北京市西城区3中2017届高三上学期期中考试数学(理)试题+Word版缺答案

2023北京一六一中高三（上）期中数 学班级______ 姓名______ 学号______考生须知1.本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟.2.试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答.4.考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．. 1. 已知集合{}0,1A =，{}03B x x =∈<<N ，则A B ⋃=（ ） A. {}1 B. {}1,2 C. {}0,1,2D. {}0,1,2,32. 下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2log y x =B. 2xy −=C. y =D. 3y x =3. 如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ）． A. ||a b |=| B. 22a b ⋅=C. ()a b b −⊥D. a b4. “π4x <”是“tan 1x <”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知复数z ＝a +i （a ∈R ），则下面结论正确的是（ ） A. z a i =−+ B. |z |≥1C. z 一定不是纯虚数D. 在复平面上，z 对应的点可能在第三象限6. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为A. 22132x y +=B. 2213x y +=C. 221128x y +=D. 221124x y +=7. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数.为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流50A I =时，放电时间5h t = .若计算时取lg20.3≈，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（ ） A. 1.25B. 1.5C. 1.67D. 28. 在平面直角坐标系中，当θ，m 变化时，点()cos ,sin P θθ到直线340x my m −+−=的距离最大值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 69. 如果方程214x y y +=所对应的曲线与函数()y f x =的图象完全重合，则如下结论正确的个数（ ）①函数()f x 是偶函数；②()y f x =的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数()f x 的值域为(],2−∞；④函数()()F x f x x =+有且只有一个零点. A. 1B. 2C. 3D. 410. 函数()f x x =，2()3g x x x =−+.若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x −+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x −+()n f x ，则n 的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．. 11. 抛物线24x y =的准线方程是_______ 12. 设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．13. 若24AB AC AB ⋅==，且1AP =，则AB =______，CP BA ⋅的最大值为______.14. 已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.15. 下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：结论：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区： ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%. 其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题纸相应位置．．．．．．．. 16. 已知函数()()()sin 0f x A x ωω=>的图象如图所示.（1）求()f x 的解析式； （2）若()()πcos 26g x f x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求()g x 的最小正周期及单调递增区间.17. 在ABC 中，π2B ∠≠，cos21B B =−. （1）求B ∠；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积.条件①：sin A C =，2b =；条件②：23b a =，sin 1b A =；条件③：AC =BC 边上的高为2注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分.18. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小.（结论不需要证明）19. 已知A ，B ，C 是椭圆W ：2212x y +=上的三个点，O 是坐标原点.（1）当点B 是椭圆W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，点()0,M m ，若MA MB =，求实数m 的取值范围.20. 已知函数21()e xax x f x −+−=.（1）求曲线()y f x =在点(0,1)−处的切线方程； （2）当0a >时，求()f x 的单调区间； （3）求证：当a ≤1−时，()f x ≥e −.21. 设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =−+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k −或12k −；（结论不需要证明）．（Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．. 1. 【答案】C【分析】化简B ，再进行并集运算. 【详解】{}{}031,2B x x =∈<<=N ， 又{}0,1A =，则{}0,1,2A B =.故选：C. 2. 【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A 选项：函数2log y x =的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上单调递增，A 选项错误； B 选项：函数122xx y −⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为R ，且在R 上单调递减，B 选项正确；C 选项：函数y =[)1,−+∞，且在[)1,−+∞上单调递增，C 选项错误；D 选项：函数3y x =的定义域为R ，且在R 上单调递增，D 选项错误； 故选：B. 3. 【答案】C【详解】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b =知： 在A 中，||2a =，||2b =，∴||||a b ≠，故A 错误； 在B 中，2a b ⋅=，故B 错误； 在C 中，(1,1)a b −=−， ∴()110a b b −⋅=−=， ∴()a b b −⊥，故C 正确； 在D 中，∵2011≠， ∴a 与b 不平行，故D 错误． 综上所述． 故选C ． 4. 【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由π4x <推不出tan 1x <，如3ππ44x =−<，但是3ππtan tan 144⎛⎫−== ⎪⎝⎭， 即充分性不成立， 由tan 1x <也推不出π4x <，如3πtan114=−<，但是3ππ44>，即必要性也不成立， 所以“π4x <”是“tan 1x <”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 【答案】B【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：()z a i a R =+∈，∴z a i =−，故A 错误；||11z =，故B 正确；当0a =时，z 为纯虚数，故C 错误；虚部为1大于0，∴在复平面上，z 对应的点不可能在第三象限，故D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 6. 【答案】A【详解】若△AF 1B 的周长为由椭圆的定义可知4a =,a ∴=c e a ==,1c ∴=, 22b ∴=，所以方程为22132x y +=，故选A.考点：椭圆方程及性质 7. 【答案】B【分析】由已知可得出2020505n n C C ⎧⨯=⎨⨯=⎩，可得出542n⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得n 的近似值.【详解】由题意可得2020505n n C C⎧⨯=⎨⨯=⎩，所以2020505n n ⨯=⨯，所以542n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以52lg 42lg 22lg 220.3log 4 1.551012lg 2120.3lg lg 24n ⨯====≈=−−⨯. 故选：B.8. 【答案】D【分析】求出直线过定点坐标，以及点P 的轨迹方程，再求出定点到圆心的距离，即可得解.【详解】直线340x my m −+−=，即()()340y m x −++−=，令3040y x −+=⎧⎨−=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，所以直线340x my m −+−=恒过点()4,3P ， 又点()cos ,sin Pθθ为圆221x y +=上的点，圆心为()0,0O ，半径1r =，则5OP ==，所以点()cos ,sin Pθθ到直线340x my m −+−=的距离最大值为6OP r +=.故选：D 9. 【答案】C【分析】分段讨论探究函数的图象，结合椭圆与双曲线的方程作出函数的图象，结合图象判断即可.①由图象的对称性可知；②利用双曲线与椭圆的方程消元求最值；③结合图象可知值域；④函数的零点个数转化为两函数()y f x =与yx =−图象交点的个数，结合图象可得.【详解】当0y ≥时，2214x y +=，即方程对应曲线为椭圆2214x y +=的上半部分；当0y <时，2214x y −=，即方程对应曲线为双曲线2214x y −=的下半部分；故作出函数()f x 的图象，其中双曲线的渐近线为12y x =±.①函数()f x 图象关于y 轴对称，则()f x 为偶函数；且[]2,2()(,2)(2,)x f x x ∞∞∈−=⎪∈−−⋃+⎪⎩证明如下：函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称.[]2,2x ∀∈−时，[]2,2x −∈−，则()()f x f x −===；(,2)(2,)x ∀∈−∞−⋃+∞时， (,2)(2,)x −∈−∞−+∞，则()()f x f x −===.综上，x ∀∈R ，()()f x f x −=，故()f x 是偶函数.故①正确. ②设函数()y f x =图象上任意点00(,)P x y，OP =， 当点P 在双曲线上时，即0(,2)(2,)x ∈−∞−+∞时，204x >，22014x y =−，则22222000511444x x x y x +=+−=−>2>； 当点P 在椭圆上时，即[]02,2x ∈−时，204x ≤，22014x y =−，由22222000311144x x x y x +−+==+≥1≥ 当且仅当00x =时，OP 最小，即点(0,1)P 到原点的距离最小，最小值为1； 综上，函数()y f x =的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； ③由函数图象可知，函数()f x 的值域为(],1−∞，故③错误； ④由()0f x x +=得，()f x x =−，所以函数()()F x f x x =+的零点的个数， 即函数()y f x =与函数y x =−图象的交点个数.由12y x =−是双曲线的渐近线， 渐近线斜率为12−，而直线y x =−的斜率为1−， 由112−>−可知，直线y x =−与函数()f x 图象的双曲线部分没有交点， 仅与椭圆部分有一个交点. 故函数()y f x =与函数yx =−图象有且只有一个交点，即函数()()F x f x x =+有且只有一个零点，故④正确. 故结论正确的个数为3. 故选：C.10. 【答案】D【分析】构造函数()()()h x g x f x =−，研究()h x 的单调性．【详解】方程1()f x +2()...f x ++1()n f x −+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x −+()n f x 变形为：112211()()(()())(()())(()())n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x −−−=−+−++−，设()()()h x g x f x =−，则121()()()()n n h x h x h x h x −=+++，22()()()23(1)2h x g x f x x x x =−=−+=−+在[0,1]上递减，在9[1,]2上递增，∴572()4h x ≤≤， ∴121()()()n h x h x h x −+++的值域是57[2(1),(1)]4n n −−， 若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x −=+++，则5722(1)4n ≤−≤，6528n ≤≤，∴n 的最大值为8．故选：D ．【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数()()()h x g x f x =−，把问题转化为“存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x −=+++”，这样利用()h x 的值域就可以解决问题．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．. 11. 【答案】1y =−【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及24p =，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上， 所以：24p =，即2p =，所以12p=， 所以准线方程为：1y =−， 故答案是：1y =−.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 12. 【答案】23【分析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，根据余弦函数取最大值条件解得ω的的表式式，进而确定其最小值.【详解】因为()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ−=∈∴=+∈，， 因为0ω>，所以当0k =时，ω取最小值为23. 【点睛】函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =−，. （2）周期2π.T ω=（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()22k x k k πππωϕπ−+≤+≤+∈Z 求增区间；由322()22k x k k πππωϕπ+≤+≤+∈Z 求减区间.13. 【答案】 ①. 2 ②. 6【分析】由24AB AC AB ⋅==，即24AB =求解；，即AB =2，由()CP BA AP AC BA ⋅−⋅=，利用数量积定义求解.【详解】解：因为24AB AC AB ⋅==， 所以24AB =，即AB =2，()CP BA AP AC BA AC AB AP AB ⋅−⋅==⋅−⋅， 4cos 42cos AP AB θθ−⋅−⋅==，当cos 1θ=−时， CP BA ⋅的最大值为6， 故答案为：2，614. 【答案】-2(答案不唯一，满足1a <−或01a <<即可)【分析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值． 【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <−或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小， 故当1a <−或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数． 故答案为：-2． 15. 【答案】②③④【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断． 【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比4.7%，为最低的，故①错； 生鲜区的净利润占比65.8%50%>，故②正确； 生鲜区的营业利润率为65.8%32.5%44%40%48.6%⨯=>，故④正确；熟食区的营业利润率为4.3%32.5%015.8%−⨯<；乳制品区的营业利润率为16.5%32.5%26.68%20.1%⨯=；其他区的营业利润率为1.8%32.5%12.45%4.7%⨯=； 日用品区为20.2%32.5%60.787%10.8%⨯=，最高，故③正确．故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题纸相应位置．．．．．．．. 16. 