【高考精品复习】第九篇 解析几何 第6讲 双曲线

第6讲双曲线双基自测1．双曲线x210－y22＝1的焦距为()．A．3 2 B．4 2 C．3 3 D．4 3 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()．A．2 B．2 2 C．4 D．4 23．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()．A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±22x D．y＝±12x4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1 C.x23－y26＝1 D.x26－y23＝15．设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________．考向一求双曲线的标准方程【例1】►设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()．A.x242－y232＝1 B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122＝1【训练1】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．难点突破——高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题【示例1】►(2010·广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()．A.45 B.35 C.25 D.15【示例2】►(2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于()．A.12或32 B.23或2C.12或2 D.23或32A 组一、选择题1．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y xB ．191622=+-y xC ．116922=+y xD ．116922=-y x 2．方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 3．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x 4．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x5．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x6．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题7．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.8．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是_________.B 组1．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52D ．3 2．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点 P (3，y 0)在双曲线上．则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．43．设双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点(5,0)的距离为15，则P 点到(－5,0)的距离是________． 4．(2011年江西)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝__________. 5．(2011年北京)已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________. 6．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，虚轴长为2 2. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．。

１．双曲线的定义平面内与两个定点F１，F２的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F１F ２）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M||MF１—MF２|＝２a}，F１F２＝２c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0．（１）当２a＜F１F２时，P点的轨迹是双曲线；（２）当２a＝F１F２时，P点的轨迹是两条射线；（３）当２a＞F１F２时，P点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≤—a或x≥a，y∈R y≤—a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A１（—a,0），A２（a,0）顶点坐标：A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞）a，b，c的关系c２＝a２＋b２实虚轴线段A１A２叫做双曲线的实轴，它的长A１A２＝错误!；线段B１B２叫做双曲线的虚轴，它的长B１B２＝错误!；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]１．双曲线x２—５y２＝１0的焦距为________．解析：∵双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，∴a２＝１0，b２＝２，∴c２＝a２＋b２＝１２，c＝２错误!，故焦距为４错误!.答案：４错误!２．双曲线２x２—y２＝8的实轴长为________．解析：双曲线２x２—y２＝8的标准方程为错误!—错误!＝１，实轴长为２a＝４．答案：４３．已知双曲线错误!—错误!＝１的右焦点为（３,0），则该双曲线的离心率等于________．解析：∵右焦点为（３,0），∴c＝３．∴a２＝c２—b２＝9—５＝４，∴a＝２，∴e＝错误!＝错误!.答案：错误!１．双曲线的定义中易忽视２a＜F１F２这一条件．若２a＝F１F２，则轨迹是以F１，F２为端点的两条射线，若２a＞F１F２，则轨迹不存在．２．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（１，错误!）；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝错误!；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈（错误!，＋∞）．３．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a２＝b２＋c２，而在双曲线中c２＝a２＋b２.４．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±错误!，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±错误!.[小题纠偏]１．