1.1.3 导数的几何意义优秀教案

1.1.3 导数的几何意义学习目标1.在了解导数概念的实际背景下，理解导数的几何意义(重点、难点)．2.会求切线的斜率及切线方程(重点)．知识提炼1．导数的几何意义(1)切线的定义．如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义．函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝lim f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．温馨提示若函数在某点不存在导数，不能认为函数的图象在该点没有切线，切线可能垂直于x轴．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝f（x＋Δx）－f（x）Δx．思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)若函数y＝f(x)的图象在点M处有切线，则f(x)在该点一定可导．()(3)若f′(x0)＞0，则切线的倾斜角为锐角；若f′(x0)＜0，则切线的倾斜角为钝角；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行或重合．()(4)若直线l是函数y＝f(x)图象的一条切线，则直线l与函数y＝f(x)图象有且只有一个公共点．()2．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．23．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( )A ．4B ．－4C ．－2D ．24．已知函数f (x )在x 0处的导数为f ′(x 0)＝1，则函数f (x )在x 0处切线的倾斜角为________．5．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于__________． 核心突破类型1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析)典例1 已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (1，2)，求：(1)点A 处的切线的斜率；(2)点A 处的切线方程．归纳升华1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)写出切线方程，即y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．特别注意：若在点(x 0，y 0 )处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直线的切线方程为x ＝x 0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．变式训练 (1)曲线y ＝－2x 2＋x 在点(1，－1)处的切线方程为________．(2)抛物线y ＝ax 2在点Q (2，1)处的切线方程为x －y －1＝0，则a 的值为________． 类型2 求切点坐标典例2 在曲线y ＝x 2上哪一点处的切线满足下列条件：(1)平行于直线y ＝4x ＋8；(2)垂直于直线2x－6y＋1＝0；(3)倾斜角为135°.归纳升华根据切线斜率求切点坐标的步骤：(1)设切点坐标为(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．变式训练直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．类型3求过某定点的曲线的切线方程典例3求曲线y＝x2－1过点(0，－2)的切线方程．归纳升华求所给点(x0，y0)不是切点的切线方程的步骤：第一步：设出切点坐标；第二步：利用斜率相等列出方程；第三步：与曲线方程联立求出参数；第四步：写出切线方程．变式训练求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．课堂小结1．运用变化的观点理解函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)．特别地，若切线平行于y轴，导数不存在，这时曲线在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＝x0. 2．导函数概念的引入，使我们对函数在某一点处的导数有了更深一层的理解．因为函数f(x)的导函数f′(x)和f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是函数与函数值的关系，所以求f′(x0)，可以先求f′(x)，再令x＝x0，求函数值f′(x0)即可．参考答案思考尝试1．