控制系统的状态空间分析

第8章控制系统的状态空间分析与综合第1~7章涉及的内容属于经典控制理论的范畴，系统的数学模型是线性定常微分方程和传递函数，主要的分析与综合方法是时域法、根轨迹法和频域法。

经典控制理论通常用于单输入－单输出线性定常系统，其缺点是只能反映输入－输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构和运行状态，不能有效处理多输入－多输出系统、非线性系统、时变系统等复杂系统的控制问题。

随着科学技术的发展，对控制系统速度、精度、适应能力的要求越来越高，经典控制理论已不能满足要求。

1960年前后，在航天技术和计算机技术的推动下，现代控制理论开始发展，一个重要的标志就是美国学者卡尔曼引入了状态空间的概念。

它是以系统内部状态为基础进行分析与综合的控制理论，两个重要的内容如下。

（1）最优控制：在给定的限制条件和评价函数下，寻求使系统性能指标最优的控制规律。

（2）最优估计与滤波：在有随机干扰的情况下，根据测量数据对系统的状态进行最优估计。

本章讨论控制系统的状态空间分析与综合，它是现代控制理论的基础。

8.1 控制系统的状态空间描述8.1.1 系统数学描述的两种基本方法统的内部结构和内部变量，如传递函数；另一种是状态空间描述（内部描述），它是基于系统内部结构的一种数学模型，由两个方程组成。

一个反映系统内部变量x和输入变量u间的关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。

外部描述虽能反映系统的外部特性，却不能反映系统内部的结构与运行过程，内部结构不同的两个系统也可能具有相同的外部特性，因此外部描述通常是不完整的；内部描述则能全面完整地反映出系统的动力学特征。

8.1.2 状态空间描述常用的基本概念 1.输入和输出由外部施加到系统上的激励称为输入，若输入是按需要人为施加的，又称为控制；系统的被控量或从外部测量到的系统信息称为输出，若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。

控制系统状态空间法控制系统状态空间法是现代控制理论中常用的一种方法，它描述了控制系统的动态行为，并通过状态变量来表示系统的内部状态。

在这篇文章中，我们将详细介绍控制系统状态空间法的基本概念、理论原理以及应用。

一、控制系统状态空间法的基本概念状态空间法是一种描述动态系统的方法，通过一组一阶微分方程来表示系统的动态行为。

在这个方法中，我们将控制系统看作是一个黑盒子，输入和输出之间的关系可以用状态方程和输出方程来描述。

1. 状态方程状态方程描述了系统的内部状态随时间的演化规律。

它是一个一阶微分方程组，通常用向量形式表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)其中，x(t)表示系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(t)是输入向量。

2. 输出方程输出方程描述了系统的输出与内部状态之间的关系。

它通常用线性方程表示：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，y(t)表示系统的输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。

3. 状态空间表示将状态方程和输出方程合并，可以得到系统的状态空间表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)在状态空间表示中，状态向量x(t)包含了系统的所有内部状态信息，它决定了系统的行为和性能。

二、控制系统状态空间法的理论原理控制系统状态空间法基于线性时不变系统理论，通过分析系统的状态方程和输出方程，可以得到系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。

1. 系统稳定性系统稳定性是判断系统是否能够在有限时间内达到稳定状态的重要指标。

对于线性时不变系统，当且仅当系统的所有状态变量都是稳定的，系统才是稳定的。

通过分析状态方程的特征值，可以判断系统的稳定性。

2. 系统可控性系统可控性表示是否可以通过选择合适的输入来控制系统的状态。

一个系统是可控的，当且仅当存在一组输入矩阵B的列向量线性组合可以使得系统的状态从任意初始条件变为目标状态。

通过分析状态转移矩阵的秩，可以判断系统的可控性。

控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计是现代控制理论的重要内容之一，它提供了一种描述和分析控制系统动态行为的数学模型。

状态空间方法是一种广泛应用于系统建模和控制设计的理论工具，其基本思想是通过描述系统内部状态的变化来揭示系统的特性。

一、状态空间模型的基本概念状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态，包括系统的状态变量和输入输出关系。

在控制系统中，状态变量是指影响系统行为的内部变量，如电压、速度、位置等。

通过状态空间模型，可以将系统行为转化为线性代数方程组，从而进行分析和设计。

1. 状态方程控制系统的状态方程是描述系统状态演化的数学表达式。

一般形式的状态方程可以表示为：x(t) = Ax(t-1) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是系统在时刻t的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，u(t)是系统的控制输入，y(t)是系统的输出，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。

2. 状态空间矩阵状态空间矩阵包括系统的状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、输出矩阵C和直接传递矩阵D。

