现代控制理论:控制系统的状态空间模型
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Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型在经典控制理论中,采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u 和输出量)(t y 之间的时域描述,或者在零初始条件下,对n 阶微分方程进行Laplace 变换,得到传递函数作为对控制系统的频域描述,“传递函数”建立了系统输入量)]([)(t u L s U =和输出量)]([)(t y L s Y =之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性,不能完全反映系统内部的动态特征,并且由于只考虑零初始条件,难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论,它用“状态变量”来刻画系统的内部特征,用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系,揭示了系统内部状态的运动规律,反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1(6P 例1.1.1) 如下面RLC (电路)系统。
试以电压u 为输入,以电容上的电压C u 为输出变量,列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC 电路图解:由电路理论可知,他们满足如下关系⎪⎩⎪⎨⎧==++)(d )(d )()()(d )(d t i t t u C t u t u t Ri t t i L C C 经典控制理论:消去变量)(t i ,得到关于)(t u C 的2=n 阶微分方程:)(1)(1d )(d d )(d 22t u LCt u LC t t u L R t t u C C C =++ 对上述方程进行Laplace 变换:)()()2(20202s U s U s s C ωωζ=++得到传递函数:202202)(ωζω++=s s s G ,LC10=ω,L R 2=ζ 现代控制理论:选择⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21t u t i x x C 流过电容的电流)(t i 和电容上的电压)(t u C 作为2个状态变量,2=n (2个储能元件);1个输入为)(t u ,1=m ;1个输出C u y =,1=r 。