．在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列条件能判断 ABC 是钝角三角形的有（）A ．cos cos a A b B=B ．2AB BC a⋅=C ．sin sin sin a b Cc b A B-=++D ．cos cos b C c B b+=【答案】BC【分析】对于A ，由cos cos a A b B =，利用正弦定理和二倍角正弦公式判断；对于B ，由cos 2AB BC ac B a ⋅=-=判断；对于C ，利用正弦定理和余弦定理判断；对于D ，由cos cos b C c B b +=，利用正弦定理和两角和的正弦公式判断.【详解】对于A ，由cos cos a A b B =及正弦定理，可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=，所以 ABC 是等腰三角形或直角三角形，故A 不能判断；对于B ，由cos 2AB BC ac B a ⋅=-=，得cos 0B <，则B 为钝角，故B 能判断；对于C ，由正弦定理a b c c b a b -=++，得222b c a bc +-=-，则1cos 2A =-，23A π=，故C 能判断；对于D ，由cos cos b C c B b +=及正弦定理化边为角．可知sin cos sin cos sin B C C B B +=，即sin sin A B =，因为A ，B 为 ABC 的内角，所以A ＝B ，所以 ABC 是等腰三角形，故D 不能判断．故选：BC ．三、填空题13．复数92i2i+=+.【答案】4i -/4i -+【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.【详解】()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-故答案为：4i -.14．如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形较长的对角线的长度为．【答案】23【分析】先利用斜二测画法规则画出该直观图对应的原图，进而求得原图形中较长的对角线的长度.【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C B x '''∥轴，所以在原图形中对应的线段CB 平行于x 轴且长度不变，点C '和B '在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O B ''的2倍，则22221122OB O B ''==+=，1BC B C ''==，所以()1,0A ，()1,22C -，()()221122023AC =--+-=，故原图形较长的对角线长为23．故答案为：2315．曲柄连杆结构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 顺时针旋转角()0αα>时，P 和Q 之间的距离是x cm ，若3OA =cm ，10OQ =cm ，5x =，请写出一个满足题意的角α的值.【答案】2π3（答案不唯一）【分析】在AOP 中，利用余弦定理求解即可.【详解】由题意，1037AP BQ OQ OB ==-=-=cm ，5OP OQ x =-=cm ，在AOP 中，由余弦定理得222925491cos 22352OA OP AP AOP OA OP +-+-∠===-⨯⨯⨯，即1cos 2α=-，0α> ，α\的一个值为2π3（答案不唯一）.故答案为：2π3.（答案不唯一）16．已知1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e的夹角为θ，若()121R 2e te t +≥∈ ，则θ的取值范围为.【答案】π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】对()121R 2e te t +≥∈ 两边同时平方，结合题意可得()23Δ2cos 4104θ=-⨯⨯≤，由此可得θ的取值范围.【详解】对()121R 2e te t +≥∈ 两边同时平方可得：22222121122122cos 14e te e te e t e t t θ+=+⋅+=++≥ ，即232cos 04t t θ++≥，所以()23Δ2cos 4104θ=-⨯⨯≤，解得：33cos 22θ-≤≤，又[]0,πθ∈，π5π,66θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故θ的取值范围为：π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、解答题17．已知，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD =P ，A 1C 1∩EF =Q .求证：（1）D ，B ，E ，F 四点共面.（2）若A 1C 交平面BDEF 于点R ，则P ，Q ，R 三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）求证EF ∥BD ，再由两条平行线可以确定平面即可求证；（2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可.【详解】（1）连接B 1D 1，如下图所示：因为E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，所以EF ∥B 1D 1，又因为B 1D 1∥BD ，所以EF ∥BD ，所以EF 与BD 共面，所以E ，F ，B ，D 四点共面.即证.（2）因为AC ∩BD =P ，所以P ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF .同理，Q ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF ，因为A 1C ∩平面DBFE =R ，所以R ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF ，所以P ，Q ，R 三点共线，即证.【点睛】本题考查空间中四点共面，三点共线的问题，只需熟练掌握和应用公理即可.18．已知复数2+i z m =（m ∈R ，i 为虚数单位），且()1i z -为纯虚数.(1)求复数z ；(2)设复数()1i ,=+∈z x y x y R ，若11z z -=，求x 、y 所满足的方程.【答案】(1)22z i =-(2)()()22221x y -+-=【分析】（1）利用复数的乘法化简复数()1i z -，利用复数的概念求出m 的值，即可得出复数z ；（2）利用复数的减法与复数的模长公式可得出x 、y 所满足的方程.【详解】（1）解：由()2i z m m =+∈R 得()()()()()1i 1i 2i 22i z m m m -=-+=++-.()1i z - 为纯虚数，20m ∴+=且20m -≠，2m ∴=-，22i z ∴=-.（2）解：()1i ,z x y x y =+∈R ，22i z =+，11z z -=，()()i 22i 1x y ∴+-+=，即()()22i 1x y -+-=，()()22221x y ∴-+-=.