(江苏专版)高考物理总复习 课时作业五十三 实验十一 单摆的周期与摆长的关系-人教版高三全册物理试题

摆动周期实验测量摆的周期与摆长的关系摆动周期实验是物理实验课程中非常经典的一个实验之一，通过测量摆的周期与摆长的关系，可以深入理解摆动现象的规律性，并通过实验数据进行分析与验证。

在这篇文章中，将介绍摆动周期实验的原理与步骤，以及摆长与周期之间的关系。

实验原理：摆动周期实验的基本原理是通过改变摆的长度，观察相同条件下摆动的周期变化。

根据公式，可以推导出摆长与周期之间的关系：T =2π√(l/g)，其中T代表周期，l代表摆长，g代表重力加速度。

根据这个公式可以知道，摆长越大，周期越长；摆长越小，周期越短。

实验步骤：首先，需要准备一个简单的摆，可以使用一根细线或细线材作为摆杆，然后将一个小物体（如石块或金属球）系在细线或细线材的一端。

确保摆杆的长度可以调节。

然后，需要测量一根细线的长度，并记录下来。

使用一个定时器或秒表，可以准确地测量摆的周期。

将摆杆拉至一定角度，并释放，然后开始计时，在摆动过程中连续计时，直到摆动回到初始位置。

将测得的周期记录下来。

接下来，重复上述步骤，但在每次实验中改变摆杆的长度。

可以通过挪动细线或细线材的固定位置来改变摆杆的长度。

每次改变长度后，都需要测量并记录摆动的周期。

实验数据分析：通过上述实验步骤，记录下摆长与摆动周期的对应关系。

将这些实验数据整理，可以得出不同摆长下的摆动周期。

通过绘制摆长与周期之间的散点图，可以直观地观察到它们之间的关系。

根据摆长与周期之间的关系公式T = 2π√(l/g)，可以进行实验数据的拟合计算。

通过拟合计算，可以得到摆长与周期之间的具体数学关系。

这样可以更加准确地描述摆长与周期之间的规律性。

实验结果与讨论：通过摆动周期实验，可以得出结论：摆长越大，周期越长；摆长越小，周期越短。

这符合我们对摆动现象的常识认识。

在实验过程中，可能会遇到一些误差的产生。

例如，摆杆的细线可能因为弹性或摆动的阻力而产生微小扰动，影响实验数据的准确性。

此外，由于计时设备的误差，也会对实验结果产生一定的影响。

单摆的周期跟摆长的关系
在探究单摆的周期跟哪些因素有关的实验中，得出周期跟摆长的关系是本实验的主要任务，为了探究二者的关系，实际教学过程中可以参考如下思路进行。

一、理论指导
单摆的周期指单摆做简谐运动时，完成一次全振动的时间。

单摆的摆长指悬挂小球的细线长度跟小球半径之和。

一个单摆制作完工以后，其摆长为定值，不同摆长的单摆振动过程中，振动周期与摆长有关，在某一地点，重力加速度g一定，单摆的摆长不同，振动周期就不同。

二、实验指导
1.定性探究：由对比实验不难发现摆长L越大，周期T越大。

2.猜想：有可能T跟L成正比，也可能T2跟L成正比。

3.定量探究：先设计数据表，然后通过实验获取相关数据，最后根据表中数据作出T2--L 图象，就会发现图线是一条直线，从而验证了T2跟L成正比的猜想。

数据表如下：。

第53讲实验十一单摆的周期与摆长的关系受迫振动和共振知识整合一、单摆1．定义：如果细线的质量与小球相比可以____________，球的直径与线的长度相比也可以____________，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的____________模型．2．回复力提供：单摆振动时的回复力由____________提供．3．在摆角小于10°时，单摆的振动可当作简谐运动．二、单摆周期公式1．表达式：T＝2πLg，单摆周期取决于________和________，与振幅和小球质量________．2．摆长：从________到________的距离．3．g：当地的重力加速度．三、用单摆测定重力加速度1．实验目的用单摆测定重力加速度．2．实验原理单摆在偏角很小(不超过10°)时的摆动，可认为是简谐运动，其固有周期为________，由此可得g＝________.只要测出摆长L和周期T，即可算出当地的重力加速度值．3．实验器材长约1 m的细丝线一条，通过球心开有小孔的金属小球一个、带有铁夹的铁架台一个，________一把，________一块．4．实验步骤(1)让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆；(2)把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球________，在单摆平衡位置处做上标记；(3)用刻度尺测量单摆的摆长(悬点到球心间的距离)；(4)把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(不超过10°)，然后放开小球让它摆动，再用秒表测出单摆完成30次或50次全振动的时间，计算出平均完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的________；(5)改变摆长，重做几次实验；(6)根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度，求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即是本地区的重力加速度的值；(7)将测得的重力加速度数值与当地重力加速度值加以比较，分析产生误差的可能原因．5．注意事项(1)摆线不能过短或过长或易伸长、摆长应是悬点到球心间的距离．摆球用密度大、直径小的金属球．(2)摆球摆动时应使偏角不超过10°，且在同一竖直面内，不要形成圆锥摆，摆中悬点不能松动．(3)累积法测周期时，应从最低位置开始计时和记录全振动次数．(4)使用秒表方法是三次按按钮：一是“走时”，二是“停止”，三是“复零”．读数：先读分针刻度(包括半分钟)，再读秒针刻度(最小刻度为0.1 s，不要再估读)．(5)处理数据时，采用图象法，画出T2­L图象，求得直线的斜率k，即有g＝4π2/k.6．误差分析(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上，因此，要注意测准时间(周期)．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．(3)本实验中进行长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米位)．时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．四、振动的分类按振子受力的不同可将振动分为：1．自由振动(又称固有振动)回复力是系统内部的相互作用力，没有附加其他的外力作用．弹簧振子的____________是系统内部的力，单摆的________________也是系统内部的力．2．阻尼振动系统受到摩擦力或其他阻力，系统克服阻尼的作用要消耗________，因而________减小，最后停下来，阻尼振动的图象如图所示．物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．例如：用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅起来越小，锣声减弱，但音调不变．3．受迫振动(1)定义：如系统受到周期性外力的作用，就可以利用外力对系统做功，补偿系统因阻尼作用而损失的能量，使系统持续地振动下去．这种周期性的外力叫________．系统在驱动力作用下的振动叫________．(2)特点：系统做受迫振动的频率总是等于________的频率，与系统的________无关．五、共振1．共振：系统做受迫振动时，如果驱动力的频率可以调节，把不同频率的驱动力先后作用于同一个振动系统，其受迫振动的振幅将不同，驱动力频率f________系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅________，这种现象叫做共振．2．共振曲线：横轴表示________的频率，当________时物体的振幅最大．图中________是物体的固有频率．f驱与f固相差越大，物体做受迫振动的振幅________．3．共振的应用与防止(1)共振的应用：由共振的条件知，要利用共振就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致，如：共振筛、共振转速计、共鸣箱、核磁共振仪等．(2)共振的防止：由共振曲线可知，在需要防止共振时，要尽量使驱动力的频率和物体振动的固有频率不相等，而且相差越多越好．如：部队过桥时，为避免周期性的驱动力使桥发生共振，应便步走．(3)自由振动、受迫振动和共振的关系比较方法技巧考点1 单摆【典型例题1】某单摆由1 m长的摆线连接一个直径2 cm的铁球组成，关于单摆周期，以下说法正确的是( )A．用等大的铜球代替铁球，单摆的周期不变B．用大球代替小球，摆长会变化，单摆的周期不变C．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大1.如图所示，光滑轨道的半径为2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6 cm与2 cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时释放，则两小球相碰的位置是( )A．C点B．C点右侧C．C点左侧D．不能确定【典型例题2】用单摆测定重力加速度的实验如图1所示．(1)(多选)组装单摆时，应在下列器材中选用______(选填选项前的字母)．A．长度为1 m左右的细线B．长度为30 cm左右的细线C．直径为1.8 cm的塑料球D．直径为1.8 cm的铁球图1 图2 图3(2)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t.则重力加速度g＝____________．(用L，n，t表示)(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．请计算出第3组实验中的T ＝______，g ＝______/；(4)用多组实验数据做出T 2­L 图象，也可以求出重力加速度g ，已知三位同学做出的T 2­L 图线的示意图如图2中的a ，b ，c 所示，其中a 和b 平行，b 和c 都过原点，图线b 对应的g 值最接近当地重力加速度的值．