第9章第6讲 双曲线

第6节 双曲线最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知 识 梳 理1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0：(1)若a <c ，则集合P 为双曲线； (2)若a ＝c ，则集合P 为两条射线； (3)若a >c ，则集合P 为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a.2.离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是xm±yn＝0.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.解析设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案 x 28－y 28＝13.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________.解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案 64.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( ) A.(－2，0)，(2，0) B.(－2，0)，(2，0) C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 答案 B5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析 由题意可得3a ＝35，所以a ＝5. 答案 56.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________. 解析 由题意可得，a 2＋4a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即a 2＝16，又a >0，所以a ＝4.答案 4考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45(2)(2019·西安调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)(2018·赣南五校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·长春质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10. 答案 (1)B (2)B考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值. 2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2018·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.解析 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案 (1)C (2)y 243－x 23＝1考点三 双曲线的性质多维探究角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2019·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 2－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)(2019·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.解析 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)， 则|b －2a |a 2＋b2＝1，得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516， 又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2). 答案 (1)B (2)(0，2)[思维升华]已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程. [易错防范]1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x . 4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12x B.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 答案 B2.(2019·重庆九校联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C.2D.62解析 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－1＝ 2. 答案 A3.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2解析 法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 答案 D4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1 B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1 解析 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝ba x ， 可得F 到渐近线y ＝ba x 的距离d ＝bca 2＋b 2＝b ， 在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1. 答案 C5.(2019·呼和浩特质检)已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±6xD.y ＝±66x解析 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x .答案 D 二、填空题6.(2018·沈阳模拟)直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为________________. 解析 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，ba ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案 x 25－y 220＝17.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________. 解析 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.答案 32158.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.解析 由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2，可得c ＝3a ，所以e ＝c a ＝3. 答案3三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.解 (1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3. 又OM →＋ON →＝tOD →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)2－4×84>0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22xD.y ＝±2x解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎨⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案 D12.(2019·广东六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2，2＋6] B.[2，3＋1] C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ， ∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2].又e >1，∴e ∈[2，3＋1]. 答案 D13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.解析 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2.答案3－1 214.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。

第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略．①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； ②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在；③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e22＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、选填题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)解析：选C∵原方程可化为x21－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.解析：因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)4．若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝1＋m，所以e＝ca＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：25．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．解析：由题意得2a＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.答案：x 220－y 216＝1考点一 双曲线的标准方程[基础自学过关][题组练透]1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)， 所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：选A 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.4．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝15．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[名师微点]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． [提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(如第4题)考点二 双曲线的定义及其应用 [师生共研过关][典例精析](1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.(3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[解析] (1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义知，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，且a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22， 则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.(3)因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.[答案] (1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)34(3)9[解题技法]双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．[过关训练]1．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1解析：选A 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x ＞2)．考点三 双曲线的几何性质[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[例1] (1)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca＝5.[答案] (1)B (2)A考法(二) 求双曲线的渐近线[例2] (2019·武汉调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a 2＝25，b 2＝16，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35， ∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A考法(三) 求双曲线的方程[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 [解析] 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ， 所以F (－2a ,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a ＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22， 所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1.[答案] B[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.3．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1―→·MF 2―→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233解析：选A 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)， MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1―→·MF 2―→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.。