人教A版高中数学必修四人教简单的三角恒等变换教案

三角恒等变换一、教学目标1：能够熟练运用两角之差及两角之和的正余弦、正切公式解决问题； 2：辅助角公式的应用；3：能够解决三角函数的图像与性质有关的综合应用问题。

二、教学重点与难点 与辅助角公式相关的三角函数综合问题三、教学过程1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________ 反之,αα化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα2、辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？sin cos ))a b αααααβ++其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。

3、例题•反馈例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。

例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值． 解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业：157158P P - 14T T -。

教学准备1. 教学目标1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路（1）分析，（2）建模，（3）求解，（4）检验；2、实际问题中的有关术语、名称：（1）仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角；（2）方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角；（3）方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等；3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等；2. 教学重点/难点1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路（1）分析，（2）建模，（3）求解，（4）检验；2、实际问题中的有关术语、名称：（1）仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角；（2）方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角；（3）方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等；3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等；3. 教学用具4. 标签教学过程一、知识归纳1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路（1）分析，（2）建模，（3）求解，（4）检验；2、实际问题中的有关术语、名称：（1）仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角；（2）方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角；（3）方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等；3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等；二、例题讨论一）利用方向角构造三角形四）测量角度问题例4、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东。

简单的三角恒等变换教学设计（第1课时）一、教学内容与学情分析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（4）》（人教A版）中第三章的第二节“简单三角恒等变换”（第一课时）．本节课主要研究如何让利用已有的三角函数公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何让选择共识，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

二、教学目标1．知识和技能目标（1）掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路；（2）弄清代数变换与三角变换的不同点2．过程和方法目标（1）能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力；（2）弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力；（3）由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题。

3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．三、教学重难点1．教学重点：（1）半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练（2）三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中体会三角变换的特点2．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力四、教法选择1．观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；2．根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．五、学法指导对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．六、教学过程设计本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．（一）、创设情境，铺垫导入1、复习回顾（1）三角函数的和（差）角公式（2）三角函数的倍角公式2、问题引入问题1：α与2α有什么关系？ 问题2：化简：（1） = _______ （2）1 -= _________（3）= _________（二）合作学习，探索新知例题1.试cos 表示、、教师活动：引导学生联想关于余弦的二倍角公式，将公式中的 替换成 。

3.2簡單的三角恒等變換（2）一、教學目標1、通過三角恒等變形，形如x b x a cos sin +的函數轉化為)sin(ϕ+=x A y 的函數；2、靈活利用公式，通過三角恒等變形，解決函數的最值、週期、單調性等問題。

二、教學重點與難點重點：三角恒等變形的應用。

難點：三角恒等變形。

三、教學過程（一）復習：二倍角公式。

（二）典型例題分析例1：.54sin ,20=<<απα已知的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-． 解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例３．已知函數x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求)(x f 的最小正週期，（2）當]2,0[π∈x 時，求)(x f 的最小值及取得最小值時x 的集合．點評：例３是三角恒等變換在數學中應用的舉例，它使三角函數中對函數()sin y A x ωϕ=+的性質研究得到延伸，體現了三角變換在化簡三角函數式中的作用．例4．若函數]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值為6，求常數m 的值及此函數當R x ∈時的最小值及取得最小值時x 的集合。

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin 3y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin 3y x x =这种形式我们在前面见过，13sin 32sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。