则相对于图线b ，下列分析正确的是(选填选项前的字母)( )A ．出现图线a 的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长LB ．出现图线c 的原因可能是误将49次全振动记为50次C ．图线c 对应的g 值小于图线b 对应的g 值(5)某同学在家里测重力加速度，他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图3所示，由于家里只有一根量程为30 cm 的刻度尺，于是他在细线上的A 点做了一个标记，使得悬点O 到A 点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O 、A 间细线长度以改变摆长．实验中，当O 、A 间细线的长度分别为l 1、l 2时，测得相应单摆的周期为T 1、T 2.由此可得重力加速度g ＝____________(用l 1、l 2、T 1、T 2表示)．考点2 受迫振动和共振【典型例题3】 (16年扬州一模)(多选)如图所示，A 、B 、C 三个小钢球的质量分别为2m 、12m 、m ，A 球振动后，通过张紧的水平细绳给其他各摆施加驱动力．当B 、C 振动达到稳定时，下列说法中正确的是( )A ．B 的振动周期最大 B ．C 的振幅比B 的振幅小 C ．C 的振幅比B 的振幅大D ．A 、B 、C 的振动周期相等【典型例题4】 (多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )A ．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线B ．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l Ⅰ∶l Ⅱ＝25∶4C ．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 mD．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的2.(多选)将测力传感器接到计算机上可以测量快速变化的力，将单摆挂在测力传感器的探头上，测力探头与计算机连接，用此方法测得的单摆摆动过程中摆线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示，g取10 m/s2.某同学由此图象提供的信息做出了下列判断，其中正确的是( )A．摆球的周期T＝0.5 sB．单摆的摆长l＝1 mC．t＝0.5 s时摆球正经过最低点D．摆球运动过程中周期越来越小当堂检测 1.如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用下做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是( )第1题图A．甲的振幅较大，且振动频率为8 HzB．甲的振幅较大，且振幅频率为9 HzC．乙的振幅较大，且振动频率为9 HzD．乙的振幅较大，且振幅频率为72 Hz2．(多选)下列说法正确的是( )A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率3．一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因(如转移到其他星球)自由落体运动的加速度变为原来的1/2，振幅变为原来的1/3，摆长变为原来的1/4，摆球质量变为原来的1/5，它的周期变为__________．4．如图是一个单摆的共振曲线，此单摆的固有周期T是________s，若将此单摆的摆长增大，共振曲线的最大值将________(选填“向左”或“向右”)移动．第4题图5．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：(1)单摆振动的频率是多大？(2)开始时刻摆球在何位置？(3)若当地的重力加速度为π2m/s2，试求这个摆的摆长是多少？第5题图第53讲 实验十一：单摆的周期 与摆长的关系 受迫振动和共振知识整合 基础自测一、1.不计 不计 理想化 2.重力沿切线方向的分力 二、1.摆长 重力加速度 无关 2.悬点 球心 三、2.T ＝2πL g 4π2L T 23.毫米刻度尺 秒表4.(2)自由下垂 (4)振动周期 四、1.弹力 重力的切向分量2．机械能 振幅3．(1)驱动力 受迫振动 (2)驱动力 固有频率 五、1.等于 最大2．驱动力 f ＝f ′ f ′ 越小 方法技巧·典型例题1· A 【解析】 根据单摆周期公式和单摆做简谐运动的等时性可知，用等大的铜球代替铁球，单摆的周期不变，选项A 正确；由于摆长是从悬点到摆球中心的长度，故在用同样长的摆线连接铁球时，用大球代替小球，摆长会变化，单摆的周期会改变，选项B 错误；单摆在小摆角下的摆动周期一样，选项C 错误；将单摆从赤道移到北极，重力加速度增大，单摆的周期会变小，选项D 错误．·变式训练1·A 【解析】 由于半径远大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆．因为在同一地点，周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故两球同时到达C 点，故选项A 正确．·典型例题2·(1)AD (2)4πn 2Lt(3)2.01 9.76 (4)B (5)4π2（l 1－l 2）T 21－T 22【解析】 (1)单摆的模型要求细线要长些、轻些，这样测量相对误差小、易观察摆球的位置变化等，A 正确．摆球的使用小重球，减小阻力、相对细线质量较大．D 正确．(2)根据单摆周期公式T ＝2πLg，单摆完成N 次全振动的时间为t ，T ＝t /n 可求当地的重力加速度g ＝4π2n 2Lt2. (3)据T ＝t /n ＝2.01 s 和g ＝4π2n 2L t2＝9.76 m/s 2可求．(4)图线b 对应的g 值最接近当地重力加速度的值，说明图线b 对应的是较准确测量方式．根据单摆的周期公式T ＝2πLg 得：T 2＝4π2L g ，根据数学知识可知，T 2­L 图象的斜率k ＝4π2g，当地的重力加速度g ＝4π2k.A项若测量摆长时忘了加上摆球的半径，则摆长变成摆线的长度l ，则有T 2＝4π2Lg＝4π2（l ＋r ）g ＝4π2g l ＋4π2r g ，根据数学知识可知，对T 2­L 图象来说，T 2＝4π2g l ＋4π2r g与b线T 2＝4π2l g 斜率相等，两者应该平行，4π2r g是截距；故做出的T 2­L 图象中a 线的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L .故A 错误．B 项实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k 偏小，故B 正确；C 项由图可知，图线c 对应的斜率k 偏小，根据T 2­L 图象的斜率k ＝4π2g，当地的重力加速度g ＝4π2k可知，g 值大于图线b 对应的g 值，故C 错误．故选B.(5)根据单摆的周期公式T ＝2πL g ，第一次：T 1＝2πl 1g 第二次：T 2＝2πl 2g联立解得：g ＝4π2（l 1－l 2）T 21－T 22. ·典型例题3·CD 【解析】 由于A 自由振动，其周期就等于其固有周期，而B 、C 在驱动力作用下的受迫振动，受迫振动的周期等于驱动力的周期，所以三个单摆的振动周期相等，故A 错误；由于A 、C 摆长相等，产生共振，所以C 的振幅比B 大，故C 、D 正确．·典型例题4·ABC 【解析】 受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式T ＝2πl g ，可以得到单摆固有频率f ＝1T＝12πgl，根据图象中f 的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况． ·变式训练2·BC 【解析】 由题图可知，单摆两次拉力极大值的时间差为1 s ，所以单摆的振动周期为2 s ，选项A 错误；根据单摆的周期公式T ＝2πlg可得摆长l ＝1 m ，选项B 正确；t ＝0.5 s 时摆线的拉力最大，所以摆球正经过最低点，选项C 正确；摆线拉力的极大值发生变化，说明摆球在最低点时的速度发生了变化，所以摆球做阻尼振动，振幅越来越小，由于周期与振幅无关，所以单摆的周期不变，选项D 错误．当堂检测1．B 【解析】 支架在受到竖直方向且频率为9 Hz 的驱动力作用下做受迫振动时，甲乙两个弹簧振子都做受迫振动，它们振动的频率都等于驱动力的频率9 Hz ，由于甲的频率接近于驱动力的频率，所以甲的振幅较大，故B 正确，ACD 错误．2．ABD 【解析】 根据单摆周期公式：T ＝2πLg可以知道，在同一地点，重力加速度g 为定值，故周期的平方与其摆长成正比，故选项A 正确；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能参与转化，根据机械能守恒条件可以知道，振动系统的势能与动能之和保持不变，故选项B 正确；根据单摆周期公式：T ＝2πLg可以知道，单摆的周期与质量无关，故选项C 错误；当系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，选项D 正确．3.22【解析】 根据单摆的周期公式T ＝2πL g ，重力加速度减小为12倍，摆长减小为14倍，故单摆周期减小为原来的22倍．4．2.5 向左 【解析】 当驱动力频率与单摆的固有频率相等时，振幅最大的现象叫做共振现象．由图象可以看出，当f ＝0.4 Hz 时，振幅最大，发生共振现象；故单摆的固有频率为0.4 Hz ，故周期为2.5 s ；若将此单摆的摆长增大，根据公式T ＝2πL g ，周期变大，固有频率减小，故共振曲线的最大值将向左移动．5．(1)1.25 Hz (2)B 点 (3)0.16 m【解析】 (1)由乙图知周期T ＝0.8 s则频率f ＝1T＝1.25 Hz (2)由乙图知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时刻摆球在B 点(3)由T ＝2πL g 得L ＝gT 24π2＝0.16 m.。

