数理经济学xiti2

蒋中一数理经济学的基本方法第4版课后习题详解展开全文第一篇导论第1章数理经济学的实质本章是对数理经济学的实质的介绍，并将数理经济学与非数理经济学、经济计量学进行了比较，本章没有对应的课后习题，读者对相关概念了解即可。

第2章经济模型练习2.31用集合符号写出下列集合：（a）大于34的所有实数集；（b）大于8但小于65的所有实数集。

答：（a）大于34的所有实数集可以表示为：A＝{x|x＞34}。

（b）大于8但小于65的所有实数集可以表示为：A＝{x|8＜x＜65}。

2给定集合S1＝{2，4，6}，S2＝{7，2，6}，S3＝{4，2，6}，S4＝{2，4}，下面哪些说法正确？（a）S1＝S3；（b）S1＝R；（c）8∈S2；（d）3∉S2；（e）4∉S3；（f）S4⊂R；（g）S1⊃S4；（h）∅⊂S2；（i）S3⊃{1，2}。

答：（a）（d）（f）（g）（h）是正确的。

（b）应为S1⊂R，（c）应为8∉S2，（e）应为4∈S3，（i）应为{1，2}⊄S3。

3根据上题给出的四个集合，求：（a）S1∪S2；（b）S1∪S3；（c）S2∩S3；（d）S2∩S4；（e）S4∩S2∩S1；（f）S3∪S1∪S4。

答：（a）S1∪S2＝{2，4，6，7}。

（b）S1∪S3＝{2，4，6}。

（c）S2∩S3＝{2，6}。

（d）S2∩S4＝{2}。

（e）S4∩S2∩S1＝{2}。

（f）S3∪S1∪S4＝{2，4，6}。

4下述哪些说法是正确的？（a）A∪A＝A；（b）A∩A＝A；（c）A∪∅＝A；（d）A∪U ＝U；（e）A∩∅＝∅；（f）A∩U＝A；（g）的补集是A。

答：（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）都是正确的。

5已知集合A＝{4，5，6}，B＝{3，4，6，7}，C＝{2，3，6}，验证分配律。

证明：首先验证A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C），有：A∪（B∩C）＝{4，5，6}∪{3，6}＝{3，4，5，6}（A∪B）∩（A∪C）＝{3，4，5，6，7}∩{2，3，4，5，6}＝{3，4，5，6}所以A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）成立。

《数理经济学》参考习题说明：以下习题主要在于帮助读者进一步理解和掌握相关的最优化方法。

而对相关数学最优化定理推导的深入理解将非常有助于对该原理的掌握，因此相关定理的证明可以作为习题，鉴于篇幅，在习题中不再重复。

另一方面，对经济学分析如何应用最优化数学方法，建议读者进一步阅读参考文献中的相关微观经济学和宏观经济学的高级教程。

另，以下习题中相关定理和例题的编号为教材中的编号。

第一部分 非线性规划与应用1. 如序中所提到的，目标函数和约束函数均为线性函数时称为线性规划问题，线性是非线性的一个特例，考虑以下的线性规划问题，min : T c x..:0s t Ax ≤ 0x ≥其中nx R ∈，c 为维向量，为n A m n ×矩阵。

导出该线性规划问题的Kuhn-Tucker 最优性条件。

2. 当非线性规划问题中的目标函数为二次函数，约束函数为线性函数时，称为二次规划问题。

导出以下二次规划问题的Kuhn-Tucker 最优性条件。

1min : 2T Ta c x x Hx ++..:s t Ax b =0x ≥其中为常数，为维向量，为a c n H n n ×对称矩阵，为A m n ×矩阵。

3. 考虑以下非线性规划问题：12max : x x −221..:0s t x x −+≤110x −≤ 20x −≤画图分析该问题的最优解，并讨论在最有解点是否满足Kuhn-Tucker 条件或Fritz John 条件。

14. 求解以下非线性规划问题：221122min : 23x x x x x −+− 212..:42s t x x −+≤1234x x +≤6)2 10x ≥，20x ≥5. 分析点*(4,3)是否为满足以下非线性规划问题的二阶条件的最优解：x =()(2212max : 34x x −+− 2212..:25s t x x +≤127x x +≥ 10x ≥，20x ≥6. 考虑下述含参数的非线性规划问题：11min : x u x −− 2212..:1s t x x u +≤−2用()x u 表示最优解，表示最优值函数，利用定理2.1.2和定理2.2.1的公式计算()u Φ()x u ∇，在和的值。

第1章习题答案1．什么是数理经济学？解：什么是数理经济学尚无统一的定义，以下是几种代表性的定义。

美国经济学家Kenneth J. Arrow（阿罗）等人在《数理经济学手册》一书中指出：数理经济学是包括数学概念和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。

