第三章 三角恒等变换(教案)

教学过程一、课堂导入思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.二、复习预习复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（六）。

απαsin )2sin(=+k ， απαcos )2cos(=+k ， απαtan )2tan(=+k （公式一） sin()sin ， cos()cos ， tan()tan （公式二） sin()sin ， cos()cos ， tan()tan （公式三）ααπsin sin(=-）， ααπ-cos cos(=-）， ααπtan tan(-=-） （公式四）sin()cos 2 （公式五）sin()cos 2 （公式六）cos()sin2cos()sin2三、知识讲解考点1两角和的正弦、余弦、正切公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=考点3 辅助角公式把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

人教版高中必修4(B版)第三章三角恒等变换课程设计一、课程背景本课程设计是针对高中必修课程《数学四》(B版)第三章三角恒等变换的教学实践。

在本章节中，学生将学习三角函数的基本概念，包括正弦、余弦、正切等；以及三角函数的基本性质、图像特征等知识。

在此基础上，进一步学习三角恒等变换的定义、性质、应用等内容，帮助学生感受数学美妙，拓展学生的数学思维和实际应用能力。

二、课程目标•知识目标1.掌握三角函数的概念、性质、基本图像和相关公式；2.掌握三角恒等变换的概念、性质和基本应用；3.理解三角恒等变换与三角函数图像的关系，培养学生对数学美的感悟。

•能力目标1.能灵活应用三角函数及其相关公式；2.能理解并应用三角恒等变换在实际问题中得到解决；3.能有效运用数学知识解决实际问题，并能形成自己的思考方式。

•情感目标1.通过学习，培养学生感受数学美妙的情感和兴趣；2.让学生理解数学是实践中最常用的一门学科；3.激发学生爱思考、勇于探究、善于合作的精神。

三、课程内容1.三角函数基础知识复习；2.三角恒等变换；3.三角函数图像变化。

四、教学方法1.讲授法：通过课堂讲解，准确阐述三角恒等变换的基本概念、性质、公式等，并通过简单的计算题、实例演练等方式帮助学生掌握相关知识；2.实践结合法：通过实际问题的解答，引导学生思考、动手解决，培养学生的数学实践能力；3.合作学习法：通过小组讨论、合作解题等方式，让学生在团队中相互交流、借鉴、提高彼此能力。

五、教学设计第一节课时间：1学时主要内容：三角函数基础知识复习1.引入三角函数知识，介绍正弦、余弦、正切的定义、符号、图像及基本性质；2.以例子为主，提高学生对于三角函数的计算能力；3.通过课堂测验，及时调整教学内容，帮助弱势学生摆脱困境。

第二节课时间：1学时主要内容：三角恒等变换1.引入三角恒等变换的定义、本质及重要性；2.提出三角恒等变换相关的公式，并进行简单的计算；3.通过实例演示，帮助学生理解三角恒等变换在证明中的应用。

第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换一、教学内容及其分析本节内容《简单的三角恒等变换》选自人教A 版必修四第三章第二节,其中新任务是通过已知的两角和差公式及二倍角公式探索简单的三角恒等变换，通过简单运用，使学生初步理解简单的三角恒等变换的基本原则、方法. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.二、教学目标及学科素养分析课程目标：1、能用两角和与差的正弦、余弦，二倍角正弦、余弦公式进行简单的三角恒等变换，记住sin cos y a x b x ωω=+的化简方法.2、能正确的对形如sin()y A x ωϕ=+的三角函数性质进行讨论，能灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.3、能运用三角公式解决一些实际问题.4、通过三角恒等变换的训练，能够培养转化与化归的数学思想. 学科素养：1、 数学抽象：三角函数公式之间的内在联系；2、 逻辑推理：运用三角函数公式进行简单的三角恒等变换；3、 数学运算：利用三角函数公式进行计算和化简；4、 直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法；5、 数学建模：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解转化、化归、换元等数学思想方法在数学中的应用.三、教学重难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，进行三角恒等变换，对形如sin()y A x ωϕ=+的三角函数性质进行讨论教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．对形如sin()y A x ωϕ=+三角函数的应用. 四、教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．五、教学过程探究一：形如sin()y A x ωϕ=+函数性质的探究三角函数主要刻画的是周期性质，随着周期变化，函数的图象发生变化，从而导致函数的相关性质而发生改变.问题1.求函数2sin(2)()6y x x R π=+∈的周期，最大值. 生：函数2sin(2)()6y x x R π=+∈的周期为T π=，最大值为2.问题2.求函数sin ()y x x x R =+∈的周期，最大值.生：函数sin ()y x x x R =+∈的最大值为2，周期为2T π=.学生也可能不会回答.师：通过第一章的学习我们已经对形如sin()y A x ωϕ=+的函数性质做了探究，今天再继续探究形如sin()y A x ωϕ=+的函数性质.只不过今天我们研究的函数没有直接给出sin()y A x ωϕ=+的形式，需要先将所给的函数式化简为sin()y A x ωϕ=+的形式，从而使三角函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.这就是本节课我们学习的内容.问题.函数sin y x x =+如何化简为sin()y A x ωϕ=+的形式？提问学生回答：因为sin y x x =12(sin cos )22x x =+ 2(sin cos cos sin )33x x ππ=+2sin()3x π=+. 所以函数sin ()y x x x R =+∈的最大值为2，周期为2T π=.问题4.刚才所化简的函数是形如sin cos y a x b x ωω=+的函数，那么我们如何将形如sin cos y a x b x ωω=+的函数化简为sin()y A x ωϕ=+的形式呢？ 生：思考后讨论（2分钟），提问回答：sin cos )y a x b x x x ωωωω=+=+ 令cos ϕϕ==则sin cos y a x b x ωω=+cos cos sin )x x ωϕωϕ=+)x ωϕ=+.师：sin cos y a x b x ωω=+)x ωϕ+，其中tan b aϕ=.这个公式我们称为辅助角公式.现在我们利用这个公式解决下面的例题.例题：函数3sin ()22x x y x R =∈的周期为 .生：思考后，提问回答：3sin 22x x y =-1cos )222x x =-cos cos sin )2626x x ππ=-sin()26x π=-. 所以函数3sin ()22x x y x R =∈的周期为=4T π.。