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×【解析】(1)错，导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f(x)＝x 12，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f′(x)＝2√x，其定义域为(0，＋∞)．(2)错．(3)对，由导数的几何意义以及倾斜角的正切值的符号与角度的关系知，说法正确．(4)错，曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点．2．【答案】C【解析】f ′(2)＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝2（2＋Δx ）2－8Δx＝(8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 3．【答案】D【解析】由导数的几何意义知f ′(1)＝2.4．【答案】π4【解析】设切线的倾斜角为α，则tan α＝f ′(x 0)＝1，又α∈[0，π)，所以α＝π4. 5．【答案】1【解析】因为y ′|x ＝1＝a （1＋Δx ）2－a ·12Δx ＝2a Δx ＋a （Δx ）2Δx ＝ (2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2，所以a ＝1.核心突破类型1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析)典例1 解：(1)k ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2×12Δx ＝4Δx ＋2（Δx ）2Δx ＝ (4＋2Δx )＝4，所以点A 处的切线的斜率为4.(2)点A 处的切线方程是y －2＝4(x －1)，即y ＝4x －2.变式训练 【答案】(1)3x ＋y －2＝0 (2)14【解析】(1)因为k ＝ Δy Δx＝－2（1＋Δx ）2＋（1＋Δx ）＋1Δx＝－3，所以切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，即3x ＋y －2＝0.(2)k ＝a （Δx ＋2）2－a ·22Δx＝4a ＝1， 所以a ＝14. 类型2 求切点坐标典例2 解：设y ＝f (x )，f ′(x )＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x . 设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x ＋8平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，故y 0＝4，所以所求点P 坐标为(2，4)．(2)因为切线与直线2x －6y ＋1＝0垂直，所以2x 0＝－3，得x 0＝－32，故y 0＝94， 所以所求点P 坐标为⎝⎛⎭⎫－32，94. (3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，故y 0＝14， 所以所求点P 坐标为⎝⎛⎭⎫－12，14. 变式训练 【答案】2327 ⎝⎛⎭⎫－13，2327 【解析】设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx=3x 2－2x ，y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－13. 当x 0＝1时，y 0＝x 30－x 20＋1＝1，又(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1代入得a ＝0，与已知条件矛盾，舍去．当x 0＝－13时，y 0＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327， 将⎝⎛⎭⎫－13，2327代入直线y ＝x ＋a 中，得a ＝2327. 类型3 求过某定点的曲线的切线方程典例3 解：因为点(0，－2)不在曲线上，所以可设切点为(x 0，y 0)， 因为y ′|x ＝x 0＝ （x 0＋Δx ）2－1－x 20＋1Δx ＝(2x 0＋Δx )＝2x 0，所以k ＝2x 0＝y 0－（－2）x 0， 且y 0＝x 20－1，所以2x 0＝x 20＋1x 0，解得x 0＝±1， 所以斜率k ＝±2，所以所求切线方程为y ＝±2x －2.变式训练 解：设切点为Q (a ，a 2＋1)，f （a ＋Δx ）－f （a ）Δx ＝（a ＋Δx ）2＋1－（a 2＋1）Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，（a 2＋1）－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2， 所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22)．。

