九年级培优数学试题7

人教版九年级数学章节培优训练试卷班级姓名第二十二章二次函数22.3 实际问题与二次函数第3课时实物抛物线问题一、选择题1. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为( )A.y=26675x2 B.y=-26675x2 C.y=131350x2 D.y=-131350x22. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=49x2+5的一部分，则杯口的口径AC=( )A.7B.8C.9D.103. 如图，从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面40m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )3A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m4. 如图，抛物线型的拱门的地面宽度为20米，两侧离地面15米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为10米，则拱门的最大高度为( )A.10米B.15米C.20米D.30米5.如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中点M 5米的地方，桥的高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后，速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0 m/s;④小球的高度h=30 m 时，t=1.5 s.其中正确的是( )A.①④B.①②C.②③④D.②③7.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-k)2+h.已知球与O 点的水平距离为6 m 时，达到最高2.6 m ，球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m ，则下列判断正确的是( )A.球不会过球网B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界D.无法确定球能否过球网 二、填空题8.如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y(单位:m)与跳跃时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-35x 2+65x+45，那么他能跳过的最大高度为 m.9.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状的，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯.两盏景观灯之间的水平距离为米.10.如图所示，从O点正上方2 m的点A处向右上方抛一个小球P，小球运动的路线呈抛物线形状，该抛物线为L，小球与O点的水平距离为2 m时达到最大高度6 m，然后落在下方台阶上弹起，已知MN=4 m，FM=DE=BC=1.2 m，ON=CD=EF=1 m，若小球弹起后的运动路线是一条与L形状相同的抛物线，且落点Q与B，D在同一直线上，则小球弹起后的最大高度是m.三、解答题11.如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O处开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米.(1)求抛物线的函数关系式;(2)求点O到训练墙AB的距离(OA的长度).12.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为12 m.现将它放在如图所示的直角坐标系中.(1)求这条抛物线的解析式;(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船能否从此桥洞通过?13.某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y(单位:m)与行进的水平距离x(单位:m)之间关系的图象如图所示.已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5 m，篮筐距地面的高度为3.05 m，当篮球行进的水平距离为3 m时，篮球距地面的高度达到最大，为3.3 m.(1)图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为;(2)求篮球出手时距地面的高度.答案全解全析一、选择题1.答案 B 设抛物线的表达式为y=ax 2(a≠0)，将B(45，-78)代入得-78=a×452，解得a=-26675，故此抛物线型钢拱的函数表达式为y=-26675x 2.故选B.2.答案 C 由题意得14=49x 2+5，解得x=±92，∴A (-92,14)，C (92,14)，∴AC=92-(-92)=9，故选C.3.答案 B 如图，建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点M 的坐标为(1,403)，A 点坐标为(0，10).设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+403，将A(0，10)代入得10=a+403，解得a=-103.∴抛物线的解析式为y=-103(x-1)2+403.当y=0时，0=-103(x-1)2+403，解得x 1=-1(舍去)，x 2=3.∴OB=3 m.故选B.4.答案 C 如图所示，以线段CD 所在直线为x 轴，线段CD 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，此时，抛物线与 x 轴的交点为 C(-10，0)，D(10，0)，设这条抛物线的解析式为 y=a(x-10)·(x+10)，∵抛物线经过点 B(5，15)，∴15=a(5-10)×(5+10)，解得a=-15，∴y=-15(x-10)(x+10)=-15x 2+20，∴当x=0时，y 取得最大值，此时y=20，即拱门的最大高度是20米.故选C.5. 答案 D 如图，以M 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，∵桥的最大高度是16米，跨度是40米，∴C(0，16)，A(-20，0)，B(20，0)，设抛物线解析式为y=ax 2+16，将A(-20，0)代入得0=400a+16，解得a=-125，∴抛物线解析式为y=-125x 2+16，当x=5时，y=-125×52+16=-1+16=15，∴在线段AB 上离中点M 5米的地方，桥的高度是15米.6. 答案 D ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，经过的路程是40×2=80(m)，故①错误;②小球抛出3秒后开始下降，速度越来越快，故②正确;③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0 m/s ，故③正确;④设函数解析式为h=a(t-3)2+40，把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-409，∴函数解析式为h=-409(t-3)2+40，把h=30代入解析式，得30=-409(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，∴小球的高度h=30 m 时，t=1.5 s 或4.5 s ，故④错误.