Alpha C. Chiang（蒋中一）、Kevin Wainwright（凯尔文·温赖特）在《数理经济学的基本方法》一书中指出：数理经济学是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。

就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其他学科方面的理论。

路甬祥、杜瑞芝分别在《现代科学技术大众百科—科技与社会卷》和《数学史辞典》指出：数理经济学是运用数学符号、数学方法和数学图形表述和论证经济现象及其相互依存关系的一门综合性边缘学科，研究经济活动中的数量关系并从中寻找规律。

杨小凯在《数理经济学基础》中指出：数理经济学主要是进行定性分析的理论经济学，它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，它实在是经济学的基础之基础。

由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问题。

因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科，不如说它是一种经济学分析方法。

2．数理经济学是如何诞生的？简述其发展过程。

解：数理经济学的诞生和发展是数学在经济学中应用的过程，也是经济学发展的必然结果。

因为经济学家不仅仅要关心现实生活中的许多经济现象，更要对经济现象的数量，如价格、产量、收入、就业、失业、CPI、GDP等进行度量，要和数量打交道，便要研究数量之间的变化与关系，以此来把握经济运行规律，故数学就必然进入经济学的领域。

第二章 习题答案1．假设教材《数理经济学》的需求集为：{}6000|),(2==q p q p D ，其中，q 为需求量（万册），p 为价格（元）。

如果价格从20元提高为21元，则需求量将作如何变动？ 解：2220206000212160001513.61p q p q q q ======当时，，得；当时，，得 所以，价格从20元提高为21元，则需求量从15万册下降到13.61万册。

2．设某厂商的成本函数为323151500)(q q q q C +-+=，证明，其边际成本总是正的。

证明：因为边际成本函数，()()22C'156331120q q q q =-+=-+>所以，其边际成本总是正的。

3．设某厂商的成本函数为q q q q C +++=1201000)(，求边际成本函数。

解：边际成本函数为()C'20q =++4．设某一商品的需求函数为：18000)(2+==p p q q D，其中：q 为需求量，p 为价格。

若价格从9下降为8.50，问需求量将作如何变动？ 解：2280008000997.568.5109.22918.51p q p q ======++当时，；当时， 所以，价格从9下降为8.5时，需求量将从97.56上升为109.22.5．若某人的效用函数取下述形式：322121)3()2(),(++=x x x x u ，其中：u 为总效用函数，1x ，2x 为所消费商品的数量，要求计算：（1）每一商品的边际效用函数；（2）当消费的每种商品均为3个单位时，第一种商品的边际效用值。

解：（1）商品1的边际效用函数：()()3112223MU x x =++商品2的边际效用函数：()()22212323MU x x =++（2）123x x ==当时，()()31232332160MU =++= 6．假定某厂商的生产函数为：αα-=1),(L AK L K Q ，其中：0>A 及10<<α。

b bb C 1bw0,a,b第一章练习及参考答案1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。

1期的两个可能状态 的状态价格分别为a 和b 。

考虑一个参与者，他的禀赋为（e oga&b ）。

其效用函数是对数形式1U （C o ；C ia ；G b ） log C o 2（l°gG a logG b ）问：他的最优消费/组合选择是什么？解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是w e o a e a b e 1b 他的最优化问题是1max C 0,C 1a,C1logc 。

-(log^a logG b )s.t.WGa C1ab C lb) 0G , Ga ,C 1b 0其一阶条件为:1/C o 1-(1/C !a ) 21 匚(1/务)2C 0a C 1a iC o,i给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。

因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正， 即所 有状态价格严格为正。

在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这 些约束（以及对应的乘子）而直接求解最优。

因此，i C i 0（i 0,a,b ）。

对于C我们立即得到如下解:1 c —, 1 1 c1a , 1 1c2b2 1a2 1b把c的解代人预算约束，我们可以得到的解:2最后，我们有1 1 w 1 wc w,G a ,c1b244可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。

某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。

状态价格高的状态下的消费更昂贵。

结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。

2.考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a和b。

经济的参与者有1和2,他们具有的禀赋分别为：0 200 e ： 100 ，e?: 00 ' 50两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：1U(c) logc g -(log c a log C D)在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。