设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线左、右两个焦点，若PF１＝9，则PF２等于________．解析：由题意知PF１＝9＜a＋c＝１0，所以P点在双曲线的左支，则有PF２—PF１＝２a＝8，故PF＝PF１＋8＝１7．２答案：１7２．若a＞１，则双曲线错误!—y２＝１的离心率的取值范围是________．解析：由题意得双曲线的离心率e＝错误!.即e２＝错误!＝１＋错误!.因为a＞１，所以0＜错误!＜１，所以１＜１＋错误!＜２，所以１＜e＜错误!.答案：（１，错误!）３．离心率为错误!，且经过（—错误!，２）的双曲线的标准方程为________．解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为错误!—错误!＝１．则有错误!解得错误!所以所求双曲线的标准方程为x２—错误!＝１．当双曲线焦点在y轴上时，设方程为错误!—错误!＝１．则有错误!解得错误!所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：x２—错误!＝１或错误!—错误!＝１错误!错误![题组练透]１．若方程错误!＋错误!＝１（k∈R）表示双曲线，则k的取值范围是________．解析：依题意可知（k—３）（k＋３）＜0，解得—３＜k＜３．答案：（—３,３）２．已知双曲线C：错误!—错误!＝１的离心率e＝错误!，且其右焦点为F２（５,0），则双曲线C的标准方程为________．解析：因为所求双曲线的右焦点为F２（５,0）且离心率为e＝错误!＝错误!，所以c＝５，a＝４，b ２＝c２—a２＝9，所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１３．若以F１（—错误!，0），F２（错误!，0）为焦点的双曲线过点（２,１），则该双曲线的标准方程为________．解析：依题意，设题中的双曲线方程是错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），则有错误!解得a２＝２，b２＝１．因此该双曲线的标准方程是错误!—y２＝１．答案：错误!—y２＝１４．（２0１9·苏锡常镇调研）已知双曲线Γ过点（２，错误!），且与双曲线错误!—y２＝１有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为________．解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝λ，将点（２，错误!）的坐标代入，得１—３＝λ，∴λ＝—２，∴所求双曲线的方程为错误!—y２＝—２，其标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１[谨记通法]求双曲线标准方程的一般方法（１）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线错误!—错误!＝１有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0）．（２）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．错误!错误![典例引领]１．设F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F１AF２＝90°且AF１＝３AF２，则双曲线的离心率为________．解析：因为∠F１AF２＝90°，故AF错误!＋AF错误!＝F１F错误!＝４c２，又AF１＝３AF２，且AF１—AF２＝２a，故１0a２＝４c２，故错误!＝错误!，故e＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·海门中学检测）已知双曲线x２—错误!＝１的两个焦点为F１，F２，P为双曲线右支上一点．若PF１＝错误!PF２，则△F１PF２的面积为________．解析：由双曲线的定义可得PF１—PF２＝错误!PF２＝２a＝２，解得PF２＝6，故PF１＝8，又F１F２＝１0，由勾股定理可知三角形PF１F２为直角三角形，因此S△PF１F２＝错误!PF１·PF２＝２４．答案：２４[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]１．设F１，F２分别为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得PF１＋PF２＝３b，PF１·PF２＝错误!ab，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设条件得PF１＋PF２＝３b，由双曲线的定义得|PF１—PF２|＝２a，两个式子平方相减得PF１·PF２＝错误!，则错误!＝错误!ab，整理得（３b—４a）·（３b＋a）＝0，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!２．设双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，过F１的直线l交双曲线左支于A，B 两点，则BF２＋AF２的最小值为________．解析：由双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，得a＝２，由双曲线的定义可得AF２—AF１＝４，BF２—BF１＝４，所以AF２—AF１＋BF２—BF１＝8．因为AF１＋BF１＝AB，当AB是双曲线的通径时，AB最小，所以（AF２＋BF２）min＝AB min＋8＝错误!＋8＝１0．答案：１0错误!错误![锁定考向]双曲线的几何性质是高考命题的热点．常见的命题角度有：（１）求双曲线的离心率或范围；（２）求双曲线的渐近线方程；（３）双曲线性质的应用．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率或范围１．（２0１8·海安高三质量测试）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±错误!x，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知错误!＝错误!，即b２＝３a２，所以c２＝a２＋b２＝４a２，所以e＝错误!＝２．答案：２２．（２0１7·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A（a,0），设点M，N在渐近线y＝错误!x，即bx—ay＝0上，则圆心A到此渐近线的距离d＝错误!＝错误!.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝错误!，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!角度二：求双曲线的渐近线方程３．（２0１9·徐州调研）若双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，则双曲线C的渐近线方程为________．解析：∵双曲线C的离心率为错误!，∴e＝错误!＝错误!，则c２＝１0a２＝a２＋b２，得b２＝9a２，即b＝３a，则双曲线C的渐近线方程为y＝±错误!x＝±３x.答案：y＝±３x角度三：双曲线性质的应用４．已知点F１，F２分别为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若错误!的最小值为9a，则双曲线的离心率为________．