第08讲 圆心角与圆周角

第8讲 圆的基本概念圆是第一个最简单、最完美的图形.——普罗克洛斯（希腊数学家）知识方法扫描圆的基本概念包括圆的定义；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；垂径定理；与圆有关的角(圆心角、圆周角、弦切角、圆内角、圆外角、圆内接四边形的对角）及其之间的关系；弧的度数与其所对的圆心角、圆周角的关系等。

根据圆的对称性质，常作出垂直于弦的直径作为辅助线；当出现了直径时，常作出直径所对的圆周角——直角。

经典例题解析例 1 (1992年太原市初中数学竞赛试题)已知点B 在线段AC 上。

分别以AB,BC,AC 为直径作⊙O 1,⊙O 2,⊙O 。

过点B 作直线交⊙O 于P,Q,交⊙O 1和⊙O 2于R,S 。

求证:PR=QS 。

证明 连结AR,CS. 作OM ⊥PQ 于M PM=QM.. 因 AB ，BC 分别是⊙O 1,⊙O 2的直径，故AR ⊥PQ ，CS ⊥PQ 。

于是AR ∥CS ∥OM 。

而AO=OC ，由平行线等分线段定理，RM=SM 。

所以 PM-RM=QM-SM ， 即PR=QS 。

例2 (1997年陕西省初中数学竞赛试题)已知⊙O 的半径为R, C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点,弧AC 的度数为96°,弧BD 的度数36°, 动点P 在AB 上, 求PC ＋PD 的最小值.解 设D ′是D 点关于直径AB 的对称点,连接CD 交AB 于P.由圆的对称性可知,点D ′在圆上,∴PD ′＝PD,于是PD ′＋PC ＝PD ＋PC.因两点间的连线中, 线段最短, 所以, 此时点P, 使PC ＋PD 最小,且最小值为PC ＋PD ′, 即线段CD ′的长。

连接CO, D ′O,作OM ⊥CD ′于M.∵弧AC 的度数为96°,弧BD 的度数36°，∴弧CD 的度数为180°―96°―36°＝48°, 弧CD ’的度数为48°＋36°×2＝120°, ∴∠COD′＝120°,∠COM ＝21∠COD′＝60°.在Rt △COM 中, CO ＝R, ∴CM ＝CO ·sin60°＝23R ， ∴CD ′＝2CM ＝3R, ∴PC ＋PD 的最小值为3R. 例3．（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区初赛试题）如图A 、B 、P 、C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=600，判断△ABC 的形状，并证明你的结论。

圆周角与圆心角的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

5．圆的内接四边形对角之和是180度。

6．弧的度数就是圆心角的度数。

解题思路：1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个基本特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。

二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】理解圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

重点难点易错点讲解圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一。

认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点。

圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可。

这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点。

圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线。

这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握。

其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角内部，外部，其中一边上）；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；（4）归纳总结出一般性结论。

