指数与指数幂的运算教学设计

课题指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）能够正确运用根式性质进行化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用。

2．过程与方法通过对恐龙化石视频的观看，对它的历史有了些了解。

自然而然地引入C14的衰变问题，进而得到分数指数幂的原型。

然后通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质。

3．情感、态度与价值观通过观看恐龙视频，感知恐龙的历史，激发学生探索数学知识的兴趣；通过与初中所学的知识（平方根、立方根）的比较，以及完成两个表格，自我探究或是讨论，归纳出所学知识的规律。

并体会初中知识与高中知识其实是一个从浅至深的联系，又有一个质的飞跃区别。

并逐步培养学生严谨的学习态度。

（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）n次方根与根式概念的理解；（2）理解两个公式，并运用这两个公式进行根式的运算。

2．教学难点：根式概念的理解与两个公式的推导过程。

（三）教学资源资源：计算机辅助系统。

（四）教学设计思路本节是一堂概念课。

为了增加课堂的趣味性，观看恐龙化石视频，引入根式的原型。

为突破根式概念的理解这一难点，采用类比的方法，从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念。

在讲解过程中，强调说明根式是n次方根的一种表示形式。

并通过两个表格由学生自我建构根式性质的知识。

接着通过例题讲解，基础训练，能力提升，来巩固知识。

最后解答开篇之问。

1.本教学的开篇由视频引入。

通过观看恐龙化石的视频，让学生对其有所了解以后，以问题：恐龙生活在哪个时间，自然地引入了根式的存在意义。

2.对于方根概念（知识探究一）的教学，采用的是从学生的最近发展区入题，即学生已经学过了平方根、立方根，然后由学生通过类比得到，4次方根，5次方根，6次方根的意义所在，最后由学生定义出n 次方根的概念。

3.对于根式的性质（知识探究二）的教学，完全是由学生自主完成表格1，然后通过观察各行各列之间的关系得到根式的表示与性质。

指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质.2．教学难点：根式概念的理解.（三）教学方法本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.（四）教学过程备选例题例1 计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2） （1n >，且n N *∈） （3）（1n >，且n N *∈） 【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-； 当n =3π-. （3）=||x y -， 当x y ≥时，x y -； 当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n（2）不注意n 的奇偶性对式子n n a 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.例2 求值：【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；【解析】==||2|2=+--=--2(2=【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程例1计算（1）.)01.0(41225325.02120-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+； 【解析】（1）原式1122141149100⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111.61015=+-=（2）原式=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+ =3121)31()87(31.0---+-+ =73142778910=+-+. 【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2 化简下列各式： （1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb ba a ⨯-÷++-.【解析】 （1）原式=321233153832327----÷÷a aa aa a=323732-÷÷a a a =312213732)()(-÷÷a a a=326732326732---÷=÷÷aa aa a=632a a =；（2）原式=313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=a a a a =⋅⋅=313131.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如8)2(])2[()2(2162166==-=-.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.2.1.1 指数与指数幂的运算（三）（一）教学目标 1．知识与技能：能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. 2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质. 3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. （二）教学重点、难点1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.（三）教学方法1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化.2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程.（四）教学过程备选例题 例1 已知32121=+-aa ，求下列各式的值.;+-1)1(a a;)2(22-+a a33221122(3).a a a a----【分析】从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121=+-aa 的联系，进而整体代入求值.【解析】（1）将32121=+-a a 两边平方，得.921=++-a a 即.71=+-a a（2）将上式平方，有.49222=++-a a.4722=+∴-a a（3）由于3213212323)()(---=-a a aa∴33221122a a a a----1111122221122()()a a a a a a a a-----++⋅=-118.a a -=++=【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.例2 化简.111113131313132---+++++-x xx x x x x x【分析】根据本题的特点，须注意到)1()1(1)(13132313331++⋅-=-=-x x x x x ，=+1x 1121333333()1(1)(1),x x x x +=+-+1111112333333[()1](1)(1)x x x x x x x -=-=-+，应对原式进行因式分解. 【解析】原式111)(1)(1)(31313231313331312313331---+++++-=x x x x x x x x x1213332133(1)(1)()1x x x x x -++=++12133313(1)(1)1x x x x +-+++1)1)(1(31313131-+--x x x x121213333311x x x x x =-+-+-- 13.x =-【小结】解这类题，要注意运用下列公式：11112222,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2111122222,a b a a b b ⎛⎫±=±+ ⎪⎝⎭112112333333.a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫±+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

210
(25 )2
25
10
22;
3 312
3 (34)3
34
12
33;
12
4 a12 4 (a3)4 a3 a 4 ;
10
5 a10 5 (a2)5 a2 a 5 .
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整
除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
你能表示下列式子吗?
3
5 43 45;
3 75
5
73;
2
3 a2 a3;
9
7 a9 a7.
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指 数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.
1.规定：正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N , 且n 1)
2.规定：正数的负分数指数幂的意义：
m
an
1
m
an
1 n am
1
36
2 3 113216
111 236
236.
(2)( 3 25 125) 4 5
23
1
(53 52 )54
2131
53 54 52 54
21 31
5
5
53 4 52 4 512 54
12 55 54 5.
(1) [(
8)
2 3
(3
102
9
)2]
105.
(2)
(
81 625
)
3 4
[(3)2
3
]2
(3)
3
(
3a 3 27b3
)4
9
(4) a 2 4 b3
(1) [(

高中数学指数与指数幂的运算教案教学目标1.理解指数和幂的概念；2.掌握指数的基本运算法则；3.掌握指数幂的计算方法。

教学重难点1.掌握指数的基本运算法则；2.掌握指数幂的计算方法。

教学内容1. 指数的概念指数是数学中一个重要的概念，用于表示一个数的幂次。

指数通常写在一个数的右上角，如a n，其中a是底数，n是指数。

指数的计算可以用重复乘法的方法进行。

2. 指数的基本运算法则2.1. 指数相加、相减指数相加时，如果底数相同，则可以将指数相加，即 $a^m \\times a^n =a^{m+n}$。

指数相减时，如果底数相同，则可以将指数相减，即$\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。

2.2. 指数相乘、相除指数相乘时，如果底数相同，则可以将指数相乘，即(a m)n=a mn。

指数相除时，如果底数相同，则可以将指数相除，即 $\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。

2.3. 幂函数的运算幂函数是一种特殊的函数，它具有y=ax n的形式。

幂函数的运算可以用指数的基本运算法则进行，例如(x m)n=x mn和 $x^m \\times x^n = x^{m+n}$。

3. 指数幂的计算方法指数幂的计算方法包括以下几种。

3.1. 同底数幂的乘方运算当底数相同时，两个幂相乘可以将指数相加，即 $a^m \\times a^n =a^{m+n}$。

例如，$5^3 \\times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$。

3.2. 不同底数幂的乘方运算当底数不同时，两个幂相乘可以先将底数相乘，再将指数相加。

例如，$3^4 \\times 2^4 = (3 \\times 2)^4 = 6^4$。

3.3. 同底数幂的除法运算当底数相同时，两个幂相除可以将指数相减，即 $\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。

例如，$\\dfrac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$。