第二章 极限与连续第二节 函数极限1． 设3()313xx f x x x <⎧=⎨-≥⎩ ．作()f x 的图形，并讨论当3x →时，()f x 的左右极限．2． 证明()f x x =，当0x →时极限为零．3． 函数()x f x x=，回答下列问题：（1） 函数()f x 在0x =处有左右极限是否存在？ （2） 函数()f x 在0x =处是否有极限？为什么？ （3） 函数()f x 在1x =处是否有极限？为什么？第三节 无穷大与无穷小1．利用有界量乘无穷小依然是无穷小求下列极限： （1）21lim sinx x x→； （2）arctan limx xx→∞第四节 极限运算法则1．填空题：（1）已知a ，b 为常数，22lim321x an bn n →∞++=-，则a = ．（2）已知a ，b 为常数，21lim 1x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则a = ，b = ．2．求下列极限：（1）223lim41x n n n →∞++ （2）221111222lim1111333nx n→∞++++++++（3）2221321lim x n nnn →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭（4）111lim 1223(1)x n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ （5）lim n →∞3．求下列极限： （1）22234lim4x x x x →--- （2）332()lim h x h xxh→+-（3）22351lim34x x x x x →∞++++ （4）203050(23)(32)lim(51)x x x x →∞-++（5）211lim 12x x x →∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6）35231lim 427x x x x x →∞++++ （7）1lim1x x →- （8）3113lim 11x xx →⎛⎫-⎪--⎝⎭（9）11lim1mnx x x →--（,m n 是自然数） （10）1limx →（11）0(1)(12)(13)1limx x x x x→+++- （12）lim )x x →∞4．求下列极限： （1）2233lim(3)x x x x →+- （2）32lim34x x x →∞++（3）2lim (523)x x x →∞-+第五节 极限存在准则 两个重要极限1．求下列极限 （1）0sin 2lim sin 5x x x→ （2）0lim cot 2x x x →（3）01cos 2limsin x x x x →- （4）lim 2sin2nnn x →∞（5）0sin limsin x x x x x→-+ （6）30tan sin limx x xx→-（7）sin sin limx ax ax a→-- （8）3sin()3lim12cos x x xππ→--（9）1lim (1)tan2x xx π→-2．求下列极限 （1）122lim (1)xx x-→∞-（2）22lim ()2x x x →-（3）1lim ()1xx x x →∞-+ （4）1lim (1x x→+∞-（5）22lim ()1xx xx →∞- （6）22cot 0lim (13tan )xx x →+（7）0ln(12)limsin 3x x x→+ （8）lim{[ln(2)ln ]}n n n n →∞+-3．利用极限准则证明： （1）222111lim ()12n n n n n n πππ→∞+++=+++（2）数列11112,()2n n nx x x x +==+的极限存在第六节 无穷小的比较1．利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1）0sin()lim(sin )nm x x x → （,m n 为正整数） （2）2sin 2(1)limtan xx x e x→⋅-（3）0ln(12)limsin 5x x x→- （4）3tan sin limsin x x x x→-（5）0111limsin tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭第七节 函数的连续性1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）211()1111x f x xx x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩（2）201()212x x f x xx ⎧≤≤=⎨-<≤⎩2．确定常数a ，b 使下列函数连续：（1）0()0xe xf x x ax ⎧≤=⎨+>⎩ （2）ln(13)0()20sin 0x x bxf x x axx x -⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩3．下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使化连续：（1）22456x y x x -=-+，2x =，3x =；（2）211451x x y xx -≤⎧=⎨->⎩ ，1x =．4．求下列极根： （1）0limx → （2）34lim (cos 2)x x π→（3）211lim tt et-→-- （4）2sin limx x xπ→第八节 闭区间上连续函数的性质1．试证下列方程在指定区间至少有一个实根： （1）3310x x --=，在区间(1,2)； （2）2x x e =-，在区间(0,2)．2．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<< ，则在1[,]n x x 上至少有一点0x ，使120()()()()n f x f x f x f x n+++=．第三章 导数微分第一节 导数概念1． 设2()4f x x =，试按定义求(1)f '-．2． 下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义求下列极限，指出A 表示什么？ （1）000()()lim 2x f x x f x A x∆→-∆-=∆ （2）000()(2)limh f x h f x h A h→+--=（3）0()limx f x A x→=，其中(0)0f =且(0)f '存在；（4）000()()limx f x x f x x A xαβ∆→+∆-+∆=∆，其中α，β为不等于零的常数．