这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中。

本节常见的错误有：（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况。

【例1】已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数。

错解：如图3-3-4，∵AB=OA，∴△OAB为等边三角形。

∴∠AOB=60°．∴∠C=30°。

∴AB所对的圆心角为60°，圆周角为30°。

正确解法：如图3-3-5，∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形。

∴∠AOB=60°。

∴∠C=30°；∴∠D=150°。

∴弦AB所对的圆心角为60°，所对的圆周角为30°或150°。

错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个。

应加强位置意识的培养，克服思维定势。

专题08 与圆有关的角知识网络重难突破知识点一圆心角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2.圆心角性质定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．【典例1】（2020•项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25°B．40°C．50°D．60°【点拨】连接OB，OC，由半径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A＝75°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【解析】解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝75°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，则的度数为60°．故选：D．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．【变式训练】1．（2019秋•鹿城区月考）一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【点拨】根据正多边形的中心角＝计算即可．【解析】解：设正多边形的边数为n．由题意＝72°，∴n＝5，故选：B．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．2．（2019秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α【点拨】连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：连接OD，∵的度数为α，∴∠DCE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，故选：A．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3.（2019秋•鄞州区期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10 B．13 C．15 D．16【点拨】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4．（2019春•西湖区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数60°．【点拨】根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°【点睛】此题考查圆心角、弧、弦，关键是根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．5.（2018秋•丽水期中）如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．【点拨】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC＝∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM＝ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．【解析】证明：∵弧AC和弧BC相等，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OA＝OB，M、N分别是OA、OB的中点∴OM＝ON，在△MOC和△NOC中，，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC＝NC．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．知识点二圆周角1.圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．2.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【典例2】（2019秋•义乌市期末）如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．【点拨】（1）利用圆周角定理得到∠C＝∠ADB＝90°，则根据互余计算出∠CAB＝62°，再根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠CAB＝31°，然后根据圆周角定理得到∠CBD的度数；（2）连接OD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出BC＝4，由∠CAD＝∠BAD得到＝，根据垂径定理得到OD⊥BC，BE＝CE＝BC＝2，则OE＝1，然后根据勾股定理计算出BD，接着计算出AD．【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠CAB＝31°，∴∠CBD＝∠CAD＝31°；（2）连接OD交BC于E，如图，在Rt△ACB中，BC＝＝4，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝2，∴OE＝AC＝×2＝1，∴DE＝OD﹣OE＝3﹣1＝2，在Rt△BDE中，BD＝＝2，在Rt△ABD中，AD＝＝2．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1．（2019秋•海曙区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，若∠CAD＝25°，则∠ABD 的度数为（）A．25°B．50°C．65°D．75°【点拨】先根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ACD，然后利用互余计算出∠ACD，从而得到∠ABD的度数．【解析】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣25°＝65°，∴∠ABD＝∠ACD＝65°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2．（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°【点拨】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．【解析】解：连接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．3. （2020•温州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为60°．【点拨】根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠D，根据题意得到∠B＝2∠D，根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．【解析】解：由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D，∵∠AOC＝∠B，∴∠B＝2∠D，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠B＝180°，∴∠D+2∠D＝180°，解得，∠D＝60°，故答案为：60．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4.（2019春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E连接EB、DE，EC＝2，BC＝6，则⊙O的半径为 4.5．【点拨】连接BE，AD，求出CD，根据圆周角定理求出∠CAD＝∠CBE，证△CAD∽△CBE，得出比例式，求出AC，即可得出答案．【解析】解：连接BE，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵BC＝6，AB＝AC，∴CD＝BD＝3，∵由圆周角定理得：∠CAD＝∠CBE，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴＝，∴＝，解得：AC＝9，∵AB＝AC，∴AB＝9，∴⊙O的半径为＝4.5，故答案为：4.5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．5.（2019秋•温州期末）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：＝．【点拨】由于AC平分∠BAD则∠BAC＝∠DAC，再利用平行线的性质得∠BAC＝∠ACE，所以∠DAC ＝∠ACE，然后根据圆周角定理得到结论．【解析】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠DAC＝∠ACE，∴＝．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.（2018秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若∠B＝75°，求弧DE的度数；（3）若BD＝3，BE＝4，求AC的长．【点拨】（1）连结AE，如图，由圆周角定理得∠AEC＝90°，而AB＝AC，则根据等腰三角形的性质即可判断BE＝CE；（2）连结OD、OE，如图，在Rt△ABE中，利用互余计算出∠BAE＝15°，再根据圆周角定理得∠DOE ＝2∠DAE＝30°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得到弧DE的度数为30°；（3）连结CD，如图，BC＝2BE＝8，设AC＝x，则AD＝x﹣3，由圆周角定理得∠ADC＝90°，在Rt △BCD中，利用勾股定理得CD2＝55，然后在Rt△ADC中再利用勾股定理得到（x﹣3）2+55＝x2，接着解方程求出x即可．【解析】解：（1）证明：连结AE，如图，∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）解：连结OD、OE，如图，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣75°＝15°，∴∠DOE＝2∠DAE＝30°，∴弧DE的度数为30°；（3）解：连结CD，如图，BC＝2BE＝8，设AC＝x，则AD＝x﹣3，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，在Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2＝82﹣32＝55，在Rt△ADC中，∵AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣3）2+55＝x2，解得x＝，即AC的长为．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质．知识点三圆内接四边形1.圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2. 圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．【典例3】（2018秋•崇川区校级月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；（2）若∠E＝∠F＝40°，求∠A的度数；（3）若∠E＝30°，∠F＝40°，求∠A的度数．【点拨】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，解方程即可．