高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。

思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

课题三角恒等变换课型复习授课人余伟1、利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知考情分析识相结合命题2、命题形式多种多样，既有选择题、填空题也有综合性解答题1、通过同类型题目的训练，加深对三角恒等变换中各个公式的理解和记忆，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素养。

2、通过三角恒等变换中公式的运用，会进行简单的化简、求值，体会转化教学目标思想在数学中的应用，使学生进一步掌握联系的观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、通过本节课的学习，使学生体会探究的乐趣，激发学生分析、探求的学习乐趣。

教学重点和差角、倍角公式、辅助角公式的灵活运用教学难点给值求值问题中合理运用和差角公式教学过程知识梳理：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2.二倍角的正弦、余弦、正切公式：3.降幂公式：4.辅助角公式：典例讲评：题型 1三角函数式的化简、求值给角求值”： 一般所给出的角都是非特殊角， 从表面上来看是很难的， 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时， 要利用观察得到的关系， 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．【例 1】（ 1）（ 2015 年课标全国Ⅰ） sin 20 cos10cos160 sin 10（ ）3 3 1 1 A.B.C.D.2222sin 110 sin 20 ）（ 2）计算sin 2 的值为（ cos 2 155 1553 3 1 1 A.B.C.D.22 22cos40等于（）（3）化简cos 25 1 sin 40A.1B. 3C. 2D.2（4） sin 50 1 3 tan10【规律方法】三角函 数式的化简要遵循“三看”原则(1) 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2) 二看“函数名称”， 看函数名称之间的差异， 从而确定使用的公式， 常见的有“切化弦”；(3) 三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．题型 2 给值求值问题 ( 已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值 )“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．【例 2】（ 1）（教材课后练习）已知sin 303，60150 ，则 cos 5（ 2）已知cos sin 437的值是，则 sin665（3）已知02，且 cos21， sin2，则923cos的值为（ 4）已知、为锐角， cos 153， sin，则 cos 714（ 5）（ 10 月月考）已知cos2，为锐角，则 cos 21084题型 3给值求角问题( 已知某角的三角函数值，求另一角的值)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【典例 3】(1)设、为钝角，且 sin 5， cos310的值为（）5，则10A.3B.5C.7D.5或7 44444（ 2）若sin 2510，，3，则， sin，且，51042的值为（）A.7B.9C.5或9D.5或7444444【规律方法】(1)角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等等；如， 2．(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，，选正、余弦皆可；若角的范围是(0 ，2π) ，选余弦较好；若角的范围为, ，选正弦较好．22(3) 解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．课堂小结本节课复习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，思考：1、如何求解给值求值的问题2、如何求解给值求角的问题3、在化简中哪些技巧值得我们注意。