解析：在双曲线中，P为右支上一点，则PF１＝PF２＋２a，则错误!＝错误!＝PF２＋错误!＋４a≥２错误!＋４a＝8a（当且仅当PF２＝２a时取等号），因为已知错误!min＝9a，故PF２≠２a，在双曲线右支上点P 满足（PF２）min＝c—a，则c—a＞２a，即c＞３a，故e＞３，又由错误!≥9a，即错误!≥9a可得e≤２或e≥５，综上可得，e≥５，故当错误!取最小值9a时，e＝５．答案：５[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略（１）求双曲线的离心率（或范围）．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得．（２）求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．（３）求双曲线的方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．（４）求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．[演练冲关]１．（２0１9·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点都在双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）上，若双曲线的焦点在正方形的外部，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：由题意，可设正方形与双曲线的某个交点为A（m，m），则双曲线错误!—错误!＝１，可得m ２＝错误!＜c２，即c２b２—c２a２＞a２b２，又c２＝b２＋a２，化简可得c４—３c２a２＋a４＞0，即e４—３e２＋１＞0，又e＞１，解得e＞错误!，故该双曲线的离心率的取值范围是错误!.答案：错误!２．（２0１8·无锡调研）双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，焦点到渐近线的距离为３，则C的实轴长等于________．解析：因为e＝错误!＝错误!，所以c＝错误!a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，即ax—by ＝0，焦点为（0，c），所以错误!＝b＝３，所以a＝错误!＝错误!，所以a２＝１6，即a＝４，故２a＝8．答案：8３．（２0１8·盐城二模）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y＝错误! x与双曲线相交于A，B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意可知，双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c,0），联立错误!整理得（9b２—１6a２）x２＝9a２b２，即x２＝错误!，∴A与B关于原点对称，设A错误!，B错误!，则错误!＝错误!，错误!＝错误!，∵AF⊥BF，∴错误!·错误!＝0，即（x—c）（—x—c）＋错误!x×错误!＝0，整理得c２＝错误!x２，∴a２＋b２＝错误!×错误!，即9b４—３２a２b２—１6a４＝0，∴（b２—４a２）（9b２＋４a２）＝0，∵a＞0，b＞0，∴9b２＋４a２≠0，∴b２—４a２＝0，故b＝２a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±２x.答案：y＝±２x４．已知双曲线x２—错误!＝１的左顶点为A１，右焦点为F２，P为双曲线右支上一点，则错误!·错误!的最小值为________．解析：由题可知A１（—１,0），F２（２,0）．设P（x，y）（x≥１），则错误!＝（—１—x，—y），错误!＝（２—x，—y），错误!·错误!＝（—１—x）（２—x）＋y２＝x２—x—２＋y２＝x２—x—２＋３（x２—１）＝４x２—x—５．因为x≥１，函数f（x）＝４x２—x—５的图象的对称轴为x＝错误!，所以当x＝１时，错误!·错误!取得最小值—２．答案：—２一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·滨湖月考）已知双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，实轴长为１２，则该双曲线的标准方程为________________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，实轴长为１２，∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为错误!—错误!＝１，a＞0，b＞0，此时错误!解得a＝6，b＝４，∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为错误!—错误!＝１，a＞0，b＞0，此时错误!解得a＝6，b＝9，∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１２．已知双曲线x２＋my２＝１的虚轴长是实轴长的２倍，则实数m的值是________．解析：依题意得m＜0，双曲线方程是x２—错误!＝１，于是有错误!＝２×１，m＝—错误!.答案：—错误!３．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为________．解析：由条件e＝错误!，即错误!＝错误!，得错误!＝错误!＝１＋错误!＝３，所以错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.答案：y＝±错误!x４．（２0１8·苏州高三暑假测试）双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的右焦点与抛物线y２＝8x的焦点重合，则m＝________.解析：因为双曲线的右焦点为（错误!，0），抛物线的焦点为（２,0），所以错误!＝２，解得m＝３．答案：３５．（２0１9·常州一中检测）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的一条渐近线方程为x—错误!y＝0，则实数m的值为________．解析：∵双曲线错误!—y２＝１（m＞0）的渐近线方程为x±my＝0，已知其中一条渐近线方程为x—错误!y＝0，∴m＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏北四市摸底）已知双曲线x２—错误!＝１（m＞0）的一条渐近线方程为x＋错误!y＝0，则实数m＝________.解析：双曲线x２—错误!＝１（m＞0）的渐近线为y＝±mx，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x＋错误!y＝0，所以m＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．解析：由渐近线互相垂直可知错误!·错误!＝—１，即a２＝b２，即c２＝２a２，即c＝错误!a，所以e ＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·常州期末）双曲线错误!—错误!＝１的右焦点与左准线之间的距离是________．解析：因为a２＝４，b２＝１２，所以c２＝１6，即右焦点为（４,0），又左准线为x＝—错误!＝—１，故右焦点到左准线的距离为５．答案：５３．