2.波动方程
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No.2波动方程一、选择题1. 一平面简谐波表达式为)2(sin 05.0x t y --=π (SI) ，则该波的频率v (Hz)、波速u (m ⋅s -1)及波线上各点振动的振幅A (m)依次为:[ C ] (A) 2/1，2/1，05.0- (B) 2/1，1，05.0-(C) 2/1，2/1，05.0 (D) 2 ，2，05.0解：平面简谐波表达式可改写为(SI))22cos(05.0)2(sin 05.0ππππ+-=--=x t x t y与标准形式的波动方程 ])(2[cos ϕπ+-=uxt v A y 比较，可得 )s (m 21,(Hz)21,(m)05.01-⋅===u v A 。
故选C2. 一横波沿绳子传播时的波动方程为)104cos(05.0t x y ππ-= (SI)，则 [ A ] (A) 其波长为0.5 m ; (B) 波速为5 m ⋅s -1 ; (C) 波速25 m ⋅s -1 ; (D) 频率2 Hz 。
解：将波动方程与标准形式 ])(2[cos ϕπ+-=u xt v A y 比较，可知 )s m (5.2),Hz (51-⋅==u v )m (5.055.2===v u λ 故选A3. 一平面简谐波的波动方程为)3cos(1.0πππ+-=x t y (SI)，t = 0时的波形曲线如图所示。
则[ C ] (A) O 点的振幅为-0.1 m ；(B) 波长为3 m ；(C) a 、b 两点位相差π21； (D) 波速为9 m ⋅s -1。
解：由波动方程可知(Hz),23(m),1.0==νA (m)2=λ，)s (m 32231-⋅=⨯==νλu a 、b 两点间相位差为：2422πλλπλπϕ===∆ab故选C4. 一简谐波沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，波速为u 。
设t = T /4时刻的波形如图所示，则该波的表达式为： [ D ] )/(cos (A)u x t A y -=ω ]2)/(c o s [(B )πω+-=u x t A y)]/(cos[(C)u x t A y +=ω])/(cos[(D)πω++=u x t A y解：由波形图向右移λ41，可得0=t 时波形如图中虚线所示。
在0点，0=t 时y = -A , 初相ϕ = π，振动方程为)cos(0πω+=t A y 。
又因波向)(x -方向传播，所以波动方程为(SI)])(cos[πω++=uxt A y故选D5. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，t = T/4时的波形曲线如图所示。
若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相取π-到π之间的值，则 [ D ] (A) 0点的初位相为00=ϕ(B) 1点的初位相为 21πϕ-=(C) 2点的初位相为 πϕ=2(D) 3点的初位相为 23πϕ-=解：波形图左移4/λ，即可得0=t 时的波形图，由0=t 的波形图（虚线）可知，各点的振动初相为:2,0,2,3210πϕϕπϕπϕ-====故选D二、填空题1. 已知一平面简谐波沿x 轴正向传播，振动周期T = 0.5 s ，波长λ = 10m , 振幅A = 0.1m 。
当t = 0时波源振动的位移恰好为正的最大值。
若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为2/λ处的振动方程为(SI))4(cos 1.0ππ-=t y 。
当 t = T / 2时，4/λ=x 处质点的振动速度为1s m 26.1-⋅-。
解：波动方程为(SI))1.02(2cos[1.0)](2cos[x t xT t A y -=-=πλπ, m 52==λx 处的质点振动方程为 )4cos(1.0ππ-=t y (SI)m 5.24==λx 处的振动方程为)4sin(1.0)24cos(1.0t t y πππ=-=振动速度 )4cos(4.0)4cos(41.0d d t t tyv ππππ=⨯==s 25.02==T t 时 )s (m 26.14.0)25.04cos(4.01-⋅-=-=⨯=πππv2. 如图所示为一平面简谐波在 t = 2s 时刻的波形图，该谐波的波动方程是]2)2(2cos[πλπ+--=u x t u A y ；P 处质点的振动方程是]2)2(2cos[πλπ--=t uA y p 。