3．求下列函数的导数：（1）y =（2）y =（3）x x y a e = （4）21y x=（5）lg y x = （6）y =4．设函数()f x 可导，且(3)2f '=，求0(3)(3)lim2x f x f x→-．5．求曲线sin y x =上点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程和法线方程． 6．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性： 20()0x x f x xx ⎧≥=⎨<⎩ 在0x =处．7．设函数320()0x x f x xx ⎧<=⎨≥⎩ ，求导函数()f x '．8．设函数0()cos 0ax bx f x xx +>⎧=⎨≤⎩ ，为了使函数()f x 在0x =处可导，a ，b 应取什么值？第二节 求导法则及基本初等函数求导公式1．推导余切函数及余割函数的导数公式 2(c o t )c s c x x '= (c s c )c s c c ox x x '=-2．求下列函数的导数： （1）224sin 1y x x=-+； （2）3523x xy x e =-+；（3）3cos y x x =； （4）tan sec y x x =；（5）3ln y x x =； （6）2ln 3x e y x=+；（7）11x y x -=+； （8）2ln cos y x x x =；（9）cot e θρθθ=； （10）arcsin arctan u υυ=3．求下列函数在给定点处的导数： （1）2sin 5cos y x x =-，求6x y π='和3x y π='；（2）1tan sin 3ρθθθ=+，求4d d πθρθ=；（3）31()13xf x x=+-，求(0)f '和(2)f '．4．求曲线22y x x =+-的切线方程，使该切线平行于直线30x y +-=． 5．求下列函的导数：（1）3(35)y x =+ （2）sin(24)y x =-； （3）32xy e-=； （4）22ln()y a x =-；（5）2cos y x =； （6）y =（7）2cot()y x =； （8）arctan()x y e =； （9）2(arcsin )y x =； （10）ln sin y x = 6．求下列函的导数：（1）arccos(12)y x =- （2）y =；（3）3sin 3x y e x -=； （4）1arcsiny x=；（5）1ln 1ln x y x+=-； （6）cos 3x y x=；（7）arccosy = （8）ln(y x =+；（9）ln(sec tan )y x x =+； （10）ln(csc cot )y x x =- 7．求下列函的导数：（1）2arccos 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）ln cot 2x y =；（3）y =； （4）arc y e=；（5）sin cos ny x nx =； （6）1arctan1x y x+=-；（7）y =（8）23(ln )y x =；（9）2sin (csc 2)y x =； （10）22sin()sin x y x=（11）ln ln y x =； （12）arcsinx x xxe e y e e---=+．8．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数．9．设()f x 是可导函数，()0f x >，求下列导数：（1）ln (2)y f x =； （2）2()x y f e = 10. 求下列函的导数：（1）22(1)x y e x x -=-+ （2）22cos cos()y x x =；（3）2cot 2x y arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （4）2ln x y x =；（5）2sec 2x y =； （6）1ln sin y x=；（7）21cosxy e-=； （8）y =；（9）arccos 2x y x =+； （10）2arccos 1t y t=+第三节 高阶导数1．求下列函数的二阶导数： （1）21xy x=- （2）2(1)cot y x arc x =+；（3）[sin(ln )cos(ln )]y x x x =+； （4）ln y =（5）23xy x e =； （6）2ln x y x=；（7）ln(y x =+； （8）2cos ln y x x =⋅；2．求下列函数的导数值：（1）34()(10)f x x =+，求(0)f '''； （2）2()xf x xe=，求(1)f ''；（3）()x ef x x=，求(2)f ''．3．设()f u 二阶可导，求22d y dx：（1）2()y f x = （2）ln[()]y f x =；4．验证函数12cos sin y C x C x ωω=+（12,,C C ω是常数）满足关系式：20y y ω''+=． 5．验证函数cos x y e x =满足关系式：220y y y '''-+=．第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1．求由下列方程所确定的隐函数y 的导数d y d x：（1）2220y xy b -+= （24=；（3）1cos sin 2y x y =+； （4）22sin xx y ey -=；（5）x y xy e +=； （6）y x x y =； 2．求由方程sin()ln()xy y x x +-=所确定的隐函数y 在0x =处的导数x dy dx=．3．求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx：（1）224x y -= （2）1sin 02x y y -+=；（3）tan()y x y =+； （4）1y y xe =+． 4．用对数求导法求下列函数的导数：（1）2326(1)(2)y x x x =++ （2）2y =；（3）xxy x =； （4）1(1cos )x y x =+． 5．写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程． （1）2ttx e y e -⎧=⎨=⎩ 在0t =处； （2）33cos sin x a y a θθ⎧=⎨=⎩ 在4πθ=处． 