（２0１8·南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0）的一条渐近线与直线y＝２x＋１平行，则实数a＝________.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±错误!x.因为一条渐近线与直线y＝２x＋１平行，所以错误!＝２，解得a＝１．答案：１４．已知直线l与双曲线C：x２—y２＝２的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x１，x１），B（x２，—x２），所以AB中点坐标为错误!，所以错误!２—错误!２＝２，即x１x２＝２，所以S△AOB＝错误!OA·OB＝错误!|错误!x１|·|错误!x２|＝x１x２＝２．答案：２５．（２0１8·镇江期末）双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意c—错误!＝２a，即错误!２—２·错误!—１＝0，e２—２e—１＝0，解得e＝１±错误!.又因为双曲线的离心率大于１，故双曲线的离心率为１＋错误!.答案：１＋错误!6．（２0１9·连云港调研）渐近线方程为y＝±２x，一个焦点的坐标为（错误!，0）的双曲线的标准方程为________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±２x，∴设双曲线方程为x２—错误!＝λ（λ≠0），∵一个焦点的坐标为（错误!，0），∴（错误!）２＝λ＋４λ，解得λ＝２，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１7．（２0１9·淮安模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点与圆x２＋y２—１0x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于错误!，则该双曲线的标准方程为________．解析：将圆x２＋y２—１0x＝0化成标准方程，得（x—５）２＋y２＝２５，则圆x２＋y２—１0x＝0的圆心为（５,0）．∴双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点为F（５,0），又该双曲线的离心率等于错误!，∴c＝５，且错误!＝错误!，∴a２＝５，b２＝c２—a２＝２0，故该双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１8．已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，点P在双曲线的右支上，且PF１＝４PF２，则双曲线的离心率e的最大值为________．解析：由双曲线定义知PF１—PF２＝２a，又已知PF１＝４PF２，所以PF１＝错误!a，PF２＝错误!a，在△PF１F２中，由余弦定理得cos∠F１PF２＝错误!＝错误!—错误!e２，要求e的最大值，即求cos∠F１PF２的最小值，因为cos∠F１PF２≥—１，所以cos∠F１PF２＝错误!—错误!e２≥—１，解得e≤错误!，即e的最大值为错误!.答案：错误!9．已知双曲线的中心在原点，焦点F１，F２在坐标轴上，离心率为错误!，且过点（４，—错误!），点M（３，m）在双曲线上．（１）求双曲线的方程；（２）求证：错误!·错误!＝0；（３）求△F１MF２的面积．解：（１）因为e＝错误!，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x２—y２＝λ.因为双曲线过点（４，—错误!），所以１6—１0＝λ，即λ＝6．所以双曲线方程为x２—y２＝6．（２）证明：设错误!＝（—２错误!—３，—m），错误!＝（２错误!—３，—m）．所以错误!·错误!＝（３＋２错误!）×（３—２错误!）＋m２＝—３＋m２，因为M点在双曲线上，所以9—m２＝6，即m２—３＝0，所以错误!·错误!＝0．（３）因为△F１MF２的底边长F１F２＝４错误!.由（２）知m＝±错误!.＝错误!×４错误!×错误!＝6．所以△F１MF２的高h＝|m|＝错误!，所以S△F１MF２１0．（２0１8·启东中学检测）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F１，F２，一条渐近线方程为２x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为１．（１）求此双曲线的方程；（２）若点M错误!在双曲线上，求证：点M在以F１F２为直径的圆上．解：（１）依题意得错误!解得错误!故双曲线的方程为错误!—x２＝１．（２）证明：因为点M错误!在双曲线上，所以错误!—错误!＝１．所以m２＝错误!，又双曲线错误!—x２＝１的焦点为F１（0，—错误!），F２（0，错误!），所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—（错误!）２＋m２＝错误!—５＋错误!＝0，所以MF１⊥MF２，所以点M在以F１F２为直径的圆上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x，y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为３0°，１５0°，斜率为±错误!，故错误!＝错误!.∵c２＝a２＋b２，∴错误!＝错误!，即e２—１＝错误!，解得e＝错误!.若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°，１２0°，斜率为±错误!，故错误!＝错误!.同理可求得e＝２．综上，e＝错误!或２．答案：错误!或２２．（２0１8·南通中学高三数学练习）已知点F是双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析：由题意得F（—c,0），A错误!，B错误!，E（a，0）．因为△ABE是锐角三角形，所以错误!·错误!＞0，即错误!·错误!＝错误!·错误!＞0．整理，得３e２＋２e＞e４.所以e３—e—２e—２＝e（e＋１）（e—１）—２（e＋１）＝（e＋１）２（e—２）＜0，解得0＜e＜２．又e＞１，所以e∈（１,２）．答案：（１,２）３．已知椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１，双曲线C２的左、右焦点分别是C１的左、右顶点，而C２的左、右顶点分别是C１的左、右焦点，O为坐标原点．（１）求双曲线C２的方程；（２）若直线l：y＝kx＋错误!与双曲线C２恒有两个不同的交点A和B，且错误!·错误!＞２，求k的取值范围．解：（１）设双曲线C２的方程为错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），则a２＝４—１＝３，c２＝４，再由a２＋b２＝c２，得b２＝１，故双曲线C２的方程为错误!—y２＝１．（２）将y＝kx＋错误!代入错误!—y２＝１，得（１—３k２）x２—6错误!kx—9＝0．由直线l与双曲线C２交于不同的两点，得错误!所以k２＜１且k２≠错误!.１设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!.所以x１x２＋y１y２＝x１x２＋（kx１＋错误!）（kx２＋错误!）＝（k２＋１）x１x２＋错误!k（x１＋x２）＋２＝错误!.又因为错误!·错误!＞２，即x１x２＋y１y２＞２，所以错误!＞２，即错误!＞0，解得错误!＜k２＜３．２由１２得错误!＜k２＜１，故k的取值范围为错误!∪错误!.。