教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。

学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。

培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。

过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。

采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。

鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。

情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。

培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。

引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。

二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。

难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。

复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。

明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。

2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。

强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。

积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。

鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。

二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。

强调公式的记忆方法和应用技巧。

3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。

3.2 简单的三角恒等变换1.知识与技能(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.(2)通过三角恒等变形将形如a sin x+b cos x 的函数转化为y=A sin(x+φ)的函数. 2.过程与方法经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促进学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.3.情感、态度与价值观引导学生以已有的公式为依据,以推导半角公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.三角函数的和积互化(1)三角函数的积化和差公式及推导sin αcos β=,cos αsin β=,cos αcos β=,sin αsin β=-.下面对这组公式进行推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))(S(α+β))+(S(α-β)),(S(α+β))-(S(α-β)),(C(α+β))+(C(α-β)),(C(α+β))-(C(α-β)),得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β,cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β,cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β,即sin αcos β=,①cos αsin β=,②cos αcos β=,③sin αsin β=-,④公式①、②、③、④叫做积化和差公式.(2)三角函数的和差化积公式sin α+sin β=2sin·cos,sin α-sin β=2cos·sin,cos α+cos β=2cos·cos,cos α-cos β=-2sin·sin.下面给出这组公式的推导:在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.为了用起来方便,在积化和差的公式中,如果令α+β=θ,α-β=φ,则α=,β=.把这些值代入积化和差的公式①中,就有sin·cos==(sin θ+sin φ).∴sin θ+sin φ=2sin·cos.同样可得:sin θ-sin φ=2cos·sin,cos θ+cos φ=2cos·cos,cos θ-cos φ=-2sin·sin.这四个公式叫做和差化积公式.。

3.2《简单的三角恒等变换》教学设计【教学目标】1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．点评：⑴以上结果还可以表示为：1cos sin 221cos cos22αααα-=±+=±1cos tan 21cos ααα-=±+并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=． 解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3πC ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sinxx，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式； （2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13． 已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ， 求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14． 求证：cos 2x +cos 2（x +α）－2cos x cos αcos （x +α）=sin 2α．15． 求函数y =cos3x ·cos x 的最值．参考答案一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xx x x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x－1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］， 将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos 2C A -=22．12．证明：由已知得 ⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x =21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169； 当cos2x =1时，y 取得最大值1．。

3.2 简单的三角恒等变换（2）一、教学目标：知识与技能：1、加深对和差角、二倍角公式的记忆，推导降幂公式及其它变形形式。

2、理解三角恒等变换的基本思想，培养的定向思考和逆向思维能力，理解化归思想。

3、能独立分析和解决一些三角问题。

过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.情感、态度与价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 二．重点难点重点：三角恒等变换的模式难点：降次、化为一个角的三角函数三、教材与学情分析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能. （二）新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +sin （x+φ）. 因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx ，y=cosx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题.解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin (2x-6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识变式训练1.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期; (2)若x ∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π),所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x ∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π].当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.例2. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值.活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x 都成立.又ω>0,所以,得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π.由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0. ∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,….∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数.所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.例3. 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt △OBC 中,BC=cosα,BC=sinα,在Rt △OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα.所以AB=OB-OA=c osα33-sinα.设矩形ABCD 的面积为S,则S=AB·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63.由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP=α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练2. 已知如图2的Rt △ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cosθ-sinθ=4(cos2C B +-cos 2CB -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由. 解:在Rt △BAD 中,m AB =cos 2B ,在Rt △BAC 中,a AB =sinC,∴mcos 2B=asinC.图2同理,ncos 2C =asinB.∴mncos 2B cos 2C=a 2sinBsinC.而a 2=2mn, ∴cos 2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81.积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2CB -)=-1,若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1,∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π,∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在.点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例4. 已知tan(α-β)=21，tanβ=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21，∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34. 从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=. 又∵tanα=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π.又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)，∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等.变式训练3.若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π.证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ①3sinαcosα=sin2β， ② ①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cosαcos2β-sinαsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π. 六、课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.七、课后作业1.课时练与测八、教学反思。

