等效电路图通法——八种方法

例析纯电阻电路中求等效电阻的几种方法计算一个电路的电阻， 通常要分析电路的串并联关系， 运用欧姆定律求解。

实际电路中， 电阻的连接千变万化， 需要应用相应的方法， 通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串 并联电路。

本文介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。

一、“基本单元”法找出电路中的“基本单元”，再利用电阻的串并联关系求解。

1、片状导体求等效电阻【例1】如图1所示，ABCD 为一块均匀的半圆形薄电阻合金片，当 A 、B 接入电路时电阻为R ,试求当C 、D 接入电路时电阻为 _____________ 。

1【解析】设“基本单元”为沿对称轴 AB 切开的丄圆，由于A 、B 间电阻为R （可视为 两个并联的“基本单元”），所以，“基本单元”的电阻为 2R ,当C 、D 接入电路时，相当于 两个“基本单元”串联，等效电阻为 4 Ro【例2】如图2甲所示，一材质均匀的正方形薄片导体的阻值为R ,若在其正中挖去1小正方形，挖去的正方形边长为原边长的丄，则剩余部分的电阻为 _________ o【解析】设挖去的小正方形为“基本单元” ，由于原来的电阻为 R （ 3个并联的“基本 单元”，串3个并联的“基本单元”，再串3个并联的“基本单元”）,所以“基本单元”的电 阻也为R ;挖去后，如图2乙所示，电路相当于 3个并联的R 、串2个并联的R ,再串3个 并联的R ,等效电阻为-R R=^R.2、一维有限网络求等效电阻【例3】如图3甲所示，已知 R 1=R 2=R 3= - =R n = R n+1 = R m =R m+1 = R/2，贝U A 、B 间的电阻R AB = _________ o图【解析】图5乙虚线方框为一个个 单元”（注意与例4不同），设去掉最左侧那个“基本（R 余 2r ）r 口余，且R 余二R AB（R 余 2r ） r ' 余 ABRAB\A【解析】如图3乙所示，找出“基本单元” （虚线方框内电路）进行递归，发现“基本 单元”重现，容易得到 R AB =R .23、一维无限网络求等效电阻（1）单边形【例4】如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是 之间的等效电阻R AB=_____________________________ 。

复杂电路之“等效电路图”的画法作者：欧阳华乐来源：《中学物理·初中》2019年第10期摘要：掌握串、并联电路的特点是我们解决电路问题的基本条件，而正确分析电路的结构、了解电路的组成，是我们正确解决电路问题的关键.在众多简化电路的方法中，“等效点法”是帮助我们“解剖”复杂电路、让我们了解复杂电路的组成和画出复杂电路“等效图”的一把“利剑”.关键词：复杂电路;节点;等效点;等效电路图文章编号：1008-4134（2019）20-0035中图分类号：G633.7文献标识码：B作者简介：欧阳华乐（1968-），男，江西泰和人，本科，中学高级教师，深圳市大鹏新区物理教研员，研究方向：课堂教学教法、教师的身心调节.电学是初中物理的重点内容，从其所占的篇幅之多、课时之多和中考所占的分数比例之多都足以说明它的重要性.而电学问题（除静电学问题外）绝大部分都涉及电路，能否正确地分析电路、了解电路的组成，是我们能否正确地解决电路問题的关键.可以说不懂得如何分析电路的组成，就等于还没有学懂电学.而一旦知道如何去分析电路的组成，那么绝大多数电学问题也就迎刃而解了.对于简单一些的电路可以用“定义法”“电流法”和“拆除法”等去分析其电路的组成;但对于复杂的电路这些往往还不够，必须还要使用“等效点法”，才能较好地分析判断出电路的组成.本文重点谈谈如何运用“等效点法”去分析判断复杂电路的组成，并画出其等效电路图.1相关概念节点：电路中两条或两条以上的导线相交处称为“节点”.等效点：从某一节点出发，凡是导线直接相连的所有点都是该节点的“等效点”;某节点与其等效点在电路中可用同一字母表示.2“等效点法”简化电路的步骤（已将“电流法”融合在其中）标注节点：在电路中任意两条（或两条以上）导线相交的节点处标上某一字母;不同的节点用不同的字母表示.确立等效点：跟某一节点是通过导线直接相连的点（包含刚刚标注的所有节点）都是“等效点”，都用（或改用）同一字母标注.特别提醒：稍后画等效电路图时，“等效点”用竖直的“导线（相当于导电的板）”代替，方便后面填充“两等效点（也即两板）”间的元件.分析等效点间的电路组成.分析出第一个（最靠近电源正极的）等效点和最后一个（最靠近电源负极的）等效点间是否还有其它等效点，将各个等效点沿电流流向依次用竖直的“导线（相当于导电的板）”画出;然后再分析出任意两个等效点（也即两板）间有几条路径及每条路径上分别有哪些元件.画出完整的等效电路图.从电源正极出发，沿电流流动的方向依次画出完整的等效电路图.3补充说明凡是被短路的用电器没有电流通过，该用电器不工作，可将其删除.对于特别复杂的电路，在分析其电路组成时，可以先简化原电路.即把电流表视为一根“导线”（因为其电阻非常小），把电压表视为“开路”（即把电压表暂时视为“不存在”而将其擦除，因为其电阻值很大），待电路的组成确定以后，才把电流表、电压表接在相应的位置上.4典型范例（习题演绎画等效图的过程）例1如图1所示，画出其等效电路图.以上三道练习题的解答过程，基本的思路和原理是一致的，但由于题目的内容和难度有所不同，导致解题的细节和过程略有不同.三道题，一环扣一环、步步拓展、层层深入，使学生既能了解到这类题目的一般解题思路、又能把握在不同条件下的不同解题技巧，大大地提高了学生分析电路综合问题和解决电路综合问题的能力，对电学的认识有一个质的升华.参考文献：[1]黄志平，陈志华，王素云.物理奥赛中复杂电路多种解法的探讨[J].物理教师，2016，37（03）：94-96.[2]黄尚波.等效电源法在中学物理教学中的应用[J].物理教学，2015，37（08）：43-46+28.[3]石雷先.复杂电路等效电阻的简单求法四例[J].湖南中学物理，2015，30（03）：93-94.[4]刘井岩，刘凤君.利用等电势法画等效电路图[J].中学物理教学参考，2012，41（04）：11-12.[5]唐辉明.电路图的等效处理[J].物理教学，2009，31（05）：51-52.[6]唐辉明.等效电路图八种画法例析[J].中学物理教学参考，2009（04）：8-9.[7]赖集开.画等效电路图方法大盘点[J].中学物理教学参考，2008（11）：11-12.[8]舒建明.学会画等效电路图[J].成才之路，2008（23）：43.[9]裴茹.在“测定电源电动势和内阻实验”中用等效电源定理选择电路图[J].实验教学与仪器，2008，25（06）：30.[10]黄印林.解决电路计算题的好帮手——等效电路图[J].数理化学习（初中版），2002（08）：47-48.[11]李芹.画等效电路图的一种方法——“等电势法”[J].现代技能开发，2001（01）：32.[12]刘丽.画等效电路图一妙法——“节点法”[J].中学物理教学参考，2000（08）：25.[13]陈莹蕙.小议用节点法指导学生画等效电路图[J].中等医学教育，2000（01）：47.（收稿日期：2019-06-15）。