通过这些矩阵，可以准确描述系统的状态变化与输入输出之间的关系。

3. 系统的可控性和可观性在状态空间分析中，可控性和可观性是评估系统控制性能和观测性能的重要指标。

可控性是指通过调节控制输入u(t)，系统的状态可以在有限时间内从任意初始状态x(0)到达任意预期状态x(t)。

可控性可以通过系统的状态转移矩阵A和控制输入矩阵B来判定。

可观性是指通过系统的输出y(t)可以完全确定系统的状态。

可观性可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C来判定。

二、状态空间分析方法状态空间分析方法包括了系统响应分析、系统稳定性分析和系统性能指标分析。

1. 系统响应分析系统的响应分析可以通过状态方程进行。

主要分析包括零输入响应和零状态响应。

零输入响应是指当控制输入u(t)为零时，系统的输出y(t)变化情况。

状态空间分析与控制系统设计状态空间分析和控制系统设计是现代控制理论中重要的基础概念和方法。

通过对系统的状态和状态方程进行建模和分析，可以实现对系统行为的全面理解和控制。

本文将介绍状态空间分析和控制系统设计的基本原理，并分析其在实际应用中的重要性和价值。

一、状态空间分析状态空间分析是一种将系统的动态行为表示为一组线性常微分方程或差分方程的方法。

在状态空间模型中，系统的行为被描述为一系列状态变量的演化过程，而不是传统的输入-输出模型。

通过状态空间模型，我们可以更加全面地了解系统的内部结构和动态性能。

在状态空间分析中，系统的行为由一组一阶微分方程或差分方程表示：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是系统的状态向量，表示系统的内部状态，u(t)是输入控制向量，y(t)是输出向量，A、B、C和D是系统的系数矩阵。

通过对状态空间方程进行求解和分析，可以得到系统的模态特性、状态转移矩阵、特征值和特征向量等重要信息。

这些信息能够帮助我们了解系统的稳定性、可控性和可观测性等特性，从而为系统的控制设计提供重要依据。

二、控制系统设计基于状态空间分析的控制系统设计是将系统的状态空间模型与控制算法相结合，实现对系统动态行为的控制和调节。

通过对状态空间方程的设计和调整，可以实现对系统的稳定性、响应速度、精度和鲁棒性等方面的要求。

常用的状态空间控制方法包括状态反馈控制、输出反馈控制和观测器设计等。

状态反馈控制是通过测量系统状态并构造一个状态反馈控制器来实现对系统的控制。

输出反馈控制是通过测量系统输出并构造一个输出反馈控制器来实现控制目标。

观测器设计是通过测量系统输出并估计系统状态来实现对系统的控制。

在控制系统设计过程中，我们需要考虑系统的稳定性、响应时间、鲁棒性和控制精度等方面的要求。

通过合理选择控制算法和调节参数，可以使系统在各种工作条件下保持良好的动态性能和稳定性，提高系统的控制质量和效率。

第八章 控制系统的状态空间分析一、状态空间的基本概念1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。

2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻这组变量的值())()()(00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系统在0t t ≥任何时刻())()()(21t x t x t x n 的行为就可完全确定。

3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n =。

4. 状态空间 以状态变量())()()(21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。

系统在某时刻的状态，可用状态空间上的点来表示。

5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。

6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。

二、状态空间描述（状态空间表达式）1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x （8-1）对于线性定常离散系统有⎩⎨⎧+=+=+)()()()()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2）2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。

3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型）系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。

利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。

三、传递函数矩阵及其实现1. 传递矩阵)(s G ：多输入多输出系统的输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系，称为传递矩阵)(s G ，即)()()(s U s Y s G =（8-3） 式中：)(s U ——系统的输入向量 )(s Y ——系统的输出向量传递函数矩阵与多输入多输出系统状态空间描述的关系是：D B A I C G +-=-1)()(s s （8-4）上式中的A ，B ，C ，D 即为状态空间描述{}D C,B,A,中的矩阵A,B,C,D 。

§3.3 Matlab 实验
1. 状态空间模型脉冲响应、阶跃响应和任意输入响
应
(1) [y,x,t]=impulse(a,b,c,d)
(2) [y,x,t]=step(a,b,c,d)，其中y、x 和t 是输出、
状态向量和仿真时间。

(3) [y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)。

例求管亠[0* x c£，为
u(t) =sint的状态输出值。

解程序和结果如下
-0.2
-0.4
2. 离散系统的脉冲响应、阶跃响应、任意输入响应
⑴[y, x]=dimpulse(sys);
(2) [y, x] = dstep( nu m,de n);
(3) [y, x]=dlsim(sys,u); 47y、x 和u 分别为输出、
状态和输入，sys可以是num,den或a,b,c,d,不绘图，当无y, x时直接绘图。

3 •连续和离散状态模型的零输入响应(只对初态x0 响应)
(1) [y,x,t]=i nitial(a,b,c,d,xO)
⑵[y,x,t]=dinitial(a,b,c,d,x0) ，y 为输出，x 为状态，
t为指定输出时间。

