三角恒等变换教学设计

三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。

二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。

2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。

五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。

3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。

4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。

6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。

六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。

2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。

三角恒等变换一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。

你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。

4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。

5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。

例题例1 已知sin （α+β）=32，sin （α-β）=51，求βαtan tan 的值。

例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°例3 化简（1）0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。

例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π。

5.5.2三角恒等变换（第2课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、教学目标1. 会将形如的函数转化成形式，并能用来解决周期、最值等问题；2. 可以使用三角函数解决简单的应用问题． 二、教学重难点1. 理解归纳辅助角公式中的推导过程及相关辅助角的理解；2. 尝试以角为自变量建立函数模型求解问题． 三、教学过程 1.问题引入 学习了两角和(差)公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，三角恒等变换不仅能解决倍角问题还能解决三角函数升降幂的问题，同时三角恒等变换在化简三角函数式中的也有着重要的作用,．那请大家思考以下问题：问题1：若已知，你能求函数的周期，最大值和最小值吗？ 【活动预设】给学生留出时间，让学生思考问题，教师暂不给出提示．追问1：观察例题中两个函数式，如果研究它们的周期和最大、最小值，要将函数式转化为的形式才可以使用正弦函数的性质去判断，那我们要如何利用三角函数公式进行变换呢？你能说出理由吗？【活动预设】教师提出问题，激发学生的求知欲，引导学生能够积极思考并尝试回答． 【设计意图】引导学生思考问题，发现学习辅助角公式的必要，从而产生学习辅助角公式的需求，顺利引入新课．2.例题探究例1.求下列函数的周期，最大值和最小值：=sin cos y a x b x +=sin y A x ωϕ+()=sin y A x ωϕ+()=cos y x x +=sin y A x ωϕ+()（1）； （2）．【活动预设】根据问题2的思考学生自主解决例1（1），教师引导学生能够积极思考并尝试回答例1（2）．问题2：在第（2）问的式子中提取何值可以使其构成正弦的和差公式呢？如果提取后两项系数不是三角函数特殊值怎么办呢？（2）设，则 ． 于是 ，， 于是 ， 所以 ．取A =5， 则 ，其中，， 即 ．因此，所求周期为，最大值为5，最小值为-5．【活动预设】学生思考后尝试分析回答，教师适当引导（1）式中可利用正弦的和角公式，所以要将函数式提取一个常数，使两项的系数可分别写为同一个角的余弦值和正弦值，这样就配凑成两角和的正弦公式，逆用公式即可写为的形式．（2）式中，由于，因此提取后要将两项的系数构成平方和是1的形式才能分别看成同一个角．=sin y x x +=3sin 4cos y x x +3sin 4cos =sin x x A x ϕ++（）3sin 4cos =sin cos cos sin x x A x A x ϕϕ++cos =3A ϕsin =4A ϕ2222cos +sin =25A A ϕϕ2=25A 34=5sin cos 55y x x +()=5sin cos cos sin x x ϕϕ+()=5sin x ϕ+()3cos =5ϕ4sin =5ϕ4tan =3ϕ2π=sin y A x ωϕ+()22sin cos =1αα+=5【设计意图】师生一起探究变形的过程，使学生明确公式的来龙去脉，从具体问题入手方便学生理解，为后面的辅助角公式的一般性推导打下基础．追问2：你能归纳一下怎样将转化为的形式吗？ 【活动预设】学生独立尝试，教师适当引导，最后归纳得出结果：　 ，其中． 【设计意图】本例是三角恒等变换在数学应用中的举例，归纳得到一般情况，我们称它为辅助角公式，它使得三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．追问3：类似的，是否可以写成余弦形式呢？ 【活动预设】教师引导学生得到结论 ，其中． 【设计意图】对于辅助角公式的余弦表示形式也给出推导过程，拓宽学生的思路，提升逻辑推理的数学素养．sin cos a xb x +sin Ax ωϕ+()sin cos a x b x +=x x +）=x ϕ+（）tan =b aϕ=sin y A x ωϕ+()sin cos a x b x +=x x +）=cos cos sin sin x x ϕϕ+）=x ϕ-（）tan =abϕ 例2如图5.5-2，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记，求当角取何值时，矩形ABCD 面积最大？并求出这个最大面积．问题3：认真审题后思考，我们解题的思路是怎样的？需要使用什么数学知识与方法来解决问题？ 分析：可先建立矩形ABCD 的面积S 与之间的函数关系，再求函数的最大值．解：在中，，． 在中，． 所以 ， ． 设矩形ABCD 的面积为S，则π3=POC α∠αα=S f α()=S f α()RtOBC △=cos OB α=sin BC αRt OAD △=tan 60=DAOA︒===OABC α==cos AB OB OA αα--=S AB BC ⋅=cos sin ααα()2=sin cos ααα- 由，得，所以当，即时， ． 因此，当时，矩形ABCD【活动预设】找S 与之间的函数关系可以让学生自己尝试解决，教师启发引导，适时点拨．之后提醒学生，自变量的取值范围是，则的范围是，因此当，即时，，其中是将看成一个整体，利用正弦函数的图象性质求函数的最大值，蕴含了换元思想．【设计意图】由以上两道例题可以看出，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程中蕴含了化归思想．追问4：引申思考，本题可以去掉“”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，该如何解题？【活动预设】学生尝试解决，教师点拨提示，这时对自变量可多种选择，如设，则，尽管对所得函数暂时还无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，使学生感受到以角为自变量解决问题的优点．【设计意图】教师点拨，学生动手，增强学生解题的能力，提升数学运算素养．3.初步应用求下列函数的周期，最大值和最小值．1=sin 21cos22αα-)1=sin 22αα+-1=2cos22αα+）π=26α+-（π0<<3αππ5π<2<666α+ππ2=62α+π=6α==S 最大π=6αααπ0 3（，）π26α+π5π66（，ππ2=62α+π=6αS π26α+=sin cos y a x b x +=sin y A x ωϕ+()=POC α∠=AD x =S x x )（1）； （2） 【预设的答案】（1）解：（方法一） ，其中，，即 ． 因此，所求周期为，最大值为13，最小值为-13． （方法二）， 其中，，即 ． 因此，所求周期为，最大值为13，最小值为-13． （2）解：，其中，．因此，所求周期为，最小值为．　【活动预设】学生独立完成，教师对过程进行分析评价，并鼓励学生选择不同的三角恒等变换公式进行一题多解． 【设计意图】对三角公式的应用进行练习巩固，并用一题多解发散思维，提高分析和运算能力．4归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并思考回答下面的问题：把形如的三角函数式转化为一个角的一个三角函数的形式，进而求解周期与最值问题．大家思考在这其中都使用了哪些数学思想方法呢？=5cos 12sin y x x -=cos +2sin y x x 512=13cos sin 1313y x x -()=13sin cos cos sin x x ϕϕ-()=13sin x ϕ-()=13sin x ϕ--()5sin =13ϕ12cos =13ϕ5tan =12ϕ2π512=13cos sin 1313y x x -()=13cos cos sin sin x x ϕϕ-()=13cos x ϕ+()5cos =13ϕ12sin =13ϕ12tan =5ϕ2π=y x x +)=cos cos sin sin x x ϕϕ+)=x ϕ-()cos =ϕsin =ϕtan =2ϕ2π=sin cos y a x b x +【活动预设】教师引导学生归纳：1．三角变换要考虑包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素，因此在三角恒等变换的过程中应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适的公式，进行恒等变形．还要思考一题多解、一解多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等；2．在使用辅助角公式时要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．【设计意图】回顾本节课例题中展现的思维过程，以及主要体现的数学思想方法，在总结中调动学生积极性，锻炼学生归纳总结及语言表达能力．四、课外作业教材第229页，习题5.5第11，12题．。