【答案】（1）()2sin 2f x x =（2）π2T =，单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ 【分析】（1）由图象求得A 及周期，再由周期公式求得ω，即可得到解析式； （2）利用三角恒等变换公式将()g x 化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由图象可知2A =，π144T =，即πT =，又0ω>， 所以2πT ω=，解得2ω=，()2sin 2f x x ∴=；【小问2详解】因为()()πcos 26g x f x x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭， 所以π()2sin 2cos 26g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2sin 2cos 2cos sin 2sin 66x x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭211π12cos 2sin 24cos 4sin 42262x x x x x x ⎛⎫=−=+−=+− ⎪⎝⎭， 所以()g x 的最小正周期2ππ42T ==， 令πππ2π42π262k x k −+≤+≤+，Z k ∈， 解得ππππ62122k k x −+≤≤+，Z k ∈， ()g x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． 17. 【答案】（1）π6（2）答案见解析【分析】（1）根据题意，利用倍角公式求得cos 2B =，即可求解； （2）根据题意，分别选择①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得,a c 的长，结合题意，即可求解.【小问1详解】解：由ABC 中，π2B ∠≠，且cos21B B =−，可得22cos B B =，所以cos B = 因为0πB <<，所以π6B =. 【小问2详解】解：若选条件①：sin A C =，2b =，因为sin A C =，由正弦定理得a =，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得224a c +=，因为a =，代入解得2a c ==，所以111sin 2222ABCSac B ==⨯⨯=所以ABC 存在且唯一确定，此时ABC 若选择条件②：23b a =，sin 1b A = 由正弦定理sin sin a b A B=且π6B =，可得2,3a b ==，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得250c −−=，解得c =所以111sin 2222ABCSac B ==⨯⨯⨯=所以ABC 存在且唯一确定，此时ABC .若选条件③：AC =，BC 边上的高为2因为π6B =，可得24sin c B==，由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得2100a −+=，解得2a =， 此时ABC 存在但不唯一确定，不符合题意. 18. 【答案】（1）8105（2）0.32 （3）12μμ>【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解； （3）根据平均数公式分别求出12,μμ，即可得解. 【小问1详解】解：样本中男生的人数为110010%110⨯=人， 样本中女生的人数为10005%50⨯=人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A ， 则该学生选考乒乓球的概率()11050811001000105P A +==+；【小问2详解】解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ， 从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ， 由题意()()0.4,0.5P B P C ==，则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为()()12222C 0.410.40.5C 0.410.50.32⨯⨯−⨯+⨯⨯−=；【小问3详解】 解：11008407.5207311604μ⨯+⨯+⨯==，2608407.51078511011μ⨯+⨯+⨯==，所以12μμ>.19. 【答案】（1）2（2）,44⎡−⎢⎣⎦【分析】（1）依题意，当四边形OABC 为菱形，AC 与OB 相互垂直和平分，设A 点坐标，然后求出菱形面积.（2）分类讨论，分直线与x 轴和不垂直时，设直线方程，联立椭圆方程，利用韦式定理及中点坐标公式求出中点坐标，列垂直平分线所在方程，根据基本不等式性质，即可求得实数m 的取值范围. 【小问1详解】椭圆W ：2212x y +=的右顶点B的坐标为)，因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直和平分，所以可设2A m ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，代入椭圆方程得2114m +=，即2m =±， 所以菱形OABC的面积为112222OB AC m ⋅==. 【小问2详解】当直线AB 垂直x 轴时，0m =，此时MA MB =，符合题意； 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =−，由()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，得 ()()2222124210k xk x k +−+−=，由()()()2222481210k k k ∆=−−+−>得x ∈R .设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122412k x x k +=+，()21222112k x x k−=+， 所以()121222212ky y k x x k −+=+−=+，所以线段AB 中点E 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，由题意知0k ≠，故直线ME 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=−− ⎪++⎝⎭，令0x =，212k y k =+，即212km k =+，当0k >时，得21011242k m k k k<==≤++，当且仅当2k =，等号成立， 同理，当0k <时，得21011242k m k kk>==≥−++，当且仅当2k =−，等号成立， 综上所述，实数m的取值范围为44⎡−⎢⎣⎦.20. 【答案】（1）21y x =− （2）答案见解析 （3）证明见解析【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程； （2）求出(1)(2)()e −−'=x ax x f x ，分102a <<、12a =、12a >，讨论()y f x =的单调性可得答案；（3）当1a ≤−时，令()0f x '=，得1x a =或2x =，()f x 取得极小值1f a ⎛⎫⎪⎝⎭1e a −=−， [)1ee 1a−−∈−，，由极小值定义及()f x 的单调性可知：当2x <时，()e f x ≥−；2x ≥时，设2()1(21)g x ax x x a =−+−≥≤−，，，由二次函数的性质可知()(2)0g x g >>恒成立，可得答案.【小问1详解】()()()2'2'22(1)e 1(e )212e )e x x x xax x ax x ax a x f x −+−⋅−−+−⋅−++=='（()()12e xax x −−=，因为(0)2f '=，(0)1f =−，所以曲线()y f x =在点01−（，）处的切线方程为21y x =−. 【小问2详解】 由（1）知：()()()12e xax x f x −−'=，（x R ∈），因为0a >，令()0f x '=，所以1x a=或2x =，当102a <<时，12a >，则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：当2a =时，2a =，则 ()0f x '≥恒成立，()f x 在R 内恒增；当12a >时，102a <<，则 ()()x f x f x '，，的变化情况如下表：综上，当02a <<时，单调递增区间是(2)∞−，和a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当12a =时，单调递增区间是)∞∞−+（，，无单调递减区间； 当12a >时，单调递增区间是1a ∞⎛⎫− ⎪⎝⎭，和 (2)∞+，，单调递减是12a ⎛⎫⎪⎝⎭，. 【小问3详解】当1a ≤−时，令()0f x '=，得1x a=或2x =，易知1[10)a ∈−，， 则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：所以当1x a =时，()f x 取得极小值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11e e a a−=−=−，由于1a ≤−，则1[10)a ∈−，，1(01]a−∈，，(]1e 1e a −∈，，[)1e e 1a −−∈−，，所以由极小值定义及()f x 的单调性可知：当2x <时，()e f x ≥−， 接下来，研究()f x 在2x ≥的变化情况，因为e 0x >恒成立，设2()1(21)g x ax x x a =−+−≥≤−，，， 对称轴102x a=<，140a ∆=−>，抛物线开口向上，(2)140g a =−>， 所以由二次函数的性质可知：当2x ≥时，()(2)0g x g >>恒成立， 所以()0f x >在2x ≥时恒成立. 综上所述：当1a ≤−时，()e f x ≥−.21. 【答案】（Ⅰ）k a 可以等于1k −，但k a 不能等于12k−；（Ⅱ）100；（Ⅲ）N 存在最大值，为200． 【分析】（Ⅰ）根据题意可得出结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论得出k a 可以等于1k −，可得出区间k I 的长度为1，结合①得出100N ≥，再由[]10,1I =，[]21,2I =，，[]10099,100I =满足条件①、②可得出N 的最小值；（Ⅲ）利用反证法推导出111k k a a +−>+，进而得出2001100a +>，由此得出[]()122000,100I I I ⊆，进而得出200N ≤，再举例说明200N =成立，由此可得出正整数N 的最大值.【详解】（Ⅰ）k a 可以等于1k −，但k a 不能等于12k−； （Ⅱ）记b a −为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =，[]21,2I =，，[]10099,100I =显然满足条件①，②．所以N 的最小值为100；（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤． 由②，得1I 、2I 、、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100kI ≠∅．不妨设12n a a a <<<<．如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,i x I i N ∉=．这与题意不符，故20a >. 如果111k k a a +−+≤，那么()11kk k I I I −+⊆，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ∉（其中1i =、2、、1k −、1k +、、N ）”矛盾，故111k k a a +−>+．所以421a a >+，6412a a >+>，，200198199a a >+>，则2001100a +>．故[]()122000,100I I I ⊆．若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ∉=”矛盾，所以200N ≤．（2）给出200N =存在的例子 ． 令()110012199k a k =−+−，其中1k =、2、、200，即1a 、2a 、、200a 为等差数列，公差100199d =． 由1d <，知1k k I I +≠∅，则易得122001201,22I I I ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦， 所以1I 、2I 、、200I 满足条件①．又公差10011992d =>， 所以()1001199k k I −∈，()()10011,2,,1,1,,199i k I i k k N −∉=−+．（注：()1001199k − 为区间k I 的中点对应的数） 所以1I 、2I 、、200I 满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200．【点睛】本题考查数列与区间的综合应用，考查反证法的应用，考查推理论证能力，属于难题.。

北京市西城区北京师范大学附中2024学年高三第三次（4月）联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 2．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数3．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+4．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥β D ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②C ．②③D ．③6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或1207．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．2)C ．D ．8．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ）A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=π D ．22παβ+=9．若复数z 满足)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．12-+ 10．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( )A ．13B ．3C ．3D11．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或512．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．717二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年北京市西城区铁路二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，计50分）1．直线√3x ﹣y +1＝0的倾斜角的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交3．如图在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是AD 的中点，那么异面直线D 1E 和A 1B 所成的角的余弦值等于（ ）A ．√105B ．√155C ．45D ．234．过点A （﹣1，4）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的切线，切点为B ，则切线段AB 长为（ ） A ．√5B ．3C ．√6D ．√75．若点（k ，0）与（b ，0）的中点为（﹣3，0），则直线y ＝kx +b 必定经过点（ ） A ．（1，﹣6）B ．（1，6）C ．（﹣1，6）D ．（﹣1，﹣6）6．已知MA →，MB →是空间两个不共线的向量，MC →=5MA →−3MB →，那么必有（ ） A ．MA →，MC →共线 B ．MB →，MC →共线C ．MA →，MB →，MC →共面D ．MA →，MB →，MC →不共面7．点（1，2）关于直线x ﹣2y ﹣2＝0的对称点坐标是（ ） A ．（﹣1，﹣4）B ．（3，﹣2）C ．（0，4）D ．（﹣1，6）8．已知正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '，点E 是A 'C '的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF =12EF ，则AF →等于（ ） A ．13AA′→+12AB →+12AD →B ．12AA′→+12AB →+12AD →C ．13AA′→+16AB →−16AD →D ．13AA′→+16AB →+16AD →9．直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]10．在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，2），圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝1．若圆C 上存在点M ，使得|MA |2+|MB |2＝12，则实数a 的值不可能是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1+2√2D ．﹣2二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．以A （2，3），B （4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 ．12．P(2，√3)到直线x +√3y +t =0的距离不超过2，则实数t 的取值范围是 ．13．已知向量a →=(2m +1，3，m −1)，b →=(2，m ，−m)，且a →∥b →，则实数m 的值为 ． 14．设a ∈R ，已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0，当l 1和l 2垂直时，a ＝ ；当l 1和l 2平行时，a ＝ ．15．若圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +m ＝0外切，则m ＝ ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱DD 1的中点，F 是正方形CDD 1C 1内部（含边界）的一个动点，且B 1F ∥平面A 1BE ．