3.2 简单的三角恒等变换[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 139～P 142的内容，回答下列问题． (1)α与α2是什么关系？提示：倍角关系．(2)如何用cos α表示sin 2α2，cos 2α2和tan 2α2？提示：sin α2＝1－cos α2，cos α2＝1＋cos α2，tan α2＝1－cos α1＋cos α.2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式(2)三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．[问题思考](1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan α2吗？提示：tan_α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(2)如何用tanα2表示sin α，cos α及tan α？提示：sin_α＝2sinα2·cosα2＝2sin α2·cosα2sin 2α2＋cos 2α2＝2tanα21＋tan 2α2._cos_α＝cos 2_α2－sin 2_α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2 α2.tan_α＝sin αcos α＝2tanα21－tan 2α2.[课前反思](1)半角公式的有理形式： ；(2)半角公式的无理形式：.讲一讲1．已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[尝试解答] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255，cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sinα2cosα2＝－2.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 练一练1．已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝2.讲一讲2．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[尝试解答] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2 α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·（－cos α）－cosα2＝cos α.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．练一练 2．化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π； (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π，∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0. ∴原式＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2.(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，∴原式＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α.讲一讲3．(1)若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝－2cos α2；(2)已知sin α＝A sin(α＋β)，|A |>1，求证：tan(α＋β)＝sin βcos β－A. [尝试解答] (1)左边＝sin 2α2＋cos 2α2＋2sin α2cosα21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 α2－1－1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2 α2＋sin 2α2＋cos 2α2－2sin α2cosα21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 α2－1＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2 α2＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以sin α2>0>cos α2. 所以左边＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎪⎫－cos α2－sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫－cos α2＋sin α2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋12⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2＝右边．所以原等式成立． (2)因为sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，所以sin α＝A sin(α＋β)化为sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝A sin(α＋β)，所以sin(α＋β)(cos β－A )＝cos(α＋β)sin β， 所以tan(α＋β)＝sin βcos β－A.三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．练一练3．求证：2sin x cos x（sin x ＋cos x －1）（sin x －cos x ＋1）＝1＋cos xsin x.证明：左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cosx2sin x 2＝2cos 2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边．∴原等式成立．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用． 2．要掌握三角恒等变换的三个应用 (1)求值问题，见讲1； (2)化简问题，见讲2；(3)三角恒等式的证明，见讲3. 3．对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2 α2＝1＋cos α2求解．课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 求值问题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝( )A.1＋a2B. 1－a2 C ．－1＋a2D ．－ 1－a2解析：选D ∵θ4∈⎝⎛⎭⎪⎫5π4，6π4， ∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.2．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( )A ．－433 B ．8C ．4 3D ．－43解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2x2－sin 2x2－cos 2x212sin x＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1tan x )．又tan π12＝sinπ61＋cosπ6＝13＋2，∴原式＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫13＋2＋3＋2＝8. 3．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0，∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45，∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2.题组2 三角函数式的化简4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1解析：选 C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝3（1－sin 21）＝3cos 21＝3cos 1.5．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2得()A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos[2(π4－α2)]＝2＋sin α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.题组3 三角恒等式的证明6．求证：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan x ·tan x 2＝tan x .证明：∵左边＝2sin x ·cos x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x cos x ·1－cos x sin x ＝sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－cos x cos x ＝sin xcos x＝tan x ＝右边，∴原式成立．7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )．证明：左边＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋34sin 22x ＋ 5⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22－12(cos 4x ＋cos 2x ) ＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x4＋34sin 22x＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12(2cos 22x －1＋cos 2x )＝(2×14＋54＋12)＋[2×(－2cos 2x 4)＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ]＋(2×cos 22x 4＋5×cos 22x 4－12×2cos 22x )＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34cos 22x ＋34sin 22x＝94＋cos 2x ＋34＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1) ＝2(1＋cos 2x )＝右边．∴原式成立．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2(x ＋π4)＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝12＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12－sin 2x 2，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：选 C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B＝12⎝⎛⎭⎪⎫－2sin 2 C2，即cos A cos B ＝sin 2C2＝sin2π－（A ＋B ）2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B )＝1.∴A ＝B .4．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________． 解析：由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－3.答案：0或±35．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．解析：sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝（1－2sin 2α）sin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135， 所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－346．化简：(1)2sin 8＋1＋2cos 8＋2； (2)12＋1212＋12cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫3π2<α<2π. 解：(1)原式＝2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2（2cos 24－1）＋2 ＝2（sin 4＋cos 4）2＋4cos 24 ＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|， 由于π<4<3π2，∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.(2)∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π.原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12|cos α|＝ 12＋12cos α ＝1＋cos α2＝ cos 2α2＝－cos α2.7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ .由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。

简单的三角恒等变换一、教材分析本节内容《简单的三角恒等变换》选自人教版.必修四.第三章第二节,是学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式后的内容,其的中心任务是通过以知的和（差）角公式知识以及诱导公式,探索简单的三角恒等变换，通过简单运用，使学生初步理解简单的三角恒等变换的基本原则.二、目标及重难点三维目标： 1.掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路;2.提高对变换过程中体现的换元、方程、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高自己的推理能力;3.由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题.教学重点：学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.三、学情分析我们在组织和引导探索恒等变换的过程中，不仅要考虑学生学习积极性的问题，还有探索过程必需的基础知识学生是否熟练掌握的问题，运用已学知识和方法的能力问题.四、教学支持条件分析为了加强学生对．复习提问，创设情境的理解，帮助学生克服在学习过程中可能遇到的障碍，我将由和（差）角公式，倍角公式出发，推导出简单的三角恒等变换，让学生更好的理解简单的三角恒等变换。

五、教学过程教学基本流程1问题2：α与2α有什么关系？2．通过例题及变题，熟练掌握三角恒等变换的思路，方法。

例题1：试以cos α表示2sin 2α、2cos 2α、2tan 2α.分析：考虑二倍角的相对性，α可以看成2α的二倍角（此时亦可称2α为α的半角），结合刚才我们复习的二倍角公式，问题得解。

点评：本题结果还可表示为sin 2α=cos 2α=tan 2α=， 并称之为“半角公式”，符号由2α所在象限决定. 问题3：请大家观察三个结果，它们有什么共同特点？问题4：代数式变换与三角变换有什么不同？变1：求证：sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 变2：求证：21cos 22sin 2θθ++=设计意图：通过例题给出“半角公式”，并分析结构上的区别联系.变式训练为了巩固知识，提升能力。