第五节 函数的微分1．设函数3y x =，计算在2x =处，x ∆分别等于0.1-，0.01时的增量y ∆及微分dy ． 2．求下列函数的微分dy ：（1）1x y x=- （2）ln sin2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）arcsin y =； （4）cos(3)x y e x -=-； （5）22x y x e =； （6）22tan (12)y x =+； 3．求适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）()3d dx = （2）()5d xdx = ； （3）()sin 2d xdx = ； （4）3()xd edx -= ；（5）1()1d dx x=+ ； （6）()d =；（7）2()sec 4d xdx = ； （8）2()csc 2d xdx = ；第六节 边际与弹性1．求下列函数的边际函数与弹性函数： （1）2xx e- （2）xex；（3）()a b x c x e-+ ．2．设某商品的总收益R 关于销售量Q 的函数为：2()1040.4R Q Q Q =-，求： （1）销售量为Q 时总收入的边际收入；（2）销售量50Q =个单位时总收入的边际收入； （3）销售量100Q =个单位时总收入对Q 的弹性．3．某化工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C （单位：元）是日产量x （单位：吨）的函数()10007C C x x x ==++[0,1000x ∈ （1） 求当日产量为100吨时的边际成本； （2） 求当日产量为100吨的平均单位成本．4．某商品的价格P 关于需求量Q 的函数为105Q P =-，求：（1）总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；（2）当20Q =个单位时的总收益、平均收益和边际收益．5．某厂每周生产Q 单位（单位：百件）产品的总成本C （单位：千元）是产量的函数2()10012C C Q Q Q==++ 如果每百件产品销售价格为4万元，试写出利润函数及边际利润为零时的每周产量． 6．设巧克力糖每周的需求量Q （单位：公斤）是价格P （单位：元）的函数21000()(21)Q Q f P P ==+求当10P =（元）时，巧克力糖的边际需求量，并说明其经济意义．7．设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，试分别求出需求弹性大于1，等于1的商品价格的取值范围． 8．某商品需求函数为()122P Q Q f P ==-：（1）求需求弹性函数；（2）求6P =时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之几？ 9．设某商品的供给函数45Q P =+，求供给弹性函数及2P =时的代给弹性．10．某企业生产一种商品，年需求量是价格P 的线性函数Q a bP =-，其中,0a b >，试求：（1）需求弹性；（2）需求弹性等于1时的价格．第四章 中值定理及导数应用第一节 中值定理1． 验证下列各题，确定ξ的值：（1）对函数sin y x =在区间5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上验证罗尔定理； （2）对函数32462y x x =--在区间[0,1]上验证拉格朗日中值定理； （3）对函数3()f x x =及2()1g x x =+在区间[0,1]上验证柯西中值定理．2．证明下列不等式：（1）当0a b >>时，23323()3()b a b a b a a b -<-<-； （2）当0a b >>时，lna b a a b ab b--<<；（3）arctan arctan a b a b -≤-； （4）当1x >时，x e xe >．3．证明恒等式：arctan cot 2x arc x π+=，()x -∞<<+∞．4．证明方程310x x +-=有且只有一个正实根．5．不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---的导数，试判别方程()0f x ''=的根的个数． 6．若函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式()()f x f x '=且(0)1f =．证明：()x f x e =．第二节 洛必达法则1．用洛必达法则求下列各极限： （1）0ln(1)limx x x→+ （2）0limsin x xx e ex-→-；（3）cos cos limx ax ax a→--； （4）0sin limtan x ax bx→；(0)b ≠（5）22ln sin lim(2)x x x ππ→-； （6）5533limx ax a x a→--；（7）0ln tan 3limln tan 4x x x+→； （8）2tan lim tan 5x x xπ→；（9）2ln 1lim cot x x arc xx →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （10）20ln(1)lim sec cos x x x x→+-；（11）0lim cot 3x x x →； （12）212lim x x x e →；（13）2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （14）3lim 1xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （15）tan 0lim xx x+→； （16）sin 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭．2．验证极限sin limsin x x x x x→∞+-存在，但不能用洛必达法则求出．第三节 导数的应用1．确定下列函数的单调区间：（1）arctan y x x =- （2）()sin f x x x =+； （3）3226187y x x x =--+； （4）82y x x=+；(0)x >（5）2x y x e =； （6）ln(y x =+；（7）321y x x x =+--； （8）sin 2y x x =+； 2．