故选D.7. 答案 C ∵球与O 点的水平距离为6 m 时，达到最高2.6 m ， ∴抛物线为y=a(x-6)2+2.6.∵抛物线y=a(x-6)2+2.6过点(0，2)，∴2=a(0-6)2+2.6，解得a=-160，故y 与x 的关系式为y=-160(x-6)2+2.6，当x=9时，y=-160×(9-6)2+2.6=2.45>2.43，所以球能过球网;当y=0时，-160(x-6)2+2.6=0，解得x 1=6+2√39>18，x 2=6-2√39(舍去)，故会出界. 二、填空题 8.答案 75解析 ∵y=-35x 2+65x+45=-35(x-1)2+75，∴他能跳过的最大高度为75m.9.答案 5解析 建立平面直角坐标系如图所示，则抛物线的顶点坐标为(5，5)，且经过点(0，1)，设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+5(a≠0)，把点(0，1)代入得1=a(0-5)2+5，解得a=-425，∴抛物线的解析式为y=-425(x-5)2+5.令y=4，可解得x 1=152，x 2=52，∴两盏景观灯之间的水平距离是152-52=5米.10.答案12136解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，B(4.6，2)，C(3.4，2)，D(3.4，3)，抛物线L 的顶点为(2，6).设抛物线L 的解析式为y=a(x-2)2+6， 把点A(0，2)代入得，4a+6=2，解得a=-1. ∵抛物线L 的对称轴为直线x=2， ∴点A 关于该对称轴的对称点为(4，2)， ∴小球落在BC 上.设直线BD 的解析式为y=kx+b ，∴{4.6k +b =2,3.4k +b =3,解得{k =-56,b =356,∴直线BD 的解析式为y=-56x+356，令y=0，则x=7，∴Q(7，0).∵小球弹起后的运动路线是一条与L 形状相同的抛物线， ∴设弹起后的抛物线的解析式为y=-x 2+mx+n ，把(4，2)，(7，0)代入得{-16+4m +n =2,-49+7m +n =0,解得{m =313,n =-703,∴弹起后的抛物线的解析式为y=-x 2+313x-703=-(x -316)2+12136，∴小球弹起后的最大高度为12136m.三、解答题11.解析 (1)由题意得，E(20，6)和C(0，2)， 设抛物线的函数关系式为y=a(x-20)2+6， ∴2=a(0-20)2+6， 解得a=-0.01，∴抛物线的函数关系式为y=-0.01(x-20)2+6. (2)当y=3时，3=-0.01(x-20)2+6， 解得x 1=20+10√3，x 2=20-10√3(舍去).答:点O 到训练墙AB 的距离(OA 的长度)为(20+10√3)米.12.解析 (1)由图象可知抛物线的顶点坐标为(6，4)，过点(12，0)， 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4，则0=a(12-6)2+4，解得a=-19， 即这条抛物线的解析式为y=-19(x-6)2+4. (2)当x=12×(12-4)=4时，y=-19×(4-6)2+4=329>3，∴货船能通过此桥洞.13.解析 (1)(4.5，3.05);(3，3.3).(2)设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+3.3，把B(4.5，3.05)代入得，3.05=a(4.5-3)2+3.3，解得a=-19， ∴抛物线的解析式为y=-19(x-3)2+3.3， 当x=0时，y=2.3.答:篮球出手时距地面的高度为2.3米.。

人教版九年级数学上册期末培优提升卷时间：120分钟满分：150分一、选择题(共48分)1．下列手机软件图标中，是中心对称图形的是()2．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＜5 B．k＜5且k≠1C．k≤5且k≠1 D．k＞53．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为( )A.722B．3 2 C．5 D．6第3题图第4题图4．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为()A．18 B.1095 C.965 D.2535．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是（）A．2 B．3 C．－1，2 D．－1，36．如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O 上，连接OC ，EC ，ED ，则∠CED 的度数为( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°第6题图 第8题图 第9题图7．将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）A ．y ＝(x －2)2＋3B ．y ＝(x ＋2)2＋3C ．y ＝2(x －2)2－3D ．y ＝2(x ＋2)2＋38．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，已知AP ＝3，则PP ′的长度是（ ）A ．3B ．3 2C ．5 2D ．49．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB ︵的中点，则下列结论不成立的是（ ）A ．OC ∥AEB ．EC ＝BC C ．∠DAE ＝∠ABED ．AC ⊥OD 10．正方形ABCD 的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为( )A.π－22B.π－24C.π－28D.π－216第10题图第11题图11．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a ＋b <0；②－1≤a ≤－23；③对于任意实数m ，a ＋b ≥am 2＋bm 总成立；④关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 12．如图所示，抛物线y 1＝a(x ＋2)2－3与y 2＝12(x －3)2＋1交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ，则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a ＝1；③当x ＝0时，y 2－y 1＝4；④2AB ＝3AC.其中正确结论是( )第12题图A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题(共30分)13．(1)关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，x 21＋x 22＝7，则(x 1－x 2)2的值是____．(2)若α，β为方程2x 2－5x －1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为 .14．若从－1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，则点M 在第二象限的概率是 .15．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为32米的喷水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数解析式是 .