导数的几何意义篇一：导数几何意义1.1.3导数的几何意义教材分析本节内容选自数学人教A版选修2-2第1章“导数及其应用”第1.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用，形成完整的概念，有利于学生对知识的理解和掌握. 通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具. 课时分配本节内容用1课时完成，主要讲解导数的几何意义，让学生知道函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率，为求函数在某点处的切线方程提供条件. 教学目标重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法. 难点：对导数几何意义的理解，在某点处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．知识点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.能力点：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.教育点：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答.自主探究点：“以直代曲”的数学思想方法. 考试点：求曲线的切线方程.易错易混点：在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法. 拓展点：求曲线的切线方程. 教具准备：多媒体课件.课堂模式：基于问题驱动的探究式教学模式. 一.创设情境师：初中平面几何中圆的切线是怎么定义的？生：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．师：曲线在点处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？生：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点，有时还可能有多个公共点．师：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线然与曲线公共点有惟一公共点，但它与曲线和，但与曲线相切于点不相切；而另一条直线，直线虽，虽然与曲线有两个．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线，我们必须用新的方法来定义曲线的切线．【设计意图】引导学生归纳总结曲线在点处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时，也不一定是曲线的切线.概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定.由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入对重点内容的探索. 二．探究新知师：如图，当点的变化趋势是什么？没着曲线趋近点时，割线（2）图（1）图（4）图图（3）图生：点师：趋近于点时，割线趋近于确定的位置.为曲线的切线【设计意图】尤其第五幅图通过课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，使学生体会这种定义适用于各种曲线，反映了切线的直观本质. 三.理解新知师：割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？割线当点的斜率是：（板书）无限趋近于点在时，无限趋近于切线．的斜率．再次通过教师逐步的引导得出函数处导数就是切线的斜率.（教师重复定义，并板书）．即.教师引导学生观察：在点，??．过点可以用过点的附近，最贴近比更接近曲线，比更接近曲线的附近，曲线的切线的切线附近的曲线．因此，在点近似代替．【设计意图】要求学生能数形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义. “以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．四．运用新知例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数图形体现导数，的几何意义.的图象.用生：运动员在大约动员在时的瞬时速度为，这说明运动员在时的瞬时速度为的速率上升.附近，正以，这说明运的速率下落；运动员在附近，正以大约在在师：根据图像描述、比较曲线请运用导数的几何意义，描述附近呢？附近增（减）以及增（减）快慢的情况. 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在生：作出曲线在这些点处的切线，⑴在处切线平行于轴，即，说明在时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在，函数在点附近单调递减.曲线在是因为⑵当数⑶当函数在时，曲线.在处的切线的斜率作出切线，切线呈下降趋势，即附近比在附近下降得更快，则．∴ 在附近曲线上升，即函附近单调递增．时，曲线在处的切线的斜率．∴ 在附近曲线下降，即在附近也单调递减．师：如何用导数研究函数的增减？（先由学生交流讨论，学生回答后，教师再归纳结论）结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明在这点附近变化率为0，函数几乎没有增减.篇二：导数的几何意义与计算（四）导数的计算与几何意义【知识精讲】一、导数的概念函数y?f(x)在x0点的瞬时变化率，叫函数y?f(x)在x0点的导数，记作f/(x0) 即f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)?x二、导数的几何意义/函数f(x)在x?x0处的导数f?x0?的几何意义就是函数f(x)的图像在x?x0处的切线的斜率，即k?f’(x0)；如果y?f(x)在点x0可导，则曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为y?f(x0)?f/(x0)(x?x0)三、常见函数的导数公式和求导法则：1、常见函数的导数公式：公式1：(C)/?0（其中C为常数）公式2：(xn)/?nxn?1(n?N*)公式3：(sinx)’?cosx 公式4：(cosx)’??sinx公式5：(logax)’?11logae特别地，(lnx)’? xx公式6：(ax)’?axlna特别地，(ex)’?ex2、导数的四则运算法则：uu’v?uv’(u?v)’?u’?v’(uv)’?u’v?uv ‘ ()’? 2vv3、复合函数y?f(g(x))的导函数和函数y?f(u)，u?g(x)的导函数的关系为yx’?yu’?ux’.（只限于g(x)?ax?b）【题型归纳】例1、求下列函数的导数2x2（1）f(x)?xlnx （2）f(x)?(x?1)e?x（3）f(x)?x?3 e2x（4）f(x)?1x(1?2x)(x?5)2?6lnx（5）f(x)?ln(1?x)? 21?x例2、求曲线f(x)?2xlnx在点（1，0)处的切线方程.bex?1例3、（2014全国卷一）设函数f(x)?aelnx?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为xxy?e(x?1)?2求a,b【练习巩固】1、设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为（） A．4B．?2、曲线y?11C．2 D．? 42x在点?1,1?处的切线方程为（） 2x?1A. x?y?2?0B. x?y?2?0C.x?4y?5?0D. x?4y?5?03.曲线y?e1x2在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A．2922e Ｂ．4e2Ｃ．2e2 Ｄ．e 24．曲线f(x)?13x?x2?ax?a上不存在斜率为0的切线，则a的取值范围是___________ 3x5.已知函数y?ex，过原点作曲线y＝e的切线，则切线的方程___________6.f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是_____________.7.点P是曲线y?x?3x?x32上的任意一点,P点处切线倾斜角?的取值范围 ___________ 38.曲线y?xe?2x?1在点（0,1）处的切线方程为。