四、等效法方法简介在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法.等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解.例1：如图4—1所示，水平面上，有两个竖直的光滑 墙壁A 和B ，相距为d ，一个小球以初速度v 0从两墙 之间的O 点斜向上抛出，与A 和B 各发生一次弹性 碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ. 解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为 一个完整的斜抛运动（见图）.所以可用解斜抛运动的 方法求解.由题意得：gv v t v d θθθsin 2cos cos 2000⋅=⋅= 可解得抛射角 202arcsin 21v gd =θ 例2：质点由A 向B 做直线运动，A 、B 间的距离为L ，已知质点在A 点的速度为v 0，加速度为a ，如果将L 分成相等的n 段，质点每通过L/n 的距离加速度均增加a /n ，求质点到达B 时的速度.解析 从A 到B 的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解.因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为na n n a an n an a a a a a 2)13(232)1(2-=-=-++=+=末初平 由匀变速运动的导出公式得222v v L a B -=平 解得 naLn v v B )13(20-+=例3一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s 1=1m 的A 点时，速度大小为s cm v /201=，问当老鼠到达距老鼠洞中心s 2=2m 的B 点时，其速度大小?2=v 老鼠从A 点到达B 点所用的时间t=？ 解析 我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v 与牵引力F 成反比，即，v =P/F ，由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动.由此分析，可写出kxP F P v == 当11,v v s x ==时 将其代入上式求解，得2211s v Ps v P k ==所以老鼠到达B 点时的速度s cm v s s v /1020211212=⨯==再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，21222121ks ks Pt -= 代入有关量可得)(21212211s s s v P Pt -⋅=由此可解得s v s s s t 5.72.012122)(22112122=⨯⨯-=-=此题也可以用图像法、类比法求解.例4 如图4—2所示，半径为r 的铅球内有一半径为2r的 球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M.在铅球和空腔 的中心连线上，距离铅球中心L 处有一质量为m 的小球（可以看成质点），求铅球对小球的引力.解析 因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点. 我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球△M ，然后在对于小球m 对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球△M ，这样加入的两个小铅球对小球m 的引力可以抵消，就这样将空腔铅球变成实心铅球，而结果是等效的.带空腔的铅球对m 的引力等效于实心铅球与另一侧△M 对m 的引力之和. 设空腔铅球对m 的引力为F ，实心铅球与△M 对m 的引力分别为F 1、F 2. 则F=F 1－F 2 ①经计算可知：M M 71=∆，所以 22178)(L GmM L M M m G F =∆+= ② 222)2(7)2(r L GmMr L M m G F -=-∆= ③ 将②、③代入①式，解得空腔铅球对小球的引力为])2(7178[2221r L L GmM F F F --=-=例5 如图4-3所示，小球长为L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的54，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程.解析 小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，说明碰撞过程中损失能量，每次反弹距离都不及上次大，小球一步一步接近挡板，最终停在挡板处. 我们可以分别计算每次碰撞垢上升的距离L 1、L 2、……、L n ，则小球总共通过的路程为L L L L s n ++++=)(221 ，然后用等比数列求和公式求出结果，但是这种解法很麻烦.我们假设小球与挡板碰撞不损失能量，其原来损失的能量看做小球运动过程中克服阻力做功而消耗掉，最终结果是相同的，而阻力在整个运动过程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程.设第一次碰撞前后小球的速度分别为v 、1v ，碰撞后反弹的距离为L 1，则θθsin 21sin 211212mgL mv mgL mv == 其中222111)54(,54===v v L L v v 所以碰撞中损失的动能为)25161(2121212212-=-=∆mv mv mv E k 根据等效性有k E L L f ∆=+)(1 解得等效摩擦力θsin 419mg f = 通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关，所以在以后的运动过程中，等效摩擦力都相同. 以整个运动为研究过程，有θsin ⋅=⋅mgL s f解出小球总共通过的总路程为.941L s =此题也可以通过递推法求解，读者可试试.例6 如图4—4所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球，设L 和α已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为 . 解析 此题是一个双线摆，而我们知道单摆的周期，若将又线摆摆长等效为单摆摆长，则双线摆的周期就可以求出来了.将双线摆摆长等效为单摆摆长αsin L L ='，则此双线摆的周期为g l g L T /sin 2/2αππ='='图4—4例8 如图4—5所示，由一根长为L 的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小的自由振动. 如果杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期.解析 复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容，中学阶段限于知识的局限，不能直接求解. 如能进行等效操作，将其转化成中学生熟悉的单摆模型，则求解周期将变得简捷易行.设想有一摆长为L 0的辅助单摆，与原复摆等周期，两摆分别从摆角α处从静止开始摆动，摆动到与竖直方向夹角为β时，具有相同的 图4—5 角速度ω，对两摆分别应用机械能守恒定律，于是得22)2(21)(21)cos (cos 21)cos (cos l m l m mgmgl ωωαβαβ+=-+- 对单摆，得 200)(21)cos (cos l m mgl ωαβ=-联立两式求解，得l l 650=故原复摆的周期为.65220gl g l T ππ== 例9 粗细均匀的U 形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图4—6所示，已知：L=10cm ，当此U 形管以4m/s 2的 加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差.