第15题图第16题图 第17题图16．如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，点D 在x 轴的负半轴上．将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°至正方形AB ′C ′D ′，B ′C ′与CD 相交于点M ，则点M 的坐标为 .17．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，O 为AC 上一点，OA ＝2，以点O 为圆心，以OA 长为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE ，OF ，则图中阴影部分的面积是 .18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A (3，0)，B (0，2)．动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，P 点的坐标为 .三、解答题（共72分）19．解方程：(1)x2－4x－8＝0；(2)3x－6＝x(x－2)．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，2)，请解答下列问题；(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2BC2，并写出A2的坐标；(3)画出和△A2BC2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．21．如图为二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 图象的一部分，它与x 轴的一个交点坐标为A (－1，0)，与y 轴的交点坐标为B (0，3)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．22．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC ＝38°.(1)如图①，若D 为AB ︵的中点，连接BC ，BD .求∠ABC 和∠ABD 的大小；(2)如图②，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，连接OC .若DP ∥AC ，求∠OCD 的大小．23．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．(1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是；(2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．24．鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？(3)①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3 910元的利润？②若该店每星期想要获得不低于3 910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大．求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．人教版九年级数学上册期末培优提升卷及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列手机软件图标中，是中心对称图形的是(C)2．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(B)A．k＜5 B．k＜5且k≠1C．k≤5且k≠1 D．k＞53．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为( C)A.722B．3 2 C．5 D．6第3题图 第4题图4．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E .若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( B )A ．18 B.1095 C.965 D.2535．方程(x ＋1)(x －2)＝x ＋1的解是（ D ）A ．2B ．3C ．－1，2D ．－1，36．如图，直线AB 是⊙O 的切线，C 为切点，OD ∥AB 交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，连接OC ，EC ，ED ，则∠CED 的度数为( D )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°第6题图 第8题图 第9题图7．将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ D ）A ．y ＝(x －2)2＋3B ．y ＝(x ＋2)2＋3C ．y ＝2(x －2)2－3D ．y ＝2(x ＋2)2＋38．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，已知AP ＝3，则PP ′的长度是（ B ）A ．3B ．3 2C ．5 2D ．49．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB ︵的中点，则下列结论不成立的是（ D ）A ．OC ∥AEB ．EC ＝BCC ．∠DAE ＝∠ABED ．AC ⊥OD10．正方形ABCD 的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为( A )A.π－22B.π－24C.π－28D.π－216第10题图第10题图11．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a ＋b <0；②－1≤a ≤－23；③对于任意实数m ，a ＋b ≥am 2＋bm 总成立；④关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．412．如图所示，抛物线y 1＝a(x ＋2)2－3与y 2＝12(x －3)2＋1交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ，则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a ＝1；③当x ＝0时，y 2－y 1＝4；④2AB ＝3AC.其中正确结论是( D )第12题图A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题13．(1)关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，x 21＋x 22＝7，则(x 1－x 2)2的值是__13__．(2)若α，β为方程2x 2－5x －1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为 12 .14．若从－1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，则点M 在第二象限的概率是 13.15．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为32米的喷水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数解析式是y ＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4.