故x 、y 所满足的方程为()()22221x y -+-=.19．一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱.（1）求圆锥的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.【答案】（1）()2410cm π（2）3x =时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为26cm π【分析】（1）先计算母线长为210(cm)，再计算侧面积得到答案.（2）设圆柱的底面半径为r cm ，计算得到222(3)93S x π⎡⎤=---⎣⎦，根据二次函数知识得到最值.【详解】（1）圆锥的母线长为2262210(cm)+=，∴圆锥的侧面积()212210410cm S ππ=⨯⨯=.（2）该几何体的轴截面如图所示.设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知626r x -=，63x r -∴=.∴圆柱的侧面积()2222226(3)933S rx x x x πππ⎡⎤==-+=---⎣⎦，∴当3x =时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为26cm π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，圆柱体积的最大值，意在考查学生的计算能力.20．已知向量a ，b不共线，AP a tb =- ，2BP a b =-+ ，32BQ a b =- .(1)若2t =-，AP xBP yBQ =+，求x ，y 的值；(2)若A ，P ，Q 三点共线，求实数t 的值.【答案】(1)2x =，1y =(2)1【分析】（1）由平面向量基本定理建立方程组即可得出答案.（2）三点共线转化为向量共线，再用平面向量共线定理求解即可.【详解】（1）当2t =-时，2AP a b =+ ，2BP a b =-+ ，32BQ a b =- ，()()232322xBP yBQ xa xb ya yb y x a x y b+=-++-=-+- 所以31222y x x y -=⎧⎨-=⎩，解得2x =，1y =.（2）23244PQ PB BQ a b a b a b =+=-+-=- ，AP a tb =- ，由于A ，P ，Q 三点共线，所以存在()0λλ≠，使PQ AP λ=，则44a b a tb λλ-=- ，整理，得()()440a t b λλ-+-= .因为a ，b 不共线，所以4040t λλ-=⎧⎨-=⎩，解得41t λ=⎧⎨=⎩故实数t 的值为1.21．2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲､乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130m /min ，索道AB 长为1040m ，经测量，123cos ,cos 135A C ==.(1)求山路AC 的长；(2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】(1)1260m(2)当()35min 37t =时，甲､乙两游客距离最短【分析】（1）利用123cos ,cos 135A C ==，可得sin ,sin CB ，后由正弦定理可得答案；（2）假设乙出发t 分钟后，甲在D 点，乙在E 点.由图，题意，余弦定理可得()22200377050DE t t =-+，即可得答案.【详解】（1）在ABC 中，因为123cos ,cos 135A C ==，所以54sin ,sin 135A C ==.从而()()5312463sin sin πsin sin cos cos sin 13513565B AC A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+=⨯+⨯=⎣⎦.由正弦定理sin sin AB AC C B =，得()104063sin 1260m 4sin 655AB AC B C =⨯=⨯=.所以山路AC 的长为1260m ；（2）假设乙出发t 分钟后，甲在D 点，乙在E 点.此时，()10050m AD t =+，130m AE t =，所以由余弦定理得()()222212(10050)(130)21301005020037705013DE t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+23512500074003737t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当()35min 37t =时，甲､乙两游客距离最短.22．已知四边形ABCD 是由ABC 与ACD 拼接而成，如图所示，π3BAD B ∠=∠=，5π6ADC ∠=.(1)求证：3AC BC <；(2)若1AD =，2BC =，求CD 的长.【答案】(1)证明见解析(2)3.【分析】（1）求出BAC ∠的范围，利用正弦定理即可证明结论；（2）写出AC 与CAB ∠的关系，进而求出CAB ∠的正弦值和余弦值，求出AC 的长，利用余弦定理即可求出CD 的长.【详解】（1）由题意证明如下，在ACD 中，5π6ADC ∠=，∴π6DAC ∠<.∵π3BAD CAD BAC ∠=∠+∠=，∴π6BAC ∠>.在ABC 中，由正弦定理得，sin sin AC BC B BAC =∠，即sin 32AC BC BAC =∠，3sin 2AC BAC BC ⋅∠=，∴3122BC AC >，∴3AC BC <.（2）由题意及（1）得设AC x =，CAB α∠=，π3B =Q ，π3BAD ∠=，5π6ADC ∠=，1AD =，2BC =，则在ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B =∠，即2πsin sin 3x α=，可得3sin x α=，①在ABC 中，由正弦定理得，()sin sin πAC AD D D DAC =-∠-∠，可得15πππsin sin 663x α=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得1π2sin 6x α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，②∴联立①②，可得πsin 23sin 6αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得3tan 2α=，可得2127cos 1tan 7αα==+，21sin 7α=.∴在ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC AC B α=，可得π2sin 37217AC ⨯==.在ACD 中，由余弦定理得，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，可得2371212CD CD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，可得2360CD CD +-=，解得3CD =或23-（舍），∴CD 的长为3.。