三角恒等变换教案三角恒等变换教案一、教学目标：1.能够掌握三角恒等变换的概念和基本性质；2.能够灵活运用三角恒等变换求解简单的三角函数值；3.能够理解三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。

二、教学内容：1.三角恒等变换的定义和基本性质；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系；3.使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。

三、教学重难点：1.三角恒等变换的基本性质的理解和运用；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。

四、教学方法：1.讲授结合练习，理论与实际相结合；2.举例分析和解题演练。

五、教学过程：第一步：引入新知识（10分钟）向学生简单介绍三角恒等变换的概念，并与他们讨论三角函数的图像、周期、奇偶性。

通过讨论的方法，激发学生的兴趣，引导学生主动思考。

第二步：讲解三角恒等变换的基本性质（15分钟）1.角的关系：讲解正弦、余弦、正切函数之间的关系，以及正角、负角之间的关系。

2.平方关系：讲解正弦、余弦、正切函数的平方和、平方差以及积与商之间的关系。

3.倒数关系：讲解正弦、余弦、正切函数的倒数之间的关系。

第三步：练习应用（20分钟）1.通过示例的方式，向学生展示如何使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。

2.组织学生进行练习，让学生分小组进行解题，及时给予指导和反馈。

第四步：总结归纳（10分钟）请学生总结三角恒等变换的基本性质，并与他们讨论三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。

第五步：小结（5分钟）对本节课学习的内容进行小结，并激发学生对三角函数的兴趣，鼓励他们进一步实践和研究。

六、教学反思本节课采用了理论与实际相结合的教学方法，通过讨论、演示和练习，使学生能够深入理解三角恒等变换的基本性质，并能够熟练灵活地应用。

课堂上，我积极引导学生思考和互动，激发了学生的学习兴趣和积极性。

但是，部分学生在练习环节遇到了一些困难，建议将练习题目难易程度适当调整，以使学生在解题过程中能够灵活运用所学知识。

三角恒等变形教案一、知识和方法二、教学目标1.理解、记忆并能够运用两角和、差余弦公式。

2.了解体会整体法和拆分法在解决问题中的运用。

三、教学过程1.课程导入：① 问题：的值是多少 105cos ,15cos ？② 复习：同角平方关系1cos sin 22=+αα。

两点间距离公式221221)()(y y x x ---。

2.公式推导：① 准备：在平面直角坐标系中标出ββαα-，，+的坐标。

② 思路：三角形全等，两点间距离公式。

③ 推导：带入化简得βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+。

④ 推广：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-。

3.例题：① 简单运用：a) 的值。

求105cos ,15cos b) 。

求已知)3cos(),2,23(,53cos παππαα-∈=c) 。

求已知)cos(),23,(,43cos ),,2(,32sin βαππββππαα-∈-=∈=② 整体法和拆分法的运用：a) 。

求已知βπβαβααcos ,2,0,5147)cos(,171cos <<-=+= b) 。

）求，（），，（且已知αππβαππβαβαβα2cos 43-247,54)cos(,54)cos(∈∈+-=-=+ ③ 余弦二倍角公式： 。

求已知αππαα2cos ),,2(,135sin ∈=4.练习：① 基础练习：a) 的值。

求均为锐角，，已知βαβαβα-==,101cos ,51sin b) 的值。

，求已知22)cos (cos )sin (sin 31)cos(βαβαβα+++=-c) 的值。

求103sin 5sin 103cos 5cos ππππ- d) 的值。

－求均为锐角，、，已知)cos(,21cos cos 21sin sin βαβαβαβα=--=- e)的值。

和、，求、，已知ββαππβαππβαβαβα2cos 2cos )2,23(),2(,1312)cos(1312)cos(∈+∈-=+-=- ② 拓展练习：a) 的值。