给出下列四个结论： ①动点F 的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F ，使得B 1F ⊥A 1B ； ③三棱锥B 1﹣D 1EF 的体积的最大值为23；④设直线B 1F 与平面CDD 1C 1所成角为θ，则tan θ的取值范围是[2，2√2]． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共5个大题，共计70分）17．（13分）已知直线l 经过两直线3x +4y ﹣7＝0与2x +y +2＝0的交点P ，且垂直于直线3x ﹣2y ﹣1＝0．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．18．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是BC 中点． （1）求证：A 1B ∥平面AEC 1；（2）若∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1＝2，①求平面AEC 1与平面ABB 1A 1所成锐二面角的余弦值． ②求点A 1到平面AEC 1的距离．19．（14分）已知圆G 过三点A （2，2），B （5，3），C （3，﹣1）． （1）求圆G 的方程；（2）设直线l 的斜率为﹣2，且与圆G 相切，求直线l 的方程．20．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）． （1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．2023-2024学年北京市西城区铁路二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，计50分）1．直线√3x ﹣y +1＝0的倾斜角的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：设直线√3x ﹣y +1＝0的倾斜角为θ，则tan θ=√3，θ∈[0°，180°）． ∴θ＝60°， 故选：B ．2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交解：由a 、b 是异面直线，直线c ∥a 知c 与b 的位置关系是异面或相交， 故选：D ．3．如图在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是AD 的中点，那么异面直线D 1E 和A 1B 所成的角的余弦值等于（ ）A ．√105B ．√155C ．45D ．23解：建立空间直角坐标系，如图所示；D （0，0，0），E （1，0，0），D 1（0，0，2），B （2，2，0），A 1（2，0，2）； D 1E →=（1，0，﹣2），A 1B →=（0，2，﹣2），D 1E →•A 1B →=1×0+0×2﹣2×（﹣2）＝4， |D 1E →|=√12+02+(−2)2=√5，|A 1B →|=√02+22+(−2)2=2√2；所以cos ＜D 1E →，A 1B →＞=D 1E →⋅A 1B→|D 1E →|×|A 1B →|=45×22=√105；所以异面直线D 1E 和A 1B 所成角的余弦值为√105． 故选：A ．4．过点A （﹣1，4）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的切线，切点为B ，则切线段AB 长为（ ） A ．√5B ．3C ．√6D ．√7解：设圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的圆心为点M ，半径为r ，则M （2，3），r ＝2， ∵点A （﹣1，4），∴AM =√(−1−2)2+(4−3)2=√10， ∴AB =√AM 2−r 2=√10−4=√6． 故选：C ．5．若点（k ，0）与（b ，0）的中点为（﹣3，0），则直线y ＝kx +b 必定经过点（ ） A ．（1，﹣6） B ．（1，6）C ．（﹣1，6）D ．（﹣1，﹣6）解：由题意可得k+b 2=−3，则b ＝﹣k ﹣6，所以直线方程为y ＝kx +b ＝kx ﹣6﹣k ＝k （x ﹣1）﹣6， 所以经过定点（1，﹣6）． 故选：A ．6．已知MA →，MB →是空间两个不共线的向量，MC →=5MA →−3MB →，那么必有（ ） A ．MA →，MC →共线 B ．MB →，MC →共线C ．MA →，MB →，MC →共面D ．MA →，MB →，MC →不共面解：若MA →，MC →共线，则MC →=λMA →(λ∈R)，又MC →=5MA →−3MB →，所以λMA →=5MA →−3MB →，MB →=5−λ3MA →，则MA →，MB →共线，与条件矛盾，故A 错误；同理若MB →，MC →共线，则MC →=λMB →(λ∈R)，又MC →=5MA →−3MB →，所以λMB →=5MA →−3MB →，MA →=λ+35MB →，则MA →，MB →共线， 与条件矛盾，故B 错误；根据空间向量的共面定理可知MA →，MB →，MC →共面，即C 正确，D 错误． 故选：C ．7．点（1，2）关于直线x ﹣2y ﹣2＝0的对称点坐标是（ ） A ．（﹣1，﹣4）B ．（3，﹣2）C ．（0，4）D ．（﹣1，6）解：设点P （1，2）关于直线x ﹣2y ﹣2＝0的对称点坐标为Q （a ，b ）， 可得1+a 2−2×2+b 2−2=0，斜率2−b1−a×12=−1，由①②解得：a ＝3，b ＝﹣2，则点P （1，2）关于直线l 的对称点坐标为（3，﹣2）． 故选：B ．8．已知正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '，点E 是A 'C '的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF =12EF ，则AF →等于（ ） A ．13AA′→+12AB →+12AD →B ．12AA′→+12AB →+12AD →C ．13AA′→+16AB →−16AD →D ．13AA′→+16AB →+16AD →解：因为点E 是A 'C '的中点，点F 是AE 的三等分点，所以AE →=AA′→+A′E →=AA′→+12A′C′→=AA′→+12AC →=AA′→+12(AB →+AD →)=AA′→+12AB →+12AD →，又AF =12EF ，所以AF =13AE ，则AF →=13AE →=13AA′→+16AB →+16AD →．故选：D ．9．直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]解：∵直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令x ＝0，得y ＝﹣2，令y ＝0，得x ＝﹣2， ∴A （﹣2，0），B （0，﹣2），|AB |=√4+4=2√2，∵点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，∴设P （2+√2cosθ，√2sinθ）， ∴点P 到直线x +y +2＝0的距离：d =|2+√2cosθ+√2sinθ+2|√2=|2sin(θ+π4)+4|√2，∵sin （θ+π4）∈[﹣1，1]，∴d =|2sin(θ+π4)+4|2∈[√2，3√2]，∴△ABP 面积的取值范围是：[12×2√2×√2，12×2√2×3√2]＝[2，6]．故选：A ．10．在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，2），圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝1．若圆C 上存在点M ，使得|MA |2+|MB |2＝12，则实数a 的值不可能是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1+2√2D ．﹣2解：设M （x ，y ），由题意可知|MA |2+|MB |2＝12＝（x ﹣2）2+y 2+x 2+（y ﹣2）2⇒（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，即M （x ，y ）是圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝1与圆D ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4的交点， 由两圆位置关系可知圆心距满足：2﹣1≤|CD |≤1+2， 即√(a −1)2+(0−1)2∈[1，3]⇒a ∈[1−2√2，1+2√2]． 故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．以A （2，3），B （4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 （x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10 ． 解：易知该圆圆心为A （2，3），B （4，9）的中点C （3，6），半径r =|AB|2=√10， 所以该圆方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10． 故答案为：（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10．12．P(2，√3)到直线x +√3y +t =0的距离不超过2，则实数t 的取值范围是 [﹣9，﹣1] ． 解：因为P(2，√3)到直线x +√3y +t =0的距离不超过2， 所以d =|2+√3×√3+t|√1+(√3)2≤2，解得﹣9≤t ≤﹣1，即实数t 的取值范围是[﹣9，﹣1]．故答案为：[﹣9，﹣1]．13．已知向量a →=(2m +1，3，m −1)，b →=(2，m ，−m)，且a →∥b →，则实数m 的值为 ﹣2 ． 解：由题意得（2m +1）：2＝3：m ＝（m ﹣1）：（﹣m ）⇒m ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．设a ∈R ，已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0与直线l 2：x +（a +1）y +4＝0，当l 1和l 2垂直时，a ＝ −13 ；当l 1和l 2平行时，a ＝ 1或﹣2 ． 解：由题意得k l 1=−a2，当l 1⊥l 2时，a ＝0或a ＝﹣1不满足题意， 所以k l 2=−1a+1=2a ，所以a =−13； 当l 1∥l 2时，a ＝0或a ＝﹣1不满足题意， 所以k l 2=−1a+1=−a2， 所以a ＝1或﹣2经检验，a ＝1或﹣2时两直线不会重合． 故答案为：−13；1或﹣2．15．若圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +m ＝0外切，则m ＝ 9 ． 解：由C 1：x 2+y 2＝1，得圆心C 1（0，0），半径为1，由圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +m ＝0，得（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25﹣m ， ∴圆心C 2（3，4），半径为√25−m ． ∵圆C 1与圆C 2外切， ∴5=√25−m +1， 解得：m ＝9． 故答案为：9．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱DD 1的中点，F 是正方形CDD 1C 1内部（含边界）的一个动点，且B 1F ∥平面A 1BE ．给出下列四个结论： ①动点F 的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F ，使得B 1F ⊥A 1B ； ③三棱锥B 1﹣D 1EF 的体积的最大值为23；④设直线B 1F 与平面CDD 1C 1所成角为θ，则tan θ的取值范围是[2，2√2]． 其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．解：对于①，分别取CC 1和D 1C 1的中点N ，M ，连接MN ，MB 1，NB 1，由正方体的性质知MN ∥A 1B ，NB 1∥EA 1，NB 1⊄平面A 1BE ，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ， ∴MN ，NB 1∥平面A 1BE ，又MN ，NB 1⊂平面MNB 1，MN ∩NB 1＝N ， ∴平面A 1BE ∥平面MNB 1，当F 在MN 上运动时，有B 1F ∥平面A 1BE ， ∴动点F 的轨迹是线段MN ，故①错误； 对于②，当F 为线段MN 中点时， ∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，又MN ∥A 1B ，∴B 1F ⊥A 1B ，故②正确；对于③，三棱锥B 1﹣D 1EF 的体积V =13S △D 1EF ⋅B 1C 1=23S △D 1EF ， 又 （S △D 1EF ）max =12×2×1=1， ∴三棱锥的体积最大值为23，故③正确；对于④，连接B 1F ，C 1F ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角θ＝∠B 1FC 1， 则tan θ=2C 1F ，∵√22≤C 1F ≤1， ∴tan θ的范围是[2，2√2]，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（共5个大题，共计70分）17．（13分）已知直线l 经过两直线3x +4y ﹣7＝0与2x +y +2＝0的交点P ，且垂直于直线3x ﹣2y ﹣1＝0．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解：（1）联立{3x +4y −7=02x +y +2=0⇒{x =−3y =4，则P （﹣3，4）， 由题意可知3x ﹣2y ﹣1＝0的斜率为32，所以直线l 的斜率为−23， 故直线l 的方程为：y −4=−23(x +3)⇒2x +3y −6=0；（2）由上可知x ＝0⇒y ＝2，y ＝0⇒x ＝3，即直线l 与坐标轴的交点分别为（0，2），（3，0），故S =12×2×3=3． 18．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是BC 中点．（1）求证：A 1B ∥平面AEC 1；（2）若∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1＝2，①求平面AEC 1与平面ABB 1A 1所成锐二面角的余弦值．②求点A 1到平面AEC 1的距离．解：（1）证明：如图所示，连接A 1C 交AC 1于F 点，连接EF ，由三棱柱的特征可知侧面ACC 1A 1是平行四边形，则F 是A 1C 的中点，又E 是BC 中点．则EF ∥A 1B ，因为EF ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面平面AEC 1，所以A 1B ∥平面AEC 1；（2）由已知可得AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，所以可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），E （1，1，0），C 1（0，2，2），A 1（0，0，2），则AE →=(1，1，0)，AC 1→=(0，2，2)，C （0，2，0），设平面AEC 1的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=x +y =0n →⋅AC →=2y +2z =0，取y ＝﹣1，则x ＝1，z ＝1，即n →=(1，−1，1)．①易知AC →=(0，2，0)是平面ABB 1A 1的一个法向量，设平面AEC 1与平面ABB 1A 1所成角为θ，则cosθ=|n →⋅AC →||n →|⋅|AC →|=2×3=√33； ②易知AA 1→=(0，0，2)，则点A 1到平面AEC 1的距离d =|AA 1→⋅n →||n →|=3=2√33．19．（14分）已知圆G 过三点A （2，2），B （5，3），C （3，﹣1）．（1）求圆G 的方程；（2）设直线l 的斜率为﹣2，且与圆G 相切，求直线l 的方程．解：（1）设圆G 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，其中D 2+E 2﹣4F ＞0，因为圆G 过三点A （2，2），B （5，3），C （3，﹣1），所以{4+4+2D +2E +F =025+9+5D +3E +F =01+9+3D −E +F =0，解得{D =−8E =−2F =12，圆G 的方程为x 2+y 2﹣8x ﹣2y +12＝0；（2）由（1）知圆G 是以（4，1）为圆心，以r =√5为半径的圆，设直线方程为y ＝﹣2x +b ，即2x +y ﹣b ＝0，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为d =√2+1=√5，解得b ＝14或b ＝4，所以切线方程为2x +y ﹣14＝0或2x +y ﹣4＝0．20．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3．（Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD 的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF 为正方形，∴AF ⊥AD ，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，∴AF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥CD ；（Ⅱ）取BC 的三等分点G ，H 如图，连接EG ，可由EF ∥AD ，AD ∥BC ，得EF ∥BG ，且EF ＝AD ＝BG ＝1，∴四边形BGEF 为平行四边形，∴GE ∥BF ，∵DE ∥AF ，∴DE ⊥平面ABCD ，∴平面EDC ⊥平面ABCD ，作GN ⊥CD 于N ，则GN ⊥平面EDC ，连接EN ，则∠GEN 为GE 与平面EDC 所成的角，在Rt △CGD 中，求得GN =2√5， 又GE ＝BF =√2，∴sin ∠GEN =GN GE =√105，故直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值为：√105； （Ⅲ）连接FH ，易证四边形EFHC 为平行四边形，∴EC ∥FH ，∴EC ∥平面AFH ，连接AH 交BD 于M ，则CE ∥平面AFM ，此时BM MD =BHAD =2，∴BM BD =23． 