《信号与系统》电子教案-ch3-5

↔ 2πδ (ω − ω 0 )
同理
sin ω 0 t ↔ − jπ δ (ω − ω 0 ) + jπ δ (ω + ω 0 )
频谱图
cos ω 0 t ↔ π [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω − ω 0 )] cos ω 0 t 频谱图 :
(π) F (ω ) (π)
− ω0
O
ω0
ω
则
f ( t )e jω 0 t ↔ F (ω − ω 0 ) ⎫ ⎪ ⎬ − jω 0 t ↔ F (ω + ω 0 )⎪ f ( t )e ⎭
ω 0为常数，注意 ± 号
复
七．微分性质
时域微分性 频域微分性
习
f ( t ) ↔ F (ω )，则 f ′( t ) ↔ jωF (ω )
若 f ( t ) ↔ F (ω ), 则 tf ( t ) ↔ j
∞ −∞
主要内容
•正弦信号的傅里叶变换 •一般周期信号的傅里叶变换 •如何由F0(ω)求F(nω1) •单位冲激序列的傅氏变换 •周期矩形脉冲序列的傅氏变换
引言
周期信号：
f (t ) ↔ 傅里叶级数 − F (nω 1 ) 离散谱
非周期信号：
f (t ) ↔ 傅里叶变换 − F (ω ) 连续谱
2 2
⎞ ⎟，求 f (t ) = f1 (t ) ∗ f1 (t )的 ⎠
2 ⎛ ωτ
⎞ F [ f (t )] = F1 (ω ) ⋅ F1 (ω ) = E τ Sa ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
f1 (t ) E
Eτ
F1 (ω )
−
τ
2
E 2τ
O
τ
2
t
−
2π 0
2π
4π
ω
τ
2 2
τ
F (ω )
τ
f1 (t ) ∗ f1 (t )
( 2)
F0 (ω ) = ∫
T 2 T − 2
f 0 (t )e − jωt d t
(1)
∞ ⎧ f T (t ) = ∑ F (nω 1 )e j nω 1t ⎪ n = −∞ ⎪ ⎨ 1 T ⎪ F (nω ) = 2 f T (t )e − j nω 1t d t T 1 ⎪ T1 ∫− 2 ⎩
∫
T1
0
f (t ) e − j nω1t d t
非周期信号的傅立叶变 换 f (t ) ↔ F (ω ) 1 ∞ f (t ) = F (ω )e jω t d ω = F −1 [F (ω )] 2π ∫−∞ F (ω ) = ∫ f (t )e− jω t d t = F [ f (t )] — —频谱密度函数
E τ
−τ
O
τ
t
−
2π o
2π
ω
τ
τ
2、求
∫
t
−∞
f (τ ) d τ 的傅立叶变换。
∞
∫
t
−∞
f (τ ) d τ = ∫
−∞
f (τ )u(t − τ ) d τ = f (t ) ∗ u(t )
∫
t
−∞
⎡ 1 ⎤ F (ω ) f (τ ) d τ ↔ F (ω ) ⋅ ⎢πδ (ω ) + ⎥ = πF (0 )δ (ω ) + jω jω ⎦ ⎣
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
⎧周期 ⎫ f (t )⎨ ⎬统一的分析方法：傅里 叶变换 ⎩非周期 ⎭
一．正弦信号的傅里叶变换
由欧拉公式
1 jω 0 t cos ω 0 t = e + e − jω 0 t 2 1 jω 0 t e − e − jω 0 t sin ω 0 t = 2j
f T (t )
T − 2
o
T 2
t
−T
T 2 T − 2
o
T
t
设 f 0 (t ) ↔ F0 (ω )
F0 (ω ) = ∫
f 0 (t )e − jωt d t
(1)
∞ ⎧ f T (t ) = ∑ F (nω 1 )e j nω 1t ⎪ n = −∞ ⎪ ⎨ 1 T ⎪ F (nω ) = 2 f T (t )e − j nω 1t d t T 1 ⎪ T1 ∫− 2 ⎩
(
)
方法二：用频域卷积定理
将 f (t ) 看成是信号 (1 + cos t ) 经过窗函数 G2π (t ) 的截取， 即时域中两信号相乘
f ( t ) = (1 + cos t )G2π ( t )
根据频域卷积定理 1 F (ω) = F [1 + cos t ]∗ F [G2π (t )] 2π
时间函数的乘积 ↔ 各频谱函数卷积的 1 2π 倍。
卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在 通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
二．应用
1、用时域卷积定理求频谱密度函数。 2、求
∫
t
−∞
f (τ ) d τ 的傅立叶变换。
3、求系统的响应。
例3-8-1
⎛ ωτ 已知 f1 ( t ) ↔ Eτ Sa⎜ ⎝ 2 频谱密度函数 F (ω )。
(2) 谱线的幅度不是有限值 , 因为F (ω )表示的是频谱密度。 周期信号的 F (ω )只存在于 ω = nω 1处,
频率范围无限小 , 幅度为 ∞。
三．如何由F0 (ω )求F (nω 1 )
即单个脉冲的 F0 (ω )与周期信号 f T (t )的谱系数 F (nω 1 )的关系
f 0 (t )
( 2)
比较式(1),(2)
ω
f 0 (t )
↔ ↔
nω 1
f T (t )
1 ⎛ T T⎞ 在⎜ − , ⎟内f 0 (t )与f T (t )相同 所以F (nω 1 ) = F0 (ω ) ω = nω 1 T1 ⎝ 2 2⎠ 可由 F0 (ω )求周期函数 f T (t ) 的谱系数 F (nω 1 )
f1 (τ ) f 2 (t − τ ) d τ
因此
⎡ ∞ f (τ ) f (t − τ ) d τ ⎤e − jω t d t F [ f 1 (t ) ∗ f 2 (t )] = ∫−∞ ⎢ ∫−∞ 1 2 ⎥ ⎣ ⎦ 交换积分
∞
=∫
∞
−∞
⎡ ∞ f (t − τ )e − jωt d t ⎤ d τ f 1 (τ ) ∫ 2 ⎢ −∞ ⎥ ⎣ ⎦
利用频移性质：由于 f ( t ) = (1 + cos t )G2π ( t ) 利用欧拉公式，将 (1 + cos t ) 化为虚指数信号， f (t ) 就可以看成是门函数 G2π (t ) 被虚指数信号调制的 结果。在频域上，就相当于对 G2π (t ) 的频谱进行平移。
f ( t ) = (1 + cos t )G2π ( t ) 1 jt 1 −jt ⎞ ⎛ = ⎜ 1 + e + e ⎟G2π ( t ) 2 2 ⎝ ⎠
sin ω 0 t ↔ − jπ δ (ω − ω 0 ) + jπ δ (ω + ω 0 )
sin ω 0 t 频谱图 :
− ω0
F (ω ) (π)
o
ω0
ω
(-π)
二．一般周期信号的傅里叶变换
设信号周期 : T1 = 2π
ω1
由傅里叶级数的指数形式出发： f T (t ) = 其傅氏变换(用定义)
复
一．对称性质
若f ( t ) ↔ F (ω ) 若f (t )为偶函数
习
则F (t ) ↔ 2π f (− ω ) 则F (t ) ↔ 2π f (ω )
二．线性性质
若f1 ( t ) ↔ F1 (ω ) , f 2 ( t ) ↔ F2 (ω )
则c1 f 1 ( t ) + c2 f 2 ( t ) ↔ c1 F1 (ω ) + c 2 F2 (ω )
(
) )
(
已知 由频移性质
1⋅ e
1 ↔ 2π δ (ω )
jω 0 t
1 ⋅ e − jω 0 t ↔ 2πδ (ω + ω 0 )
1 ∴ cos ω 0 t ↔ [2π δ (ω − ω 0 ) + 2π δ (ω + ω 0 )] = π δ (ω + ω 0 ) + π δ (ω − ω 0 ) 2
2 sinπ ω 1 [2π δ (ω) + π δ (ω − 1) + π δ (ω + 1)] ∗ = ω 2π
2 sinπ ω =− ω ω2 − 1
(
)
§3.9 周期信号的傅里叶变换
复
周期信号的傅立叶级数
f (t ) =
n = −∞ ∞
习
F ( nω1 ) e j nω1t ∑
1 F (nω1 ) = T
复
五．时移特性
习
若f ( t ) ↔ F (ω ), 则f ( t − t 0 ) ↔ F (ω )e − jωt0 ;
若F (ω ) = F (ω ) e jϕ (ω ) 则f ( t − t 0 ) ↔ F (ω ) ⋅ e j[ϕ (ω )−ω t0 ]
六．频移特性
若 f ( t ) ↔ F (ω )
FT (ω ) = F [ f T (t )]
n = −∞
F (nω 1 )e jnω 1t ∑
∞
⎤ ∞ ⎡∞ = F ⎢ ∑ F (nω 1 )e j nω 1t ⎥ = ∑ F (nω 1 )F e j nω 1t ⎦ −∞ ⎣ −∞ = ∑ F (nω 1 ) ⋅ 2π δ (ω − nω 1 )