第15题图第16题图第17题图16．如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，点D 在x 轴的负半轴上．将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°至正方形AB ′C ′D ′，B ′C ′与CD 相交于点M ，则点M的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，33.17．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，O 为AC 上一点，OA ＝2，以点O 为圆心，以OA 长为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE ，OF ，则图中阴影部分的面积是723－43π.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A (3，0)，B (0，2)．动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，P 点的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1或⎝⎛⎭⎪⎫3－5，9－352 .三、解答题19．(6分)解方程： (1)x 2－4x －8＝0； 解：x 2－4x ＋4＝4＋8， (x －2)2＝12， ∴x －2＝±23，∴x 1＝2＋23，x 2＝2－2 3.(2)3x －6＝x (x －2)． 解：3(x －2)＝x (x －2)， ∴(x －2)(x －3)＝0，∴x－2＝0或x－3＝0，∴x1＝2，x2＝3.20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为(2，2)，请解答下列问题；(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2BC2，并写出A2的坐标；(3)画出和△A2BC2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．解：(1)画出△A1B1C1如图，A1(－2，2)．(2)画出△A2BC2如图，A2(4，0)．(3)画出△A3B3C3如图，A3(－4，0)．21．(10分)如图为二次函数y＝－x2＋bx＋c图象的一部分，它与x轴的一个交点坐标为A(－1，0)，与y轴的交点坐标为B(0，3)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．解：(1)∵二次函数经过A (－1，0)，B (0，3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3可化为y ＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的顶点坐标为(1，4)．又∵此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(－2，3)．∴平移后的抛物线的解析式为y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.22．(10分)(2018·天津)已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC ＝38°.(1)如图①，若D 为AB ︵的中点，连接BC ，BD .求∠ABC 和∠ABD 的大小； (2)如图②，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，连接OC .若DP ∥AC ，求∠OCD 的大小．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°.又∵∠BAC ＝38°，∴∠ABC ＝90°－38°＝52°.由D 为AB ︵的中点，得AD ︵＝BD ︵，∴∠ABD＝∠BCD＝12∠ACB＝45°.(2)如图，连接OD.∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°.由DP∥AC，又∠BAC＝38°，∴∠P＝∠BAC＝38°.∵∠AOD是△ODP的外角，∴∠AOD＝∠ODP＋∠P＝128°，∴∠ACD＝12∠AOD＝64°.又OA＝OC，得∠ACO＝∠A＝38°.∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝64°－38°＝26°.23．(10分)(2018·贵阳)图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．(1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是14；(2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．解：列表得共有16种等可能结果，和为14可以到达点C，有3种结果，所以棋子最终跳动到点C处的概率为3 16.24．(10分)(2018·盘锦)鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？(3)①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3 910元的利润？②若该店每星期想要获得不低于3 910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？解：(1)y＝100＋10(60－x)＝－10x＋700.(2)设每星期的销售利润为W元，W＝(x－30)(－10x＋700)＝－10(x－50)2＋4 000.∴当x＝50时，W最大＝4 000.∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润为4 000元．(3)①由题意得－10(x－50)2＋4 000＝3 910，解得x＝53或47，∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3 910元的利润．②由(1)知抛物线y＝－10(x－50)2＋4 000过点(53，3 910)，(47，3 910)，当y>3 910时，x的取值范围为47≤x≤53，∵y＝－10x＋700.∴170≤y≤230，∴每星期至少要销售该款童装170件．25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大．求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．解：(1)由于抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，可设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，将点C(0，－4)代入得a(0＋1)(0－4)＝－4.解得a＝1，所求抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－4)，即y＝x2－3x－4.(2)存在．如解图①，取OC 的中点D (0，－2)，过D 作PD ⊥y 轴，交抛物线点P ，且点P 在第四象限，则点P 的纵坐标为－2，∴x 2－3x －4＝－2，解得x ＝3±172(负值舍去)，满足条件的P点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋172，－2；(3)∵点B (4，0)，点C (0，－4)， ∴直线BC 的解析式为y ＝x －4， 设点P 的坐标为(t ，t 2－3t －4)，如解图②，过P 作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，则点Q 的坐标为(t ，t －4)， ∴|PQ |＝t －4－(t 2－3t －4)＝－t 2＋4t ＝ －(t －2)2＋4，∴当t ＝2时，PQ 取最大值，最大值为4， ∵S △PBC ＝S △PCQ ＋S △PBQ ＝12PQ ·x B ＝PQ ·4＝2PQ ，∴当PQ最大时，S△PBC最大，最大值为8. 此时点P的坐标为(2，－6)．。