21．（15分）已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．（1）解：设圆的标准为（x ﹣3）2+y 2＝r 2，把A （0，4）代入得r ＝5，故圆的标准方程为（x ﹣3）2+y 2＝25．（2）解：①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝0，此时弦AB 长为8，符合题意； ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx +4，联立方程{y =kx +4(x −3)2+y 2=25，则（1+k 2）x 2﹣（6﹣8k ）x ＝0， 所以B （6−8k1+k 2，4+6k−4k 21+k 2），根据弦AB 长为8，可得|AB |=√(6−8k1+k 2)2+(4+6k−4k 21+k 2−4)2=8， 解得k =−724，所以直线AB 的方程为7x +24y ﹣96＝0，（令解：当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx +4，即kx ﹣y +4＝0，由题意可知圆心C 到直线AB 的距离为3，所以√k 2+1=3， 解得k =−724，所以直线AB 的方程为7x +24y ﹣96＝0）综上所述，直线AB 的方程为x ＝0或7x +24y ﹣96＝0；（3）证明：当直线l 斜率不存在时，设M （a ，b ），N （a ，﹣b ），∵直线AM ，AN 的斜率之积为2，A （0，4），∴b−4a •−b−4a =2，即b 2＝16﹣2a 2，∵点M （a ，b ）在圆上，∴（a ﹣3）2+b 2＝25，联立{b 2=16−2a 2(a −3)2+b 2=25，无解，舍去， 当直线l 斜率存在时，设直线l ：y ＝kx +t ，M （x 1，kx 1+t ），N （x 2，kx 2+t ）， k AM •k AN =kx 1+t−4x 1•kx 2+t−4x 2=2⇒（k 2﹣2）x 1x 2+k （t ﹣4）（x 1+x 2）+（t ﹣4）2＝0① 联立方程{y =kx +t (x −3)2+y 2=25⇒（k 2+1）x 2+（2kt ﹣6）x +t 2﹣16＝0， ∴x 1+x 2=−(2kt−6)1+k 2，x 1x 2=t 2−161+k 2，代入①，得（k 2﹣2）（t 2﹣16）+（kt ﹣4k ）（﹣2kt +6）+（t ﹣4）2（1+k 2）＝0， 化简得k =t 6+2，∴直线l 的方程为：y ＝（t 6+2）x +t ，所以过定点（﹣6，﹣12）．。

2023北京十三中初一（上）期中数 学考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共4页． 2．本试卷满分100分，考试时间100分钟．3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1. 2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（ ） A. 80.1110⨯B. 71.110⨯C. 61110⨯D. 61.110⨯2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 2与2−互为倒数B. 2与12互为相反数C. 0的相反数是0D. 2的绝对值是2−3. 下列计算正确的是（ ） A. 325a b ab += B. 22550ab a b −= C. 277a a a +=D. 32ab ba ab −+=4. 下列各组数中，相等的一组是（ ） A. ()1−−与1−− B. 23−与()23−C. ()34−与34−D. 223与223⎛⎫ ⎪⎝⎭5. 某圆形零件的直径要求是500.2mm ±，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以50mm 为标准则）则在这6个产品中合格的有（ ）．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6. 下列说法中，不正确的是（ ） A.3xy是整式 B. 2ab c −的系数是1−，次数是4 C. 2631x x −+的项是26x ，3x −，1D. 多项式22x y xy −是五次二项式7. 要使多项式()22222732x x x mx−+−+化简后不含x 的二次项，则m 等于（ ）A. 0B. 2−C. 6−D. 28. 如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积（ ）A. 正方形①B. 正方形②C. 正方形③D. 大长方形第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）9. 写出一个比52−小的有理数________．10. 将多项式3x 2－1－6x 5－4x 3按字母x 的降幂排列为__________________． 11. 已知代数式6x ﹣12与4+2x 的值互为相反数，那么x 的值等于_____． 12. 如果3x =是关于x 的方程326m x −=的解，则m 的值是________． 13. 观察有理数a 、b 、c 在数轴上的位置并比较大小：()()c b a b −+______0．14. 若22350x x +−=，则代数式2469x x ++的值是________．15. 某服装店新上一款运动服，第一天销售了m 件，第二天的销售量是第一天的两倍少3件，第三天比第二天多销售5件，则第三天的销售量是______件．16. 如图①，点A ，B ，C 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为4−，b ，5．某同学将刻度尺如图②放置，便刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A ，发现点B 对齐刻度尺1.5cm 处，点C 对齐刻度尺4.5cm 处．（1）在图①的数轴上，AC =______个单位长； （2）求数轴上点B 所对应的数b 为______．三、计算题：（本大题共4小题，共39分，其中第17题18分，第18，20题各8分，第19题5分）17. 计算：（1）()()()()20357−++−−−+； （2） 2.4 3.7 4.6 5.7−−−+； （3）340.2575⎛⎫−+−⨯ ⎪⎝⎭； （4）()()21862⎛⎫−⨯−+− ⎪⎝⎭；（5）()1113612366⎛⎫−−+⨯− ⎪⎝⎭； （6）()411293⎛⎫−+−+−−− ⎪⎝⎭． 18. 化简：（1）2253482x x x x +++−−； （2）()()225214382a a a a+−−−+．19. 先化简，再求值2222233x y xy x y xy x y −−−+（）（），其中25x =−，2y =． 20. 解方程：（1）()2237x x −=−； （2）12326x x −+−=1． 四、解答题（本大题共7个小题，共29分，其中第21题3分，第22，24，25，27题各4分，第23，26题各5分）21. 在数轴上表示出有理数： 3.5−，2，1.5，1−，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“<”连接．22. 已知：212323A a ab a =+−−，21223B a ab =−++，当()2120a b +++=时，求()432A A B −−的值．23. a b ※是新规定的这样一种运算法则：22a b a ab =+※，例如()()22525255−=+⨯⨯−=※．（1）求23※的值；（2）若()22x x −=−+※，求x 的值．24. 已知A ，B ，C 三点在数轴上如图所示，它们表示的数分别是a ，b ，c ，且a b <．（1）填空：abc 0（填“>”、“<”或“=”）；（2）化简：2a b a b b c −−++−25. 先阅读，再探究相关的问题：52−表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；52+可以看作()52−−，表示5与2−差的绝对值，也可理解为5与2−两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）点A 的位置如图所示，点B 与点A 分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A 向左移动1.5个单位，得到点C ，则B ，C 两点间的距离是 ；（2）点D 和E 分别在数轴上表示数x 和1−，如果D ，E 两点之间的距离为3，那么x 为 ； （3）借助数轴思考，当x 为 时，4x +与2x −的值相等．26. 定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”．例如：多项式208x y +的系数和为2082874+==⨯，所以多项式208x y +是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题：（1）在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①229x x −；②35a b +；③219423x x y xy −+−．（2）若多项式4mx ny −是关于x 、y 的“7倍系数多项式”（其中m ，n 均为整数），则多项式23mx ny +也是关于x 、y 的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例．27. 如图，设A 是由n ×n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中a ij （i ，j ＝1，2，3，…，n ）表示位于第i 行第j 列的数，且a ij 取值为1或﹣1．对于数表A 给出如下定义：记x i 为数表A 的第i 行各数之积，y j 为数表A 的第j 列各数之积．令S ＝（x 1+x 2+…+x n ）+（y 1+y 2+…+y n ），将S 称为数表A 的“积和”．（3）当n＝10时，直接写出数表A的“积和”S的所有可能的取值．参考答案第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：数据11000000用科学记数法表示应为71.110⨯． 故选：B.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．2. 【答案】C【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可． 【详解】解：A. 2与2−互为相反数，故选项A 不正确 B. 2与12互为倒数，故选项B 不正确；C. 0的相反数是0，故选项C 正确；D. 2的绝对值是2，故选项D 不正确． 故选C ．【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键． 3. 【答案】D【分析】根据合并同类项法则计算并判断．【详解】A 、3a 与2b 不是同类项，不能合并，故该项不符合题意； B 、5ab 2与5a 2b 不是同类项，不能合并，故该项不符合题意； C 、7a+a=8a ，故该项不符合题意； D 、32ab ba ab −+=，故该项符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查合并同类项，掌握同类项的判断方法是解题的关键． 4. 【答案】C【分析】根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，然后利用排除法求解． 【详解】解：A 、-|-1|=-1，-（-1）=1，-（-1）≠-|-1|，故本选项错误； B 、（-3）2=9，-32=-9，9≠-9，故本选项错误； C 、（-4）3=-64，-43=-64，（-4）3=-43，故本选项正确；D 、22433=，22439⎛⎫= ⎪⎝⎭，4439≠，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值、有理数的乘方．解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则，要注意-43与（-4）3的区别． 5. 【答案】C【分析】某圆形零件的直径要求是50±0.2mm ，即可得49.850.2mm mm ~都合格，一一进行判断即可．【详解】500.2mm ±，即49.850.2mm mm ~都合格，0.2mm ±内都可合格， ∴有4个．【点睛】本题主要考查有理数正负数在生活中的实际运用，正确理解正负数的性质是本题的解题关键． 6. 【答案】D【分析】本题考查了整式，根据根据整式的定义，A ；可判断单项式的系数、次数，可判断B ；根据多项式的项，可判断C ；根据多项式次数和项，可判断D ． 【详解】解：A 、3xy是整式，故A 正确，不符合题意； B 、2ab c −的系数是1−，次数是4，故B 正确，不符合题意； C 、2631x x −+的项是26x ，3x −，1，故C 正确，不符合题意； D 、多项式22x y xy −是三次二项式, 故D 不正确，符合题意； 故选：D ． 7. 【答案】C【分析】去括号合并同类项后，令x 的二次项的系数等于0求解即可． 【详解】解：()22222732x x x mx−+−+=22221464x x x mx −−++=()26+614m x x −−，∵化简后不含x 的二次项， ∴6+m =0， ∴m =-6， 故选C ．【点睛】本题考查了整式的加减---无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 8. 【答案】B【分析】如图，设三个正方形①②③的边长依次为a ，b ，c ，重叠的小长方形的长和宽分别为x ，y ，表示出阴影部分的周长差即可求解．【详解】如图，设三个正方形①②③的边长依次为a，b，c，重叠的小长方形的长和宽分别为x，y，∴阴影部分的周长差为2（a+b-x-c）+2(b+c-y)-2(b-x)-2(a-y)=2a+2b-2x-2c+2b+2c-2y -2b+2x-2a+2y=2b故只要知道下列图形②的边长或面积即可求解，故选B．【点睛】此题主要考查整式的加减、列代数式、去括号，解题的关键是根据图形的特点列出代数式求解．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）9. 【答案】3−（答案不唯一）【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的法则，即可得到答案．【详解】解：532−>−，532∴−<−，故答案为：3−．10. 【答案】－6x5－4x3＋3x2－1【分析】根据多项式的降幂排列的定义，可知多项式的5次项为－6x5，3次项为-－4x3，2次项为3x2，常数项为-1．故其降幂排列为－6x5－4x3＋3x2－1．【详解】多项式3x2－1－6x5－4x3按字母x的降幂排列为：－6x5－4x3＋3x2－1.故答案为－6x5－4x3＋3x2－1.【点睛】此题考查多项式，解题关键在于掌握多项式每项的幂.11. 【答案】1【详解】解：根据题意得：6x﹣12+4+2x=0，移项合并得：8x=8，解得：x=1，故答案为112. 【答案】4【分析】本题考查了方程的解以及解一元一次方程，根据方程的解的定义，将3x=代入关于x的方程326m x −=，得到关于m 的一元一次方程，求解即可得到答案．【详解】解：3x =是关于x 的方程326m x −=的解，3236m ∴−⨯=，解得：4m =， 故答案为：4． 13. 【答案】＜【分析】根据数轴判断出()c b −和()a b +的正负，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：0a b c <<<，b a c <<， 所以0c b −>，0a b +<． 所以()()0c b a b −+<． 故答案为：＜．【点睛】本题考查了数轴，掌握数轴上数的排列特点和有理数的运算法则是解题的关键． 14. 【答案】19【分析】此题主要考查了求代数式的值，首先由已知得2235x x +=，再将2469x x ++转化为22(23)9x x ++，然后整体代入即可．【详解】解：22350x x +−=， 2235x x ∴+=，222(23)925991946x x x x ∴=++=⨯+=++．故答案为：1915. 【答案】()22m +##()22m +【分析】第一天销售了m 件，再根据“第二天的销售量是第一天的两倍少3件”，“第三天比第二天多销售5件”列出代数式，即可求解．【详解】∵第一天销售了m 件，第二天的销售量是第一天的两倍少3件，第三天比第二天多销售5件 即第二题的销售量是()23m −件，第三天的销售量是()235m −+件， ∴第三天的销售量是()22m +件． 故答案为：()22m +．【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 16. 【答案】 ①. 9 ②. 1−【分析】（1）根据两点之间的距离即可得出答案；（2）先求出1个单位长度是多少厘米，再求1.5cm 是几个单位长度，根据有理数的加法即可得出答案． 【详解】解：()549−−=（个）， ∴9AC =个单位长，故答案为：9；（2）()4.590.5cm ÷=， 1.50.53÷=（个）， 431b =−+=−，∴数轴上点B 所对应的数b 为1−， 故答案为：1−．【点睛】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，有理数的加减运算．掌握如果数轴上两点A ，B 表示的数为a ，b ，那么A ，B 之间的距离是a b −是解题的关键．三、计算题：（本大题共4小题，共39分，其中第17题18分，第18，20题各8分，第19题5分）17. 