专题55 探究单摆的周期与摆长的关系 用单摆测定重力加速度（测）【满分：110分 时间：90分钟】实验题（共10小题，每题11分）1．某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中进行了如下的操作；（1）某同学用秒表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示，则该单摆的周期T =______s （结果保留三位有效数字）、（2）测量出多组周期T 、摆长L 数值后，画出T 2﹣L 图象，此图线斜率的物理意义是 A ．g B ．g 1C 、g24π D ．24πg （3）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度、他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T 1，然后把摆线缩短适当的长度△L ，再测出其振动周期T 2、用该同学测出的物理量表达重力加速度为g=_____________【答案】（1）1、89 （2）C ；（3）222124T T L-∆⋅π（3）先测出一摆线较长的单摆的振动周期T 1，则gL T π21=，然后把摆线缩短适当的长度△L ，再测出其振动周期T 2，则gL L T ∆-=π22 考点：用单摆测定重力加速度。

【名师点睛】常用仪器的读数要掌握，这是物理实验的基础、掌握单摆的周期公式，从而求解加速度，摆长、周期等物理量之间的关系。

2．甲乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。

（1）甲组同学采用图甲所示的实验装置。

①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用；（用器材前的字母表示）a ．长度接近1m 的细绳b ．长度为30cm 左右的细绳c ．直径为1．8cm 的塑料球d ．直径为1．8cm 的铁球e ．最小刻度为1cm 的米尺f ．最小刻度为1mm 的米尺②该组同学先测出悬点到小球球心的距离L ，然后用秒表测出单摆完成n 次全振动所用的时间t 。

请写出重力加速度的表达式g=。

（用所测物理量表示）③在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O 处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值。

单摆运动周期与摆长关系摆长是指单摆的线长，即摆锤离摆轴的距离。

在物理学中，单摆是一个重要的研究对象，它的运动周期与摆长之间存在着一定的关系。

本文将探讨单摆运动周期与摆长的关系，并从理论和实验两个方面进行讨论。

一、理论分析单摆的运动周期与摆长之间存在着一个简单的数学关系，即周期的平方与摆长成正比。

这个关系由物理学家伽利略在16世纪提出，并由后来的科学家进行了验证和推广。

假设单摆的摆长为L，重力加速度为g，摆锤的质量为m。

根据牛顿第二定律，摆锤在重力作用下受到一个向心力，大小为mg*sinθ，其中θ为摆锤与竖直方向的夹角。

根据几何关系，可以得到sinθ=L/L0，其中L0为摆锤在最低点时的线长。

根据牛顿第二定律和几何关系，可以得到摆锤的运动方程为：m*L0*d^2θ/dt^2 = -m*g*sinθ化简后得到：d^2θ/dt^2 + g/L0*sinθ = 0这是一个非线性的微分方程，很难直接求解。

但是，当θ很小的时候，可以近似地认为sinθ≈θ，即θ的弧度近似等于它的正弦值。

这个近似成立的条件是θ的弧度要远小于1弧度，即θ要远小于π/2。

在这个近似条件下，可以将微分方程简化为：d^2θ/dt^2 + g/L0*θ = 0这是一个简谐振动的微分方程，它的解可以表示为：θ(t) = A*sin(ωt + φ)其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。

