. §1.2.1 任意角的三角函数
教学目标
知识目标
1、掌握任意角的三角函数的定义。
2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。
3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。
能力目标
1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。
2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。
3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
德育目标
1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。
2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。
教学重难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义
（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
教学过程
问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？
锐角三角函数定义
.
问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?
在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆
即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示
推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切)
任意角的三角函数定义:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:
正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
(由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)
. 所以三角函数可以记为:
我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数
问题3:如何求α角的三角函数值?
求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。
例1：
解：
例2：
事实上: 三角函数也可定义为:
设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则
.
高中数学 5.2.1 任意角三角函数的定义
【教学目标】
1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．
2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
任意角三角函数的定义．
【教学难点】
单位圆及三角函数线．
【教学方法】
本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．
【教学过程】
环节 教学内容 师生互动 设计意图
导
入 复习锐角三角函数定义． 师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？ 以旧引新．
新
课
1. 任意角的三角函数定义．
已知 是任意角，P(x，y)， P(x，y)是角 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．
(r＝x2+y2 ， r'＝x'2+y'2 )
如图所示：
当角 不变时，对于角 的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角
的终边上的位置如何，三个比值xr ，yr ，问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？
如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，x r ＝x'r' ，y r ＝y'r' ，y x ＝y'x' .
由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，
因此，xr ＝x'r' ，yr ＝y'r' ，yx ＝y'x' ，
所以三个比值 xr ，yr ，yx 只依赖于 的大小，与点 P 在
终边上的位置无关．
说明三角函数定义的理论根据．
y
P
r
r′ y y′
O x′ x x P’
第四章 三角函数
一 任意角的三角函数
【考点阐述】
角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1．正弦、余弦的诱导公式．
【考试要求】
（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．
【考题分类】
（一）选择题（共4题）
1.（全国Ⅱ卷文1）若sin0且tan0是，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】sin0,在三、四象限；tan0，在一、三象限，∴选C
2.（陕西卷文1）sin330等于（ ）
A．32 B．12 C．12 D．32
解：1sin330sin302
3.（四川卷理5）若02,sin3cos，则的取值范围是 ( )
（Ａ）,32
（Ｂ）,3
（Ｃ）4,33
（Ｄ）3,32
【解】：∵sin3cos ∴sin3cos0 ，即132sincos2sin0223
又∵02 ∴5333，∴03 ，即4,33x 故选C；
【考点】：此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象；
4．（四川延考文5）已知1tan2，则cossincossin（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
ruize
1.2.2 同角三角函数的基本关系
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
★答案★
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．若α∈0，π2，sin α＝63，则cos α＝( )
A.12 B.22
C.33
D.13
2．已知sin α＝45，且α是第二象限角，那么tan α等于( )
A．－43 B．－34
C.34 D.43
3．若π
A.2tan α B．－2tan α
C.2sin α D．－2sin α
4．若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ＝( )
A．－417 B.45
C．±417 D.417 ruize
5．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )
A.15 B．－15
C.513 D．－513
6．(tan x＋1tan x)cos2x＝( )
A．tan x B．sin x
C．cos x D.1tan x
7．已知tan α＝2，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝( )
A．－16 B.34
C．1 D.54
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________．
9．在△ABC中，若tan A＝23，则sin A＝________．
10．已知sin αcos α＝12，则sin α－cos α＝________．
11．已知α是第二象限角，则sin α1－cos2α＋2 1－sin2αcos α＝________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)已知cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos3α1－sin α的值．
ruize
13.(13分)已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，求下列各式的值．