学习目标：理解导数的概念并会运用概念求导数。

学习重点：导数的概念以及求导数 学习难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。

虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。

由此我们引出下面导数的概念。

二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。

4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。

5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。

§1.1.3导数的几何意义教学目标：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学过程：新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

1.1.3 导数的几何意义课堂导学三点剖析一、求切线方程例1 求曲线y =x 1-x 上一点P （4，47 ）处的切线方程.温馨提示f (x )对x 的导数即为在该点处的切线的斜率，应明确导数的几何意义.二、求切点坐标例2 在曲线y =x 2上过点P 的切线，（1）平行于直线y =4x -5；（2）与x 轴成135°的倾斜角分别求点P 的坐标.温馨提示注意利用解析几何中有关两直线平行垂直的条件.三、综合应用例3 已知点M （0，-1），F （0，1），过点M 的直线l 与曲线y =31x 3-4x +4在x =2处的切线平行.（1）求直线l 的方程；（2）求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程温馨提示 本题以导数为工具，主要考查了直线方程，抛物线的焦点、准线等基础知识. 各个击破类题演练 1已知曲线C ：y =x 3-3x 2+2x ，直线l :y =kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）(x 0≠0). 求直线l 的方程及切点坐标.变式提示 1已知曲线y =x 2+x 1+5上的一点P （2，219），求P 处的切线方程.类题演练 2 在曲线y =x 2上过P 点的切线垂直于直线2x -6y +5=0，求点P 的坐标.变式提升 2 如果曲线y =x 3+x -10的某一切线与直线y =4x +3平行，求切点坐标与切线方程.类题演练 3 已知函数f (x )=ln x ，g (x )=21x 2+a (a 为常数)，直线l 与函数f (x ）、g (x )的图象都相切，且l 与函数f (x )图象的切点的横坐标为1，求直线l 的方程及a 的值.变式提升 3 已知曲线C 1：y =x 2与C 2：y =-(x -2)2，若直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.参考答案例1 解：要求过点P （4，47 ）的切线方程，只需求出切线的斜率，由导数的几何意义知，其斜率为f ′(4)，为此需求出曲线在点P （4，47-）处的导数. ∵y ′=-21x x21-x ， ∴f ′(4)=165-， ∴所求切线的斜率为165- 所求切线方程为5x +16y +8=0.例2 解：f ′(x )=lim 0→∆xx x f x x f ∆-∆+)()( =lim 0→∆xx x x x x 2)(22=∆-∆+， 设P （x 0，y 0）是满足条件的点.（1）因为切线与直线y =4x -5平行，所以2x 0=4，x 0=2，y 0=4，即P （2，4）（2）因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为-1即2x 0=-1，得x 0=21-，y 0=41，即P （21-，41）. 例3 解：（1）因为f ′（2）=lim 0→∆x0)424231(4)2(4)2(3133=∆+⨯-⨯-+∆+-∆+x x x ， 所以直线l 的斜率为0，其直线方程为y =-1.(2)因为抛物线以点F （0，1）为焦点，y =-1为准线，设抛物线方程为x 2=2py ，则2p =1，p =2. 故抛物线C 的方程为x 2=4y .类题演练 1解：∵直线l 过原点，则k =00x y (x 0≠0). 由点（x 0，y 0）在曲线C 上的y 0=x 30-3x 20+2x 0， ∴00x y =x 20-3x 0+2， ∵y ′=3x 2-6x +2，∴k =3x 20-6x 0+2.又k =00x y ，∴3x 20-6x 0+2=00x y =x 20-3x 0+2， 整理得2x 20-3x 0=0，∵x 0≠0，∴x 0=23，此时y 0=83-，k =-41， 因此直线l 的方程为y =-41x ， 切点坐标为（23，83-） 变式提示 1 解：因为k =f ′(2)= lim 0→∆xx f x f ∆-∆+)2()2( =lim 0→∆x xx x ∆++-+∆+++∆+)5214(5212)2(2=415. 所以在P 点处的切线方程为y -219=415(x -2)， 即15x -4y +8=0.类题演练 2 解：∵切线与直线y =4x +3平行，∴斜率为4又切线在x 0点的斜率为y ′|x 0=(x 3+x -10)′|x 0=3x 20+1，∴3x 20+1=4，x 0＝±1，⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==.121,,81,0000y x y x ∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为y =4x -12或y =4x -8.变式提升 2 解：f ′(x )= lim 0→∆xx x f x x f ∆-∆+)()( =lim 0→∆xx x x x ∆-∆+22)(=2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点，因为切线与直线2x -6y +5=0垂直，所以2x 0·31=-1， 得x 0=23-，y 0=49， 即P (23-，49). 类题演练 3 解：设直线l 与两曲线的切点的坐标分别为A （a ，a 2），B （b ，-(b -2)2）. 因为两曲线对应函数的导函数分别为y 1′=2x ，y 2′=-2(x -2).所以在A 、B 两点处直线的斜率分别为y 1′|x =a =2a ，y 2′|x =b =-2(b -2). 由题意22+(-2)-a b a b=2a =-2b +4， 即⎩⎨⎧=+---=442,222b ab b a b a解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,00,2b a b a 或 所以A （2，4）或（0，0），切线的斜率k =4或0，从而切线方程为y =4x -4或y =0. 变式提升 3 解：由f ′(x )|x =1=1，知直线l 的斜率为1，切点为（1，f (1)），即（1，0）， 所以l 的方程为y =x -1.又直线l 与y =g (x )的图象相切，即方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a x y x y 221,1只有一解. 即方程21x 2-x +(1+a )=0有两个相等的实数根， ∴Δ=1-4×21（1+a ）=0.∴a =21-=.。