通过对微分方程的求解，可以得到角频率ω的表达式：ω = √(g/L0)根据周期的定义，周期T等于振动一周所需的时间，即T = 2π/ω。

代入角频率的表达式，可以得到周期与摆长的关系：T = 2π*√(L0/g)由此可见，单摆的运动周期与摆长的平方根成正比。

二、实验验证为了验证理论分析的结果，可以进行实验来测量单摆的运动周期与摆长的关系。

实验的步骤如下：1. 准备一个单摆装置，包括一个摆轴和一个可调节摆长的摆锤。

2. 将摆锤拉至一定角度，然后释放，观察摆锤的运动。

实验十一探究单摆周期与摆长的关系一、实验目的1．知道把单摆的运动看做简谐运动的条件．2．会探究与单摆的周期有关的因素．3．会用单摆测定重力加速度．二、实验原理单摆在摆角小于10°时，其振动周期跟摆角的大小和摆球的质量无关，单摆的周期公式是T＝2πlg，由此得g＝4π2lT2，因此测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度值．三、实验器材带孔小钢球一个、细丝线一条(长约1 m)、毫米刻度尺一把、秒表、游标卡尺、带铁夹的铁架台．四、实验步骤1．做单摆：取约1 m 长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂．2．测摆长：用米尺量出摆线长l (精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D (也精确到毫米)，则单摆的摆长l ′＝l ＋D2.3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于10°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值．4．改变摆长，重做几次实验． 五、数据处理1．公式法：将测得的几次的周期T 和摆长l 代入公式g ＝4π2lT 2中算出重力加速度g 的值，再算出g 的平均值，即为当地的重力加速度的值．2．图象法：由单摆的周期公式T ＝2π·l g 可得l ＝g4π2T 2，因此以摆长l 为纵轴、以T 2为横轴作出的l －T 2图象是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k ，即可求出g 值．g ＝4π2k ，k ＝lT 2＝Δl ΔT 2.六、注意事项1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m 左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm.2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°.可通过估算振幅的办法掌握． 4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记．以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数．七、误差分析1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看做质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期)．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“零”的同时按下秒表开始计时．不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．对实验原理操作及误差分析的考查【典题例析】某同学利用单摆测量重力加速度．(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________．A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆．实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________．[解析](1)应选用密度较大且直径较小的摆球，A错．在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B对．摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C对．摆动中摆角要控制在5°以内，所以D错．(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为L1和L2，则T1＝2πL1g，T2＝2πL2g，则ΔL＝g4π2·(T21－T22)，因此，g＝4π2ΔLT21－T22.[答案](1)BC(2)4π2ΔLT21－T22(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．(3)测周期的方法①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球从某一方向经过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．某实验小组在探究单摆周期与摆长的关系的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)．A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为t100C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小解析：(1)主尺刻度加游标尺刻度的总和等于最后读数，0.9 cm＋7×110mm＝0.97 cm，不需要估读．(2)单摆在摆角较小时才能看做简谐运动，其周期公式才成立，为减小计时误差，应从摆球速度最大的最低点瞬间计时，A错误；通过最低点100次的过程中，经过的时间是50个周期，B错误；应选用密度较大、直径较小的球以减小空气阻力的影响，D错误；悬线的长度加摆球的半径才等于摆长，由单摆周期公式T＝2πl＋rg可知，若摆长记录值偏大，测定的重力加速度也偏大，C正确．答案：(1)0.97(2)C对实验数据处理的考查【典题例析】(2020·湖州调研)下表是探究单摆周期与摆长的关系实验中获得的有关数据：(2)利用图象，取T2＝4.2 s2时，l＝________m．重力加速度g＝________m/s2.[解析](1)由T＝2πl g得g＝4π2·lT2或l＝g4π2·T2，所以图象是过原点且斜率为g4π2的一条直线．l－T2图象如图所示．(2)T2＝4.2 s2时，从图中画出的直线上可读出其摆长l＝1.05 m，将T2与l代入公式g＝4π2l2.T2，得g＝9.86 m/s[答案](1)见解析图(2)1.059.86某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示．这样做的目的是________(填字母代号)．A．保证摆动过程中摆长不变B．可使周期测量得更加准确C．需要改变摆长时便于调节D．保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L ＝0.999 0 m ，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为________mm ，单摆摆长为________m.(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m 的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A 、B 、C 均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是______(填字母代号)．解析：(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，A 、C 正确．(2)根据游标卡尺读数规则，摆球直径为12.0 mm ，单摆摆长为L －d2＝0.999 0 m －0.0060 m ＝0.993 0 m.(3)单摆测量周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于10°，所以合乎实验要求且误差最小的是A.答案：(1)AC(2)12.00.993 0(3)A[随堂检测]1．(2020·丽水质检)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：(1)下面所给器材中，选用哪些器材较好，请把所选用器材前的字母依次填写在题后的横线上．A．长1 m左右的细线B．长30 cm左右的细线C．直径2 cm的铅球D．直径2 cm的铝球E．秒表F．时钟G．最小刻度是厘米的直尺H．最小刻度是毫米的直尺所选用的器材是________．(2)实验时对摆线偏离竖直线的偏角要求是___________________________________．解析：本实验的原理：振动的单摆，当摆角＜10°时，其振动周期与摆长的平方根成正比，与重力加速度的平方根成反比，而与偏角的大小(振幅)、摆球的质量无关，周期公式为T＝2πlg，变换这个公式可得g＝4π2lT2.因此，本实验中测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值，本实验的目的是测量重力加速度g的值，而非验证单摆的振动规律．因此实验中应选用较长的摆长l，这样既能减小摆长的测量误差，又易于保证偏角θ不大于10°，而且由于振动缓慢，方便计数和计时．本实验所用的实际摆要符合理论要求，摆长要有1 m左右，应选用不易伸长的细线，摆球直径要小于2 cm，应选用较重的小球，故选A、C.由于重力加速度g与周期的平方成反比，周期T的测量误差对g的影响是较大的，所用计时工具应选精确度高一些的，故选E.由于摆长l 应是悬点到铅球的边缘的距离l 加上铅球的半径r .铅球半径用游标卡尺测量出(也可由教师测出后提供数据)，因此l 应读数准确到毫米位．实验中应用米尺或钢卷尺来测量，故选H.答案：(1)A 、C 、E 、H (2)小于10°2．(2016·10月浙江选考)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，测量单摆的周期时，图中________(填“甲”“乙”或“丙”)作为计时开始与终止的位置更好些．答案：乙3．某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验时，先测得摆线长为101.00 cm ，摆球直径为2.00 cm ，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5 s ，则(1)他测得的重力加速度g ＝________m/s 2.(2)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l 并测出相应的周期T ，从而得出一组对应的l 与T 的数据，再以l 为横坐标、T 2为纵坐标将所得数据连成直线，并求得该直线的斜率k .则重力加速度g ＝________．(用k 表示)解析：(1)本次实验中的摆长l ＝L ＋r ＝(101.00＋1.00)cm ＝1.020 0 m ，周期T ＝t N ＝101.550s ＝2.03 s ，由公式g ＝4π2lT2可以解得g ＝9.76 m/s 2.(2)由公式g ＝4π2l T 2得：T 2＝4π2g l ，这是一条T 2关于l 的一元一次函数(如y ＝kx )，所以它的斜率是k ＝4π2g ，所以g ＝4π2k.答案：(1)9.76 (2)4π2k4．(2020·湖州质检)在做“用单摆测定重力加速度”的实验过程中：(1)小李同学用游标卡尺测得摆球的直径如图所示，则摆球直径d ＝________cm.(2)小张同学实验时却不小心忘记测量小球的半径，但测量了两次摆线长和周期，第一次测得悬线长为L 1，对应振动周期为T 1，第二次测得悬线长为L 2，对应单摆的振动周期为T 2，根据以上测量数据也可导出重力加速度的表达式为________．解析：(1)游标卡尺为20分度，精确度为0.05 mm ，主尺读数为20 mm ，游标尺读数为0.05×6＝0.30 mm ，所以测得摆球的直径d ＝2.030 cm.(2)设摆球半径为r ，则：T 1＝2πL 1＋r g ，T 2＝2π L 2＋r g 联立两式解得：g ＝4π2（L 1－L 2）T 21－T 22. 答案：(1)2.030 (2)4π2（L 1－L 2）T 21－T 22。