第三章第二节简单的三角恒等变换第一课时整体设计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上，从而使三角函数性质的研究得到延伸．三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一．而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换．从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点． 三维目标1．通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．2．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用．3．通过例题的解答，引导学生对变换对象进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练．2．三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 课时安排2课时教学过程 第1课时导入新课思路 1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．思路 2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换．学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点． 推进新课新知探究 提出问题①α与2有什么关系？②如何建立cos α与sin22α之间的关系？ ③sin 22α＝2cos 1α-，cos 22α＝2cos 1α+，tan 22α＝ααcos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗？⑤证明1sin αcos β＝21[sin α＋β＋sin α－β]；2sin θ＋sin φ＝2sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-.并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α＝1－2sin2α2，将公式中的α用α2代替，解出sin2α2即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是α2的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin 2α中，以α代替2α，以α2代替α，即得cos α＝1－2sin2α2，所以sin2α2＝1－cos α2. ①在倍角公式cos2α＝2cos 2α－1中，以α代替2α，以α2代替α，即得cos α＝2cos2α2－1， 所以cos 2α2＝1＋cos α2. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，即得tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)． 教师与学生一起总结出这样的特点，并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到．提醒学生在以后的学习中引起注意．同时还要强调，本例的结果还可表示为：sin α2＝±1－cos α2，cos α2＝±1＋cos α2，tan α2＝±1－cos α1＋cos α，并称之为半角公式(不要求记忆)，符号由α2所在象限决定．教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异．因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于问题⑤：(1)如果从右边出发，仅利用和(差)的正弦公式作展开合并，就会得出左式．但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β后，解相应的以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．(2)由(1)得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与(1)没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2，代入(1)中的式子即得(2)中的式子．证明：(1)因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．(2)由(1)，可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β. ①设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2.把α，β的值代入①，即得sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2.教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sin αcos β看作x ，cos αsin β看作y ，把等式看作x ，y 的方程，通过解方程求得x ，这就是方程思想的体现．讨论结果：①α是α2的二倍角．②sin 2α2＝1－cos α2. ③④⑤略(见活动)． 应用示例思路1例1化简1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x.活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题．教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系．解：原式＝2sin 2x 2＋2sin x 2cos x 22cos 2x 2＋2sin x 2cos x 2＝2sin x 2sin x 2＋cosx22cos x 2cos x 2＋sinx 2＝tan x2.变式训练化简sin50°(1＋3tan10°)．解：原式＝sin50°(1＋3sin10°cos10°)＝sin50°·212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·sin30°cos10°＋cos30°sin10°cos10°＝2cos40°·sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝cos10°cos10°＝1.例2已知sin x －cos x ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式对原式变换化简，然后再求解．由于(a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab (a －b )，∴a 3－b 3＝(a －b )3＋3ab (a －b )．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由sin x ·cos x 与sin x ±cos x 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin 3x －cos 3x ＝(sin x －cos x )3＋3sin x cos x (sin x －cos x )＝1116.此方法往往适用于sin 3x ±cos 3x 的化简问题之中．解：由sin x －cos x ＝12，得(sin x －cos x )2＝14，即1－2sin x cos x ＝14，∴sin x cos x ＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sin x －cos x )(sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ) ＝12(1＋38)＝1116. .