两个重要的极限习题练习

通过变量替换，再利用重要极限来求解.
(1 t )
2
解：令 t 1 x ，原式 lim t tan
t 0
lim t cot
t 0
t
2
t
lim
t 0
t tan
t
2

2

lim
t 0
2 tan
t
2

2

.
温馨提示：第一个重要极限的3个“孪生兄弟”是：
tan x arcsin x 1 1 ， lim 1 ， lim x sin 1 x 0 x x x x sin x 1 推导出来.它的“冒牌兄弟”是： 这两个“孪生兄弟”容易从重要极限 lim x 0 x sin x lim ，不可混淆. x x lim
以，原式 e 4 .
2 例11.7(难度系数0.4) 求 lim tan n ( ) .
n
4
n
解析：本题是“ 1 ”型未定式.先利用正切函数的半角公式，目的是将底部构造 出“1+…”的形式，然后再化为第二个重要极限，借助等价无穷小替换来求解.
2 1 tan n 2 2 2 tan 2 tan n n lim 1 n 2 1 tan n 2 n 2 1 tan n 2 n tan n
学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点11 两个重要极限 精选习题 作者：邹群
例11.1(难度系数0.2)
0 0
求 lim
x 0
2sin x sin 2 x . x3
解析：本题是“ ”型未定式，先利用半角公式简化，再利用第一个重要极限来 求解.

例5 求 lim e x 1 . x0 x
解 令u ex 1,则x ln(1 u),当x 0时, u 0, 有
ex 1
u
1
lim
lim
lim
1
x0 x
u0 ln(1 u) u0 1 ln(1 u)
u
练习
7.lim n
1+
1 n
n1
1
8.lim 1 2 x x x0
9.lim x
1 2
练习
1.lim tan x x0 x
1 cos x
2.lim x0
x2
x sin 2x 3.lim
x0 x sin 2 x
sin5( x a ) 4.lim
xa x a
5.lim x0
1 x
sin
x+x
sin
1 x
6.lim x
1 x
sin
x+x
sin
1 x
二 、lim(1 1 )x e
2
22
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由sin x,cos x的奇偶性知
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由夹逼定理得 lim sin x 1 x0 x
我们不难证得: lim x 1
x0 sin x
例1 求 lim sinax (a为 非 零 常 数)
x
x2
x2
例3 求 lim(1 1 )3x .
解
x
lim(1
x
x 1 )3x x
lxim(1
1 x
)
x
3
lxim(1

例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
7、 lim(1 x )2x _________. x x
8、 lim(1 1 ) x _________.
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
2、 lim(tan x)tan 2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
4、 lim( n2 1)n n n 1
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
2、 lim sin 2x __________. x0 sin 3x
3、 lim arc cot x __________.

1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(limsin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim x xx -→．解 20cos 1limx xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0．所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim xxx x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.8...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．x x x)11(lim +∞→=e ．xx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x)21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2．当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0，于是 x x x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。