示范教案本章知识网络教学分析本章三角函数模型是主线，三角变形是关键．三角函数及其三角恒等变形不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．本章特点是公式多，但积化和差与和差化积公式不要求记忆．切实掌握三角函数的基本变形思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用,而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径-—变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．三角恒等变形是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变形时，除使用三角公式外,一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变形思想主要是:①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝Asin（ωx＋φ）；②化成“两个一”:即化为一个角的一种三角函数的二次型结构,再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如asinθ＋bcosθ的式子，引入辅助角φ并化成a2＋b2 sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可）．高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面，一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变形,包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想,利用向量的工具性,灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数,平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变形的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变形的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、相互联系的．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变形中的综合运用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们一起又探究学习了第三章简单三角恒等变形的有关知识,并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法?你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的?它们之间存在着怎样的逻辑关系?三角式的变形与代数式的变形有什么相同点?有什么不同点？对三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课错误!错误!1列出本章所学的公式，理清它们之间的关系，回顾、思考并回答：推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变形与代数式的变形有什么相同点?有什么不同点？三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助?2三角函数的变形灵活性大、方法多,回顾从前所学，三角变形都有哪些？3如果对三角函数变形题型进行归类，那么回顾从前所学,常见的基本题型有哪些？活动：问题（1),本章的三角恒等变换公式中,余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用－β代替β，±β代替β，α＝β等换元法就可以推导出其他公式．见下表：教师引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系,认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角函数的恒等变形，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变形成另一个与它等价的表达式．三角恒等变形是代数式恒等变形的推广和发展；进行三角恒等变形，除了要熟练运用代数恒等变形的各种方法，还要抓住三角本身的特点,领会和掌握最基本最常见的变形．教师要引导学生明确三角变换不仅有三角函数式的结构形式变形，而且还有角的变形，以及不同三角函数之间的变形,使学生领悟有关公式在变形中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变形的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．问题（2),教师引导学生回顾总结，在学生探索时适时点拨,常见的变形有:①公式变形，数学公式变形的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代,或取特殊值等等．如:tanα＋tanβ＝tan（α＋β)(1－tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－错误!，1＝tanαtanβ＋错误!，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．②角的变形，角度变形是三角函数恒等变形的首选方法，在进行三角恒等变形时，对角之间关系必须进行认真的观察联想，分析角之间的和、差、倍、分关系．在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角；熟悉两角互余、互补的各种形式；或者引入辅助角进行角的变形等．如:α＝（α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；错误!－α＝错误!－（错误!＋α）；错误!＋α＝错误!－（错误!－α）等．还需熟练掌握一些常见的式子：如:sinx±cosx＝2sin（x±π4），sinx±错误!cosx＝2sin(x±错误!）等．问题（3)，教师引导学生回顾总结，适时地点拨学生,常见三角恒等变形的基本题型有求值、化简、证明．对于求值，常见的有给角求值、给值求值、给值求角．①给角求值的关键是正确地分析角之间的关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值;②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变形，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间,最后求出角．对于化简,有两种常见的形式，①未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式;②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式,以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变形、函数变形等各种变形．对于证明，它包括无条件的恒等式和有附加条件恒等式的证明．①无条件恒等式的证明,需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异,一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．②有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件,需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用,证明这类恒等式时,还常常用到消元法和基本量方法．讨论结果：（1)～(3)略．错误!思路1例1（1）化简tan2Atan(30°－A）＋tan2A·tan（60°－A）＋tan(30°－A)tan（60°－A)；(2）已知α为锐角，且tanα＝错误!，求错误!的值．活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看,关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变形、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这类问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的（1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是“弦”且是“和差角"，而条件是“切"且是“单角"．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同,思考方式不同,学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解,对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan（90°－2A)＝tan[(30°－A)＋（60°－A)］＝错误!,∴tan（30°－A）＋tan（60°－A）＝tan(90°－2A）[1－tan（30°－A)tan(60°－A）]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan（30°－A）tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A）[1－tan(30°－A）tan(60°－A)]＋tan(30°－A）tan（60°－A)＝1－tan(30°－A)tan（60°－A）＋tan（30°－A）tan(60°－A）＝1.（2）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。

2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。

3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。

2、三角恒等变换的方法和步骤。

教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。

教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。

2、黑板和粉笔。

教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。

提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。

2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。

3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。

三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。

教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。

四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。

鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。

五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。

布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。

教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。

但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。

在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。

同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。

高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。

能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

高中数学教案三角恒等变换高中数学教案：三角恒等变换一、引言在高中数学中，三角恒等变换是重要的内容之一。

本教案旨在帮助学生深入理解三角恒等变换的概念、性质以及运用方法，以提升他们在解决相关数学问题时的能力。

二、基础知识概述1. 三角函数的定义- 正弦函数sin(x)：在直角三角形中，对边与斜边的比值。

- 余弦函数cos(x)：在直角三角形中，邻边与斜边的比值。

- 正切函数tan(x)：在直角三角形中，对边与邻边的比值。

2. 三角恒等变换的基本概念- 三角恒等变换是指将一个三角函数转化为另一个三角函数的等价关系。

- 常见的三角恒等变换包括正弦函数、余弦函数和正切函数的互换关系。

三、三角恒等变换的性质1. 基本恒等变换a）正弦函数的互换：- sin(x) = cos(90° - x)- cos(x) = sin(90° - x)b）余弦函数的互换：- cos(x) = cos(-x)c）正切函数的互换：- tan(x) = cot(90° - x)- cot(x) = tan(90° - x)2. 辅助恒等变换a）正弦函数的辅助恒等变换：- sin²(x) + cos²(x) = 1- 1 + tan²(x) = sec²(x)b）余弦函数的辅助恒等变换：- 1 + cot²(x) = csc²(x)四、三角恒等变换的运用方法1. 化简复杂的三角表达式a）使用基本恒等变换来替换特定的三角函数，将复杂的表达式化简为简洁的形式。

b）利用辅助恒等变换将三角函数关系转化为其他形式的等式。

2. 证明三角恒等式a）基于已知三角函数的定义和性质，运用三角恒等变换的知识进行变换和推导，证明给定的三角恒等式。

b）通过使用辅助线、反证法等数学方法，辅助完成恒等式的证明过程。

3. 解决三角函数方程和不等式根据题目给出的条件和问题，结合三角恒等变换的知识，将方程或不等式中的三角函数改写为相同或相关的三角函数，从而简化问题的求解。

三角恒等变换—教学设计教学设计：三角恒等变换一、教学目标：1.理解三角函数的基本概念和常见三角恒等变换；2.掌握三角恒等变换的推导和证明方法；3.能够运用三角恒等变换解决与三角函数相关的问题。