单摆的周期跟摆长的关系
在探究单摆的周期跟哪些因素有关的实验中，得出周期跟摆长的关系是本实验的主要任务，为了探究二者的关系，实际教学过程中可以参考如下思路进行。

一、理论指导
单摆的周期指单摆做简谐运动时，完成一次全振动的时间。

单摆的摆长指悬挂小球的细线长度跟小球半径之和。

一个单摆制作完工以后，其摆长为定值，不同摆长的单摆振动过程中，振动周期与摆长有关，在某一地点，重力加速度g一定，单摆的摆长不同，振动周期就不同。

二、实验指导
1.定性探究：由对比实验不难发现摆长L越大，周期T越大。

2.猜想：有可能T跟L成正比，也可能T2跟L成正比。

3.定量探究：先设计数据表，然后通过实验获取相关数据，最后根据表中数据作出T2--L 图象，就会发现图线是一条直线，从而验证了T2跟L成正比的猜想。

数据表如下：。

实验十 探究单摆的周期与摆长的关系考纲解读 1.知道把单摆的运动看做简谐运动的条件.2.会探究与单摆的周期有关的因素.3.会用单摆测定重力加速度．基本实验要求1．实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2lT2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值． 2．实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺． 3．实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆． (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示．(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N(N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期T ＝T 1＋T 2＋T 33.(5)根据单摆周期公式T ＝2πl g 计算当地的重力加速度g ＝4π2l T2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值．(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因．规律方法总结1．注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．(4)本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要办法． 2．数据处理处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝t N求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后代入公式g ＝4π2lT2求重力加速度． (2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k ＝Δl ΔT 2，即可利用g ＝4π2k 求得重力加速度值，如图1所示．图13．误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等．(2)偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数．考点一实验操作与误差分析例1(2012·天津·9(2))某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．①他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图2所示．这样做的目的是________(填字母代号)．图2A．保证摆动过程中摆长不变B．可使周期测量得更加准确C．需要改变摆长时便于调节D．保证摆球在同一竖直平面内摆动②他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L ＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图3所示，则该摆球的直径为________mm，单摆摆长为________m.图3③下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是____(填字母代号)．解析 ①在“探究影响单摆周期的因素”实验中，应使单摆在摆动过程中摆长不变，而且摆长便于调节，故选项A 、C 正确，选项B 、D 错误． ②摆球的直径d ＝12 mm ＋0×0.1 mm ＝12.0 mm摆长l ＝L －d2＝0.999 0 m －0.006 0 m ＝0.993 0 m.③单摆振动的摆角θ≤5°，当θ＝5°时单摆振动的振幅A ＝l sin 5°＝0.087 m ＝8.7 cm ，且为了计时准确，应在摆球摆至平衡位置时开始计时，故选项A 正确，选项B 、C 、D 错误． 答案 ①AC ②12.0 0.993 0 ③A变式题组1．[实验操作](2014·江苏·12B(2))在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中，某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期．以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正． 答案 见解析解析 ①应在摆球通过平衡位置时开始计时；②应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值．(或在单摆振动稳定后开始计时)2．[实验操作](2013·安徽·21Ⅰ)根据单摆周期公式T ＝2πlg，可以通过实验测量当地的重力加速度．如图4甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆．图4(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm. (2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________． a ．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 b ．摆球尽量选择质量大些、体积小些的c ．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度d ．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt 即为单摆周期Te ．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球摆动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt ，则单摆周期T ＝Δt50答案 (1)18.6 (2)abe解析 (1)十分度游标尺的第6个刻度线与主尺刻度线对齐，所以读数为18.6 mm.(2)对于单摆，摆线质量可忽略且不可伸长，所以应选伸缩性小的细线，摆球应选密度较大、体积小的钢球；为使摆的周期大一些，由T ＝2πlg知，摆线应长些，所以选项a 、b 正确，为使单摆具有等时性，摆角应小于5°，要减小测量周期的误差，计时起点应选在摆球的平衡位置，且测量多次(N )全振动的总时间(Δt )，然后再算出周期T ＝ΔtN，选项e 正确．3．[误差分析]某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：图5(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图5所示，则该摆球的直径为________cm. (2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)． A ．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时 B ．测量摆球通过最低点100次的时间t ，则单摆周期为t100C ．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D ．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小 答案 (1)0.97 (2)C解析 (1)由游标尺的“0”刻线在主尺上的位置读出摆球直径的整毫米数为9mm=0.9 cm ，游标尺中第7条刻度线与主尺刻度线对齐，所以应为0.07 cm ，所以摆球直径为0.9 cm ＋0.07 cm＝0.97 cm.(2)单摆应从最低点计时，故A 错；因一个周期内，单摆有2次通过最低点，故B 错；由T ＝2πlg得，g ＝4π2lT2，若用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，则g 偏大，C 对；因空气阻力的影响，选密度小的摆球，测得的g 值误差大，D 错．考点二 实验数据的处理例2 在探究单摆周期与摆长关系的实验中，(1)关于安装仪器及测量时的一些实验操作，下列说法中正确的是( ) A ．用米尺测出摆线的长度，记为摆长lB ．先将摆球和摆线放在水平桌面上测量摆长l ，再将单摆悬挂在铁架台上C ．使摆线偏离竖直方向某一角度α(接近5°)，然后由静止释放摆球D ．测出摆球两次通过最低点的时间间隔记为此单摆振动的周期 (2)实验测得的数据如下表所示：次数 1 2 3 4 5 摆长l /cm 80.00 90.00 100.00 110.00 120.00 30次全振动时间t /s53.8 56.9 60.0 62.8 65.7 振动周期T /s 1.79 1.90 2.00 2.09 2.19 振动周期的平方T 2/s 23.203.614.004.374.80请将测量数据标在图6中，并在图中作出T 2随l 变化的关系图象．