1.1.3 导数的几何意义学习目标：1．理解导函数的概念；理解导数的几何意义． 2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 核心扫描：1．求曲线上某点处的切线方程．(重点) 2．导数的几何意义的综合应用．(难点) 课前探究学习自学导引1．导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．导函数的概念当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，我们称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.名师点睛1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.注意：(1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直．(2)显然f ′(x 0)>0，切线的倾斜角为锐角；f ′(x 0)<0，切线的倾斜角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行． 2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 处都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )内可导．在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新函数，我们把这个函数称为函数f (x )的导函数，简称为导数．注意：(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数．(2)函数的导数，是对某一区间内任意一点x 而言的，就是函数f (x )的导数f ′(x )． (3)函数y ＝f (x )在x 0处的导数，就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的导数值． 3．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 课堂讲练互动：题型一 已知过曲线上一点求切线方程例1：求曲线f (x )＝x 3＋2x －1在点P (1,2)处的切线方程．规律方法：一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，继而由点斜式可得点斜式方程，化简得切线方程．变式1：求过曲线y ＝1x在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程．题型二 求过曲线外一点的切线方程例2：求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 变式2：试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．题型三 求切点坐标例3：已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?题后反思：解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 变式3：在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．题型四 数形结合思想在导数的几何意义中的应用数形结合解题就是解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题．在解决与数量有关的问题时根据数量结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题，从而利用数形的各自优势尽快得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助．导数的几何意义就是切线的斜率，涉及此类问题可借助数形结合思想来解决．例4：如图所示，物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝－t2＋4t＋5的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t＝－1,2,3,4附近的变化情况．方法点评：导数的几何意义就是切线的斜率．借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结．参考答案课堂讲练互动：题型一已知过曲线上一点求切线方程例1：【解析】经验证P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋2x －1上，求出f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)，由导数的几何意义即可写出曲线在P (1,2)处的切线方程．解：易证得点P (1,2)在曲线上，由y ＝x 3＋2x －1得 Δy ＝(x ＋Δx )3＋2(x ＋Δx )－1－x 3－2x ＋1 ＝(3x 2＋2)Δx ＋3x ·(Δx )2＋(Δx )3， ΔyΔx＝3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2， 当Δx →0时，3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2→3x 2＋2，即f ′(x )＝3x 2＋2，所以f ′(1)＝5，故点P 处的切线斜率为k ＝5， ∴点P 处的切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.变式1：解：因为lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0－12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.题型二 求过曲线外一点的切线方程例2：【解析】点(2,0)不在曲线上，所以此点不是切点，可以先设出切点坐标，建立关于切点坐标的两个方程，求出切点坐标．解：易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 0x x y ='＝lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20， 得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1， 联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0. 变式2：解：由已知得ΔyΔx＝2x ＋Δx ，∴lim Δx →0ΔyΔx＝2x ，即y ′＝2x . 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，∵点A 在曲线y ＝x 2上，∴y 0＝x 20， 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率0x x y ='＝2x 0.∴切线方程：y －x 20＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(3,5)，即5－x 20＝2x 0(3－x 0)， ∴有x 20－6x 0＋5＝0，x 0＝1或x 0＝5， ∴切点为(1,1)或(5,25)∴所求方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.题型三 求切点坐标例3：解：设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1得x 0＝14，该点为⎝⎛⎭⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，(10分)即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．变式3：解：f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ， 设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点． 例4：【解析】由于函数y ＝f (t )在某处的导数，就是曲线y ＝f (t )在某处的切线的斜率，因此可借助图象上某点切线斜率的大小来说明曲线在某点附近的变化情况．解：用曲线f (t )在－1,2,3,4处的切线斜率的大小来刻画曲线f (t )在－1,2,3,4附近的变化情况．(1)当t ＝－1时，曲线f (t )在－1处的切线l 1的斜率f ′(－1)>0，在t ＝－1附近曲线上升，即函数f (t )在t ＝t 1附近单调递增．(2)当t ＝2时，曲线f (t )在2处的切线l 2平行于t 轴，f ′(2)＝0，说明在t ＝2附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(3)当t ＝3,4时，曲线f (t )在3,4处的切线l 3，l 4的斜率f ′(3)<0，f ′(4)<0，说明在t ＝3,4附近曲线下降，即函数f (t )在3,4附近都是单调递减的．但从图象可以看出，0>f ′(3)>f ′(4)，直线l 3的倾斜程度小于l 4的倾斜程度，这说明曲线f (t )在t ＝3附近比t ＝4附近下降的缓慢．。