例3已知cos 2B ＋sin 2B ＝1，求证：cos 2A ＋sin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A ，B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A ，B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证明一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4Asin 2B ＝1，∴cos 4A ·sin 2B ＋sin 4A ·cos 2B ＝sin 2B ·cos 2B .∴cos 4A (1－cos 2B )＋sin 4A ·cos 2B ＝(1－cos 2B )cos 2B ，即cos 4A －cos 2B (cos 4A －sin 4A )＝cos 2B －cos 4B .∴cos 4A －2cos 2A cos 2B ＋cos 4B ＝0.∴(cos 2A －cos 2B )2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B .∴sin 2A ＝sin 2B .∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 证明二：令cos 2A cos B ＝cos α，sin 2Asin B ＝sin α，则cos 2A ＝cos B cos α，sin 2A ＝sinB sin α.两式相加，得1＝cos B cos α＋sin B sin α，即cos(B －α)＝1. ∴B －α＝2k π(k ∈Z )，即B ＝2k π＋α(k ∈Z )． ∴cos α＝cos B ，sin α＝sin B .∴cos 2A ＝cos B cos α＝cos 2B ，sin 2A ＝sin B sin α＝sin 2B .∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4B sin 2B＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元.在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 是它的三个内角，记S ＝11＋tan A ＋11＋tan B，求证：S <1.证明：∵S ＝1＋tan A ＋1＋tan B 1＋tan A 1＋tan B ＝1＋tan A ＋tan B ＋11＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B又A ＋B >90°，∴90°>A >90°－B >0°.∴tan A >tan(90°－B )＝cot B >0， ∴tan A ·tan B >1. ∴S <1.思路2例1证明1＋sin x cos x ＝tan(π4＋x2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(π4＋x2)＝sin π4＋x 2cos π4＋x 2＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sinx 2cos x 2－sinx2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得cos x 2＋sinx 22cos x 2＋sin x 2cos x2－sinx2＝1＋sin xcos x. 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 1＋sin xcos x＝cos x2＋sin x22cos x 2＋sinx2cos x 2－sin x 2＝cos x 2＋sinx2cos x 2－sin x 2.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2)． 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.已知α，β∈(0，π2)且满足：3sin 2α＋2sin 2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求α＋2β的值．解法一：3sin 2α＋2sin 2β＝1⇒3sin 2α＝1－2sin 2β，即3sin 2α＝cos2β，①3sin2α－2sin2β＝0⇒3sin αcos α＝sin2β，② ①2＋②2：9sin 4α＋9sin 2αcos 2α＝1，即9sin 2α(sin 2α＋cos 2α)＝1，∴sin 2α＝19.∵α∈(0，π2)，∴sin α＝13.∴sin(α＋2β)＝sin αcos2β＋cos αsin2β＝sin α·3sin 2α＋cos α·3sin αcos α＝3sin α(sin 2α＋cos 2α)＝3×13＝1.∵α，β∈(0，π2)，∴α＋2β∈(0，3π2)．∴α＋2β＝π2.解法二：3sin 2α＋2sin 2β＝1⇒cos2β＝1－2sin 2β＝3sin 2α，3sin2α－2sin2β＝0⇒sin2β＝32sin2α＝3sin αcos α，∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝cos α·3sin 2α－sin α·3sin αcos α＝0.∵α，β∈(0，π2)，∴α＋2β∈(0，3π2)．∴α＋2β＝π2.解法三：由已知3sin 2α＝cos2β，32sin2α＝sin2β，两式相除，得tan α＝cot2β，∴tan α＝tan(π2－2β)．∵α∈(0，π2)，∴tan α>0.∴tan(π2－2β)>0.又∵β∈(0，π2)，∴－π2<π2－2β<π2.结合tan(π2－2β)>0，得0<π2－2β<π2.∴由tan α＝tan(π2－2β)，得α＝π2－2β，即α＋2β＝π2.例2求证：sin 2αcos 2β＝1－2tan 2α.活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．证明：证法一：左边＝sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin βsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边． ∴原式成立．证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin βsin 2αcos 2β＝sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＝左边． ∴原式成立． 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑变式训练求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. 分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝2tan θ1－tan 2θ，此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝tan2θ.而上式左边＝sin4θ＋1－cos4θsin4θ＋1＋cos4θ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ2sin2θcos2θ＋2cos 22θ＝2sin2θcos2θ＋sin2θ2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.知能训练1．若sin α＝513，α在第二象限，则tan α2的值为( )A ．5B ．－5 C.15 D ．－15 答案：A2．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2C ．－1＋a 2 D ．－1－a2答案：D3．已知sin θ＝－35，3π<θ<7π2，则tan θ2＝__________.答案：－3 课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本习题3.2 B组2.设计感想1．本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换．在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方．考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用．从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换．。