图6(3)根据数据及图象可知单摆周期的平方与摆长的关系是________．(4)根据图象，可求得当地的重力加速度为________m/s 2.(π＝3.14，结果保留3位有效数字) 解析 (1)本实验中，应将摆球和摆线组成单摆之后再测量其摆长，摆长应为悬点到摆球球心的距离，故A 、B 错误；测量单摆的周期时，应为相邻两次通过最低点并且通过最低点的速度方向相同，即单摆做一次全振动，这段时间才为一个周期，为了减小误差，须测量单摆的多个周期，然后再取平均值求出一个周期，故D 错误；单摆在摆角小于5°时可认为做简谐运动，故C 正确．(2)通过描点、连线可得到单摆的T 2－l 图象，近似为一条直线． (3)通过作出的图象说明单摆周期的平方和摆长成正比．(4)根据图象求出图线的斜率k ，再根据单摆的周期公式可得g ＝4π2k，进而求出重力加速度g .答案 (1)C (2)如图所示(3)成正比 (4)9.86 变式题组4．[数据处理]下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：摆长l/ m 0.5 0.6 0.8 1.1 周期T 2/ s 22.02.43.24.4(1)利用上述数据，在图7的坐标系中描绘出l －T 2图象．图7(2)利用图象，取T 2＝4.2 s 2时，l ＝________ m ，重力加速度g ＝________ m/s 2.(结果保留三位有效数字)答案 (1)见解析图 (2)1.05 9.86 解析 由T ＝2πl g 得l ＝g 4π2T 2，所以图象是过原点且斜率为g4π2的一条直线． (1)l －T 2图象如图所示．(2)T 2＝4.2 s 2时，从图中可读出其摆长l ＝1.05 m ，将T 2和l 代入公式g ＝4π2lT2，得g ≈9.86m/s 2.5．[数据处理]某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图8甲所示，可读出摆球的直径为________ cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L .图8(2)用秒表测量单摆的周期．当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n ＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n ＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T ＝________ s(结果保留三位有效数字)．(3)测量出多组周期T 、摆长L 的数值后，画出T 2－L 图线如图丙，此图线斜率的物理意义是( ) A ．g B.1gC.4π2gD.g4π2(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小( ) A ．偏大 B ．偏小 C ．不变 D ．都有可能(5)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度，他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T 1，然后把摆线缩短适当的长度ΔL ，再测出其振动周期T 2.用该同学测出的物理量表示重力加速度g ＝________. 答案 (1)2.06 (2)2.28 (3)C(4)C (5)4π2ΔLT 21－T 22解析 (1)摆球的直径为d ＝20 mm ＋6×110 mm ＝20.6 mm ＝2.06 cm.(2)秒表的读数为t ＝60 s＋7.4 s ＝67.4 s ，根据题意t ＝60－12T ＝592T ，所以周期T ＝2t59≈2.28 s ．(3)根据单摆周期公式T ＝2πL g ，可得T 2L ＝4π2g ＝k (常数)，所以选项C 正确．(4)因为T 2L ＝4π2g＝k (常数)，所以ΔT 2ΔL ＝4π2g＝k ，若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足T 21－T 22L 1－L 2＝4π2g ＝k ，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变．(5)根据(4)的分析，ΔT 2ΔL ＝4π2g，所以g ＝4π2ΔL ΔT 2＝4π2ΔLT 21－T 22.6．[数据处理]有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自利用先进的DIS 系统较准确地探究了“单摆的周期T 与摆长L 的关系”，他们通过校园网交换了实验数据，并由计算机绘制了T 2－L 图象，如图9甲所示 .去北大的同学们所测实结果对应的图线是________(选填“A ”或“B ”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比L AL B＝________.图9答案 B 2解析 由T ＝2πL g 得，T 2＝4π2g L ，根据题图甲可知4π2g A ＞4π2g B，即g A ＜g B ，因为北大更靠近北极，其所在的重力加速度更大些，所以应选B ；根据题图甲可知g A g B ＝g A 4π2·4π2g B ＝k B k A ＝89，由题图乙可得T A T B ＝32，根据T 2＝4π2g L 得L A L B T 2A g A T 2B g B＝2.考点三 实验拓展与创新例3 (1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图10甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．图10(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图11甲所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”“不变”或“变小”)，图乙中的Δt将________(填“变大”“不变”或“变小”)．图11解析(1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是图乙．(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为t1＋2t0－t1＝2t0；小球的直径变大后，摆长变长，周期变大；同时小球直径变大后使得每次经过最低点时摆球的挡光的时间变长，即Δt变大．答案(1)乙(2)2t0变大变大变式题组7．[实验创新]为了研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图12甲所示装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图乙所示．图12(1)漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________(填写仪器序号)．A．打点计时器B．秒表C．毫米刻度尺D．电流表(2)已知单摆周期T＝2 s，在图乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10cm ，则单摆在经过D 点时，滑块的瞬时速度为v D ＝________ m/s ，滑块的加速度为a ＝________ m/s 2(结果保留两位小数)．答案 (1)A (2)0.34 0.04解析 (1)单摆振动具有周期性，摆球每隔半个周期经过纸带中线一次，单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同，故选A.(2)在匀变速直线运动中时间中点的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小，故有v D ＝x CE T＝0.34 m/s 据匀变速直线运动的推论Δx ＝aT 2，有： x 4－x 2＝2a 1(T 2)2 ① x 3－x 1＝2a 2(T 2)2 ② 联立①②有：a ＝a 1＋a 22＝x 4＋x 3－x 2－x 1T 2代入数据得a ＝0.04 m/s 28. [实验创新]将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h (未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图13所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L ，并通过改变L 而测出对应的摆动周期T ，再以T 2为纵轴、L 为横轴作出T 2－L 函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h 和当地的重力加速度g .图13(1)如果实验中所得到的T 2－L 关系图象如图14所示，那么真正的图象应该是a 、b 、c 中的________；图14(2)由图可知，小筒的深度h ＝________ m ，当地重力速度g ＝________ m/s 2；(计算结果保留三位有效数字)(3)在实验中，每次测量时总是错误地把摆线加上球直径当成了摆长，如果仍然采用题中图象方法处理数据，你认为会对实验结果造成怎么样的影响？对h 的影响是________，对g 的影响是________．A ．无影响B ．比真实值小C ．比真实值大D ．不确定答案 (1)a (2)0.315 9.86 (3)B A解析 (1)由单摆周期公式T ＝2π L ＋h g 得T 2＝4π2L g ＋4π2h g当L ＝0时，T 2＝4π2h g＞0，则真正的图象是a . (2)当T 2＝0时，L ＝－h ，即图象与L 轴交点坐标h ＝－L ＝31.5 cm ＝0.315 m ．图线的斜率大小k ＝4π2g，由图象可得k ＝4，代入解得：g ≈9.86 m/s 2. (3)根据(1)中分析可知把摆线加上球直径当成了摆长，即L 偏大，导致图线的纵轴截距偏小，斜率不变．故对h 的影响是比真实值小，对g 的值没有影响．。