三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，培养学生的逻辑思维能力；（2）通过练习和应用，提高学生解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作意识和解决问题的自信心。

二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义（1）引入三角函数的定义和图像；（2）解释三角恒等变换的含义和作用。

2. 三角恒等变换的基本公式（1）sin(α±β)的公式；（2）cos(α±β)的公式；（3）tan(α±β)的公式。

三、教学过程1. 导入（1）复习相关三角函数的定义和图像；（2）提出问题，引导学生思考三角恒等变换的必要性。

2. 新课讲解（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）引导学生推导三角恒等变换的基本公式。

3. 练习与应用（1）布置相关的练习题，巩固学生对三角恒等变换的理解；（2）引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。

四、教学评价1. 课堂讲解的评价：（1）观察学生在课堂上的参与度和理解程度；（2）通过提问和回答，检查学生对三角恒等变换的理解。

2. 练习题的评价：（1）检查学生完成练习题的情况和答案的正确性；（2）分析学生在解题过程中存在的问题和错误，及时进行反馈和指导。

五、教学资源1. 教学PPT：包含三角恒等变换的概念、意义和基本公式的讲解；2. 练习题：提供相关的练习题，供学生巩固和应用所学知识；3. 教学参考书：提供详细的三角恒等变换的讲解和例题。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的三角函数例子，让学生理解恒等变换的应用。

2. 小组讨论：让学生分组讨论三角恒等变换的性质，促进学生之间的交流和合作。

3. 问题解决：设计一些实际问题，让学生运用所学的三角恒等变换知识去解决，提高学生的应用能力。

教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。

学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。

培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。

过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。

采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。

鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。

情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。

培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。

引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。

二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。

难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。

复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。

明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。

2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。

强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。

积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。

鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。

二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。

强调公式的记忆方法和应用技巧。

3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。