3.2简单的三角恒等变换（二）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。

难点：三角恒等变形。

三、教学过程（一）复习：二倍角公式。

（二）典型例题分析例1：.54sin ,20=<<απα已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-． 解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例３．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4．若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。

數學 3.2簡單的三角恒等變換(1)教案一、教學分析本節主要包括利用已有的十一個公式進行簡單的恒等變換,以及三角恒等變換在數學中的應用.本節的內容都是用例題來展現的,通過例題的解答,引導學生對變換對象和變換目標進行對比、分析,促使學生形成對解題過程中如何選擇公式,如何根據問題的條件進行公式變形,以及變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識,從而加深理解變換思想,提高學生的推理能力.本節把三角恒等變換的應用放在三角變換與三角函數間的內在聯繫上,從而使三角函數性質的研究得到延伸.三角恒等變換不同於代數變換，後者往往著眼於式子結構形式的變換，變換內容比較單一.而對於三角變換，不僅要考慮三角函數是結構方面的差異，還要考慮三角函數式所包含的角，以及這些角的三角函數種類方面的差異，它是一種立體的綜合性變換.從函數式結構、函數種類、角與角之間的聯繫等方面找一個切入點，並以此為依據選擇可以聯繫它們的適當公式進行轉化變形，是三角恒等變換的重要特點.二、三維目標1．知識與技能：通過經歷二倍角的變形公式推導出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和與差的正弦、余弦公式推導出積化和差與和差化積公式,體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數學思想，提高學生的推理能力.2．過程與方法：理解並掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，並會利用公式進行簡單的恒等變形,體會三角恒等變換在數學中的應用.3．情感態度與價值觀：通過例題的解答，引導學生對變換對象目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力.三、重點難點教學重點：1.半角公式、積化和差、和差化積公式的推導訓練.2.三角變換的內容、思路和方法,在與代數變換相比較中,體會三角變換的特點.教學難點：認識三角變換的特點，並能運用數學思想方法指導變換過程的設計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力.四、課時安排2課時五、教學設想第1課時（一）導入新課思路 1.我們知道變換是數學的重要工具，也是數學學習的主要對象之一，三角函數主要有以下三個基本的恒等變換：代數變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換.前面已經利用誘導公式進行了簡單的恒等變換，本節將綜合運用和（差）角公式、倍角公式進行更加豐富的三角恒等變換.思路2.三角函數的化簡、求值、證明，都離不開三角恒等變換.學習了和角公式，差角公式，倍角公式以後，我們就有了進行三角變換的新工具，從而使三角變換的內容、思路和方法更加豐富和靈活，同時也為培養和提高我們的推理、運算、實踐能力提供了廣闊的空間和發展的平臺.對於三角變換,由於不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異,而且還會有所包含的角,以及這些角的三角函數種類方面的差異,因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯繫,並以此為依據選擇可以聯繫它們的適當公式,這是三角式恒等變換的重要特點.（二）推進新課、新知探究、提出問題 ①α與2a有什麼關係? ②如何建立cos α與sin22a之間的關係？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-這三個式子有什麼共同特點？④通過上面的三個問題，你能感覺到代數變換與三角變換有哪些不同嗎?⑤證明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos2ϕθϕθ-+. 並觀察這兩個式子的左右兩邊在結構形式上有何不同？活動：教師引導學生聯想關於余弦的二倍角公式cos α=1-2sin22a ,將公式中的α用2a代替,解出sin 22a 即可.教師對學生的討論進行提問，學生可以發現：α是2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=2cos 22a -1, 所以cos 22a =2cos 1a +. ② 將①②兩個等式的左右兩邊分別相除,即得 tan22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教師引導學生觀察上面的①②③式，可讓學生總結出下列特點： (1)用單角的三角函數表示它們的一半即是半角的三角函數;(2)由左式的“二次式”轉化為右式的“一次式”(即用此式可達到“降次”的目的).教師與學生一起總結出這樣的特點,並告訴學生這些特點在三角恒等變形中將經常用到.提醒學生在以後的學習中引起注意.同時還要強調,本例的結果還可表示為:sin2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a=±a a cos 1cos 1+-,並稱之為半角公式(不要求記憶),符號由2a所在象限決定. 教師引導學生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對於三角變換,由於不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異，而且還有所包含的角，以及這些角的三角函數種類方面的差異.因此，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個角間的聯繫，並以此為依據，選擇可以聯繫它們的適當公式，這是三角恒等變換的重要特點.代數式變換往往著眼於式子結構形式的變換.對於問題⑤：（1）如果從右邊出發，僅利用和（差）的正弦公式作展開合併，就會得出左式.但為了更好地發揮本例的訓練功能，把兩個三角式結構形式上的不同點作為思考的出發點，引導學生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.從方程角度看這個等式，sin αcos β，cos αsin β分別看成兩個未知數.二元方程要求得確定解，必須有2個方程，這就促使學生考慮還有沒有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β後，解相應的以sin αcos β，cos αsin β為未知數的二元一次方程組，就容易得到所需要的結果.（2）由（1）得到以和的形式表示的積的形式後，解決它的反問題，即用積的形式表示和的形式，在思路和方法上都與（1）沒有什麼區別.只需做個變換，令α+β=θ，α-β=φ，則α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入 (1)式即得(2)式.證明:(1)因為sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 將以上兩式的左右兩邊分別相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, 即sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.① 設α+β=θ,α-β=φ,那麼α=2ϕθ+,β=2ϕθ-.把α,β的值代入①, 即得sin θ+sin φ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-.教師給學生適時引導，指出這兩個方程所用到的數學思想,可以總結出在本例的證明過程中用到了換元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,從而把包含α,β的三角函數式變換成θ,φ的三角函數式.另外,把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y 的方程,通過解方程求得x,這就是方程思想的體現.討論結果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(見活動）.（三）應用示例思路1例1 化簡:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活動：此題考查公式的應用，利用倍角公式進行化簡解題.教師提醒學生注意半角公式和倍角公式的區別，它們的功能各異，本質相同，具有對立統一的關係.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 點評：本題是對基本知識的考查，重在讓學生理解倍角公式與半角公式的內在聯繫.變式訓練化簡:sin50°(1+3tan10°).