2015厦门质检 福建省厦门市2015届高三上学期期末质量检测数学(理)试题

厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：V Sh =柱.其中S 为底面面积，h 为高．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．设集合{}|20A x x =+>，|B x y ⎧==⎨⎩,则A B = A ．{|2}x x >- B ． {|3}x x < C ．{|32}x x x ><-或 D ． {|23}x x -<< 2. 已知命题:p 0x R ∃∈，01sin 2x ≥，则p ⌝是 A ．1,sin 2x R x ∀∈≤B ．1,sin 2x R x ∀∈< C ．001,sin 2x R x ∃∈≤D ．001,sin 2x R x ∃∈< 3.已知向量()1a m,= ,()22b m ,= ,+0a b λ= 则m =A. 0B. 2C. 0或2D. 0-2或 4.曲线23y x =与直线1,2x x ==及x 轴所围成的封闭图形的面积是 A. 1 B.3 C. 7 D. 85.函数()sin y x x x R =+∈的图象的一条对称轴经过点A. ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,6π C. 03,π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,3π 6. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是 A ．若,//l m αα⊥，则l m ⊥ B. 若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ C ．若//,l m m α⊂，则//l α D ．若//,//l m αα，则l // m 7.等差数列{}n a 中，3a 和9a 是方程2160x x c -+=(64)c <的两实根， 则该数列前11项和11S =A ．58B ．88C ．143D ．1768.在直角坐标系中，函数()1 sinf x xx=-A9 . 椭圆2:13Ea+=的右焦点为F B两点.若△FAB周长的最大值是8，则m的值为A. 0B.1C.D. 210. 设函数[]35211*()(1),(0,1,)3!5!(21)!nnnx x xf x x x n Nn--=-+-+-∈∈-，则A.23()sin()f x x f x≤≤ B.32()sin()f x x f x≤≤C. 23sin()()x f x f x≤≤ D.23()()sinf x f x x≤≤第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11.已知sin2cosαα=,则tan4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.12.三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于_____.13. 已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的渐近线与圆22(5)9x y-+=相切，则双曲线C的离心率为.14.已知数列{}n a中，13a=，()130nn na ab b++=>，*n N∈.①当1b =时，712S =； ②存在R λ∈,数列{}nn a bλ-成等比数列；③当()1b ,∈+∞时，数列{}2n a 是递增数列； ④当()01b ,∈时， 数列{}n a 是递增数列.以上命题为真命题的是 （写出所有真命题对应的序号）.（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案．．．．．．．．．．．．．．，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分． 15. （1）（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111A -⎛⎫=⎪⎝⎭，且103xA y -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则x y +=___________. （2）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为cos 1ρθ=，圆C 的参数方程为:22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则圆心C 到直线的距离等于_____________(3)（选修4-5：不等式选讲）已知,x y R +∈且22x y +=的最大值等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题12分） 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点（0，12）,且相邻两条对称轴间的距离为2π. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1cos 22A f A ()-=， 且1,3bc b c =+=，求a 的值. 17. （本小题12分）如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线交于点O, DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证：AC ⊥ BE ；(Ⅱ)若120o ADC ∠=，2DE =，BE 上一点F 满足//OF DE求直线AF 与平面BCE 所成角的正弦值.A18. （本小题12分）已知梯形OABC 中，21OA OC AB ===,OC //AB ，3π=∠AOC ,设OA OM λ=,μ=()00,λμ>>, ()12OG OM ON =+,如图： (Ⅰ)当1124,λμ==时，点O,G,B 是否共线，请说明理由； (Ⅱ) 若OMN ∆,求OG 的最小值.19. （本小题13分）营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）.某学校食堂提供的伙食以食物A 和食物B 为主， 1千克食物A 含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元； 1千克食物B 含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元.(Ⅰ)如果某学生只吃食物A ，他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；(Ⅱ) 根据营养学家的建议，同时使得花费最低，学生每天需要同时吃食物A 和食物B 各多少千克.20. （本小题13分）已知抛物线E :x y 42=,点(),0F a ，直线:,l x a =-，0a >，且a 为常数. (Ⅰ) 当1a =时，P 为直线l 上的点,R 是线段PF 与y 轴的交点.若点Q 满足:,RQ FP PQ l ⊥⊥,判断点Q 是否在抛物线E 上，并说明理由；(Ⅱ)过点F 的直线交抛物线E 于A,B 两点, 直线OA ,OB 分别与直线x a =-交于M ,N 两点.，求证：以MN 为直径的圆恒过定点并求定点的坐标.21. （本小题14分）设函数()*()ln 1,2,1n f x ax x n N n a =--∈≥> .（Ⅰ）当2a =，2n =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个零点12x ,x .(i)求a 的取值范围； (ii)求证：2212n x x e->（e 为自然对数的底数）.厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测（理科）试题参考答案及评分标准二、填空题：三、解答题： 16．（本小题满分12分）本题主要考查三角函数的对称性、周期性与单调性，两角和与差的正弦公式及余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想与数形结合思想． 