二、教学内容：1.三角函数的基本概念回顾：弧度与角度制、正弦、余弦、正切函数及其图像特点等。

2.三角函数的基本关系：正弦定理、余弦定理、正切定理等。

3.三角恒等变换的基本内容：（1）同角三角函数的基本关系；（2）倒角公式与半角公式；（3）和差化积公式；（4）倍角公式与降幂公式；（5）万能公式等。

4.三角恒等变换的推导方法：（1）辅助角变换法；（2）三角均值不等式法；（3）利用三角函数图像性质法等。

5.三角恒等变换的证明方法：（1）代数证明法；（2）几何证明法；（3）视觉证明法等。

6.运用三角恒等变换解决问题的方法：（1）化简表达式；（2）证明等式或不等式；（3）求解三角方程；（4）求特殊值。

三、教学过程：1.导入新知识利用引人兴趣的例子或实际问题导入新知识，例如：假设有一个棱长为1的正方体，现在将其沿对角线切割成两半请问两半的体积是否相等？设计实验来验证。

2.知识讲解通过PPT或板书，讲解三角函数的基本概念、基本关系以及三角恒等变换的基本内容。

3.案例分析选择一些典型的问题或例子，引导学生运用三角恒等变换解决问题，例如：求证：（cotθ-1）/（cotθ+1）= tan(π/4 - θ)；4.合作探究将学生分成小组，提供一些已知条件和问题，要求学生合作探究解决方案，例如：已知sinA = 2/3，求cosA的值。

5.拓展应用让学生运用所学知识解决一些拓展应用问题，例如：求解三角方程sin2θ - 3sinθ = 0。

6.归纳总结学生通过比较、归纳和总结，总结三角恒等变换的相关规律和方法。

7.练习巩固布置一些课后练习题，让学生巩固所学知识，并提供解题思路和答案。

8.总结反思教师与学生共同总结本节课的重点内容和学习体会，澄清问题，提出疑问。

简单的三角恒等变换教案（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。

3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。

三角恒等变换教案引言：本教案旨在介绍三角恒等变换的概念和应用。

我们将详细解释什么是三角恒等变换，为什么它们在数学和物理中如此重要，并提供一些实用的例子来帮助读者更好地理解和应用这些变换。

一、什么是三角恒等变换？三角恒等变换是指关于三角函数的一类等式，可以在不改变等式的真实性的前提下，通过变换三角函数的自变量、系数或其他形式来简化或改写等式。

三角恒等变换的目的是为了更好地理解和研究三角函数在各类问题中的性质和应用。

二、常见的三角恒等变换1. 基本恒等变换基本恒等变换是指最基础的一类三角恒等变换，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数的一些基本等式。

例如，最常见的正弦函数的基本恒等变换是：sin²θ + cos²θ = 1这个等式表明，在任意角度θ下，正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。

这个等式在很多计算中会被频繁使用到。

2. 三角函数的互余变换三角函数的互余变换是指三角函数的相互关系。

例如，正弦函数和余弦函数是互余的。

具体来说，正弦函数与余弦函数在给定角度θ下的值互为倒数，即：sinθ = 1/cosθ这个等式可以帮助我们在解决某些问题时，通过已知的三角函数的值，快速推导出其他三角函数的值。

3. 角度和的恒等变换角度和的恒等变换是指用于变换三角函数中两个角度和的等式。

在这类变换中，我们可以通过已知的三角函数的值和角度和的关系，求解其他三角函数的值。

例如，常见的角度和的恒等变换包括：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ这个等式可以帮助我们在计算复杂的三角函数表达式时，通过将角度和转化为乘积或其他形式，简化计算过程。

三、三角恒等变换的应用领域1. 几何学中的应用三角恒等变换在几何学中有广泛的应用。

例如，我们可以利用三角恒等变换求解各类三角形的边长和角度，以及解决三角形的面积和周长等问题。

2. 物理学中的应用三角恒等变换在物理学中也有重要的应用。

例如，在机械波的传播和振动问题中，三角恒等变换可以用于描述波函数和振动函数之间的关系。

三角恒等变换教学设计教学目标：1.理解和掌握三角函数的三角恒等变换的概念；2.能够灵活运用三角恒等变换解决相关的数学问题；3.提高学生的逻辑思维、推理能力和数学计算能力。

教学准备：1.教师准备PPT和黑板；2.学生准备教材和笔。

教学内容和步骤：Step 1：引入三角恒等变换的概念（10分钟）教师使用PPT和黑板，先引导学生回顾和复习三角函数的基本知识，如正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、基本特性等。

然后给出一个实际问题，如一根高杆上的太阳镜影子长150米，太阳高度角为45°，要求学生思考并尝试用三角函数解决问题。

Step 2：引导学生发现三角恒等变换的需求（10分钟）Step 3：介绍三角恒等变换的基本内容（20分钟）教师使用PPT和黑板，向学生介绍三角恒等变换的基本内容，包括三角函数的正值、余值、割值的定义和性质以及三角函数的符号表达式等。