解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+•=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin +=2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活動：教師引導學生利用立方差公式進行對公式變換化簡，然後再求解.由於(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此題後,教師引導學生深挖本例的思想方法,由於sinx ·cosx 與sinx ±cosx 之間的轉化.提升學生的運算.化簡能力及整體代換思想.本題也可直接應用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往適用於sin 3x ±cos 3x 的化簡問題之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 點評：本題考查的是公式的變形、化簡、求值,注意公式的靈活運用和化簡的方法. 變式訓練(2007年高考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,則cos2θ的值是______________. 答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证. 活動：此題可從多個角度進行探究,由於所給的條件等式與所要證明的等式形式一致,只是將A,B 的位置互換了,因此應從所給的條件等式入手,而條件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方關係來減少函數的種類.從結構上看,已知條件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代換.證明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BAB A , ∴cos 4A ·sin 2B+sin 4A ·cos 2B=sin 2B ·cos+B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A ·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.∴=+A BA B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 證明二:令BAa B A sin sin ,cos cos cos 22==sin α,則cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.兩式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B-α=2k π(k ∈Z ),即B=2k π+α(k ∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 點評:要善於從不同的角度來觀察問題,本例從角與函數的種類兩方面觀察,利用平方關係進行了合理消元. 變式訓練在銳角三角形ABC 中,ABC 是它的三個內角,記S=BA tan 11tan 11+++,求證:S<1. 證明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA ·tanB>1.∴S<1.思路2例1 證明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).活動：教師引導學生思考，對於三角恒等式的證明，可從三個角度進行推導：①左邊→右邊；②右邊→左邊；③左邊→中間條件←右邊.教師可以鼓勵學生試著多角度的化簡推導.注意式子左邊包含的角為x,三角函數的種類為正弦，余弦，右邊是半角2x，三角函數的種類為正切.解：方法一：從右邊入手，切化弦，得tan(4π+2x )=2sin2cos 2sin2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右兩邊的角之間的關係，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x,得x x x x x x x x cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++ 方法二：從左邊入手，分子分母運用二倍角公式的變形，降倍升冪，得2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+ 由兩邊三角函數的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 點評：本題考查的是半角公式的靈活運用，以及恒等式的證明所要注意的步驟與方法.變式訓練 已知α,β∈(0,2π)且滿足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β,② ①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β,兩式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tan α>0.∴tan(2π-2β)>0.又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π.結合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例2 求證:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活動：證明三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡”的原則,另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經常使用的方法. 證明:證法一:左邊=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-a a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右邊.∴原式成立. 證法二:右邊=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -= =βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+ =βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左邊.∴原式成立.點評：此題進一步訓練學生三角恒等式的變形,靈活運用三角函數公式的能力以及邏輯推理能力. 變式訓練 1.求證:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+.分析：運用比例的基本性質,可以發現原式等價於θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右邊就是tan2θ. 證明:原等式等價於θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.而上式左邊θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右邊.∴上式成立,即原等式得證.2.已知sin β=m ·sin(2α+β),求證:tan(α+β)=mm-+11tan α. 分析:仔細觀察已知式與所證式中的角,不要盲目展開,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化為結論式中的α+β與α的和,不妨將α+β作為一整體來處理. 證明:由sin β=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m0[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]⇒(1-m)·sin(α+β)cos α=(1+m)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm-+11tan α.（四）知能訓練1.若sin α=135,α在第二象限,則tan 2a的值為( )A.5B.-5C.51D.51-2.設5π<θ<6π,cos 2θ=α,則sin 4θ等於( )A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a-- 3.已知sin θ=53-,3π<θ<27π,則tan 2θ_________________.解答:1.A2.D3.-3（五）課堂小結1.先讓學生自己回顧本節學習的數學知識:和、差、倍角的正弦、余弦公式的應用,半角公式、代數式變換與三角變換的區別與聯繫.積化和差與和差化積公式及其推導,三角恒等式與條件等式的證明.2.教師畫龍點睛總結:本節學習了公式的使用,換元法,方程思想,等價轉化,三角恒等變形的基本手段.（六）作業。

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业：157158P P - 14T T -《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。