【期末测试AB卷】人教版九年级上学期数学·B培优测试一、选择题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•碑林区校级期中）如图所示，几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．2．（2分）（2022秋•朝阳区校级期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．（2分）（2022秋•雨花区期中）下列说法中，正确的是（ ）A．对顶角相等B．“太阳东升西落”是不可能事件C．矩形的对角线互相垂直D．投掷一枚质地均匀的硬币26次，正面朝上的次数一定是13次4．（2分）（2022秋•思明区校级期中）设a，b是方程x2+x﹣30＝0的两个实数根，则a+b+ab的值为（ ）A．29B．﹣29C．31D．﹣315．（2分）（2022秋•工业园区校级期中）若抛物线y ＝x 2﹣bx +8的顶点在x 轴上，则b ＝（ ）A ．±B ．﹣C ．﹣D ．±6．（2分）（2022秋•鹿城区校级期中）已知点A （3，a ），B （﹣3，b ）均在二次函数y ＝﹣（x ﹣2）2+1的图象上，则a ，b ，1的大小关系正确的是（ ）A ．1＜a ＜bB ．1＜b ＜aC ．b ＜a ＜1D ．a ＜b ＜17．（2分）（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，PD 与⊙O 相切于点D ，连接OE 并延长，交PD 于点P ，则∠P 的度数是（ ）A ．36°B ．28°C ．20°D ．18°8．（2分）（2021•朝阳一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的两边OA ，OC 落在坐标轴上，反比例函数y =k x 的图象分别交BC ，OB 于点D ，点E ，且BD CD =54，若S △AOE ＝12，则k 的值为（ ）A ．﹣12B ．―403C ．﹣16D ．﹣9．（2分）（2022秋•邗江区校级月考）如图，O 是位似中心，点A ，B 的对应点分别为点D 、E ，相似比为2：1，若AB ＝8，则DE 的长为（ ）A．8B．10C．12D．1610．（2分）（2022•赤峰模拟）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）A．18πB．20πC．16πD．14π11．（2分）（2022秋•乳山市期中）上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（ ）A．B．C．40海里D．12．（2分）（2022秋•瑞安市校级期中）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y 上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）=―3xA．若x1x3＞0，则y2y3＜0B．若x1x2＞0，则y2y3＞0C．若x1x3＜0，则y2y3＞0D．若x1x2＜0，则y1y3＜0二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）（2022秋•西峡县期中）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E是CD边的中点，F为BE的中点，AE与DF相交于点G，则GF的长等于 ．14．（3分）（2022秋•金牛区校级月考）从2，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数y＝（m+3）x的图象经过第一、三象限，且使关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+2＝0有实数根的概率是 ．15．（3分）（2022秋•乾安县期中）若点（0，a），（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是a b．（填“＞”或“＜”或“＝”）16．（3分）（2022秋•惠安县校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根为x＝2022，则关于x的方程a（x﹣1）2+bx＝b（a≠0）的两个根为 ．17．（3分）（2022秋•兰考县月考）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1，x2，若x2＝2x1，则4b﹣3ac的最大值是 ．18．（3分）（2022秋•建华区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AC＝3，将△ABC绕点C按顺时针旋转135°得到△EDC，则图中阴影部分的面积为 ．三、解答题（共9小题，满分78分）19．（8分）（2022秋•临武县期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0（1），解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（1）试用上述方法解方程：x4﹣2x2﹣3＝0，得原方程的解为 ．（2）解方程（x2+2x）2+3（x2+2x）+2＝0．20．（8分）（2022秋•市中区期中）北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈东、蔡旭哲、刘洋3名航天员送人太空．如图是模拟的火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是5km，仰角为39°；约1.5s后火箭到达B点，此时测得仰角为45°（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.8）．（1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离．（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少千米/秒？21．（8分）（2022秋•宝山区期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．（1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？22．（9分）（2022秋•宝山区期中）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去a%．求a的值．年的基础上增加292523．（9分）（2022秋•常州期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC 到D，连接AD，使AD∥OC．AB交OC于E．