证明下列不等式：（1）当0x >时，112x +>（2）当0x >时，212xxe x >++；（3）当02x π<<时，sin tan 2x x x +>；（4）当02x π<<时，3sin 6xx x >-；（5）当4x >时，33x x >． 3．讨论下列方程的根的情况：（1）sin x x =； （2）1ln 3x x =．4．求下列函数的极植：（1）225y x x =-+ （2）32236y x x =-+； （3）322618y x x x =--； （4）ln(1)y x x =-+；（5）2426y x x =-+； （6）y x =+；（7）sin xy e x =； （8）1x y x =；（9）x xy e e-=+； （10）232(1)y x =-+；（11）1352(1)y x =--； （12）y x cosx =+． 5．求下列曲线的凹凸区间和拐点：（1）232y x x =- （2）11y x=+；(0)x >（3）3263y x x x =-+； （4）x y xe -=； （5）2(1)x y x e =++； （6）2ln(1)y x =+． 6．利用函数图形的凹凸性证明下列不等式： （1）3331()22x y x y +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，(,0,)x y x y >≠；（2）1(ln ln )ln22x y x y ++<，(0,0,)x y x y >>≠； （3）2()x y xyxe ye x y e ++>+，(0,0,)x y x y >>≠．第四节 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用1．求下列函数的最大值、最小值： （1）322380y x x =--，14x -≤≤； （2）428y x x =-，13x -≤≤；（3）y x =+，51x -≤≤； （4）322618y x x x =--，14x ≤≤． 2．讨论下列函数的最大值、最小值：（1）221y x x =--，x -∞<<+∞；（2）225y x x =-，x -∞<<+∞；（3）254y x x=-，0x <；（4）21xy x =+，0x ≤<+∞．3．求下列经济应用问题中的最大值或最小值：（1）假设某种商品的需求量Q 是单价P 的函数1200080Q P =-，商品的总成本C 是需求量Q 的函数2500050C Q =+，每单位商品需纳税2，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润；（2）设价格函数315P eπ-=（x 为产量）求最大收益时的产量、价格和收益；（3）某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为N 批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批（此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半）．问N 为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？（4）设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2()100R x x x =-，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得最大利润的情况下，总税额最大？（5）设生产某商品的总成本为2()1000050C x x x =++（x 为产量），问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？第五节 泰勒公式1．按(4)x -的乘幂展开多项式：432()53f x x x x x =-+-． 2．应用麦克劳林公式，按x 的乘幂展开函数：23()(31)f x x x =-+． 3．求函数()tan f x x =的二阶麦克劳林公式．第五章 不定积分第一节 不定积分的概念、性质1．求下列定积分：（1）3dx x⎰ （2）x ⎰；（3）⎰（4）⎰；（5）⎰（6）⎰（,m n 为非零常数）；（7）45x dx ⎰； （8）2(32)x x dx ++⎰； （9）22(1)x dx -⎰； （10）2(2)x dx +⎰；（11）3)x dx -⎰； （12）1)dx ⎰；（13）22(1)t dx t+⎰（14）⎰；（15）221xdx x+⎰； （16）4223321x x dx x +++⎰；（17）231dx x ⎛⎫+ +⎝⎰； （18）⎰；（19）32x e dx x ⎛⎫-⎪⎝⎭⎰； （20）1xx e dx -⎛⎫+ ⎝⎰；（21）5x xe dx ⎰； （22）23523x xxdx ⋅+⋅⎰；（23）22(1)dx x x +⎰； （24）211x xedx e --⎰；（25）sec (sec tan )x x x dx +⎰； （26）2cos 2xdx ⎰； （27）cos 2sin cos x x x+⎰； （28）22cos 2sin cos xdx x x⎰；（29）1cos 2dx x+⎰； （30）2cot xdx ⎰；第二节 换元积分法1．求下列不定积分：（1）5x e dx ⎰ （2）3(32)x dx +⎰； （3）32dx x+⎰； （4）⎰；（5）⎰； （6）2sin x x dx ⎰；（7）2xxe dx -⎰； （8）x ⎰；（9）2431xdx x+⎰； （10）82tan sec x xdx ⎰；（11）sin cos dx x x ⎰； （12）2cos ()sin()t t dt ωϕωϕ++⎰；（13）5sin cos x dx x⎰（14）3cos xdx ⎰；（15）2sin ()t dt ωϕ+⎰； （16）3tan sec t tdt ⎰；（17）sin 2cos 3x xdx ⎰； （18）cos cos 2xx dx ⎰；（19）sin 4sin 8x xdx ⎰； （20）⎰；（21）⎰； （22）321xdx x+⎰；（23）231dx x -⎰； （24）(1)(2)dx x x ++⎰；（25）tan ⎰； （26）arctan ⎰；（27）arccos x⎰； （28）⎰（29）ln tan cos sin x dx x x⎰； （30）21ln (ln )x dx x x +⎰；（31）2⎰（32）⎰；（33）⎰（34）dx x⎰；（35）⎰； （36）⎰；（37）⎰； （38）⎰（39）⎰； （40）⎰； （41）⎰； （42）⎰．