Step 4：学习基本的三角恒等变换公式（30分钟）教师向学生详细讲解三角恒等变换的常用公式，包括：1. 正弦函数的三角恒等变换：sin(θ) = sin(π - θ) = sin(θ + 2πk)2. 余弦函数的三角恒等变换：cos(θ) = cos(π - θ) = cos(θ + 2πk)3. 正切函数的三角恒等变换：tan(θ) = - tan(π - θ) = tan(θ + πk)，其中k为整数教师使用示例问题和计算步骤演示如何运用这些公式解决实际问题，鼓励学生积极参与讨论和习题。

Step 5：综合应用与拓展（30分钟）教师提供一些综合性的问题，让学生综合运用三角恒等变换的知识解决，或者抽象推导三角恒等变换的其他公式（如正弦函数的三角恒等变换公式为1 - 2sin²(θ/2)）。

鼓励学生在小组活动中合作解决问题，并展示自己的答案和思路。

Step 6：总结与拓展（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调三角恒等变换的重要性和实际应用价值，并提醒学生在课后复习和练习相关知识。

第三章三角恒等变换密云县编写组第一部分：第三章的教学设计一、教材分析1．教学内容本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.2．在模块内容体系中的地位和作用在第一章三角函数的学习的基础上，学习简单的三角变换是对三角函数的进一步深化也是为必修5中的解三角形做铺垫.3．总体教学目标（1）了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；（2）理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；(3)运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.4.重点、难点分析本章内容的重点是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时也是难点.5．其他相关问题本章内容安排贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”的理念，严格控制了三角变换及应用的繁、难程度，尤其注意了不以半角公式，积化和差以及和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.二、教学方式概述应以教师为主导学生为主体的启发式教学为主，以学生为主体探究式教学为辅.三、教学资源概述充分利用多媒体课件四、教学内容及课时安排建议 1．本章知识结构如下图：2．教学内容本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”. （1）三角恒等变换的学习以代数变换与同角三角函数式的变换的学习基础，和其他数学变换一样，它包括变换的对象，变换的依据和方法等要素.本章变换的对象要由只含一个角的三角函数拓展为包含两个角的三角函数式，因此建立起一套包含两个角的三角函数式变换的公式.（2）本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，具体过程如下：()()()()22,,C C S T C S T αβαβαβαβααε-+±±→→→→（3）本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，使他们能够依据三角函数的特点，逐渐明确三角变换不仅包括式子结构形式变换，还包括式子中的角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了引导的层次性和渐进性. 3．课时分配本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约4课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约1课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、学习目标：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、教学重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明. 三、教学内容安排3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式的推导是本节的重点和难点，尤其是要引导学生通过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点.教科书Ｐ136章前图由实际例子引出已知两个角的正弦、余弦、正切来研究这两个角和、差的正弦、余弦、正切.这是实际的需要是为了解决实际问题所以我们要研究两角差的余弦公式()cos ?αβ-=、两角和的余弦公式()cos ?αβ+=两角差的正弦公式()sin ?αβ-=、两角和的正弦公式()sin ?αβ+=等知识.探究过程：1.通过展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到c o s ()c o s c o s s αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构. 2．引导用向量法证明两角差余弦公式.然后通过两个例题来巩固所学公式例1利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把15构造成两个特殊角的和、差.()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302=-=+=⨯= 点评：本例说明差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形.实际上，由于公式对任意角都成立，因此在使用公式时应当根据需要对角进行灵活表示.例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.本例结束后思考如何求sin 75，引导用诱导公式sin()cos 2παα-=，为后面推导出正弦两角和与差公式做准备. 例2已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭本例是运用两角差的基础题，主要训练学生思维的有序性，逐步培养学生良好思维习惯. §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式本节课以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.通过上节课的学习推导出了两角差的余弦，引导学生推导两角和的余弦公式，然后引导学生推出两角和与差的正弦公式和正切公式. 例3已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭本例是运用和差角公式的基础题，要注意认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要做什么准备.还要重视思维过程的表述，不能只看结果而不顾过程表述的准确性和简洁性.解答完本例可以把条件是α是第四象限角去掉，让学生考察结果和求解过程会有什么影响.引导学生正确使用分类讨论的方法. 例4利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+-．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．本例体现了对公式的全面理解上的要求，即要求学生能够从正（从左到右使用公式）、反（从右到左使用公式）两个角度使用公式.与正用相比反用表现的是一种逆向思维，他不仅要求有一定的逆向思维意识，对思维的灵活性要求较高，而且对公式要求更全面更深刻的理解. §3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式本节以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.学生先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， 公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈例题讲解 例5已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 通过本例要求学生对“倍”的相对性有一定的认识，灵活运用“倍” 的变换，体现了思维的灵活性，对学生推理能力的发展起到很好的推导作用. 例6 在ABC ∆中，4cos 5A =，tan 2B =，求tan(22)A B +的值.本例采用两种方法来解决：一种是先求出tan 2A 和tan 2B 从而求出tan(22)A B +，另一种是先求出tan()A B +再求出tan(22)A B +.这两种方法都是对倍角公式与和角公式的联合运用，本质上没有什么区别.值得注意的是在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含条件，如0,A A B C ππ<<++=等，教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的小结.学生基础较好的班级可以直接求tan 2C 的值.四、教学资源建议 充分利用多媒体课件五、教学方法与学习指导策略建议以问题为核心，采用启发式教学.指导学生如何根据以学知识推导本章的十一个公式. 六、课堂评价建议1.情绪变化：通过探究活动学生表现出来的情绪变化，给每名同学打分.2.参与度：从课堂积极举手回答问题情况和自主探究的情况来了解，学生是否动手实践，对教师提出的问题是否是进行深层次的思考.3.讨论交流：小组讨论时能否能阐述自己的观点，对不同的观点进行分析，每组组长根据学生的表现情况给每名同学打分.4.学习水平：通过课后访谈和作业分析来了解学生的学习水平是否提高.5.知识水平：(1)通过作业了解学生是否掌握了三角变换的十一个基本公式. (2) 通过章节检测题来检验学生是否掌握了十一个基本公式.3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、学习目标：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力 三、教学内容安排例 例题安排：例1试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4 如图3.2-1 已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这图3.2-1O个最大面积.分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： （1）找出S 与α之间的函数关系； （2）由得到的函数关系，求出S 的最大值. 解：在Rt OBC ∆中，cos ,sin OB BC αα==在Rt OAD ∆中，tan603DA OA==，所以sin 333OA DA BC α===.所以cos sin 3AB OA OA αα=-=-.设矩形ABCD 的面积为S ，则(cos sin )sin 3S AB BC ααα=⋅=-1)66πα+-由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S 最大13-=6因此，当6πα=时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.本例是一个实际问题，需要建立函数模型，建立函数模型时，对自变量可多一种选择，如果设AD=x ，则)3S x x =.尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.复习安排（1课时）知识与方法小结：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来.3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等. 6．自己根据学生状况适当配备例题.四、教学资源建议．充分利用多媒体课件五、教学方法与学习指导策略建议以问题为核心，采用启发式教学.指导学生如何根据式子的结构进行三角变换.六、课堂评价建议：1.情绪变化：通过探究活动学生表现出来的情绪变化，给每名同学打分.2.参与度：从课堂积极举手回答问题情况和自主探究的情况来了解，学生是否动手实践，对教师提出的问题是否是进行深层次的思考.3.讨论交流：小组讨论时能否能阐述自己的观点，对不同的观点进行分析，每组组长根据学生的表现情况给每名同学打分.4.学习水平：通过课后访谈和作业分析来了解学生的学习水平是否提高.5.知识水平：(1)通过作业了解学生是否掌握了三角变换的基本方法和基本能力.(2) 通过章节检测题来检验学生是否掌握了三角变换的基本方法和基本能力.。