【解析】解：（1）∠E＝∠F，∵∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣40°＝50°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，∴2∠A+30°+40°＝180°，∴∠A＝90°﹣＝55°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【变式训练】1．（2019秋•越城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C＝5：7，则∠C＝（）A．210°B．150°C．105°D．75°【点拨】根据圆内接四边形对角互补可得∠C＝180°×＝105°．【解析】解：∵∠A+∠C＝180°，∠A：∠C＝5：7，∴∠C＝180°×＝105°．故选：C．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补．2．（2020•仙居县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝143°，则∠BOD的度数是（）A．77°B．74°C．37°D．43°【点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝143°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝37°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝74°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3．．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD ＝60°，AB＝5，PC＝4，则⊙O的面积为（）A．25πB．16πC．15πD．13π【点拨】连接AC，由圆周角定理可得出∠ACD＝90°，再由圆内接四边形的性质及三角形内角和定理可求出∠P AC＝30°，由直角三角形的性质可求出AP、AC的长，由相似三角形的判定定理及性质可得出CD的长，再根据勾股定理接可求出AD的长，进而求出该圆的面积．【解析】解：连接AC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠APD＝60°，∴∠P AC＝30°，∴AP＝2PC＝2×4＝8，∵AB＝5，∴PB＝8﹣5＝3，∵四边形ABCD是以AD为直径的圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠PCB＝180°，∴∠BAD＝∠PCB，∠APD＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴＝，即＝，PD＝6，∴CD＝PD﹣PC＝6﹣4＝2，∴AC＝＝＝4，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2．∴OA＝AD＝，∴⊙O的面积＝π×（）2＝13π．故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形求解．4．（2019秋•萧山区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝2．【点拨】连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠BAE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，从而得到∠ACD＝∠CDA，得出AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解析】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．6.（2019•黄埔区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，∠CDE＝∠CDF＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）判断DA，DC，DB之间的数量关系，并证明你的结论．【点拨】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE＝∠ABC＝60°，根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明；（2）在BD上截取PD＝AD，证明△APB≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论．【解析】（1）证明：∵∠CDE＝∠CDF＝60°，∴∠CDE＝∠EDF＝60°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠ABC＝60°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝∠EDF＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：DA+DC＝DB，理由如下：在BD上截取PD＝AD，∵∠ADP＝60°，∴△APD为等边三角形，∴AD＝AP，∠APD＝60°，∴∠APB＝120°，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，∴DB＝BP+PD＝DA+DC．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．巩固训练1．（2019秋•福田区期末）下图中∠ACB是圆心角的是（）A．B．C．D．【点拨】根据圆心角的概念判断．【解析】解：A、∠ACB不是圆心角；B、∠ACB是圆心角；C、∠ACB不是圆心角；D、∠ACB不是圆心角；故选：B．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．2．（2019秋•诸暨市期末）用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（）A．B．C．D．【点拨】根据90°圆周角所对的弦是直径即可判断．【解析】解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确；故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理、解题的关键是灵活运用圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•拱墅区校级期末）下列语句中，正确的是（）①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A．①②B．②③C．②④D．④【点拨】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．【解析】解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．4．（2019春•西湖区校级月考）圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是（）A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2【点拨】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．【解析】解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：3：1：2．故选：C．【点睛】要掌握圆的内接四边形对角互补的特性．5．（2018秋•句容市校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC 的度数70°．【点拨】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°．【解析】解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，∴∠COE＝40°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理．6．（2020•浙江自主招生）如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN 的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【点拨】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【解析】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时P A+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝60°，∴弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，根据垂径定理得弧CN的度数是30°，则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，则AC＝．【点睛】此题主要考查了确定点P的位置，垂径定理的应用．7．（2019春•西湖区校级月考）如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于3．【点拨】延长CA，交⊙A于点F，易得∠BAF＝∠DAE，由圆心角与弦的关系，可得BF＝DE，由圆周角定理可得：∠CBF＝90°，然后由勾股定理求得弦CF的长即可．【解析】解：作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴，∴DE＝BF＝6，∵CF是直径，∴∠CBF＝90°，∴CF＝＝＝3，故答案为：3．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．8．（2019秋•香坊区校级期中）如图，AB为 ⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：OE＝OF；（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．【点拨】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝4，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：连接OA，如图2所示：∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝4，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt△AOM中，由勾股定理得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OM＝3．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和垂径定理是解题的关键．9．（2019秋•滨江区期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC 交于点E．（1）若∠B＝70°，求弧CD的度数；（2）若AC＝24，DE＝8，求半圆O的半径．【点拨】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC的度数，根据平行线的性质求出∠AOD的度数，然后求出∠DOC的度数可确定弧CD的度数；（2）先证明OE⊥AC得到AE＝CE＝AC＝12，设半径为r，则OE＝r﹣8，然后利用勾股定理得到（r ﹣8）2+122＝r2，然后解方程即可．【解析】解：（1）连接OC，如图，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠B＝70°，∴∠BAC＝20°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°，又OD＝OA，∴∠OAD＝55°，∴∠DAC＝35°，∴∠DOC＝2∠DAC＝70°，∴的度数是70°；（2）∵OD∥BC，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝12，设半径为r，则OE＝r﹣8，在Rt△AOE中，（r﹣8）2+122＝r2，解得r＝5，即半圆O的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．【点拨】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。

