【优选】课标通用中考数学总复习优化设计第11讲反比例函数课件

第11课时 反比例函数
初中数学
第11讲┃反比例函数
赣 考 解 读
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第11讲┃反比例函数
考 点 聚 焦
考点1 反比例函数的图象及其性质
6 1．对于函数y＝x，下列说法错误的是( C ) A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x>0时，y的值随x的增大而增大 D．当x<0时，y的值随x的增大而减小
图11－2
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第11讲┃反比例函数
(1)先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为 解 析 4 y1＝ x ，再求出B的坐标是(－2，－2)，利用待定系数法求一次函 数的解析式； (2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线 的下方，当x>0时，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例 函数的值x的取值范围为0＜x＜1. (3)过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据坐标与线段的转换可 得出AC，BD的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答 案．
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第11讲┃反比例函数
考点2
反比例函数中k的几何性质
k 1．如图11－1，已知A点是反比例函数y＝ x (k≠0)的图象上一点， 6 AB⊥y轴于点B，且△ABO的面积为3，则k的值为________ ．
图11－1
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第11讲┃反比例函数
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第11讲┃反比例函数
k k (1)∵函数y＝ x 的图象过点A(1，4)，即4＝ ，∴k＝4， 1
解

(2)直接写出使一次函数值大于反比例函数值的 x 的取值范围.
−
解：(1)把点 A (－1， m )， B (n，－1)分别代入 y ＝ ，

−
−
得 m ＝ ，－1＝ .解得 m ＝2， n ＝2.
−

所以点 A 的坐标为(－1，2)，点 B 的坐标为(2，－1).
把点 A (－1，2)， B (2，－1)代入 y ＝ kx ＋ b ，

(1)求 y1＝ 与 y2＝ mx ＋ n 的解析式；


解：∵反比例函数 y1＝ 和一次函数 y2＝ mx ＋ n 的图象相交于点

3
3
A (－3， a )， B (a＋ ，－2)两点，∴ k ＝－3 a ＝－2(a＋ ).
2
2
9
∴ a ＝3.∴点 A (－3，3)， B ( ，－2).∴ k ＝－3×3＝－9.
③在每个象限内， y 随 x 的 ③在每个象限内， y 随 x 的
增大而减小.
增大而增大.
(2) k 的几何意义：
过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两
坐标轴围成的矩形的面积为 .
(3)反比例函数的实际应用：


常见应用问题：电学问题(I＝ )、力学问题(p＝ )、排水问


C. － 6
)
D. －12
典型例题
考查点
反比例函数的综合
2. (2020·广州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
▱
OABC 的边

OC 在 x 轴上，对角线 AC ， OB 交于点 M ，函数 y ＝ (x＞0)的图

象经过点 A (3，4)和点 M .

对角线AC,BD相交于点E,反比例函数y= (x>0)的图象经过点A.

(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个
格点,再画出反比例函数的图象.
(3)将矩形ABCD向左平移,当点E落在这个反比例函
数的图象上时,平移的距离为_________.
19

【自主解答】(1)∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(3,2),
已知抛物线上三点的坐标
选用表达式的形式
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
已知抛物线顶点坐标或对称轴与最 y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)为二次函数的顶点
大(小)值
坐标
已知抛物线与x轴的两个交点的横坐 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为抛物线与x轴
标
交点的横坐标
_________________.
高频考点·释疑难
考点1
10
确定一次函数表达式
【例1】(2024·广州中考)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特
征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和
分析,发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如表:
脚长x(cm)
第十一讲
函数的表达式
必备知识·夯根基
高频考点·释疑难
山东3年真题
必备知识·夯根基
知识要点
1.一次函数表达式
(1)确定正比例函数表达式:将正比例函数图象上原点外的一点坐标(m,n)代入


x
y=kx,可得k=_____,则y=______.

(1)求点 B 的坐标和线段 PB 的长； (2)当∠PDB＝90°时，求反比例函数的解析式．
【考查内容】反比例函数与几何图形的综合，一次函数与反比例函数的交点问 题，待定系数法，相似三角形的判定与性质，勾股定理．
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202X权威 · 预测
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第一部分 教材同步复习
10
(2)作 AD⊥y 轴于 D，AE⊥x 轴于 E，BF⊥x 轴于 F，BG⊥y 轴于 G，AE、BG
交于 H，
则 AD∥BG∥x 轴，AE∥BF∥y 轴，
∴CODC＝AODP，PPFE＝BAFE＝PPAB，
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第一部分 教材同步复习
3
【注意】a.反比例函数的图象是两支双曲线，而且双曲线无限接近于坐标轴，但 永不与坐标轴相交；b.反比例函数的图象位置及图象的曲折程度都与k有关；c.反比 例函数图象的增减性必须强调在每一个分支上比较，不能认为在整个自变量取值范 围内增大(或减小)；d.反比例函数的图象关于原点呈中心对称，即在反比例函数图象 的一支曲线上找一点A(a，b)，那么点A关于原点的对称点A′(－a，－b)也必在该反比 例函数的另一支曲线上；e.反比例函数的图象是轴对称图形，当k＞0或k＜0时，都有 两条对称轴，即y＝x和y＝－x.
的值．
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
(1)设：设所求反比例函数为 y＝kx(k≠0)； (2)列：根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含 k 的方程； (3)解：解方程得待定的系数 k 的值； (4)代：把 k 的值代入反比例函数 y＝kx，得出答案．