1.1.3导数的几何意义教案§1.1.3导数的几何意义教学目标1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数«Skip Record If...»的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当«Skip Record If...»沿着曲线«Skip Record If...»趋近于点«Skip Record If...»时，割线«Sk ip Record If...»的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点«Skip Record If...»沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线«Skip Record If...»趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线«Skip Record If...»的斜率«Skip Record If...»与切线PT的斜率«Skip Record If...»有什么关系？⑵切线PT的斜率«Skip Record If...»为多少？容易知道，割线«Skip Record If...»的斜率是«Skip Record If...»,当点«Skip Record If...»沿着曲线无限接近点P时，«Skip Record If...»无限趋近于切线PT的斜率«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在«Skip Record If...»处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点«Skip Record If...»处的切线的斜率，即«Skip Record If...»说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点«Skip Record If...»处的变化率«Skip Record If...»，得到曲线在点«Skip Record If...»的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,«Skip Record If...»是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，即: «Skip Record If...»注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的导数«Skip Record If...»、导函数«Skip Record If...»、导数之间的区别与联系。

1.1.3 导数的几何意义学习目标：1．通过作函数)(x f 图象上过点))(,(00x f x P 的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程.2．掌握函数在某一处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义.重点: 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.难点: 导数的几何意义学习过程：例题讲解：例1：求曲线f (x )＝x 3＋2x －1在点P (1,2)处的切线方程．例2：试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．例3：已知曲线y ＝x 2－1与y ＝x 3＋1在x 0点的切线互相垂直，求x 0的值．课堂检测：1．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点的切线方程是( )A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x ＋8D ．y ＝4x 或y ＝4x －42．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．3B ．－3C ．9D ．153．曲线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A.18 B ．14C.12 D ．14．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1，－4)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)5．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．6．曲线f (x )＝x 3在点A 处的切线的斜率为3，则该曲线在点A 处的切线方程为____________．学习小结：1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．参考答案例1：解：易证得点P (1,2)在曲线上，由y ＝x 3＋2x －1得Δy ＝(x ＋Δx )3＋2(x ＋Δx )－1－x 3－2x ＋1＝(3x 2＋2)Δx ＋3x ·(Δx )2＋(Δx )3，Δy Δx＝3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2， 当Δx →0时，3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2→3x 2＋2，即f ′(x )＝3x 2＋2，所以f ′(1)＝5，故点P 处的切线斜率为k ＝5，∴点P 处的切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.例2：解：由已知得Δy Δx＝2x ＋Δx ， ∴lim Δx →0 Δy Δx＝2x ，即y ′＝2x . 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，∵点A 在曲线y ＝x 2上，∴y 0＝x 20， 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率0x x y ='＝2x 0. ∴切线方程：y －x 20＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(3,5)，即5－x 20＝2x 0(3－x 0)，∴有x 20－6x 0＋5＝0，x 0＝1或x 0＝5，∴切点为(1,1)或(5,25)∴所求方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.例3：解：函数y ＝x 2－1在x 0处的导数为：x x y ='＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－1－x 20＋1Δx ＝lim Δx →02x 0·Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0. 函数y ＝x 3＋1在x 0处的导数为：x x y ='＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－x 30－1Δx ＝lim Δx →0 (Δx )3＋3x 0·(Δx )2＋3x 20·Δx Δx＝3x 20， ∵两曲线在x 0处的切线互相垂直，显然两切线的斜率都存在，∴2x 0·3x 20＝－1，解得x 0＝－136.课堂检测：1．【答案】B【解析】由3＝2a (a )2＋1得a ＝1或a ＝－1(舍)．又y ′|x ＝1＝4，所以切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.故选B.2．【答案】C【解析】y ′＝lim Δx →0 [(x ＋Δx )3＋11]－(x 3＋11)Δx＝lim Δx →0 3x 2·Δx ＋3x ·Δx 2＋Δx 3Δx＝lim Δx →0(3x 2＋3x ·Δx ＋Δx 2)＝3x 2. ∴曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线的斜率k ＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)， 即y ＝3x ＋9.令x ＝0，得y ＝9，故选C.3．【答案】B【解析】y ′＝lim Δx →0[a (x ＋Δx )2＋1]－ax 2－1Δx＝lim Δx →0 2ax ·Δx ＋a Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2ax ＋a Δx )＝2ax 设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，∴x 0＝12a. ∵切点在直线y ＝x 上，∴y 0＝12a代入y ＝ax 2＋1得12a ＝14a＋1 ∴a ＝14.故选B. 4．【答案】C【解析】设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.因此P 0(1,0)或(－1，－4)．故选C.5．【答案】⎝⎛⎭⎫32，－94 【解析】∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－x 2＋3x Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx －3)＝2x －3， 令y ′＝0，得x ＝32， 代入曲线方程y ＝x 2－3x 得y ＝－94.6．【答案】3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0【解析】设点A(x0，x30)，则k＝f′(x0)＝limΔx→0(x0＋Δx)3－x30Δx＝limΔx→0(3x20＋3x0·Δx＋Δx2)＝3x20＝3.∴x0＝±1.∴切点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，∴所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.。