当不带y、x和t时，直接绘图。

4 •连续系统离散化
(1) [da,db,dc,dd]=c2dm(a,b,c,d,Ts)
⑵[dnum,dden]=c2d(num,den,Ts) , Ts 是采样周期。

5.矩阵指数
expm(a*t)，其中t可为符号变量，也可为实值。

0 1
例如设A = 0'，则求e At的命令和结果如下:
||-4 -4。

控制系统的状态空间分析方法控制系统是指将输入信号进行处理，通过执行特定的控制算法，使系统输出信号满足特定要求的系统。

控制系统有多种形式，例如电子系统、机械系统、化学系统、热系统等等。

控制系统的设计和分析是一个复杂的过程，需要考虑多个因素，包括系统动态响应、稳定性、鲁棒性、控制器的性能指标等等。

控制系统的状态空间表示是一种广泛应用的分析方法。

状态空间表示是将系统的状态和状态方程用矩阵和向量的形式表示出来。

状态方程是一组描述系统动态响应的微分方程或差分方程。

状态空间表示可以描述线性系统和非线性系统。

对于线性系统，状态空间表示为：dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是状态向量，表示系统的内部状态，u是输入向量，表示外部输入，y是输出向量，表示系统响应，A、B、C、D是矩阵，分别表示状态方程中的系数。

状态空间表示的优点在于它可以提供系统的完整信息，包括系统的结构和动态特性。

通过状态空间表示可以计算系统的传递函数、频率响应、控制器设计等等。

状态空间表示的另一个优点在于它可以用于多变量控制和非线性控制。

在多变量控制中，状态空间表示可以直接描述多变量系统的动态特性和相互关系。

在非线性控制中，状态空间表示可以近似描述非线性系统的动态行为，从而进行控制器设计。

状态空间分析方法是指基于状态空间表示进行系统分析的方法。

常见的状态空间分析方法包括状态转移矩阵法、观测矩阵法、极点配置法、模型匹配法等等。

状态转移矩阵法是指根据系统的状态方程，计算系统状态随时间的演变。

状态转移矩阵可以用于计算系统的传递函数、频率响应等等。

观测矩阵法是指根据系统的状态方程和输出方程，计算系统的状态和输出之间的关系。

观测矩阵可以用于设计状态反馈控制器和观测器。

极点配置法是指根据系统的状态方程和性能指标，设计状态反馈控制器，使系统的极点满足指定的要求。

极点配置法可以用于设计稳定控制器和提高系统的性能指标。

模型匹配法是指通过拟合实验数据或理论模型，确定系统的状态方程和性能指标。

控制系统状态空间应用引言：控制系统是现代工程中十分重要的一个领域，它涉及到工业自动化、电气工程、通信系统等多个方面。

其中，状态空间模型是一种广泛应用的数学工具，可用于描述和分析控制系统的动态行为。

本文将介绍控制系统的状态空间模型以及其在工程实际中的应用。

一、状态空间模型的基本原理状态空间模型是一种用于描述连续时间系统的数学模型，由状态方程和输出方程组成。

在状态空间模型中，系统的状态变量是描述系统动态行为的重要参数，而输入和输出变量则是表示系统输入和输出的信息。

1.1 状态方程状态方程描述了系统状态变量随时间变化的规律。

一般形式如下：dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt表示状态变量x随时间的变化率，A是状态矩阵，描述了状态变量之间的相互关系，B是控制矩阵，描述了输入变量对状态变量的影响。

1.2 输出方程输出方程描述了系统的输出变量与状态变量之间的关系。

一般形式如下：y = Cx + Du其中，y表示输出变量，C是输出矩阵，描述了状态变量与输出变量之间的关系，D是直接传递矩阵，表示输入变量对输出变量的直接影响。

二、控制系统状态空间模型的应用控制系统状态空间模型在工程实际中有着广泛的应用。

以下将分别介绍其在系统分析和控制设计中的具体应用。

2.1 系统分析状态空间模型可用于分析系统动态响应特性以及系统稳定性。

通过求解状态方程或者输出方程，可以获得系统的状态变量和输出变量的时间响应。

通过分析时间响应曲线，可以了解系统的超调量、响应速度等性能指标，从而对系统的动态特性有一个直观的认识。

2.2 控制设计状态空间模型在控制器的设计和参数调节中起到重要作用。

通过状态反馈控制策略，可以将系统状态变量作为反馈信号，根据系统状态的变化对控制器输出进行调节，以实现对系统的稳定控制。

此外，通过状态观测器的设计，可以根据系统输出变量推测出系统状态变量的估计值，从而实现对系统状态的可观测性。

三、控制系统状态空间模型的优势相比于传统的传输函数模型，控制系统的状态空间模型具有以下优势：3.1 描述能力强状态空间模型可以直观地描述系统的动态行为，包括状态变量和输出变量的时域特性。