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若AE＝CE＝2．求⊙O的半径．24．（9分）（2022秋•西湖区校级期中）初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．（2）如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 人．（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．25．（9分）（2022秋•红花岗区期中）某公司在2022年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x元/件），周销售量y（件），周销售利润w （元）的三组对应值数据．x（元/件）405090y（件）18015030w（元）360045002100（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过56（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是3960元，求m的值．26．（9分）（2022秋•禹会区校级月考）如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y =k x 的图象交于A 、B 两点与x 轴相交于点C ，已知点A ，B 的坐标分别为（3n ，n ）和（m ，﹣3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式x ﹣2＞k x 的解集；（3）点P 为反比例函数y =k x 图象的任意一点，若S △POC ＝3S △AOC ，求点P 的坐标．27．（9分）（2022秋•文登区期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为2cm 的小正方体堆成一个几何体，如图所示：（1）这个几何体是由 个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形；（2）如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需 克漆；（3）若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加 个小正方体．参考答案一、选择题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．D；2．C；3．A；4．D；5．A；6．C；7．D；8．C；9．D；10．A；11．D；12．D；二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．14．15．＝16．x1＝1，x2＝202317．618．；三、解答题（共9小题，满分78分）19．解：（1）设x2＝m，则原方程变为m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1．当m1＝3时，x2＝3，解得x当m2＝﹣1，x2＝﹣1，方程无解．故原方程的解为x1=x2=―故答案为：x1=x2=―（2）设x2+2x＝n，则原方程变为n2+3n+2＝0解得n1＝﹣1，n2＝﹣2．当n1＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，解得x＝﹣1．当n＝﹣2，x2+2x＝﹣2，即x2+2x+2＝0，Δ＝22﹣4×1×2＝﹣6＜0，则方程无解．故原方程的解为x＝﹣1．20．解：（1）在Rt△ARL中，RL＝AR•cos39°≈5×0.78＝3.90（km），答：雷达站到发射处的水平距离为3.90km；（2）在Rt△ARL中，AL＝AR•sin39°≈5×0.63＝3.15（km），在Rt△BRL中，BL＝RL≈3.90（km），∴AB＝BL﹣AL＝3.90﹣3.15≈0.75（km），∴速度为0.75÷1.5＝0.5（km/s），答：这枚火箭从A到B的平均速度为0.5km/s．21．解：（1）∵∠DFA＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CAB，∴△DFA∽△BCA，∴DFBC =AFCA，在Rt△ABC中，∵AB＝0.5m，BC＝0.3m，由勾股定理得AC==0.4（m），∵AF＝16m，∴DF0.3=160.4，∴DF＝12（m），∴DE＝DF+EF＝12+1.5＝13.5（m），答：古树的高度DE为13.5米；（2）∵∠D′FB′＝∠A′C′B′＝90°，∠D′B′F＝∠A′B′C′，∴△D′FB′∽△A′C′B′，∴B′FB′C′=D′FA′C′，∴B′F0.3=120.4，∴B′F＝9（m），∴16﹣9＝7（m），答：小丽向前移动了7米．22．解：（1）设A产品的销售单价为x元，B产品的销售单价为y元，依题意得：x=y+100 x+y=500，解得：x=300 y=200，答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，a%），依题意得：300（1+a%）t+200（1+3a%）（1﹣a%）t＝500t（1+2925设a%＝m，则原方程可化简为5m2﹣m＝0，，m2＝0（不合题意，舍去），解得：m1=15∴a＝20．答：a的值为20．23．（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴OA⊥OC；又∵AD∥OC，∴OA⊥AD，∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2，∴R2+（R﹣2）2＝（2，解得R＝4，∴⊙O的半径为4．24．解：（1）抽取的学生人数为：18÷15%＝120（人），∴扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：360°×24=72°，120∴“良好”等级的人数为120×40%＝48（人），故答案为：72，把条形统计图补充完整如下：（2）320×40%＝128（人），∴参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有128人；故答案为：128；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率=212=16．25．解：（1）设y＝kx+b，由题意有：40k+b=18070k+b=90，解得k=―3b=300，∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；（2）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为40﹣3600÷180＝20（元），∴a＝20，由题意可得w＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，∵﹣3＜0．∴当x＝60时，w最大，最大值为4800，∴售价为60元时，周销售利润W最大，最大利润为4800元；（3）由题意w′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m）＝﹣3x2+（360+3m）x﹣6000﹣300m，对称轴x＝60+m＞60，2∵该商品售价x不得超过56元/件，∴x≤56，∵当售价为56元/件时，周销售利润最大，∴﹣3×562+（360+3m）×56﹣6000﹣300m＝3960，解得：m＝6．∴m的值为6．26．