（g=10m/s 2）解析 当U 形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重 力场中，g '的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向平行，即与g '方向垂直.设g '的方向与g 的方向之间夹角为α，则4.0tan ==gaα 由图4—6可知液面与水平方向的夹角为α， 所以，.04.044.010tan m cm L h ==⨯=⋅=∆α例10 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为m g 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v .解析 小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中. 小球受到的等效重力为mg mg mg G 332)33()(22=+=' 等效重力加速度g m G g 332='='图4—6图4—7与竖直方向的夹角︒=30θ，如图4—7甲所示.所以B 点为等效重力场中轨道的最高点，如图4—7，由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到B 点时的速度R g v B '=在等效重力场中应用机械能守恒定律22021)cos (21B mv R R g m mv ++'=θ 将g '、B v 分别代入上式，解得给小球的初速度为gR v )13(20+=例11 空间某一体积为V 的区域内的平均电场强度（E ）的定义为∑∑==∆=∆++∆+∆∆++∆+∆=ni ini ii nn n VVE V V V V E V E V E E 11212211如图4—8所示，今有一半径为a 原来不带电的金属球，现 使它处于电量为q 的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外， 与球心的距离为R ，试计算金属球表面的感应电荷所产生的电 场在此球内的平均电场强度.解析 金属球表面的感应电荷产生的球内电场，由静电平衡知识可知等于电量为q 的点电荷在金属球内产生的电场，其大小相等，方向相反，因此求金属球表面的感应电荷产生的电场，相当于求点电荷q 在金属球内产生的电场.由平均电场强度公式得∑∑∑∑∑=====∆=∆=∆=∆∆=ni ni ii i ni i i i ni ini ii V V r kq V V E V E VVVE E 1121111 设金属球均匀带电，带电量为q ，其密度为Vq=ρ，则有 ∑∑==∆=∆=ni ni iii i r q k r V k E 11221ρ ∑=∆ni ii r q k 12为带电球体在q 所在点产生的场强，因而有2R kqE =，方向从O 指向q. 例11 质量为m 的小球带电量为Q ，在场强为E 的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为0v . 若忽略空气阻力和重力加速度g 随高度的变化，求小球在运动过程中的最小速度.图4—7甲图4—8解析 若把电场力E q 和重力mg 合成一个力，则小球相当于只受一个力的作用，由于小球运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角，因此可以把小球的运动看成在等效重力G '（即为合外力）作用下的斜抛运动，而做斜抛运动的物体在其速度方向与G '垂直时的速度为最小，也就是斜抛运动的最高点，由此可见用这种等效法可以较快求得结果.电场力和重力的合力方向如图4—9所示， 由图所示的几何关系可知Eqm g=θtan 小球从O 点抛出时，在y 方向上做匀减速直线运动，在x 轴方向上做匀速直线运动. 当在y 轴方向上的速度为零时，小球只具有x 轴方向上的速度，此时小球的速度为最小值，所以2200min )()(cos Eq mg Eqv v v +==θ此题也可以用矢量三角形求极值的方法求解，读者可自行解决. 例12 如图4—10所示，R 1、R 2、R 3为定值电阻，但阻值未 知，R x 为电阻箱.当R x 为Ω=101x R 时，通过它的电流Ω==18;121x x x R R A I 为当时，通过它的电流.6.02A I x =则当A I x 1.03=时，求电阻.3x R解析 电源电动势ε、内电阻r 、电阻R 1、R 2、R 3均未知， 按题目给的电路模型列式求解，显然方程数少于未知量数，于 是可采取变换电路结构的方法.将图4—10所示的虚线框内电路看成新的电源，则等效电 路如图4—10甲所示，电源的电动势为ε'，内电阻为r '. 根据 电学知识，新电路不改变R x 和I x 的对应关系，有),(11r R I x x '+='ε ①),(22r R I x x '+=='ε ② )(33r R I x x '+='ε ③由①、②两式，得Ω='='2,12r V ε， 代入③式，可得Ω=1183x R图4—9图4—10图4—10甲例13 如图4—11所示的甲、乙两个电阻电路具有这样的特性：对于任意阻值的R AB 、R BC和R CA ，相应的电阻R a 、R b 和R c 可确定. 因此在对应点A 和a ，B 和b 、C 和c 的电位是相同的，并且，流入对应点（例如A 和a ）的电流也相同，利用这些条件 证明：CABC ABCAAB a R R R R R R ++=，并证明对R b 和R c 也有类似的结果，利用上面的结果求图4—11甲中P 和Q 两点之间的电阻.解析 图4—11中甲、乙两种电路的接法分别叫三角形接法和星形接法，只有这两种电路任意两对应点之间的总电阻部分都相等，两个电路可以互相等效，对应点A 、a 、B 、b 和C 、c 将具有相同的电势.由R a b =R AB ，R ac =R AC ，R bc =R BC ，对a b 间，有CA BC AB BC AB CAAB BC AC AB b a R R R R R R R R R R R R +++=++=+-1)11(① 同样，a c 间和bc 间，也有CA BC AB CA BC CAAB BC AB CA c a R R R R R R R R R R R R +++=++=+-1)11(② CABC AB CA BC BCAB CA AB BC c b R R R R R R R R R R R R +++=++=+-1)11(③ 将①+②－③得：CABC ABCAAB a R R R R R R ++=再通过①－②＋③和③+②－①，并整理，就得到R b 和R C 的表达式.CABC AB ACBC c CABC ABBCAB b R R R R R R R R R R R R ++=++=图4—11下面利用以上结果求图4—12乙中P 和Q 两点之间的电阻. 用星形接法代替三角形接法，可得图4—12乙所示电路，PRQS 回路是一个平衡的惠斯登电桥，所以在RS 之间无电流，因此它与图4—12丙所示电路是等效的. 因此PQ 之间的总电阻R PQ 可通过这三个并联电阻求和得到.Ω=++=-4)61181361(1PQ R 例14 如图4—13所示，放在磁感应强度B=0.6T 的匀强磁场中的长方形金属线框a bcd ，框平面与磁感应强度方向垂直，其中a b 和bc 各是一段粗细均匀的电阻丝R ab =5Ω，R bc =3Ω，线框其余部分电阻忽略不计.现让导体EF 搁置在a b 、cd 边上，其有效长度L=0.5m ，且与a b 垂直，阻值R EF =1Ω，并使其从金属框ad 端以恒定的速度V=10m/s 向右滑动，当EF 滑过ab 长的4/5距离时，问流过a E 端的电流多大？