课时作业(五十) 试验、探究：单摆的周期与摆长的关系1．在“用单摆测重力加速度”的试验中，下列说法正确的是( ) A ．要求摆线长度适当，在摇摆过程中不会伸缩，且质量很小B ．用秒表测出单摆完成一次全振动的时间，这就是单摆振动的周期；反复测三次，在算出测得周期的平均值C ．用刻度尺测量摆长时，摆长下端应从球心算起，量到悬点处D ．测量周期T 时，从摆球经过平衡位置时开头计时2．针对用单摆测重力加速度的试验，下面各种对试验误差的影响的说法中正确的是( ) A ．在摆长和时间的测量中，时间的测量对试验误差影响较大 B ．在摆长和时间的测量中，长度的测量对试验误差影响较大 C ．将振动次数n 记为(n ＋1)，测算出的g 值比当地的公认值偏大D ．将摆线长当作摆长，未加摆球的半径测算出的g 值比当地的公认值偏大 3．为了提高周期的测量精度，下列哪些做法是可取的( ) A ．用秒表直接测量一次全振动的时间B ．用秒表测30次至50次全振动的时间，计算出平均周期C ．在平衡位置启动秒表计时和结束计时D ．在最大位移处启动秒表计时和结束计时4．在做“探究单摆的周期与摆长的关系”的试验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结构精确度有利的是( )A ．适当加长摆线B ．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C ．单摆偏离平衡位置的角度不能太大D ．当单摆经过平衡位置时开头计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期 5．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发觉单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到第5题图球心的距离当作摆长L ，通过转变摆线的长度，测得6组L 和对应的周期T ，画出LT 2图线，然后在图线上选取A 、B 两个点，坐标如图所示．他接受恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g ＝______.请你推断该同学得到的试验结果与摆球重心就在球心处的状况相比，将________．(填“偏大”、“偏小”或“相同”)6．两个同学利用假期分别去参观北京高校和南京高校的物理试验室，各拘束那里利用先进的DIS 系统较精确 地探究了“单摆的周期T 与摆长L 的关系”，他们通过校内网交换试验数据，并由计算机绘制了T 2—L 图象，如图甲所示，去北大的同学所测试验结果对应的图线是________(选填“A ”或“B ”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比La L b＝________.甲 乙 第6题图7．下表是用单摆测定重力加速度试验中获得的有关数据：摆长l (m) 0.5 0.6 0.81.1 周期T 2(s 2) 2.0 2.4 3.24.4(1)利用上述数据，在如图所示的坐标系中描绘出l －T 2图象．第7题图(2)利用图象，取T 2＝4.2 s 2时，l ＝________m ．重力加速度g ＝________m/s 2.8．如图所示，某同学接受双线摆和光电计数器测量重力加速度．已知每根悬线长l ，两悬点间相距为s ，金属小球半径为r ，AB 为光电计数器．第8题图现将小球垂直于纸面对外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线(光束)位置O 时，由A 射向B 的光束被拦住，计数器计数一次，显示为“1”，同时由零开头计时，而后每当小球经过O 点时，计数器都要计数一次．当计数器上显示的计数次数刚好为n 时，计数器都要计数一次．当计数器上显示的计数次数刚好为n 时，计时时间为t .由此可知双线摆的振动周期T 为________；计算重力加速度g 时，双线摆的等效摆长L 为________；最终依据公式g ＝________，代入周期T 和等效摆长L 的值即可求出重力加速度．9．在“用单摆测重力加速度”的试验中，第9题图(1)某同学的操作步骤为：a ．取一根细线，下端系住直径为d 的金属小球，上端固定在铁架台上b ．用米尺量得细线长度l。