第三节 分部积分法（1）sin x xdx ⎰ （2）ln xdx ⎰； （3）arccos xdx ⎰； （4）x xe dx -⎰； （5）3ln x xdx ⎰； （6）cos 3xx dx ⎰；（7）2tan x xdx ⎰； （8）2sin x xdx ⎰； （9）2arctan x xdx ⎰； （10）sin cos x x xdx ⎰； （11）2cos 2x x dx ⎰； （12）2(1)sin 2x xdx +⎰；（13）ln(1)x x dx +⎰ （14）22ln x dx x⎰；（15）2(arcsin )x dx ⎰； （16）13x e dx ⎰； （17）cos x e xdx ⎰； （18）2cos x e xdx -⎰．第六章 定积分及其应用 第二节 定积分的性质1．估计下列积分的值：（1）421(1)x dx -⎰ （2）5244(1cos )x dx ππ+⎰；（3）arctan xdx ； （4）22xxe dx -⎰．2．比较下列各题中的两个积分的大小：（1）1210I x dx =⎰， 1420I x d x =⎰； （2）2211I x dx =⎰， 2421I x d x =⎰； （3）413ln I xdx =⎰， 4323(l n )I x x d x =⎰；（4）110I xdx =⎰， 423l n (1)I x d x =+⎰；（5）110xI e dx =⎰， 120(1)I x d x=+⎰．第三节 微积分的基本公式1．计算下列各导数：（1）3x ddx⎰； （2）42x xddx⎰；（3）cos 2sin cos()x xd t dt dxπ⎰．2．计算下列各积分：（1）2(3)a x x dx -⎰； （2）22411()x dx x+⎰；（3）1dx +⎰； （4）02dx x +；（5）120⎰； （6）22dx a x+⎰；（7）10⎰； （8）420213321x x dx x -+++⎰；（9）211e dx x---+⎰； （10）240tan d πθθ⎰；（11）20sin x x dx ⎰； （12）20()f x dx ⎰，其中21()1x x f x xx <⎧=⎨≥⎩3．求下列极限（1）2limx tx e dt x→⎰； （2）()223sin limx x x t dtt dt→⎰⎰；4．设0()sin x f x tdt =⎰，求(0)f '，4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭．第四节 定积分的换元积分法1．计算下列定积分：（1）3sin 3x dx πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （2）132(94)dx x -+⎰； （3）220sin cos d πϕϕϕ⎰； （4）20(1cos )d πθθ-⎰；（5）0⎰； （6）1x ⎰；（7）1-⎰； （8）41⎰； （9）21t te dt -⎰； （10）21⎰；（11）12245dx x x --++⎰； （12）22cos cos 2x xdx ππ-⎰；（13）22ππ-⎰； （14）0π⎰．2．利用函数奇偶性计算下列定积分：（1）12⎰； （2）235425sin 21x xdx x x -++⎰；3．证明下列各题： （1）11221(0)11x xdx dx x xx=>++⎰⎰；（2）110(1)(1)m n n mx x dx x x dx -=-⎰⎰；（3）101020cos2cos xdx xdx ππ=⎰⎰．第五节 定积分的分部积分法1．计算下列定积分：（1）1x xe dx ⎰； （2）1ln ex xdx ⎰；（3）20sin x xdx π⎰； （4）32cos x dx xπ⎰；（5）41ln x ⎰； （6）1arctan x xdx ⎰；（7）220cos x e xdx π⎰； （8）1sin(ln )ex dx ⎰；（9）21ln(1)x dx +⎰； （10）2sin π⎰；（11）1ln eex dx ⎰．第六节 广义积分与Γ-函数1．判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛计算广义积分的值： （1）31dx x+∞⎰； （2）1+∞⎰（3）40xedx +∞-⎰； （4）0sin xexdx +∞-⎰；（5）245dxx x +∞-∞++⎰； （6）10⎰；（7）23(1)dx x -⎰； （8）21⎰．2．用Γ-函数表示下列积分，并计算积分值12⎡⎛⎫Γ= ⎪⎢⎝⎭⎣已知：（1）0m xx e dx +∞-⎰ （m 为自然数）；（2）0xdx +∞-⎰； （3）25xx edx +∞-⎰．第七节 定积分的几何应用1．求下列各曲线所围图形的面积：（1）y =y x =；（2）x y e =，0x =，y e =； （3）23y x =-，2y x =；（4）22xy =，228y x +=（两部分都要计算）；（5）1y x=与y x =，2x =；（6）xy e =，xy e -=，1x =；（7）ln y x =，0x =，ln y a =，ln y b =（0b a >>）2．求下列各题中的曲线所围平面图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：（1）3y x =，0y =2x =绕x 轴、y 轴；（2）2y x =，2x y =绕y 轴； （3）22(5)16x y +-=绕x 轴；（4）222x y a +=，绕x b =0b a >>．21 第八节 定积分的经济应用1．已知边际成本为()7C x '=+1000，求总成本的函数．2．已知边际收益()R x a bx '=-，求收益函数．3．已知边际成本()1002C x x '=-，求当产量由20x =增加到30x =时，应追加的成本数．4．已知边际成本()304C x x '=+，边际收益为()602R x x '=-，求最大利润（设固定成本为0）．5．某地居民购买冰箱的消费支出()W x 的变化率是居民总收入x的函数，()W x '=，当居民收入由4亿元增加至9亿元时，购买冰箱的消费支出增加多少？6．某公司按利率10%（连续复利）贷款100万购买某设备，该设备使用10年后报废，公司每年可收入b 万元；（1）b 为何值时，公司不会亏本？（2）当20b =万元时，求内部利率（应满足的方程），（3）当20b =万元时，求收益的资本价值．。