圆周角 与圆心角 方斌教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课小王的困惑老师间进行了一场足球比赛，张老师带球冲到了不越位的A 点，可他没有射门而是将球传给了冲到圆心O 点处的李老师，小王纳闷了：“张老师离球门更近，为何将球传给离球门更远的李老师呢？”仅从射门张角大小考虑，你能用学过的数学知识解释吗？学生1：圆心角大于圆周角。

学生2：圆心角等于圆周角的2倍。

学生3：圆内角大于圆周角。

教师都应给予肯定，并给出今天的课题。

知识点⑴圆周角 与圆心角的关系 如图：⑴ 如果∠AOB=100°，则∠C= 。

学生1: 50°因为圆周角等于它所对的圆心角的一半。

注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半． (2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．（板书）圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（2）⊙O 为△ABC 的外接圆，AB 为直径，AC=BC ， 则∠A 的度数为（ ） A.30° B.40°C.45°D.60°学生1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，所以应选CAABCO学生2：因为圆周角等于它所对的圆心角的一半,∠AOB =2∠C, 所以应选C （板书）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； (3) 当∠C= 时，A 、O 、B 三点在同一直线上。

推论：90°的圆周角所对的弦是直径。

练一练：1 .如图,已知∠ACD ＝30°，BD 是直径,则 ∠AOB=____学生1：∵∠AOD =2∠ACD=600, ∴∠AOB =1800-∠AOD=1200老师问：还有其他解法吗？ 学生2：连接AB ，∠ABD =∠ACD=300, ∵OA=OB, ∴∠ABD =∠OAB=300, ∴∠AOB=1800-600=1202 .如图,∠AOB ＝110°, 则 ∠ACB=_____学生1：在优弧AB 上取一点D ，连接AD ，BD ， ∵∠ADB =1/2∠AOB=550 ∠ADB +∠ACB=1800 ∴∠ACB=1250， 学生2：∵弧ACB =∠AOB=1100优弧AB=2500，∴∠ACB=1/2优弧AB =1250学生3：连接OC,OA=OB=OC, ∠OAC =∠OCA,∠OCB =∠OBC, ∠ACB=1/2(1800-∠AOB)=1250知识点（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 如图,在同圆中,OC ⊥AB 于C,OC`⊥A`B`于C` 。