解析 EF 向右运动时，产生感应电动势ε，当EF 滑过a b 长的54时，电路图可等效为如图4—13甲所示的电路.根据题设可以求出EF 产生的感应电动势ε，V BLV 3)105.06.0(=⨯⨯==ε Ω=Ω=Ω=3,1,4bc Eb aE R R R此时电源内阻为导体EF 的电阻，Ω==1EF R r ，则电路中的总电阻为Ω=+++⋅+=3)()(bc Eb aE bc Eb aE R R R R R R r R电路中的总电流为.1A RI ==ε∴通过a E 的电流为A I aE 5.0=例15 有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m ，玻璃的折射 率为1.5，且在平面上镀一层反射层，如图4—14所示，在此 系统的左侧主轴上放一物S ，S 距系统1.5m ，问S 成像于何处？解析 本题可等效为物点S 先经薄平凹透镜成像，其像为 平面镜的物，平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物，根据图4—13图4—13甲图4—144—12甲 4—12乙 4—12丙成像规律，逐次求出最终像的位置.根据以上分析，首先考虑物S 经平凹透镜的成像S '， 根据公式11111f P P =+' 其中)(1)15.01)(15.1()11)(1(1121--=∞---=--=m R R n f 故有m P P 6.015.11111-='-=+'成像在左侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像S ''后，其像距为m P P P 6.0122='-=-='成像在右侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像S '''，有)(11,6.0,11112333--=='=='+m fm P P f P P 其中 故m P P 375.016.01133-='-=+'成虚像于系统右侧0.375m 处此题还可用假设法求解.针对训练1．半径为R 的金属球与大地相连，距球心L 处有一带电量为+q 的点电荷如图4—15所示. 求（1）球上感应电荷的总电量； （2）q 受到的库仑力. 2．如图4—16所示，设Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=99,40,10,5,80,40654321R R R R R R Ω=Ω=20,10187R R ，求AB 之间的电阻.图4—153．电路如图4—17所示，Ω====35431R R R R 时，Ω=12R ，求AB 间的等效电阻.4．有9个电阻联成如图4—18电路，图中数字的单位是Ω，求PQ 两点间的等效电阻.5．如图4—19所示电路，求AB 两点间的等效电阻.6．如图4—20所示，由5个电阻联成的网络，试求AB 两点间的等效电阻.图4—19图4—207．由7个阻值均为r 的电阻组成的网络元如图4—21甲所示.由这种网络元彼此连接形成的无限梯形网络如图4—21乙所示.试求P 、Q 两点之间的等效电阻.8．图4—22表示一交流电的电流随时间而变化的图像，此交流电流有效值是（ ）A ．A 25B ．A 5C ．A 25.3D ．A 5.39．磁流体发电机的示意图如图4—23所示，横截面为距形的管道长为L ，宽为a ，高为b ，上下两个侧面是绝缘体，相距为a 的两个侧面是电阻可忽略的导体，此两导体侧面与负载电阻R L 相连.整个管道放在一个匀强磁场中，磁感应强度的大小为B ，方向垂直于上下侧面向上. 现有电离气体（正、负带电粒子）持续稳定的流经管道，为了使问题简化，设横截面上各点流速相同. 已知流速与电离气体所受的压力成正比；且无论有无磁场存在时，都维持管道两端电离气体的压强差皆为p. 设无磁场存在时电离气体的流速为0v . 求有磁场存在时流体发电机的电动势的大小ε. 已知电离气体的平均电阻率为ρ.10．一匀质细导线圆环，总电阻为R ，半径为a ，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场，磁场以速率K 均匀地随时间增强，环上的A 、D 、C 三点位置对称. 电流计G 连接A 、C 两点，如图4—24所示，若电流计内阻为R G ，求通过电流计的电流大小.11．固定在匀强磁场中的正方形导线框a bcd ，各边长为L 1，其中a b 是一端电阻为R 的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽略的铜线，磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，现有一与a b 段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝PQ 架在导线框上，如图4—25所示，以恒定的速度v 从a d 滑向bc ，当PQ 滑过1/3L图4—21甲 图4—21乙图4—22 图4—23 图4—24图4—25的距离时，通过a P 段电阻丝的电流是多大？方向如何？12．如图4—26所示，一根长的薄导体平板沿x 轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为L ，电阻可忽略不计，aebcfd 是圆弧形均匀导线，其电阻为3R ，圆弧所在的平面与x 轴垂 直，圆弧的两端a 和d 与导体板的两个侧面相接解，并可在其上滑动. 圆弧a e=eb=cf=fd=（1/8）圆周长，圆弧bc=（1/4）圆周长，一内阻R g =nR 的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O 处，电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b 和c 点相连，整个装置处在磁感应强度为B 、方向竖直向上的匀强磁场中. 当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定的速度v 沿x 轴方向平移运动时（1）求电压表的读数；（2）求e 点与f 点的电势差（U e －R f ）.13．如图4—27所示，长为2πa 、电阻为r 的均匀细导线首尾相接形成一个半径为a 的圆.现将电阻为R 的电压表，以及电阻可以忽略的导线，按图a 和图b所示的方式分别与圆的两点相连接. 这两点之间的弧线所对圆心角为θ.若在垂直圆平面的方向上有均匀变化 的匀强磁场，已知磁感应强度的变化率为k ，试问在图a 、b 两种情形中，电压表的读数各为多少？14．一平凸透镜焦距为f ，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f 处，垂直于主轴主置一高为H 的物，其下端位于透镜的主轴上如图4—28所示.（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实；（2）用计算法求出此像的位置和大小.15．如图4—29所示，折射率n=1.5的全反射棱镜上方6cm 处放置一物体AB ，棱镜直角边长为6cm ，棱镜右侧10cm 处放置一焦距f 1=10cm 的凸透镜，透镜右侧15cm 处再放置一焦距f 2=10cm 的凹透镜，求该光学系统成像的位置和放大率.图28 图29图4—26图4—27答 案：1．2222)(,R L q KRL q L R -- 2．Ω11120 3．Ω37 4．Ω4 5．Ω5.0 6．Ω4.1 7．1.32r 8．C 9．Lb R a BL a Bv p p10++ρ 10．RqR K a G 232+π 11．R v BL 1161 a 向P 12．（1）R nR Bav nR 232+ （2）Bav n n )223122(+++- 13．0,2224)2(sin 2πθπθθπ+-Rr k a 14．（1）图略 （2）距光心H f 31,32 15．凹透镜的右侧10cm 处，放大率为2。