【答案】（1）19− （2）5− （3）83140−（4）40 （5）2− （6）1123− 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算以及加法运算律和乘法运算律，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可；（2）根据有理数加减混合运算法则，结合加法运算律计算即可； （3）根据有理数混合运算法则，先计算乘法，再计算加减法即可； （4）根据有理数混合运算法则，先计算乘法和乘方，再计算加法即可； （5）根据有理数加减混合运算法则，结合乘法运算律计算即可； （6）先计算乘方和绝对值，再根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【小问1详解】解：()()()()20357−++−−−+ 20357=−++−19=−；【小问2详解】解： 2.4 3.7 4.6 5.7−−−+()()2.4 4.6 5.7 3.7=−++− 72=−+=5−；【小问3详解】 解：340.2575⎛⎫−+−⨯ ⎪⎝⎭ 112435=−− 83140=−； 【小问4详解】 解：()()21862⎛⎫−⨯−+− ⎪⎝⎭436=+40=；【小问5详解】 解：()1113612366⎛⎫−−+⨯− ⎪⎝⎭ ()()()11136363612366⎛⎫=−⨯−−⨯−+⨯− ⎪⎝⎭316=+−2=−；【小问6详解】解：()411293⎛⎫−+−+−−− ⎪⎝⎭ 11293=−−−− 1123=−． 18. 【答案】（1）2351x x −++（2）233413a a −+−【分析】本题考查了整式的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键（1）根据整式的加减运算法则化简即可；（2）先去括号，再整式的加减运算法则化简即可．【小问1详解】解：22253482351x x x x x x +++−−=−++；【小问2详解】解：()()225214382a a a a +−−−+2252112328a a a a =+−−+−233413a a =−+−．19. 【答案】5xy ，4−【分析】应用整式的加减化简求值的计算方法进行计算即可得出答案．【详解】∵2222233x y xy x y xy x y −−−+（）（）2222439x y xy x y xy x y =−−++5xy = ∴当25x =−，2y =时，255245xy ⎛⎫=⨯−⨯=− ⎪⎝⎭∴2222233x y xy x y xy x y −−−+（）（）化简后是5xy 当25x =−，2y =时，222223354x y xy x y xy x y xy −−−+==−（）（） 【点睛】本题主要考查了整式的加减和化简求值，熟练掌握整式的加减和化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．20. 【答案】（1）3x =（2）12x =【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．【小问1详解】解：()2237x x −=−，去括号，得：2437x x −=−，移项，得：2374x x −=−+，合并同类项，得：3x −=−，系数化为1：3x =；【小问2详解】12326x x −+−=1， 去分母，得：()()31236x x −−+=，去括号，得：33236x x −−−=，移项，得：32633x x −=++，合并同类项，得：12x =．【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．四、解答题（本大题共7个小题，共29分，其中第21题3分，第22，24，25，27题各4分，第23，26题各5分）21. 【答案】见解析； 3.51 1.52−<−<<【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数以及利用数轴比较有理数的大小，先画出数轴，再将这4个数在数轴上表示出来，最后根据“数轴上的点所对应的数从左往右依次增大”将这4个数按从小到大的顺序排列即可．【详解】解：在数轴上表示各数如图所示：由数轴可知， 3.51 1.52−<−<<．22. 【答案】11【分析】本题考查了整式的加减运算、非负数的性质，代数式求值．先根据整式的加减运算法则化简，再利用偶次方和绝对值的非负性，求出a 、b 的值，最后代入计算即可．熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：212323A a ab a =+−−，21223B a ab =−++， ()4223A B A A B −=−+∴221122322323a ab a a ab ⎛⎫+−−+−++ ⎪⎝⎭= 2214232233a ab a a ab =+−−−++ 421ab a =−+，()2120a b +++=，10a ∴+=，20b +=，1a ∴=−，2b =−，∴原式()()()41221182111=⨯−⨯−−⨯−+=++=．23. 【答案】（1）16 （2）65x = 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解，（1）利用题中的新定义化简原式，计算即可得到结果；（2）利用题中的新定义化简已知等式，求出方程的解即可得到x 的值．【小问1详解】解：根据题中新定义得：2※23222341216=+⨯⨯=+=；【小问2详解】根据题意：2(2)2(2)2x x −+⨯−⨯=−+，整理得：442x x −=−+，解得：65x =． 24. 【答案】（1）<（2）32a b c −−+【分析】（1）根据数轴上的点所在位置判断a 、b 、c 的正负号，再确定abc 、a b +正负号；（2）先确定a b −，a b +以及b c −的正负号，再根据绝对值的性质去绝对值符号即可．【小问1详解】解：根据数轴上A 、B 、C 三点的位置，可知0a b c <<<，且||||||c b a >>，<0abc ∴，故答案为：<【小问2详解】由题意可知，0a b −<，0a b +>，0b c −<，||2||||a b a b b c ∴−−++−2()b a a b c b =−−++−22b a a b c b =−−−+−32a b c =−−+．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数的及其运算等知识与方法，解题的关键是确定a 、b 、c 的正负号及有关算式的正负号．25. 【答案】（1）3.5 （2）2或4−（3）1−【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到x 的值两个；（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；【小问1详解】解：如图，B 点表示的数 2.5−，C 点表示的数1，BC 的距离是1( 2.5) 3.5−−=；故答案为： 3.5【小问2详解】数轴上表示x 和1−的两点D 和E 之间的距离表示为：|(1)||1|x x −−=+，如果D ，E 两点之间的距离为3，即|1|3x +=，13x +=或13x +=−，那么x 为4−或2；故答案为： 2或4−【小问3详解】|4|x +与|2|x −的值相等，42x x 此种情况等式不成立，或4(2)x x +=−−，=1x −，如图：1−到4−距离和1−到2的距离相等1x ∴=−时，|4|x +与|2|x −的值相等；故答案为：1−【点睛】本题考查了数轴，绝对值，相反数，解题的关键是掌握数轴知识，绝对值的定义，相反数的定义． 26.【答案】（1）①③ （2）是，理由见详解【分析】本题考查了多项式的新定义，（1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案；（2）根据题意可知，4m n −是7的整数倍，推出47n m z =−，根据要求推一下23m n +是否是7的整数倍即可．【小问1详解】解：（1）①因为[2(9)]71+−÷=−，1−是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”； ②因为8(35)77+÷=，87不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”； ③因为(19423)72−+−÷=，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式；故答案选：①③；【小问2详解】是，理由如下：多项式4mx ny −是关于x ，y 的“7倍系数多项式”，4m n ∴−是7的整数倍，设47(m n z z −=为整数，且0)z ≠，则47n m z =−，多项式23mx ny +的系数之和为：23m n +，2323(47)1421m n m m z m z ∴+=+−=−，(1421)723m z m z −÷=−，1421z ∴−为7的倍数，即23m n +为7的倍数，∴当多项式4mx ny −是关于x ，y 的“7倍系数多项式”，多项式23mx ny +也是关于x ，y 的“7倍系数多项式”．27. 【答案】（1）0；（2）不存在，理由见解析；（3）﹣20，﹣16，﹣12，﹣8，﹣4，0，4，8，12，16，20【分析】（1）由题意分别求出x1=1，x2=-1，x3=1，x4=1，y1=-1，y2=-1，y3=1，y4=-1；（2）假设存在，一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S=0，由题意可知x1、x2、x3、y1、y2、y3中只能有3个1或3个-1，再由这些数的乘积t2=x1x2x3y1y2y3=-1，与t2≥0矛盾，即可说明不存在；（3）n=10时，每行10个1，9个1，8个1，…，1个1，0个1，这11中情况分别求出S即可．【详解】（1）由题意可知，x1＝1，x2＝﹣1，x3＝1，x4＝1，y1＝﹣1，y2＝﹣1，y3＝1，y4＝﹣1，∴S＝2+（﹣2）＝0；（2）假设存在，一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S＝0，则S＝（x1+x2+x3）+（y1+y2+y3）＝0，∵x1、x2、x3、y1、y2、y3的值只能去1或﹣1，∴x1、x2、x3、y1、y2、y3中只能有3个1或3个﹣1，∴设3×3的数表A中9个数的乘积为t，则t＝x1x2x3＝y1y2y3，∴t2＝x1x2x3y1y2y3＝﹣1，这与t2≥0矛盾，故假设不成立，∴不存在一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S＝0；（3）n＝10时，S的可能取值﹣20，﹣16，﹣12，﹣8，﹣4，0，4，8，12，16，20．【点睛】本题考查数字的规律；理解题意，能够根据1和-1的个数是决定S的值的关键．。

西城区高三统一测试试卷数学2024.4本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =R ，集合{}{}3,22A x x B x x =<=-≤≤，则U A B =I ð（）A.()2,3 B.()(),22,3-∞-⋃ C.[)2,3 D.][(),22,3-∞-⋃【答案】B【解析】【分析】利用补集和交集运算求解即可.【详解】因为集合{}22B x x =-≤≤，所以{2U B x x =<-ð或}2x >，又集合{}3A x x =<，所以U A B =I ð{2x x <-或}23x <<=()(),22,3∞--⋃.故选：B2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2y x x=+ B.cos y x =C.2xy = D.2log y x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，当1x =时，112y =+=，当=1x -时，110y =-=，即(1)(1)f f -≠，所以选项A 不满足题意，对于选项B ，因cos y x =在区间()0,∞+上不单调，所以选项B 不满足题意，对于选项C ，因为2x y =图象不关于y 轴对称，所以选项C 不满足题意，对于选项D ，因为2log y x =的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，又22()log log ()f x x x f x -=-==，所以2log y x =为偶函数，当0x >时，22log log y x x ==，又2log y x =在区间()0,∞+上单调递增，所以选项D 满足题意，故选：D.3.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为A.60- B.15-C.15D.60【答案】D【解析】【分析】写出二项式展开通项，整理后令x 的指数为0，得到相应的项数，然后算出常数项.【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630r -=，得到2r =所以622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()226260C -=，故选D 项.【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.4.已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（）A.=1x - B.2x =-C.1y =- D.=2y -【答案】C【解析】【分析】由对称性可得曲线C 方程，求出准线方程即可.【详解】因为抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，所以将,x y 互换后可得抛物线C 方程为24x y =，即242p p =⇒=，所以C 的准线方程为12p y =-=-，故选：C.5.设()11,,2a t b t c t t t t =-=+=+，其中10t -<<，则（）A.b a c <<B.c<a<bC.b<c<aD.c b a<<【答案】C【解析】【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.【详解】由10t -<<，故()1,1t ∈-∞-，故10a t t =->，由对勾函数性质可得()1112b t t =+<-+=-，()20c t t =+<，且()()2222111c t t t t t =⋅+=+=+-≥-，综上所述，有b<c<a .故选：C.6.已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.1- B.1 C.7- D.7【答案】A【解析】【分析】得出()1,3a b -=- 、()2,1c = 后借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.【详解】由图可得()1,3a b -=- ，()2,1c = ，故()()12311c a b ⋅-=⨯+-⨯=- .故选：A.7.已知函数()2,20x x x f x x c ⎧+-<<⎪=⎨≤<⎪⎩，若()f x 存在最小值，则c 的最大值为（）A.116 B.18 C.14 D.12【答案】A【解析】【分析】运用二次函数的性质求得20x -<<的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.【详解】当20x -<<时，2211()24f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故当12x =-时，()f x 有最小值为14-；0x c ≤<时，()f x =()0f x <≤，由题意()f x 存在最小值，则14≥-，解得1016c <≤，即c 的最大值为116.故选：A8.在等比数列{}n a 中，00n a >．则“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.【详解】设等比数列{}n a 的公比为0q ≠，当001n n a a +>时，即有00n n a q a >⋅，又00n a >，故1q <且0q ≠，当1q <-时，有0002311n n n a q a a +++=>，故不能得到0013n n a a ++>，即“001n n a a +>”不是“0013n n a a ++>”的充分条件；当0013n n a a ++>时，即有0002311n n n a q a a +++=<，即21q <且0q ≠，则001n n a q a +=⋅，当()1,0q ∈-时，由00n a >，故010n a +<，故001n n a a +>，当()0,1q ∈时，0001n n n a q a a +=⋅<，亦可得001n n a a +>，故“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要条件；综上所述，“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要不充分条件.故选：B.9.关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】选项①，根据条件得到()2π()f x f x +=，即可判断出①的正误；选项②，根据条件得出(π)()f x f x -=，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令()0f x =，直接求出x 的值，即可得出③的正误，从而得出结果.【详解】对于①，因为()sin cos2f x x x =+，所以()2πsin(2π)cos2(2π)sin cos2()f x x x x x f x +=+++=+=，故2πT =，所以选项①正确，对于②，因为(π)sin(π)cos2(π)sin cos2()f x x x x x f x -=-+-=+=，由对称轴的定义知，π2x =为函数()f x 的一条对称轴，所以选项②正确，对于③，因为()2sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令()0f x =，得到22sin sin 10x x -++=，解得1sin 2x =-或sin 1x =，又[)0,2πx ∈，由1sin 2x =-，得到7π6x =或11π6x =，由sin 1x =，得到π2x =，所以选项③正确，故选：D.10.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的趋势可由函数0.2710.6y t =-近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时【答案】C【解析】【分析】根据题设得到0.2756t =，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得0.27110.62t =-，整理得到0.2756t =，两边取以10为底的对数，得到5lg 0.27lg 6t =，即1lg 32lg 20.27lg t --=，又lg20.30,lg30.48≈≈，所以8lg 27t =-，得到827100.5t -=≈，故选：C.