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

第08讲圆心角与圆周角（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【核心考点精讲】一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（）A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：取的中点E，连接AE，BE，则＝，∵＝2，∴＝＝，∴CD＝AE＝BE，∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故选：C．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键．2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是30或150度．【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60°，所以弦所对的圆周角为30°或150°．【解答】解：如图示，AB＝OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴∠ADB＝150°．故弦AB所对的圆周角是30或150度．故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用＝2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论；（2）先利用勾股定理计算出DE＝，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF．【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵＝2，∴∠COE＝2∠AOE，∴∠COE＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE＝＝，在Rt△EFD中，EF＝＝＝2．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．二．圆周角定理（共5小题）5．（2022•浦江县模拟）已知：如图，OA是⊙O的半径，若∠BAO＝27°，则圆周角∠BDA 的度数是（）A．63°B．60°C．58°D．54°【分析】连接OB，可先求出∠AOB的度数，进而根据圆周角定理可得∠BDA的度数．【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∠BAO＝27°，∴∠BOA＝180°﹣2∠BAO＝180°﹣54°＝126°，∴∠BDA＝∠BOA＝63°，故选：A．【点评】本题考查圆的性质定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．6．（2021秋•嘉兴期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC 的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．20°【分析】由AB是⊙•O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C的度数，又由∠ABC＝70°，利用直角三角形中两锐角互余，即可求得∠BAC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用，注意数形结合思想的应用．7．（2022•柯桥区一模）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADC的度数，又由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案．【解答】解：∵∠ABC＝35°，∴∠ADC＝∠ABC＝35°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADC＝55°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝20°．【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵OA∥BC，∴∠A＝∠ABC，∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，∴∠BOC＝5∠ABC，∴∠AOB＝7∠ABC，在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，∴9∠ABC＝180°，∴∠ABC＝20°，故答案为：20．【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2021秋•嵊州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，∠B＝∠C，再判断OD∥AC，然后利用平行线分线段成比例得到BD＝DC；（2）利用三角形内角和计算出∠B＝∠C＝65°，则∠ODB＝∠B＝65°，再利用圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠A＝50°，然后利用平角定义可计算出∠ODE的度数．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴＝＝1，∴BD＝DC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠ODB＝∠B＝65°，∵∠EDC＝∠A＝50°，∴∠ODE＝180°﹣∠ODB﹣∠EDC＝180°﹣65°﹣50°＝65°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．三．相交弦定理（共2小题）10．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE ＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．16【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．11．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP ＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠P AQ＝∠CQN∵∠AQP+∠P AQ＝90°，∴∠AQP+∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．（2022•富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AGDB．若∠ADC＝∠GAD，则＝2C．若＝，则△ADG是等腰三角形D．若＝，则△AGF是等腰三角形【分析】根据圆周角定理求解判断即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴∠ADC＝∠AGD，故A正确，不符合题意；∵∠ADC＝∠GAD，∴＝，∴＝，∵＝2，∴＝2，故B正确，不符合题意；若＝，∴＝，∵＝，∴＝，∴AD＝DG，∴△ADG是等腰三角形，故C正确，不符合题意；由＝，不能推出△AGF是等腰三角形，故D错误，符合题意；故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．3．（2022•舟山二模）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°【分析】连接OA，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，从而求出的度数，然后再利用垂径定理可得＝，即可解答．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝50°，∴的度数为50°，∴BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴弧CD的度数为50°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．4．（2022•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC ＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（）A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝β，∴∠BCD＝90°﹣β，∵∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝γ，∠ABC＝α，∴γ＝α+90°﹣β，即γ+β﹣α＝90°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．5．（1999•山西）如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0B．x2﹣8x+15＝0C．x2+8x﹣15＝0D．x2+8x+15＝0【分析】如果设AP＝a，PB＝b；根据相交弦定理：AP×PB＝DP×PC；可知ab＝15，又根据a+b＝AB＝8；根据一元二次方程根与系数的关系，可判断谁是正确的．【解答】解：设AP＝a，PB＝b；则根据相交弦定理可得：AP×PB＝DP×PC，∴ab＝15，又知：a+b＝AB＝8；∴根据一元二次方程根与系数的关系可得方程为：x2﹣8x+15＝0；故选：B．【点评】本题考查的知识点是相交弦定理和一元二次方程根与系数的关系．6．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°【分析】根据平行线的性质得到∠ADE＝46°，进而得到的度数，再用180°减去的度数即可得到答案．【解答】解：∵DE||BC，∴∠C＝∠ADE＝46°，∴的度数是92°，∴的度数为180°﹣92°＝88°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和圆周角定理，解题的关键是先求出的度数．7．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A．B．2C．2﹣2D．