等效电路图的几种实用画法作者：何准来源：《中学物理·高中》2013年第08期中学阶段，我们常常会遇到一些复杂的电路，因此要求我们能将这些电路合理地转换成简单的串、并联关系的电路，即为等效电路.本文结合一些具体事例介绍几种较为实用的等效电路的画法.1 观察法电路连接是否复杂并不取决于元件的多少，有些电路尽管元件较多，但我们仍然可以通过观察的方法分析出电路连接的方式.如图1所示的电路是由9个电阻组成，我们仔细观察电路的特点，从右向左分析可知：R3、R6、R9三个电阻串联后与R5并联等效为一个电阻，再与R2、R8串联后与R4并联等效为一个电阻（记作Rx），则AB之间的电路是由R1、Rx、R7三个电阻串联而成，其总电阻值就是R1、Rx、R7三个电阻值总和.2 等势法在电路中，设想有电流从一端流向另一端，同一条导线上的电势是相同的，不管导线有多长，我们都可以将它等同于同一个点.电流经过用电器时电势降低，因此电路中就存在着许多电势不等的点，所有的用电器元件都处在两个不等的电势之间，将电路中电势不等的点进行标记，按照电势高低顺序依次排列，留有一定的间隙便于安插元件，然后将电路中的各个元件逐个地安插在对应的各点之间，适当整理就可得到一个非常直观的等效电路图了.如图4所示，画出其等效电路图.分析首先用字母对各个节点进行标记，同一根导线相连的节点标记为同一个字母，如图5所示.然后由电势高低顺序依次标出A、C、B三点，再将各个用电器逐一地安插在相应的点之间（同时标上元件的符号，以防疏漏和出错），如图6所示，电路的连接方式就显而易见了.拓展题运用等势法画出如图7 所示的等效电路图.点拨如图8，①用字母在原电路图中标出各个节点的符号，电势相等的点符号相同；②依据电势高低顺序标出各个点；③将电阻R1～R8依次安插在对应的点之间；④适当调整电阻位置减少交叉的导线，原电路的等效电路（如图8④所示）的连接方式就一目了然了.3 支路法对于一些复杂的电路，我们无法使用“观察法”和“等势法” 时，可以尝试用“支路法”，也可以称之为“支路电流法”.方法介绍：在电路分支较多的地方，设想有电流从电势高处流向电势低处，顺着电流的方向找出几条独立的串联电路（注意各支路中不能有重复的原件）.对于那些不在支路上的元件可以依据其所在的位置安插在支路之间（一般都是从一条支路跨接到另一条支路）.实例分析：画出如图9所示电路的等效电路图.本题虽然只有5个电阻，却不能直接看出电路连接的方式，运用“支路电流法”我们可以从A点出发到B点找出两条支路：一条是经过R1和R4的，另一条是经过R2和R5的，首先画出这两条是独立的电路，然后将R3这个不属于任何支路的元件安插在相应的位置，结果发现这5个电阻组成的电路实质上是一个桥式电路（如图10）.拓展题运用上述方法画出图11所示的AB间的等效电路图.点拨（1）首先确立从A到B间的四条支路：①一条经R2和R9，②一条经R10和R7，③一条经R8和R5，④还有一条支路只有R1一个电阻.（2）将不在支路上的三个电阻R3、R4、R6安插在相应的位置，就得到如图12的等效电路图了.4 方法整合还有一些电路更为复杂，我们应该灵活运用这些方法，将这些方法有机地结合起来，化繁为简，许多难题也可以迎刃而解.如图13所示由12个阻值都等于R的电阻组成的电路，试求AB间的总电阻 .分析与解：首先运用“支路法”将AB间的电路等效为图14所示的电路（类比上述画法，不赘述）.认真观察电路，我们不难发现D和E两点电势相等、C和F两点电势相等，再运用“等势法”在AB之间电势由高到低的顺序为A、D（E）、H、G、C（F）、B，将各个电阻安插在相应的点之间，就形成图15所示的电路.由串并联的特点不难求出AB间的总电阻 .[画等效电路图方法有很多，本文所列举的一些画等效电路图方法，感觉还是比较实用的，同时也希望能抛砖引玉、互通有无，与同行们共享，不足之处敬请批评指正.。