2.1解：（1）第101个单位的劳动所带来的产量为f (101) − f (100) = 0.0249，其经济含义为：在100单位劳动下，再增加1单位劳动所能增加的产量。

（2）精确值为0.0249，近似值为∂ f (100)/∂L = 0.025。

可见近似值非常接近于精确值。

2.4解：q ′(p ) = −16000p /(p 2 +1)2，因此需求量底变动估计为∆q = q ′(9)(8.5 − 9) = 10.71。

2.5解：由题意，成本C 是产量q 的函数，产量q 是时间t 的函数，因此，成本C 是t 的复合函数。

需要求dC /dt 。

由复合函数求导法则及题意有242*12===dtdq dq dC dt dC 即成本每小时增长24。

2.7解：t 年后市场价值的现值为t t rt e t B e t P 05.02)()(−−==则最优持有时间t*应满足一阶必要条件：0)05.0*22ln (2*)('*05.0*=−=−t e t P t t ，t* ≈ 48。

当0< t < t* 时，P ′(t ) > 0；当t > t* 时，P ′(t ) < 0. 由于P (t )只有唯一的驻点t*，因此t*也是函数P (t )的最大值点，也是这本书持有的最佳时间。

2.10解：t 年后市场价值的现值为P (t ) = e −rt V (t )，令f (t ) = ln P (t ) = ln V (t ) − rt .函数f (t )的极大值点t*满足一阶必要条件：[f (t*)]′ = V ′(t*)/V (t*) − r = 0因为f (t )为严格单调递增函数，所以由定理2.6.10知最优持有时间t*满足的必要条件是V ′(t*)/V (t*) ＝ r即该项资产价值的增长率与贴现率相等。

2.12证明：设f (x )是严格凸函数，需证明f (x )是凸函数，即需证明对任意λ ∈ [0，1]，对任意x 1，x 2 ∈ (a ，b )，恒有f (λx 1 + (1 − λ)x 2) ≤ λf (x 1) + (1 − λ)f (x 2) （*） 成立。

1.求下列函数的极值。

解得，(x, y) (2a b,2b a)为可能的极值点根据充分条件，函数f (x, y)的二阶导师组成的Hessian 矩阵为H 3 0，因此(2a b,2b a)为f (x, y)的严格极小值点，极值为3a 2 5ab(2) 根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。

(3) 根据一元函数极值的必要条件，可得求得极值点为x 1。

由充分条件知y 6x 6。

当x 1时y '' 0，所以该函数极值不存在2 2(1) y x xy y 3ax 3by(3) y x 1 316解：(1)根据二元函数极值的必要条件，可得(2) y(4) y2x y 3a 0， f y2x 1 2x In x -- x xx 2y 3b 03b 2。

(4) 根据一元函数极值的必要条件，可得求的极值点为x e解：根据二元函数极值的必要条件，可得由充分条件知y2x In x 43x- 0当X e时，y0 ,因此该函数存在极大值为-e2. 讨论函数f x , yxy x 2y21的极值。

(x, y) 1 1(0,0),(x ，y )(-，2)，(x ， 1 1(2, 2),(x,y) 1 1(2,2)，(x ，y)(昇为可能的极值点根据充分条件，函数 f (x, y)的二阶导师组成的Hessian 矩阵为(x,y) (0,0)时，H 1 0,因此函数在该点无极值;3 (x,y)(［丄)时，H 22 2 -2值为1;81 1 z(x,y)(-,-)时，H2 21-22 0,海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小2 -22 0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极2阵，因此函数在该点有严格极大值为8；阵，因此函数在该点有严格极大值为所以函数的Hessian 矩阵为证明：(1)同上，可求得函数的 Hessian 矩阵为5. 某完全竞争厂商由单一可变投入L (劳动)，每期工资率为W 0。