（该波的振幅A 、波速u 与波长λ为已知量）解：由t = 2s 波形图可知，原点O 的振动方程为]2)2(2cos[0ππ+-=t v A y ]2)2(2cos[πλπ+-=t uvA波向+x 方向传播，所以波动方程为]2)2(2cos[πλπ+--=u x t uv A y (SI) P 点2λ=x ，振动方程为]2)2(2cos[]2)22(2cos[πλππλλπ--=+--=t uA ut uA y P3. 一简谐波沿 x 轴正向传播。
1x 和2x 两点处的振动曲线分别如图(a) 和 (b) 所示。
已知12x x > 且 λ<-12x x (λ为波长)，则2x 点的相位1x 比点相位滞后 3π/2 。
解：由图(a)、(b)可知，1x 和2x 处振动初相分别为：πϕ231=，02=ϕ 二点振动相位差为πϕϕϕ2321=-=∆ 因为λ<->1212,x x x x ，所以2x 的相位比1x 的相位滞后π23。
4. 图示一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，波的振幅为 0.2 m ，周期为4 s 。
则图中P 点处质点的振动方程OAA为)(SI)2121cos(2.0ππ-=t y p 解：由ｔ＝2s 是波形图可知原点O 处振动方程为：)222c o s (0ππ--=T t A y )2422c o s (2.0ππ--=t )232c o s (2.0ππ-=t （SI ） P 点2λ=x ，相位比O 点落后π，所以P 点的振动方程为：)2121cos(2.0)2321cos(2.0πππππ-=--=t t y p （SI ）5. 一简谐波沿x 轴正方向传播。
已知x = 0点的振动曲线如图，试在它下面画出t = T 时的波形曲线。
解：由O 点的振动曲线得振动方程：)22cos(ππ-=T t A y o 向x 正向传播，波动方程为)222c o s (πλππ--=x T t A y t ＝T 时与t ＝0时波形曲线相同，波形曲线如右图所示。
三、计算题1. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，波的振幅A = 10 cm ，波的角频率ω = 7π rad/s.当t = 1.0 s 时，x = 10 cm 处的a 质点正通过其平衡位置向y 轴负方向运动，而x = 20 cm 处的b 质点正通过y = 5.0 cm 点向y 轴正方向运动．设该波波长λ >10 cm ，求该平面波的表达式．解：设平面简谐波的波长为λ，坐标原点处质点振动初相为φ，则该列平面简谐波的表达式可写成 )/27cos(1.0φλ+π-π=x t y (SI) 2分 t = 1 s 时 0])/1.0(27cos[1.0=+π-π=φλy 因此时a 质点向y 轴负方向运动，故π=+π-π21)/1.0(27φλ ① 2分 而此时，b 质点正通过y = 0.05 m 处向y 轴正方向运动，应有05.0])/2.0(27cos[1.0=+π-π=φλy且 π-=+π-π31)/2.0(27φλ ② 2分 由①、②两式联立得 λ = 0.24 m 1分 3/17π-=φ 1分∴ 该平面简谐波的表达式为Oy y]31712.07cos[1.0π-π-π=x t y (SI) 2分 或 ]3112.07cos[1.0π+π-π=x t y (SI)2. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形曲线如图所示．求(1) x = 0处质点振动方程； (2) 该波的表达式．解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 )2c o s(φν+π=t A y 由图可知，t = t ＇时 0)2cos(=+'π=φνt A y1分0)2sin(2d /d <+'ππ-=φννt A t y 1分 所以 2/2π=+'πφνt ， t 'π-π=νφ2212分 x = 0处的振动方程为 ]21)(2cos[π+'-π=t t A y ν 1分(2) 该波的表达式为 ]21)/(2cos[π+-'-π=u x t t A y ν 3分3. 一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示． (1) 求P 处质点的振动方程；(2) 求此波的波动表达式；(3) 若图中 λ21=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程． 解：(1) 由振动曲线可知，P 处质点振动方程为 ])4/2cos[(π+π=t A y P )21cos(π+π=t A(SI) 3分(2) 波动表达式为])4(2c o s [π+-+π=λdx t A y (SI) 3分(3) O 处质点的振动方程 )21cos(0t A y π= 2分xuO t =t ′yt (s)0-A1y P (m)xOP d。