初中物理电路图解题原则步骤与学习方法0 1电路简化的基本原则初中物理电学中的复杂电路可以通过如下原则进行简化：☀第一：不计导线电阻，认定R线≈0。

有电流流过的导线两端电压为零，断开时开关两端可以测得电压（电路中没有其他断点）。

☀第二：开关闭合时等效于一根导线；开关断开时等效于断路，可从电路两节点间去掉。

开关闭合有电流流过时，开关两端电压为零，断开时开关两端可以测得电压（电路中没有其他断点）。

☀第三：电流表内阻很小，在分析电路的连接方式时，有电流表的地方可看作一根导线。

☀第四：电压表内阻很大，在分析电路的连接方式时，有电压表的地方可视作断路，从电路两节点间去掉．☀第五：用电器(电阻)短路：用电器(电阻)和导线(开关、电流表)并联时，用电器中无电流通过(如下图示)，可以把用电器从电路的两节点间拆除(去掉)。

☀第六：滑动变阻器Pa段被导线（金属杆）短接不工作，去掉Pa段后，下图a变为图b。

☀第七：根据串、并联电路电流和电压规律“串联分压、并联分流”分析总电流、总电压和分电流、分电压的关系。

☀第八：电流表和哪个用电器串联就测哪个用电器的电流，电压表和哪个用电器并联就测哪个用电器的电压。

判断电压表所测量的电压可用滑移法和去源法。

☀第九：电压表原则上要求并联在电路中，单独测量电源电压时，可直接在电源两端。

一般情况下，如果电压表串联在电路中，测得的电压是电源两端电压（具体情况见笔记）。

电流表直接接在电源两端会被烧坏，且让电源短路，烧坏电源。

☀第十：如果导线上（节点之间）没有用电器（开关，电流表除外），那么导线上的各点可以看做是一个点，可以任意合并、分开、增减。

（此法又称节点法）例如：0 2电路简化步骤☀第一步：按照题目要求将断开的开关去掉，将闭合的开关变成导线。

☀第二步：将电流表变成导线（视具体情况也可保留）。

☀第三步：去掉电压表。

☀第四步：合并(或者换位）导线上的节点。

（此步骤在电路中用电器比较多，且相互纠结时，采用）☀第五步：画出等效电路图，判断各用电器是串联还是并联。

2024年中考物理专题复习—测量未知电阻+电路综合一、测量未知电阻方法一：伏安法（最基础的方法）1.原理：2.电路图：方法二：伏阻法2.电路转换：例1.如图所示电路：分析：先闭合S 1和S 3，读出电压表示数U 1；再闭合S 1和S 2，读出电流表示数U 2；则：2101=x U U R R U 。