2﹣2【分析】根据题意可得AB＝4，利用等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，由AB是⊙O的直径可得∠APB＝90°，由三角形内角和定理可得∠ABP＝30°，由此可得AP＝2，根据勾股定理可以求得BP的长，进而可以得到点Q表示的数．【解答】解：由题意可得AB＝4，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝2，在Rt△APB中，AB＝4，AP＝2，∴PB＝＝＝＝2，∵BP为半径作弧交数轴于点Q，∴BQ＝PB＝2．∴点Q表示数为2﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查实数与数轴、圆周角定理、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的运用．8．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P 是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°【分析】连接CB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再利用三角形的外角即可解答．【解答】解：连接CB，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵∠ABC是△PBC的一个外角，∴∠ABC＞∠APC，∴∠APC的度数不可能是30°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．16【分析】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．（2021秋•杭州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据圆周角定理，可证∠C＝∠B，又由AD＝BD，可证∠B＝∠DAB，即得∠DAP ＝∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD＝DP：AD，代值计算即可求CD的长．【解答】解：连接AC，由圆周角定理知，∠C＝∠B，∵AD＝BD∴∠B＝∠DAB，∴∠DAP＝∠C∴△DAP∽△DCA，∴AD：CD＝DP：AD，得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．二．填空题（共4小题）11．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2014秋•柯城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE ＝6cm，DE＝3cm，则CE＝4cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH与线段PK的积等于21．【分析】根据相交弦定理得AE•BE＝CE•DE，然后把AE＝2，BE＝6，DE＝3代入即可计算出CE的长；如图过P点的直径为MN，先计算出PM＝QM﹣PQ＝3，PN＝QN+PQ＝7，然后根据相交弦定理进行计算．【解答】解：∵AE•BE＝CE•DE，∴2×6＝3×CE，∴CE＝4；如图，过P点的直径为MN，∵PQ＝2，∴PM＝QM﹣PQ＝5﹣2＝3，PN＝QN+PQ＝5+2＝7，∵PH•PK＝PM•PN，∴PH•PK＝3×7＝21．故答案为4；21．【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．13．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为60°．【分析】利用圆周角定理，圆心角、弧、弦的知识解决问题即可．【解答】解：连接OB、OC，∵∠A＝30°，又∵∠BOC＝2∠A，∴∠BOC＝60°，∴弧BC的度数为60°，故答案为：60°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是求得圆心角的度数．14．（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．【解答】解：连接OA，∵，BC是直径，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，AB＝2，∴OA＝OB＝，∴BC＝2OA＝．故答案为：．【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．（2021秋•淳安县期中）如图，在⊙O中，弦AD＝BC，连接AB、CD．求证：AB＝CD．【分析】在⊙O中，由弦AD＝BC，可得＝，根据等式的性质可得+＝+，即＝，进而得出AB＝CD．【解答】解：在⊙O中，∵AD＝BC，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质是正确解答的关键．16．（2021秋•上城区期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．【分析】根据弦和弧的关系，由AB＝CD可得，进而得到＝，即可证明AD ＝BC．【解答】证明：∵AB＝CD，∴，∴，∴＝，∴AD＝BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键．17．（2021秋•长兴县期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．【分析】欲证明BM＝DM，只要证明＝即可．【解答】证明：∵M是的中点，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴MB＝MD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．18．（2021秋•诸暨市期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．【分析】（1）连接BC，由CD＝BD，AB为直径可得∠E＝∠ECD，进而求解．（2）由勾股定理求出BC的值，再由△AEB为等腰三角形可得BD＝BE，再通过勾股定理求解．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵CD＝BD，∴∠EAD＝∠DAB，∴∠E＝∠ABE，连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，∴∠E＝∠ECD，∴CD＝DE．（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ABE，∴△AEB为等腰三角形，∴AB＝AE，BD＝DE，∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，∴BD＝BE＝2．【点评】本题考查圆与三角形的结合，解题关键是掌握圆周角定理，掌握解直角三角形的方法．19．（2021秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．【分析】（1）利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可；（2）利用圆周角定理，三角形内角和定理，三角形的外角的性质解决问题．【解答】（1）证明：如图，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）证明：连接AD．∵＝，∴∠ADC＝∠BAD，∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAB+∠AMC＝90°，∴∠CAB+2∠BAD＝90°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2001•温州）⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD 的长．【分析】求CD，已知了CP的长，关键是求出PD的长．已知了AP，BP的长，可根据相交弦定理来求出PD的长，进而可求出CD的长．【解答】解：∵圆O的弦AB，CD相交于P，∴AP•PB＝CP•PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝AP•PB÷CP＝4×6÷3＝8，∴CD＝CP+PD＝3+8＝11．即：CD的长是11．【点评】本题主要考查的是相交弦定理的应用，根据相交弦定理求出PD的长是解题的关键．。

圆心角和圆周角圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

例题1.下列结论中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦D．圆是中心对称图形2.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30 B．45 C．50 D．603.在半径为3的圆中，长度等于3的弦所对的圆心角是度．4.如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．5.如图，已知点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．25°C．28°D．40°5题6题7题8题6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD，则⊙O的半径为（）A．B．5 C．4 D．37．如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数是（）O DBAA．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°8. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2，弦BC的长为．9. 如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75°9题10题11题12题13题10.如图，AB是⊙O的直径，AB=10 cm，∠CAB=30°，则BC=11．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB= ．12．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=6，BC=8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BD= ．13. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=8，∠DCB=30°.则弦BD=_________。