则Ｓ＝_____
4
2
P
-5
O
A
5
-2
５。已知反比例函数y =k/x 和一次函数 y=kx+b 的图象都经过点（2，1） （1）分别求出这个函数的解析式 （2）试判断是A（-2， -1）在哪个函数的图象上 （3）求这两个函数的交点坐标
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
y
y
k x
4x(k的＜图0)象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
.
yy1＞1 ＞y20＞y2
y
A
oy1 x2
x
1
y2
B
x
做一做
1.如果反比例函数 y 1的3m图象位于第二、
x
四象限，那么m的范围为
.
m＞
1 3
由1－3m＜0 得－3m＜－ 1
∴
m＞
1 3
做一做
２.如图,点P是反比例函数 y 图2 象上的 x
1的2 图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标是6.
（1）求这个一次函数的解析式 （2）求△POQ的面积
y P
∟
N
∟
oM
x
Q
例 2. 在 压 力 不 变 的 情 况 下 , 某 物 体 承 受 的 压 强 p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其图 象如图所示: (1)求p与S之间的函数关系式; (2)求当S＝0.5m2时物体承受的压强p ; (3)求当p＝2500Pa时物体的受力面积S.
一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
1

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解:(1)把点A(m,1)代入y1=-x+4,得m=3,
(3)双曲线关于原点 对称.
(4)反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形.
2.性质

当k>0时,反比例函数y= (k≠0)的图象分别位于第一、三 象限,

同一个象限内,y随x的增大而减小 ;当k<0时,反比例函数y= (k≠0)
的图象分别位于第二、四 象限,同一个象限内,y随x的增大而增


象交于 A,B 两点的横坐标分别为-3,-1.则关于 x 的不等式 <x+4(x<0)

的解集为(
B )
A.x<-3
C.-1<x<0
B.-3<x<-1
D.x<-3或-1<x<0
2
2.(2016 甘肃兰州)反比例函数 y= 的图象在(

A.第一、二象限
C.第二、三象限
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B.第一、三象限
反比例函数的图象是双曲线,它的两个分支关于原点中心对称;

根据y= (k为常数,k≠0)的图象所在的象限可以确定k的取值范围,反
之,根据k的正负,也可以确定双曲线的位置.
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考法1
考法2
考法3
考法4
考法5
考法6

例2(2018湖南怀化)函数y=kx-3与y= (k≠0)在同一坐标系内的图
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考点一
考点二
考点三
考点四
考点一反比例函数的概念
k
形如y= x (k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数.

(2) 反 比 例 函 数 的 图 象 是 双 曲
线，它有两个分支，可用描点
法画出反比例函数的图象.
2.待定系数法：先设反比例函数 2.若反比例函数 y＝ 的解析式为 y＝kx，再根据条件 kx的图象经过点(4， 代入已知点，从而求出未知数，3)，则 k＝__1_2_____. 写出反比例函数的解析式.
B．难题突破 6．(2020·株洲)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 为矩形，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在函数 y1＝kx(x＞0，k 为常数且 k＞2)的 图象上，边 AB 与函数 y2＝2x(x＞0)的图象交于点 D， 则阴影部分 ODBC 的面积为___k_－__1__．(结果用含 k 的式子表示)
A(6，1)，B(a，－3)两点，连接 OA，OB．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
解：把A(6，1)代入y2＝mx 中，解得m＝6， 所以反比例函数的解析式为y2＝6x； 把B(a，－3)代入y2＝6x，解得a＝－2，
则B(－2，－3)， 把A(6，1)和B(－2，－3)代入y1＝kx＋b， 可得6－k＋2kb＋＝b1＝，－3，解得bk＝＝－12，2， 所以一次函数解析式为y1＝12x－2；
又∵∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF∽△ BDF，
∴OBFF＝DBFF，∴84＝D4F，∴DF＝2， ∴OD＝OF＋DF＝8＋2＝10，∴D(10，0)．
设BD所在直线解析式为y＝k′x＋b(k≠0)， 把B(8，4)，D(10，0)分别代入， 可得810k′k＋′＋b＝ b＝4， 0，解得kb′＝＝2－0，2， 故直线BD的解析式为y＝－2x＋20.
(2)求△AOB 的面积．
解：将x＝0代入y＝x＋1，解得y＝1，则点A的 坐标为(0，1)，