解答：先闭合S 1和S 3，等效电路图如下左，得：10U IR =再闭合S1和S 2，等效电路图如下右，得：U x =U 2－U 1所以，未知电阻的阻值：2101=x x U U U R R I U -=方法三：安阻法2.电路转换：U x =I 1R 0，I x =I 2－I 11021=x x x U I R R I I I =-例2.如下左图所示的电路：分析：只闭合S 1，读出电流表示数I 1；同时闭合S 1和S 2，读出电流表示数I 2；则：1021=x I R R I I -。

解答：只闭合S 1，等效电路图如下右所示，得电源电压：U 总=I 1R 0。

同时闭合S1和S2，等效电路图如下所示，得：I2为干路电流，1021=xxxU IR RI I I=-方法四：等效替代法实验步骤：①先闭合S1和S2，调节滑动变阻器R′，使得○A有一个合适的值I；②断开S2、闭合S3，保持R′不动，调节变阻箱R，使得○A示数恢复为I；③读出R值，即为R x=R。

二、电路综合问题例3.电源电压6V保持不变，当S1和S2闭合，S3断开时，电流表示数为0.5A；当S1和S3断开，S2闭合时，电压表示数为4V，求：（1）电阻R1的值；（2）电阻R2的值。

解析：当S1和S2闭合，S3断开时，等效电路图（中）；当S1和S3断开，S2闭合时，等效电路图（右）。

（1）电阻R1的值：116V=120.5AURI==Ω（2）解法一：由题意R 1两端电压：U 1=U －U 2=6V －4V=2V1112V 1=A 126U I R ==Ω16V =361A 6U R I ==Ω总∴R 2=R 总－R 1=36Ω－12Ω=24Ω解法二：由1122U R U R =有：22V 124V R Ω=，得：R 2=24Ω解法三：因为U 2=4V ，211==A 6I I 有：2224V =241A 6U R I ==Ω例4.当ab 间接100V 电源，测得cd 间电压为20V ；当cd 间接100V 电源，测得ab 间电压为50V 。

有了这10种方法，分析任何复杂电路都超简单！电路问题计算的先决条件是正确识别电路，搞清楚各部分之间的连接关系。

对较复杂的电路应先将原电路简化为等效电路，以便分析和计算。

识别电路的方法很多，现结合具体实例介绍十种方法。

01特征识别法串并联电路的特征是；串联电路中电流不分叉，各点电势逐次降低，并联电路中电流分叉，各支路两端分别是等电势，两端之间等电压。

根据串并联电路的特征识别电路是简化电路的一种最基本的方法。

例1．试画出图1所示的等效电路。

解：设电流由A端流入，在a点分叉，b点汇合，由B端流出。

支路a—R1—b和a—R2—R3(R4)—b各点电势逐次降低，两条支路的a、b两点之间电压相等，故知R3和R4并联后与R2串联，再与R1并联，等效电路如图2所示。

02伸缩翻转法在实验室接电路时常常可以这样操作，无阻导线可以延长或缩短，也可以翻过来转过去，或将一支路翻到别处，翻转时支路的两端保持不动；导线也可以从其所在节点上沿其它导线滑动，但不能越过元件。

这样就提供了简化电路的一种方法，我们把这种方法称为伸缩翻转法。

例2．画出图3的等效电路。

解：先将连接a、c节点的导线缩短，并把连接b、d节点的导线伸长翻转到R3—C—R4支路外边去，如图4。

再把连接a、C节点的导线缩成一点，把连接b、d节点的导线也缩成一点，并把R5连到节点d的导线伸长线上(图5)。

由此可看出R2、R3与R4并联，再与R1和R5串联，接到电源上。

03电流走向法电流是分析电路的核心。

从电源正极出发(无源电路可假设电流由一端流入另一端流出)顺着电流的走向，经各电阻绕外电路巡行一周至电源的负极，凡是电流无分叉地依次流过的电阻均为串联，凡是电流有分叉地分别流过的电阻均为并联。

例3．试画出图6所示的等效电路。

解：电流从电源正极流出过A点分为三路(AB导线可缩为一点)，经外电路巡行一周，由D点流入电源负极。

第一路经R1直达D点，第二路经R2到达C点，第三路经R3也到达C点，显然R2和R3接联在AC两点之间为并联。

第一部分电路的等效变化在处理较复杂的混联电路问题时，常常因不会画等效电路图，难以求出等效电阻而直接影响解题。

为此，向同学们介绍一种画等效电路图的方法《快速三步法》。

快速三步法画等效电路图的步骤为：⑴ 标出等势点。

依次找出各个等势点，并从高电势点到低电势点顺次标清各等势点字母。

⑵ 捏合等势点画草图。

即把几个电势相同的等势点拉到一起，合为一点，然后假想提起该点“抖动”一下，以理顺从该点向下一个节点电流方向相同的电阻，这样逐点依次画出草图。

画图时要注意标出在每个等势点处电流“兵分几路”及与下一个节点的联接关系。

⑶ 整理电路图。

要注意等势点、电阻序号与原图一一对应，整理后的等效电路图力求规范，以便计算。

例1、图1所示电路中，R1=R2=R3=3Ω，R4=R5=R6=6Ω，求M、N两点间的电阻。

解：该题是一种典型的混联电路，虽然看上去对称、简单，但直接看是很难认识各个电阻间的联接关系的，因此必须画出等效电路图。

下面用快速三步法来解。

1.在原电路图上标了等势点a、b、c。

2.捏合等势点画草图。

从高电势点M点开始，先把两个a点捏合到一起，理顺电阻，标出电流在a点“兵分三路”，分别经R1、R2、R3流向b点；再捏合三个b点，理顺电阻，标出电流在b点“兵分三路”，分别经R4、R5、R6流向c点；最后捏合c点，电流流至N点。