解：（1）把点A（3n，n）代入直线y＝x﹣2得：n＝3n﹣2，解得：n＝1，∴点A的坐标为：（3，1），∵反比例函数y=k的图象过点A，x∴k＝3×1＝3，即反比例函数的解析式为y=3，x（2）把点B（m，﹣3）代入直线y＝x﹣2得，﹣3＝m﹣2，解得m＝﹣1，∴B（﹣1，﹣3），观察函数图象，发现：当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，的解集为﹣1＜x＜0或x＞3；∴不等式x﹣2＞kx（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x﹣2＝0，解得：x＝2，即点C的坐标为：（2，0），∴S△AOC =12×2×1＝1，∵S△POC ＝3S△AOC，∴S△POC =12OC•|y P|＝3，即12×2×|y P|＝3，∴|y P|＝3，当点P的纵坐标为3时，则3=3x，解得x＝1，当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3=3x，解得x＝﹣1，∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．27．解：（1）这个几何体是由10个小正方体组成，三视图如图所示；故答案为：10；（2）这个几何体的表面有38个正方形，去掉地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆，∴表面积为32cm2，32×2＝64（克），∴共需64克漆．故答案为：64．（3）如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加1+2+1＝4个．故答案为：4．。

人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题（含答案）一．选择题1．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．2．抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3 D．y＝（x+3）23．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x＝﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点4．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（）A．6 B．5 C．4 D．35．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m6．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元7．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b8．已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C 且∠ACB＝90°，则m的值为（）A．±2 B．±4 C．±D．±9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论是（）A．③④B．②④C．②③D．①④二．填空题 10．若抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为 ． 11．若抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x 的一元二次方程a （x +h ﹣2）2+k ＝0的解为 ．12．抛物线经过原点O ，还经过A （2，m ），B （4，m ），若△AOB 的面积为4，则抛物线的解析式为 ． 13．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 达到警戒水位时，水面CD 的宽是10m ．如果水位以0.25m /h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h 水位达到桥拱最高点O ．14．如图，抛物线解析式为y ＝x 2，点A 1的坐标为（1，1），连接OA 1；过A 1作A 1B 1⊥OA 1，分别交y 轴、抛物线于点P 1、B 1；过B 1作B 1A 2⊥A 1B 1分别交y 轴、抛物线于点P 2、A 2；过A 2作A 2B 2⊥B 1A 2，分别交y 轴、抛物线于点P 3、B 2…；则点P n 的坐标是 ．三．解答题16．已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点P ．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）若点P 关于坐标系原点O 的对称点仍然在抛物线上，求此时m 的值；（3）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．17．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？18．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2﹣4mx +n （m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且S △ABC ：S △BCE ＝3：4．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上，①求直线CE 的解析式；②求抛物线的解析式．19．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为ts．（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为．参考答案一．选择题1．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；D符合题意；故选：D．2．解：∵抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），∴所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2．故选：D．3．解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x＝2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．4．解：∵y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2﹣4a+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，∴x1+x2＝4，∴当x取x1+x2时，y＝a（4﹣2）2﹣4a+4＝4，故选：C．5．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．6．解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，故选：D．7．解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．8．解：设y＝0，则＝mx2﹣3mx﹣4m＝0，解得：m＝4或m＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴OA＝1，OB＝4，设x＝0，则y＝﹣4m，∴OC＝|﹣4m|，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OC2＝OA•OB，即16m2＝4，解得：m＝±，故选：C．