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若复数z 满足(12i)3i z +=+，则z =______【答案】【解析】【分析】利用复数的除法公式计算1i z =-，再计算模长即可.【详解】(12i)3i z +=+，则()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-，故z ==..12.已知(),0,παβ∈．使()()tan tan αβαβ+<-成立的一组,αβ的值为α=__________；β=__________．【答案】①.π3②.π3（答案不唯一）【解析】【分析】任取一组(),0,παβ∈，验证是否满足()()tan tan αβαβ+<-即可得.【详解】取π3αβ==，此时()2πtan tan 03αβ+=<，()tan tan00αβ-==，故()()tan tan αβαβ+<-，符合要求.故答案为：π3；π3（答案不唯一）.13.双曲线22:13y M x -=的渐近线方程为__________；若M 与圆222:()0O x y r r +=>交于,,,A B C D 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r =__________．【答案】①.y =②.【解析】【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.【详解】由22:13y M x -=，故其渐近线方程为1y x =±=；令(),A m n ，由题意可得m n =，即有2213m m -=，解得232m =，故222232r m n m ===+，即r =.故答案为：y =14.在数列{}n a 中，122,3a a ==-.数列{}n b 满足()*1n n n b a a n +=-∈N.若{}nb 是公差为1的等差数列，则{}n b 的通项公式为n b =______，n a 的最小值为______.【答案】①.6n -②.13-【解析】【分析】求出等差数列{}n b 的首项，直接求出{}n b 的通项公式即可，利用数列{}n a 的单调性得最小项为6a ，利用累加法即可求解.【详解】由题意1215b a a =-=-，又等差数列{}n b 的公差为1，所以()5116n b n n =-+-⋅=-；故16n n a a n +-=-，所以当6n ≤时，10n n a a +-≤，当6n >时，10n n a a +->，所以123456789a a a a a a a a a >>>>>=<<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又16n n a a n +-=-，所以()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()25432113=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是13-.故答案为：6n -，13-15.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直．点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2,1AB AF ==，给出下列四个结论：①存在点,P Q ，使3PQ =；②存在点,P Q ，使//CQ EP ；③到直线AD 和EF 的距离相等的点P 有无数个；④若PA PE ⊥，则四面体PAQE 体积的最大值为13．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系A FBD -，则有()0,0,0A 、()1,0,0F 、()0,2,0B 、()0,0,2D 、()0,2,2C 、()1,2,0E ，设()0,,P m n ，(),,0Q s t ，其中0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，对①：(),,PQ s t m n =-- ，则()222PQ s t m n =+-+ ，当1s =，2t n ==，0m =时，有1443PQ =++=，故存在点,P Q ，使3PQ =，故①正确；对②：(),2,2CQ s t =-- ，()1,2,EP m n =-- ，若//CQ EP ，则有()()222s m t sn ⎧-=--⎨=⎩，由0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，故当2sn =时，1s =，2n =，此时有()22m t -=--，即4m t +=，即2m t ==，此时Q 与E 重合，P 与C 重合，故不存在点,P Q ，使//CQ EP ，故②错误；对③：点P 到直线AD 的距离为m ，点P 到直线EF 的距离为，即有m =221m n -=，由0,2m n ≤≤，故其轨迹为双曲线的一部分，即点P 有无数个，故③正确；对④：()0,,AP m n = ，()1,2,EP m n =-- ，由PA PE ⊥，故有()220m m n -+=，则()[]22110,1n m =--∈，又1112122AB AQE FE S S ≤=⨯⨯= 矩形，故11113313P AQE AQE V S n -⨯≤⨯⨯==⨯ ，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值.三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 为正方形，AB AC ⊥，2AB AC ==，D 为BC 的中点．（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）若1A C AB ⊥，求二面角11D AB A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3-【解析】【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.【小问1详解】如图，连接1A B ，设11A B AB E = ，连接DE ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 是平行四边形，所以E 为1A B 的中点．因为D 为BC 的中点，所以1//DE AC ．又因为1A C ⊄平面1AB D ，DE ⊂平面1AB D ，所以1AC 平面1AB D ．【小问2详解】因为1AB A C ⊥，AB AC ⊥，又1AC AC C ⋂=，1AC ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因1AA ⊂平面11A ACC ，所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以AB ，AC ，1AA 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,2B ，()1,1,0D ，()0,2,0C ．所以()12,0,2AB = ，()1,1,0AD = ．设平面1AB D 的法间量为(),,m x y z = ，则100m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2200x z x y +=⎧⎨+=⎩，令=1x -，则1y =，1z =于是()1,1,1m =- ．因为AC ⊥平面11A ABB ，所以()0,2,0AC = 是平面11A ABB 的一个法向量．所以cos ,3m AC m AC m AC⋅== ．由题设，二面角11D AB A --的平面角为钝角，所以二面角11D AB A --的余弦值为3-．17.在ABC 中，tan 2sin a B b A =．（1）求B ∠的大小；（2）若8a =，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：BC ；条件②：2cos 3A =-；条件③：7b =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3B ∠=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的ABC .【小问1详解】由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =，因为sin 0,sin 0A B >>，所以1cos 2B =，又0πB <∠<，所以π3B ∠=；【小问2详解】选条件①：BC ：设BC 边中点为M ，连接AM，则4AM BM ==，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅，即2π21168cos 3AB AB =+-⋅，整理得2450AB AB --=，解得5AB =或1AB =-（舍），所以ABC的面积为11πsin 58sin 223ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯=，选条件③：7b =：在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅，整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =，当3c =时，ABC的面积为11πsin 83sin 223ABC S ac B ==⨯⨯= ．当5c =时，ABC的面积为11πsin 85sin 223ABCS ac B ==⨯⨯=△．不可选条件②，理由如下：若2cos 3A =-，故A为钝角，则5sin 3A ==，则38sin 12152sin 53a Bb A ⨯===，224325b a =>，即b a >，其与A 为钝角矛盾，故不存在这样的ABC .18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射出频数11102424乙的射出频数32103015丙的射出频数24101826假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；（2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；（3）甲､乙､丙各射击10次，用()1,2,3i X i =分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于a 环的次数，其中{}6,7,8,9a ∈．写出一个a 的值，使()()()321D X D X D X >>．（结论不要求证明）【答案】（1）甲进入决赛，理由见解析（2）13100（3）7a =或8【解析】【分析】（1）分别计算出甲和丙射击成绩的总环数，进行比较即可判断.（2）先根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率；再根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率公式即可求解.（3）根据题意可知()1,2,3i X i =服从二项分布，利用二项分布求出每一个a 对应的()()()321,,D X D X D X 即可解答.【小问1详解】甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为549542>，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．【小问2详解】根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为242605=；“甲命中10环”的概率可估计为242605=；“乙命中9环”的概率可估计为301602=；“乙命中10环”的概率可估计为156041=．所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222221122212121113.5452524100C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问3详解】7a =或8．根据题中数据：当6a =时，在每次射击中，甲击中大于6环的的概率为5960p =；在每次射击中，乙击中大于6环的的概率为5760p =；在每次射击中，丙击中大于6环的的概率为5860p =；由题意可知：15910,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25710,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()15915901060603600D X =⨯⨯=，()257317101060603600D X =⨯⨯=，()358211601060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.当7a =时，在每次射击中，甲击中大于7环的的概率为5860p =；在每次射击中，乙击中大于7环的的概率为5560p =；在每次射击中，丙击中大于7环的的概率为5460p =；由题意可知：15810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()158211601060603600D X =⨯⨯=，()255527501060603600D X =⨯⨯=，()354632401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当8a =时，在每次射击中，甲击中大于8环的的概率为4860p =；在每次射击中，乙击中大于8环的的概率为4560p =；在每次射击中，丙击中大于8环的的概率为4460p =；由题意可知：14810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，24510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，34410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1481257601060603600D X =⨯⨯=，()2451567501060603600D X =⨯⨯=，()3441670401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当9a =时，在每次射击中，甲击中大于9环的的概率为2460p =；在每次射击中，乙击中大于9环的的概率为1560p =；在每次射击中，丙击中大于9环的的概率为2660p =；由题意可知：12410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，21510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，32610,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1243686401060603600D X =⨯⨯=，()2154567501060603600D X =⨯⨯=，()3263488401060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.所以7a =或8．19.已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A -，离心率为12．（1）求椭圆G 的方程；（2）设O 为原点．直线l 与椭圆G 交于,C D 两点（,C D 不是椭圆的顶点），l 与直线2x =交于点E ，直线,AC AD 分别与直线OE 交于点,M N ．求证：=OM ON ．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得；（2）设直线l 为y kx m =+，联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理，借助C 、D 两点坐标可表示出M x 、N x ，计算可得0M N x x +=，即可得解.【小问1详解】由题意可得222212a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆G 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则()2,2E k m +，直线OE 的方程为2m y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由()22Δ48430k m =-+>，得2243m k <+，设()()1122,,,C x y D x y ，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，直线AC 的方程为()1122y y x x =++，联立直线AC 和OE 得()11222y m x k x x ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，解得()()11111114244422M kx m y y x m mx k mx k k x y +===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，同理可得()2244N kx m x mx k +=+，所以()()()()()()12211244444M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++，因为()()()()122144kx m mx k kx m mx k +++++()()221212248kmx x k m x x km =++++()()()22222222412848430434343km m km k m km k k k k -++=-+=+++，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称，所以OM ON =．.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.20.