复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
知识考点 02 反比例函数解析式的确定 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是: ( 1) 设所求的反比例函数为 y= x ( k≠0) ; ( 2) 根据已知条件( 自变量与函数的对应值)
k 列出含 k 的方程; ( 3) 求待定系数 k 的值; ( 4) 把 k 值代入函数解析式 y= x . k
当 y=2 时, x=-3, 易知: 直线 AB 为 y=2x+8. ∴C (-4, 0).
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
5 1. (2013·兰州)当 x>0 时, 函数 y=- x 的图象在(
第 十 一 讲
)
A. 第四象限 C. 第二象限
B. 第三象限 D. 第一象限
第 十 二 讲 第 十 三 讲
点 A( 1, m) , B( -2, -1) , 则反比例函数的值大于一次函数的值的 x的取值范围 是 .
【答案】 0<x<1 或 x<-2
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
6 3. (2013·陕西)如果一个正比例函数的图象与反比例函数 y= x 的图象交于
第 十 一 讲 第 十 二 讲 第 十 三 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
反比例函数
课标要求 理解:反比例函数的定义与其解析式. 掌握:反比例函数的图象与性质, 反比例函数中比例系数 k 的几何 意义. 会:运用反比例函数解决实际问题.解答反比例函数与方程及与其 他函数相融合的综合性题目. 高频考点 1.反比例函数的有关概念、解析式.

1.如图,过双曲线上任意一点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线 PM,PN,
所得的矩形 PMON 的面积 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.

∵y=,∴xy=k.
∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线,所得的矩
形面积为|k|.
2.如上图,过双曲线上的任意一点 E 作 EF 垂直于其中一坐标轴,
D.当x<0时,y随着x的增大而增大
No
Image
12/9/2021
第二十四页，共二十四页。

【例4】 如图,若双曲线
(x>0)与边长为5的等边三角形AOB的边
y=

OA,AB分别相交于C,D两点,且OC=3BD,则实数k的值为
.
命题点4
12/9/2021
第十五页，共二十四页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
命题点4
命题点5
命题点6
解析:如图,过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E,过点 D 作 DF⊥x 轴于点
6
2
交双曲线 y=-和 y=于 A,B 两点,P 是 x 轴上任意一点,则△ABP 的面
积等于
.
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第十二页，共二十四页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
命题点4
命题点5
命题点6
解析:(方法一)设直线l交y轴于点C,如图,连接PC,OA,OB.
(2)观察图象,请指出在y轴的右侧,当y1>y2时,x的取值范围.

B
A. B. C. D.
4.（北师大九上P155随堂练习第1题改编）若点 ， 在反比例函数 的图象上，则 ___ .（填“ ”“ ”或“ ”）
2
3
3
B
A.2 B. C.1 D.
知识点二 反比例函数的图象与性质
表达式
为常数，且
的取值范围
图象
பைடு நூலகம்
图象特征
由分别位于两个象限的曲线组成，图象无限接近坐标轴，但都不会与坐标轴相交
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，函数 的值随 的增大而______
（1）分别求出图中 段、 段和 段所对应的函数解析式.
解：停止加热时，设 .由题意得 ，解得 . .当 时，解得 . 点 的坐标为 . 点 的坐标为 .
轴、 轴
回归教材：1.（人教九下P3练习第1题改编）近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为 ，则 关于 的函数解析式为( )
C
A. B. C. D.
2.（北师大九上P150“做一做”第3题改编）已知 是 的反比例函数，下表给出了 与 的一些值，表中“ ”处的数为( )
在每个象限内，函数 的值随 的增大而______
对称性
图象既是轴对称图形，对称轴为直线 ，又是中心对称图形，对称中心为原点
易错警示：反比例函数的图象不是连续曲线，而是两条分布在不同象限的曲线，讨论反比例函数的增减性时，要结合函数图象所在的象限.
减小
增大
续表
回归教材：3.（人教九下P9习题26.1第8题改编）在同一直角坐标系中，函数 和 的图象大致是( )
方法指导 此题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键.解答时要仔细观察表格中的数据，得出函数类型，从而得出函数解析式，进而解决问题.