现代控制理论:控制系统的状态空间模型
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Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型在经典控制理论中,采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u 和输出量)(t y 之间的时域描述,或者在零初始条件下,对n 阶微分方程进行Laplace 变换,得到传递函数作为对控制系统的频域描述,“传递函数”建立了系统输入量)]([)(t u L s U =和输出量)]([)(t y L s Y =之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性,不能完全反映系统内部的动态特征,并且由于只考虑零初始条件,难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论,它用“状态变量”来刻画系统的内部特征,用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系,揭示了系统内部状态的运动规律,反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1(6P 例1.1.1) 如下面RLC (电路)系统。
试以电压u 为输入,以电容上的电压C u 为输出变量,列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC 电路图解:由电路理论可知,他们满足如下关系⎪⎩⎪⎨⎧==++)(d )(d )()()(d )(d t i t t u C t u t u t Ri t t i L C C 经典控制理论:消去变量)(t i ,得到关于)(t u C 的2=n 阶微分方程:)(1)(1d )(d d )(d 22t u LCt u LC t t u L R t t u C C C =++ 对上述方程进行Laplace 变换:)()()2(20202s U s U s s C ωωζ=++得到传递函数:202202)(ωζω++=s s s G ,LC10=ω,L R 2=ζ 现代控制理论:选择⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21t u t i x x C 流过电容的电流)(t i 和电容上的电压)(t u C 作为2个状态变量,2=n (2个储能元件);1个输入为)(t u ,1=m ;1个输出C u y =,1=r 。
第1章 作业:34P 习题1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.7,1.13,1.16,1.171.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在?答:线性定常系统的系统矩阵A 、输入矩阵B 、输出矩阵C 、直接传递矩阵D 都不与时间有t 关,而线性时变系统D C B A 、、、中至少有一个与时间有关。
1.2 现代控制理论中的“状态空间模型”与经典控制理论中的“传递函数”有什么区别?答:“传递函数”只描述系统的外部特性,并不能完全反映系统内部的动态特征,传递函数只考虑0初始条件,难以反映系统非0初始条件对系统性能的影响。
“状态空间模型”用状态变量来刻画系统内部特征,系统的动态特性用状态变量的一阶微分方程来描述,“状态空间模型”描述了系统的输入、输出与内部状态之间的关系,揭示了系统内部状态的运动规律,反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式,他们分别具什么特点? 答:能控标准型18P (1.2.10),能观标准型26P 第1行、第2行,约当标准型23P (1.2.13),对角型21P 倒数第8行、第9行。
1.4 对于同一个系统,状态变量的选择是否唯一?答:状态变量的选择不唯一,状态空间模型也不唯一。
1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下,其状态空间实现中的直接转移项D 不等于0,其参数如何确定?答:当传递函数为假分式,即分子多项式最高次方大于分母多项式最高次方时,直接转移项D 不等于0,并且可以用长除法确定直接转移项D 。
1.7 已知系统的传递函数656)()()(2+++==s s s s U s Y s G ,求其状态空间实现的能控标准型和能观标准型。
解:能控标准型u x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=105610 ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)16(x x y 能控标准型u x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=165610 ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)10(x x y 1.13 一个传递函数的状态空间实现是否唯一?由状态空间模型导出的传递函数是否唯一?答:一个传递函数的状态空间有多种“实现”,由状态空间模型只能导出唯一的传递函数。
《现代控制理论》习题第一章 控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数:656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2 考虑下列单输入单输出系统:u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3 考虑由下式定义的系统:Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ,--试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4 考虑由下式定义的系统:Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ,--试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5 考虑下列矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。
再求变换矩阵P ,使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章 状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A; 2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。
1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ; 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002--A ; 3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ; 4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ; 6) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ; 7) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。
2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。