已知函数()()1ln e x f x x ax x a=++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；（2）当1a =-时，讨论()f x 的单调性；（3）若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．【答案】（1）2e 2+（2）单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-（3）1a e =-【解析】【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．【小问2详解】当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0x x -<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．【小问3详解】因为()()1ln e x f x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增，又12111e 0a f a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e 0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x =-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e =-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21.对正整数3,6m n ≥≥，设数列{}()12:,,,,0,11,2,,n i A a a a a i n ∈= .B 是m 行n 列的数阵，ij b 表示B 中第i 行第j 列的数，{}()0,11,2,,;1,2,,ij b i m j n ∈== ，且B 同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合{11220i i n in i a b a b a b +++= 或}3,1,2,,i m = 中元素的个数为K ．（1）若111000:1,1,1,0,0,0,101100000111A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求K 的值；（2）若对任意{},1,2,,(),p q n p q B ∈< 中都恰有r 行满足第p 列和第q 列的数均为1．①B 能否满足3m r =？说明理由；②证明：()21424K n n ≥-．【答案】（1）2K =（2）①不满足，理由见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，计算出1t 、2t 、3t 即可得；（2）①由题意可得B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，亦可得其为2n rC 个，当3m r =时，可得2C 9n=，此方程无解，故不满足；②满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，亦可得其为()rx n x -，即有()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，借助该等式表示出K 后放缩即可得.【小问1详解】记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，则11112123134145156163t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，21212223234245256262t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，31312323334345356360t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，故2K =；【小问2详解】①B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =，因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得这两列的数均为1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有2n rC 个，所以23C n m r =，当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解，所以B 不满足3m r =；②由①可得23C nm r =，即2C 3n r m =，下面考虑满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数：对B 中满足0i t ≠和3的m K -行，每行恰有两组(),p q 使1ip iq b b ==且p q a a ≠，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()2C 223n r m K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设数列A 中有x 项为1,n x -项为0，满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),p q 的个数为()x n x -，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()rx n x -，所以()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()222C 33326n rx n x r r K x nx n n -=-=-+-()2222233146426424r n n r n n n n n n ⎛⎫⎛⎫≥-+-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，关键点在于结合定义，得到满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭且为()rx n x -.。

2023-2024学年度第一学期期中练习题年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{|5}A x N x =∈≤与集合{|(2)0}B x x x =->，则A B =()A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．[2,5)D ．(2,5]2.复数2i12iz -=+的虚部为()A ．1B ．1-C ．iD ．i-3.下列函数中最小值为4的是()A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222xxy -=+ D.4ln ln y x x=+4.在空间中，若,,a b c 是三条直线，,αβ是两个平面，下列判断正确的是()A ．若a 的方向向量与α的法向量垂直，则//a α；B ．若//a α，βα⊥，则a β⊥；C ．若αβ⊥，c αβ= ，a c ⊥，则a α⊥；D ．若,αβ相交但不垂直，c α⊂，则在β内一定存在直线l ，满足l c ⊥.5.“0x >”是“+sin 0x x >”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量a，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b <+> =()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19357.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A .若函数x y a =(0a >且1a ≠)及log b y x =（0b >且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足()A.1a b << B.1b a << C.1b a >> D.1a b >>8.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =()A ．31010B.1010C.1010-D .31010-9.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.则哪种方案能通过考试的概率更大()A ．方案一B ．方案二C ．相等D ．无法比较10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AE x B F y ==.若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是()A.[0,1]B.13[,]22C.[1,2]D.3[,2]2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数a =.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．13.函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移________个单位长度得到.14.已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若||23AB =，则||CD =______.ABCD1D 1A 1B 1C E F15.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有.①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞④()ln(1)f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.(本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求角A 的值，进而再求()f B 的取值范围.17.（本小题满分14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级:学习时间t (分钟/天)20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18.（本小题满分14分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体ABCDEF ，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，其中EF ∥AD ∥BC ，4AD =，2EF BC AB ===，ED =M为AD 中点，平面BCEF 与平面ADEF 交于EF .再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF 能够确定，然后解答下列各题：（Ⅰ）求证：BM ∥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B AE F --的余弦值.（Ⅲ）在线段AE 上是否存在点Q ，使得MQ 与平面ABE 所成的角的正弦值为77，若存在，求出AQ AE 的值，若不存在，请说明理由.条件①：平面CDE ⊥平面ABCD ；条件②：平面ADEF ⊥平面ABCD ；条件③：EC =.19.（本小题满分15分）已知椭圆22220:1()x y W a ba b +=>>的焦距为4，短轴长为2，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）设,,A B C 是椭圆W 上的三个点，判断四边形OABC 能否为矩形？并说明理由．20.（本小题满分15分）已知函数212)(1()e 2x f x ax x -=-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程；（Ⅱ）若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围．21.（本小题满分14分）设数阵111202122,a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈⋅⋅⋅，设12{,,,}{1,2,,6},l S e e e =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅其中*12, 6.l e e e l N l <<⋅⋅⋅<∈≤且定义变换k ϕ为“对于数列的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以-1，若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”12(,,,).l k e e e =⋅⋅⋅0()s A ϕ表示“将0A 经过1e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A ，⋅⋅⋅，以此类推，最后将1l A -经过le ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为0()s T A .（Ⅰ）若011A ⎛= ⎝25⎫⎪⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；（Ⅱ）若013A ⎛=⎝36⎫⎪⎭，{1,3},S =求0()s T A 的值；（Ⅲ）对任意确定的一个矩阵0A ，证明：0()s T A 的所有可能取值的和不超过4-.2023-2024学年度第一学期期中练习题答案年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）BBCDCDACAC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.-3或012.21n n +13.23π14.415.①②④；(,](0,)e -∞-+∞ 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+11=sin 2cos 222x x +2=sin(2)24x π+.由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得88k x k 3πππ-≤≤π+.所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）.……………6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-.即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(214B π-≤+≤.由2())24f B B π=+，则()f B 的取值范围是2222⎡-⎢⎥⎣⎦，.………………13分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65.………3分（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ.所以，(0)==P ξ022628C C 1528C =，(1)==P ξ112628C C 123287C==，(2)==P ξ202628C C 128C =.所以ξ的分布列为ξ012P152837128ξ的数学期望为15311()012287282=⨯+⨯+⨯=E ξ.……………11分（Ⅲ）X <甲X 乙;22ss >甲乙……………13分（Ⅰ） 等腰梯形ABCD M 是AD 中点MD BC ∴=MD BC∴∥∴平行四边形BCDM BM CD ∴∥BM ∉ 平面CDE CD ∈平面CDE BM ∴∥平面CDE .（Ⅱ）选②和选③，过程仅在建系之前有区别.选②：取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系选③：取MD 中点Q ，连接CQ 和EQ EC = 3EQ=CQ =∴EQ CQ⊥∴二面角2E AD C π--=∴平面ADEF ⊥平面ABCD 取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系(0,2,0)A-1,0)B-C (0,2,0)D (0,1,3)E (0,1,3)F -(0,0,0)M (1,0)BA =- (0,3,3)AE = 设平面BAE 的一个法向量(,,)n x y z =00n BA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0330y y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩令x =，则3y =-，3z =，则3,3)n =- 易知(1,0,0)m =-是平面AEF的一个法向量cos ,||||7m n m n m n ⋅<>==-经检验，B AE F --为钝角，所以二面角B AE F --的余弦值为77-（Ⅲ）设,[0,1]AQAEλλ=∈，(0,3,3)AQ AE λλλ== ，(0,32,3)MQ MA AQ λλ=+=- ||7|cos ,|7||||MQ n MQ n MQ n ⋅<>==⋅解得153λ±=,均不满足题意，故不存在点Q .解：（Ⅰ）由题意，椭圆W 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）设:AC y kx m =+,1122(,),,(),C x A x y y AC 中点00(,)M x y ,33(,)B x y ，2222255(15)10550x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，222(10)4(15)(55)0km k m ∆=-+->，1221015km x x k +=-+,21225515m x x k-=+.