经典导学案：§1.1.3导数的几何意义教学目标1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 图3.1-2容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

《1.1.3导数的几何意义》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】通过函数图像直观理解导数的几何意义。

【教学目标】1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系。

2.理解曲线的切线的概念。

3.通过函数的图象直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义求函数图象的切线。

【学情与内容分析】本节课从内容背后的数学思想方法看，在本节课学习过程中，学生通过自主探究与合作交流，经历由特殊到一般、具体到抽象、量变到质变的过程，用运动变化的观点理解割线如何逼近成切线，真切感受、体会数形结合思想，同时深化对逼近思想、极限思想、以直代曲思想的理解.从知识发生发展过程的角度看，导数几何意义的学习，一方面能将导数“数形融通”，以“形”助“数”，以“数”论“形”，达到概念学习的完整结构；另一方面，能使学生对曲线切线含义的理解在思维层次方面获得提升，它不是从公共点个数的角度来定义，而是由割线绕其一个交点旋转来逼近，把曲线的切线上升到一个新的思维层面，使学生深刻体会到对事物本质的探索是一个不断深入、去伪存真、由表及里、修正调整的过程，以及面对知识时质疑、创新、联系的科学精神.【教学准备】多媒体课件。

【难重点】重点：导数的几何意义及其应用，“以直代曲”、“数形结合”的数学思想.难点：极限思想、导数几何意义的理解及应用.【教学过程】探究活动：导数的几何意义如图，P 是曲线()y f x =上的一个定点，Q i(1,2,3)i =是曲线()y f x =上的一个动点.问题1：写出()f x 在[]10,x x 上的平均变化率；它有什么几何意义？问题2：当点Q i 沿曲线趋于点P ，割线QiP 有什么变化特征？问题3：当点Q i 沿曲线无限逼近于点P 时，直线Q i P 最终变成什么？问题4：割线Q i P 的斜率与切线PT 的斜率k 有什么关系呢？问题5：你能概括出导数()0f x '的几何意义吗？问题6：曲线在一点处的切线和你以前所了解的圆的切线有什么异同？【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容2、教材P14 5、6、7【教学反思】。