9．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝﹣1时，y＝2，即a﹣b+c＝2，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），即x＝﹣1时，y有最大值2，∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：A．二．填空题（共5小题）10．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，9），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线在x轴截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+9，代入（5，0）得，9a+9＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+9，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+9．11．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．12．解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），∴对称轴是：x＝3，AB＝2，∵△AOB的面积为4，∴AB•|m|＝4，m＝±4，当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．13．解：设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），由题意：，解得，∴y＝﹣x2，当x＝5时，y＝﹣1，故t＝＝4（h），答：再过4小时水位达到桥拱最高点O．故答案为：4．14．解：∵点A1的坐标为（1，1），∴直线OA1的解析式为y＝x，∵A1B1⊥OA1，∴OP1＝2，∴P1（0，2），设A1P1的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线A1P1的解析式为y＝﹣x+2，解求得B1（﹣2，4），∵A2B1∥OA1，设B1P2的解析式为y＝x+b2，∴﹣2+b2＝4，∴b2＝6，∴P2（0，6），解求得A2（3，9）设A1B2的解析式为y＝﹣x+b3，∴﹣3+b3＝9，∴b3＝12，∴P3（0，12），…∴P n（0，n2+n），故答案为（0，n2+n）．三．解答题（共6小题）15．证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE＝DE．∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形．（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．在Rt△FCG中，CF＝6，∴，．∵DF＝BC＝4，∴DG＝1．在Rt△DCG中，CD＝＝216．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），∵对称点仍然在抛物线上，∴m+3＝m+2m﹣3，解得m＝3；（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．17．解：（1）由题意可得：y＝100+×10＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝70时，w有最大利润，最大利润是4500元；∴应降价80﹣70＝10（元）．∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）由题意得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，解得：x1＝65，x2＝75，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当65≤x≤75时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x＝65．∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．18．解：（1）如图，过点C作CF⊥AB于F，∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0），∴对称轴为直线x＝2，∴AF＝BF，点F（2，0），即OF＝2，∵S△ABC ：S△BCE＝3：4，∴S△ABC ＝3S△ABE，∴3××AB×OE＝AB×CF，∴CF＝3OE，∵CF⊥AB，OE⊥AB，∴CF∥OE，∴，∴AF＝3OA，∵OF＝OA+AF＝2，∴OA＝，AF＝，∴点A坐标为（，0），∵AB＝2AF＝3，∴OB＝，∴点B坐标为（，0）；（2）①∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）过点A（，0），∴0＝m﹣2m+n，∴n＝m，∴y＝mx2﹣4mx+n＝m（x﹣2）2﹣m，∴点C（2，﹣m），如图2，过点C作CF⊥OB于F，CH⊥y轴于H，又∵∠FOH＝90°，∴四边形OFCH是矩形，∴CF＝OH＝m，∵将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后，点B与点A重合，点O恰好落在y轴上，∴OC＝O'C，OB＝O'A＝，又∵CH⊥OO'，∴OO'＝2OH＝m，∵OA2+O'O2＝O'A2，∴+m2＝，∴m＝，∴点C坐标为（2，﹣），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：∴直线CE的解析式为y＝﹣x+；②∵m＝，∴y＝x2﹣x+．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6，当△ADE∽△ACB时，∴，即，∴AB＝10，∴B（7，0），∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），∴解得：∴抛物线解析式为：，当△ADE∽△ABC时，，即，∴（舍去），综上，二次函数的表达式为：；（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AOC，∴，∴，解得：．设B（x，0），则，设抛物线对称轴为直线，∵A（﹣3，0），∴①．把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得②，把②代入①，∵a＜0，解得：．20．解：（1）把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中，得y＝﹣25+15+4＝﹣6，∴m＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）连线得，（3）由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：②该函数的图象有最高点：（答案不唯一）（4）∵直线y＝kx+b经过（，），∴，∴k＝∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，∴x2﹣3x﹣4+kx+b＝0和方程x2+3x﹣4+kx+b＝0各有两个不相等的实数根，即方程x2﹣（3﹣）x﹣4+b＝和0x2+（3+）x﹣4+b＝0各有两个不相等的实数根，∴，解得b≠，且b＞或b＜，∴b的取值范围为b＞或b＜．故答案为：b＞或b＜．。