（见图2）3.整理电路图如图3所示。

从等效电路图图3可以清楚地看出原电路各电阻的联接方式，很容易计算出M、N两点间的电阻R=3Ω。

◆练习：如图4所示，R1=R3=4Ω，R2=R5=1Ω，R4=R6=R7=2Ω，求a、d两点间的电阻。

解：（1）在原电路图上标出等势点a、b、c、d（2）捏合等势点画草图，首先捏合等势点a，从a点开始，电流“兵分三路”，分别经R2流向b点、经R3和R1流向d点；捏合等势点b，电流“兵分两路”，分别经R5流向c点，经R4流向d点；捏合等势点c，电流“兵分两路”，分别经R6和R7流向d点。

第五节复杂电路的简化与等效一般混联电路比较复杂，在题目中出现时，有时故意将电路图抽象化、隐蔽化，使我们不容易很快看出电阻的串并联关系，画“等效电路”就是对比较复杂的电路运用串并联电路的知识进行分析，画出简明的等效电路，这种科学方法即“等效替代”的方法。

将比较复杂的电路画成简明的等效电路是电路计算中十分重要的一步。

本》.将介绍几种常见的简化电路的方法，为了下文的表述方便以及让读者能够更清晰地理解这些方法，需要先介绍一个重要的概念一一电势。

一、电路中导线节点的电势众所周知，在地球表面附近，物体都有自己的高度，物体受到的重力的方向都是竖直向下的（即沿着重力的方向）。

电势就相当于是电路中的“高度”，在电源外部，电流从电源正极流出，经过用电器后流回到电源负极，电源正极处的电势最高，电源负极处的电势最低，当电流经过用电器时，沿着电流方向电势逐渐降低。

电势的减少量实际上等于用电器两端的电压，即当电流/流经阻值为火的电阻时，电势降低了U = 电压实际上是电势之差。

电势和电压的单位都是伏特。

在图8. 128（3）所示的电路图中，已知电源电压为U = 12 V ,4=叫=4Q, &=180 , R、=6Q., &=12Q.从电源正极开始，依次用字母A, B，C，。

标记电路中导线的连接处（即节点），由于导线没有电阻，电流经过导线时电势不降低，同一导线两端的电势相等，可以用同一个字母标记。

设电源负极。

点处电势为0,由于电源电压为U = 12V,则A点的电势为12V。

根据串并联电路的规律，容易求出通过各个电阻的电流分别为4 = 1.2 A, /, =0.4 A,人=0.8 A, /4 =0.2 A,4=0.6 A。

则从A到3,电势降低了q=4用=4.8V,所以3点的电势为7.2V；从3点到C点，电势降低了£/3=/37?5=4.8 V,所以C点的电势为2.4V;从C点到。

点，电势降低了U4=/4%=2.4V （或U-Z4Y）,因此。

用连线替代法画等效电路图(一)“等效电路图”就是将一个复杂的（或不直观的）电路通过适当的方法改画出简单（直观的）的串联、并联的电路。

这个简单和电路，叫做原复杂（不直观）电路的等效电路图。

画等效电路图有多种方法：定义法、移点法、移线法、电流分析法、等势点分析法。

由于初中不讲电势把等势法称为节点法（因为要在节点上标号，又叫编者按号法）。

对于一些复杂的电路或者是不直观的电路用节点法要优于前面的方法，但连入电路的元件多时，一个个编号显得麻烦，号标错就会画错。

学会画等效电路图是解电学题必需具备的能力，往往遇到电学题时因看不懂电路而又不会画等效电路图而解不了题，拿有的同学的话说“死在电路图上”。

中考是为了选拔学生，要让学生的分拉开挡次，物理题常用电学题分数去拉开挡次，往往电学题给的是不直观的电路图，看不懂就无法做题。

有可能考不上重点学校是倒在物理题上。

学会画等效电路图很重要。

老师出中考题电学电路分析或电路计算题时往往是尽可能把电路画得不直观些，首先考学生电路识别能力。

请同学们学一下我在教学中采用的连线等效替代法，打从我用过个方法画等效电路图后，绝大多数学生能够轻而易举画出较为复杂的电路的等效电路图。

那时初中学生是要考混联电路的，电路要比现在初中学的复杂。

所谓“连线代替法”就是把原来电路图里元件进行规范排列，用一组组规范的连线等效替代原来各组不规范的连线把元件连接起来。

这种方法可归纳为三个字：查、画、连。

步骤是：1、认真查看原电路图里共有几组连线（单根连线也算一组），每组连线都与哪些电路元件连接。

2、把每组连线连接的元件的符号规范地排列，连接两个或两个以上元件时，这些元件符号一律并列画出。

3、用一组组规范的连组替代原来的连线把元件符号连接起来。

例1、图1A电路里三只灯和电压表是怎样连接的？1、查得图1A共有两组连线如图1B所示，第1组连线把电源的正极与灯L1、L2、L3的一端连连接；第2连线组把这三只灯泡以及电源的另一端与电源负极连接；2、如图1C所示，并列画出电源、三只灯泡，用一组连线替代原来第1组连线，把电源正极与三只灯泡规范地连接起来；3、如图1D所示，用另一组连线替代原来的第2组连线，把三只灯泡的另一端与电源负极规范连接起来，得到了等效电路图如图1D 所示，可见三只灯泡是并联的。