【高中物理】高中物理知识点：实验：探究单摆周期与摆长的关系探究单摆周期与摆长的关系：实验目的：1、探究单摆周期与摆长的关系。

2、能正确熟练地使用秒表。

实验原理：测量摆长和摆的周期，得到一组数据；改变摆长，再得到几组数据。

从中可以找出周期与摆长的关系。

实验器材：带孔小钢球一个、细丝线一条（长约1 m）、毫米刻度尺一把、秒表、游标卡尺、带铁夹的铁架台。

实验步骤：1、做单摆：取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂；2、测摆长：用米尺量出摆线长l（精确到毫米），用游标卡尺测出小球直径D（也精确到毫米），则单摆的摆长l′＝l＋；3、测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于10°），然后释放小球，记下单摆做30次～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。

反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值；4、改变摆长，重做几次实验。

数据处理：1、先通过数据分析，对周期T与摆长l的定量关系做出猜测，例如可能是T∝l、T∝l2，或者；2、建立直角坐标系，用纵坐标表示周期T，横坐标表示l（或l2、、等），作出图象。

如果这样作出的图象确实是一条直线，说明T∝l（或T∝l2、等）。

注意事项：1、选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。

2、单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。

3、注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°，可通过估算振幅的办法掌握。

4、摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。

5、计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。

以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。

单摆(1)1．一个单摆的摆球运动到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是( )A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大2．把地球上的一个秒摆（周期等于2s的摆称为秒摆）拿到月球上去，它的振动周期变为多少？已知地球质量M地=5.98×1024kg，半径R地=6.4×106m，月球质量M月=7.34×1022kg，半径R月=1.74×106m．3．一单摆的摆长为40cm，摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，若g 取10 m／s2，则在1s时摆球的运动情况是[ ]A．正向左做减速运动，加速度正在增大B．正向左做加速运动，加速度正在减小C．正向右做减速运动，加速度正在增大D．正向右做加速运动，加速度正在减小4．在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中：(1)下面所给器材中，选用哪些器材较好，请把所选用器材前的字母依次填写在题后的横线上．A．长1 m左右的细线B．长30 cm左右的细线C．直径2 cm的铅球D．直径2 cm的铝球E．秒表F．时钟G．最小刻度是厘米的直尺H．最小刻度是毫米的直尺所选用的器材是________________．(2)实验时对摆线偏离竖直线的偏角要求是____________．5．若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置时的速度减为原来的1/2,则单摆振动的（）A．频率不变,振幅不变 B.频率改变,振幅变大C．频率改变,振幅不变 D.频率不变,振幅变小6．在“单摆测重力加速度”的实验中，如果摆球质量不均匀，按照正常的方法进行实验，会给测量结果造成误差。

一个同学设计了一个巧妙的方法，可以避免上述误差，实验分两次进行，第一次测得悬线长为L1，测得振动周期为T1；第二次只改变悬线长为L2，并测得此时单摆的振动周期为T2，根据测量数据导出重力加速度的表达式为___________。