3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 ，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、、、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 2cos 45=3cos30=()cos15cos 4530?=-=cos45cos30-()cos ?αβ-=α1P cos αααβαβ-()cos αβ-cos αcos βsin αsin βcos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+思考：，，再利用两角差的余弦公式得出（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.例2、已知，是第三象限角，求的值. 解：因为，由此得 又因为是第三象限角，所以 所以 点评：注意角、的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：()cos ?αβ+=()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦cos 75cos157515()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=-=+=⨯+=()cos15cos 6045=-4sin 5α=5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭()cos αβ-,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α=3cos5α===-5cos ,13ββ=-12sin 13β===-3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβαβ15012.P T T -3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)教案一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想第1课时（一）导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sin α=55，α∈(0,2π)，cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan （α+β）=？⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.所以有如下公式：我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β).对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子、分母同除以cos αcos β得 tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+ (α-β)(α+β)对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+k π(k ∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T （α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan 2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理等.（三）应用示例思路1例1 已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos α,tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin α=53-,α是第四象限角，得cos α=54)53(1sin 122=--=-a . ∴tan α=a a cos sin =43-. 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ tan(α-4π)=4tan tan 14tan tan ππa a +-=a a tan 11tan +-=7)43(1143-=-+--. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° =42621222322-=⨯-⨯,tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于( ) A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例 2 已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=43-,β∈(π,23π).求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cosα、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sin α=32,α∈(2π,π),得 cos α=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tan α=552-. 又由cos β=31-,β∈(π,23π). sin β=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tan β=37.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-. 点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠CAB=α，则sin α=6730， 在Rt △ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tan α. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sin α=6730,α∈(0,2π),∴cos α≈6760,tan α≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC 中，sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°)，求sinC 与cosC 的值. 活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin ［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB ≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解：∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =54×(135-)+(53-)×1312=6556-.例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(aa a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+- =asin sin sin 0βθ =0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练 化简)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解：原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+-（四）作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标1．知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质. 三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 四、课时安排 2课时五、教学设想 （一）导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x xx x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sin αcos β±cos αsin β〔Ｓ（α±β）〕; cos （α±β）＝cos αcos βsin αsin β〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得.解：（1）由公式S (α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-.（2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-.例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos (x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ. ∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k ∈Z ).∴θ=k π-4π(k ∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练 已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二：左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6π+α)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b 不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=os φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22ba +,不妨取A=22ba +,于是得到cos φ=22ba a +,sin φ=22b a b +,从而得到tan φ=ba ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练 化简下列各式：。