(1)由条件OA OC ⊥，得12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=，将(1)式代入得2222(1)(55)(10)(15)0k m km km m k +-+-++=即22655m k =+(2)又20125215x x km x k +==-+,00215m y kx m k =+=+且M 同时也是OB 的中点,所以30302,2x x y y ==因为B 在椭圆上,所以223355x y +=，即02024205x y +=，222254()20(51515km m k k -+=++，所以22451m k =+(3)由(2)(3)解得2272,5k m ==，验证知222(10)4(15)(55)1200km k m ∆=-+-=>，所以四边形OABC 可以为矩形.20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）111(0)e 22f e-=⋅=，∴切点为1(0,2e ，又21221()e ]2(1)[22(e 1)x x f x ax x x ax a a --+-'==+-，∴(0)0f '=，∴切线方程为102y e-=.（Ⅱ）定义域为R ，21()2(1)e x f x x ax a -'=+-1当0a =时，21()2e x f x x -'=-，令0()f x '>得0x <，∴()f x 增区间为(,0)-∞；令0()f x '<得0x >，∴()f x 增区间为(0,)+∞；∴()f x 在0x =取极大值，合题意.2当0a <时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,0ax x a-==<，x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '-0+0-()f x 减极小值增极大值减∴()f x 在0x =处取得极大值，∴0a <合题意.3当0a >时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,a x x a-==(i)当10aa-<即1a >时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极小值，不合题意.(ii)当10aa-=即1a =时,()0f x '≥在R 上恒成立，∴()f x 在R 上增，无极大值点.北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案第6页，共6页(iii)当10a a->即01a <<时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(,0)-∞01(0,)a a -1a a -1(,)a a -+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极大值，∴01a <<合题意.综上可得：a 的取值范围是(,1)-∞（Ⅲ）1(0,]221.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）经过2f 变换111A æ-ç=ççè25ö-÷÷÷÷ø（Ⅱ）013A æç=ççè36ö÷÷÷÷ø经过1j 变换得到113A æ-ç=ççè36ö-÷÷÷÷ø经过3j 变换得到313A æç=ççè36ö÷÷÷÷-ø，所以0()13(3+S T A =++-）（-6)= -5（Ⅲ）因为集合S 共有含空集在内的子集64个，令00()A A f j =,对于第一行11a 和12a ①若1112a a =，则含11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a -，12a -；不含有11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a ，12a ，所有l A 中第一行的和为0。

2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

北京三中2016—2017学年度第一学期学业测试高三级数学（理科）期中试卷第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．设集合{}2230M x x x =--<，12log 0N x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则M N 等于（ ）．A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,3)D ．(1,0)-2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）． A ．若m n ∥，m α∥，则n α∥B ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥C ．若m α∥，n α∥，则m n ∥D ．若m α⊥，n α∥，则m n ⊥3．设a ，b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b <”的（ ）． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，312S =，则6a 等于（ ）．A ．8B ．10C ．12D ．145．设30.2a =，2log 0.3b =，0.32c =，则（ ）．A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<6．已知向量(1,)a x =，(1,)b x =-，若2a b -与b 垂直，则||a =（ ）．AB C ．2 D ．4 7．函数1()sin 2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的零点个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”．现有定义在(0,)∞+上的如下函数：①1()f x x=，②2()f x x =，③()e x f x =，④()f x 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）．A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题；本大题共6小题，每小题5分，共30分9．tan 60︒的值为__________．10．已知某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为___________．俯视图正视图侧视图11．如图所示，在ABC △中，D 为BC 边上的一点，且2BD DC =．若AC m AB n AD =+（,m n ∈R ），则m n -=__________．B AD12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()6f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为__________；不等式()f x x <的解集为___________．13．已知函数6(3)3,7,(),7.x a x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤．若数列{}n a 满足()(*)n a f n n =∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是___________．14．已知集合{}(,)()M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y =+成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合： ①1(,)M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②{}(,)e 2x M x y y ==-；③{}(,)cos M x y y x ==；④{}(,)ln M x y y x ==． 其中所有“好集合”的序号是___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）已知函数()sin )sin f x x x x =-，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间．（Ⅱ）求函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．16．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角，2AB =，BC π6A =，D 为AC 延长线上一点，且1CD ． D A BC （Ⅰ）求BCD ∠的大小．（Ⅱ）求BD 的长及ABC △的面积．17．（本题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ．（Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值．（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？请证明你的结论． CBA DA 1B 1C 118．（本题满分14分）已知数列{}n a 的其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的同项公式．（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a =++，求{}n b 的通项公式． （Ⅲ）设(3)n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值． （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分） 已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值． （Ⅱ）若m ∀∈R ，直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线，求k 的取值范围． （Ⅲ）若1a >-，求()f x 在区间[]0,1上的最大值．。

2023-2024学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3）2．在复平面内，复数z =i−2i的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，b ∈R ，且a ＞b ，则（ ） A ．1a ＜1bB ．tan a ＞tan bC ．3﹣a ＜2﹣bD ．a |a |＞b |b |4．已知双曲线C 的一个焦点是F 1（0，2），渐近线为y =±√3x ，则C 的方程是（ ） A ．x 2−y 23=1B ．x 23−y 2=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=15．已知点O （0，0），点P 满足|PO |＝1．若点A （t ，4），其中t ∈R ，则|P A |的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，∠B ＝60°，b =√7，a ﹣c ＝2，则△ABC 的面积为（ ） A ．3√32B ．3√34 C ．32D ．347．已知函数f(x)=ln1+x1−x，则（ ） A ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴B ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心C ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴D ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心 8．设a →，b →是非零向量，则“|a →|＜|b →|”是“|a →•b →|＜|b →|2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设{a n }是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ．若存在无穷多个正整数k ，使S k ≤0，则q 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．（0，1）10．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A 1B 1C 1D 1E 1F 1．若其中三根柱子AA 1，BB 1，CC 1的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（ ）A ．47mB ．48mC ．49mD ．50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京三中2016—2017学年度第一学期学业测试高三级数学（理科）期中试卷第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．设集合2230M x x x ，12log 0N x x ，则M N 等于（）．A ．(1,1)B ．(0,1)C ．(1,3)D ．(1,0)2．设m ，n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）．A ．若m n ∥，m ∥，则n ∥B ．若，，则∥C ．若m ∥，n ∥，则m n ∥D ．若m ，n ∥，则m n3．设a ，b R ，则“0ab 且a b ”是“11a b ”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．等差数列n a 的前n 项和为n S ，若12a ，312S ，则6a 等于（）．A ．8B ．10C ．12D ．145．设30.2a ，2log 0.3b ，0.32c ，则（）．A ．b c aB ．c b aC ．a b cD ．b a c6．已知向量(1,)a x ，(1,)b x ，若2a b 与b 垂直，则||a （）．A ．2B ．3C ．2D ．47．函数1()sin 2xf x x 在区间0,2π上的零点个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知数列n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数()y f x ，若数列ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”．现有定义在(0,)+上的如下函数：①1()f x x ，②2()f x x ，③()e xf x ，④()f x x ．则为“保比差数列函数”的所有序号为（）．A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题；本大题共6小题，每小题5分，共30分9．tan60的值为__________．10．已知某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为___________．1312俯视图正视图侧视图32111．如图所示，在ABC △中，D 为BC 边上的一点，且2BD DC ．若AC mAB nAD +（,m n R ），则m n __________．C B AD12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，2()6f x x ，则0x 时，()f x 的解析式为__________；不等式()f x x 的解集为___________．13．已知函数6(3)3,7,(),7.x a x f x a x ≤．若数列n a 满足()(*)n a f n n N ，且n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是___________．14．已知集合(,)()Mx y y f x ，若对于任意11(,)x y M ，存在22(,)x y M ，使得12120x x y y +成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1(,)M x y y x ；②(,)e 2x M x y y ；③(,)cos M x y y x ；④(,)ln M x y y x ．其中所有“好集合”的序号是___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）已知函数()2(3cos sin )sin f x x x x ，x R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间．（Ⅱ）求函数()f x 在π0,4上的最大值与最小值．16．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，ACB 为钝角，2AB ，2BC ，π6A ，D 为AC 延长线上一点，且31CD +．DA BC （Ⅰ）求BCD 的大小．（Ⅱ）求BD 的长及ABC △的面积．17．（本题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C 中，1AA 面ABC ，BC AC ，2BC AC ，13AA ，D为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ．（Ⅱ）求二面角1C BD C 的余弦值．（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP 平面1BDC ？请证明你的结论．CBADA 1B 1C 118．（本题满分14分）已知数列n a 的其前n 项和为n S ，且满足2n n S a ，*n N ．（Ⅰ）求n a 的同项公式．（Ⅱ）若数列n b 满足11b ，1n n n b b a ++，求n b 的通项公式．（Ⅲ）设(3)n n c n b ，求数列n c 的前n 项和n T ．19．（本题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x +．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值．（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若函数2()()g x f x x +在1,2上是减函数，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x +++．（Ⅰ）若()f x 在1x 处取得极大值，求实数a 的值．（Ⅱ）若m R ，直线y kx m +都不是曲线()y f x 的切线，求k 的取值范围．（Ⅲ）若1a ，求()f x 在区间0,1上的最大值．。