解：（Ⅰ）由()f x 的图象过点（0，12），得1sin 2ϕ= 又02πϕ<<，6πϕ∴=……………………………………………………………….………1分由相邻两条对称轴间的距离为2π，知()f x 的周期T=π…………………………………….2分 则2ππω=，2ω∴=……………………………………………………………………………3分()sin(2)6f x x π∴=+…………………………………………………………………………4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，………………………………………………..….5分得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈…………………………………………..….6分（Ⅱ）由1cos 22A f A ()-=，可得1sin()cos 62A A π+-=11cos cos 22A A A +-=11cos 22A A -=…………………………..…7分 化简得，1sin()62A π-=………………………………………………………………………8分50,666A A ππππ<<∴-<-<……………………………………………………….……9分66A ππ∴-=，即3A π=………………………………………………………….………….10分又bc =1，b+c=3，据余弦定理可得22222cos ()36a b c bc A b c bc =+-=+-= …………………………………………….11分a ∴=…………………………………………………………………………………..…..12分17．（本小题满分12分）本题考查空间线面位置关系以及利用空间向量这一工具解决立体几何中有关长度、角度、垂直、平行问题的能力.考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了转化与化归思想以及方程思想的应用能力. (Ⅰ)证明：,DE ABCD AC ABCD ⊥⊂平面平面， DE AC ∴⊥ …………….……..…….1分四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，……………………………………………………..2分 又DEBD D =，E AC BD ∴⊥平面 ，……………………………………………..…… 4分BE BDE ⊂平面，∴AC BE ⊥ …………………5分（Ⅱ）（解法一）,//DE ABCD OF DE ⊥平面 ，O F A B C D ∴⊥平面，以O 为原点，以,,OA OB OF 分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：………………………………………….…6分依题意可得(0,1,0),((0,1,2),(0,0,1)A B C E F -，(AF =，(1,0)BC =-，(0,1,1)BF =-, …………………………………7分设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则0n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩………………8分取(1,3,n =- ,……………………………………………………………………...……9分则2cos ,7||||AF n AF n AF n ⋅-<>===, ………………………………………….…11分 设直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则21sin |cos ,|AF n θ=<>=12分 (Ⅱ)（解法二）,//DE ABCD OF DE ⊥平面，OF ABCD ∴⊥平面，..6分由题意可得 112O F D E ==，AO OC ==1BO OD ==，..……7分xABE CE ==……………………………………….……8分2AF ==，212BCE S BC ∆==………………………………………………….…9分 连接AE ，设点A 到平面BCE 的距离为d ,A BCE E ABC V V --=，即1111(1)23332BCE ABC S d S DE ∆∆⋅=⋅=⨯⨯⨯ ,解得7d = ，………….…11分 所以直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin d AF θ==. ………………..……12分 18．（本小题满分12分）本题考查平面向量基本定理、几何性质、模与数量积的运算，以及基本不等式等知识的综合应用，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法.解法一：(Ⅰ)当11,24λμ== 时，12OB OA AB OA OC =+=+………………………….…..2分 （或：依题意2,//OC AB OC AB =12OB OC OA ∴=+ )111111()()()222442OG OM ON OA OC OA OC =+=+=+..3 4O B O G ∴=…………………………………………….……...4分//OB OG ∴……………………………………………………..5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………..6分 (Ⅱ) 1sin 23OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= ………………………………8分 ()()1122OG OM ON OA OC λμ=+=+ ()22222124OG OA OC OC OA λμλμ=++⋅…………………………..……………………..9分 ()2222112cos 434πλμλμλμλμ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭……………………………………10分33416λμ≥=……………………………………….…...11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43 …………………………….…….12分 解法二：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系…………….…..1分(Ⅰ)15(0,0),(1,0),((,24O A C B ………………….………….…2分54OB ⎛∴= ⎝⎭()()111111151,0,,222448221616OG OM ON OA OC ⎛⎫⎛⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………3分 4OB OG ∴=……..………………………………………………………………………………4分 //OB OG ∴……………………………………………………………………………………….5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………………………………………….6分(Ⅱ) 1sin 23416OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= …………………….……….8分()12,0,24M N G λμλμμμ⎛⎫⎛⎫+∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………….…….……9分=()22222144λμμλμλμ⎫+⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………………….…..……10分 33416λμ≥= …………………………………………….…11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43…………………………..………12分19．（本小题满分13分）本题主要考查二元一次不等式（组）的区域表示，线性规划问题等相关概念，考查学生应用线性规划思想解决实际生活问题的能力以及数据处理能力，同时考查了数形结合、转化与化归等数学思想方法.解：(Ⅰ) 如果学生只吃食物A ，则当蛋白质摄入量在[60，90]（单位：克）时，则食物A 的重量在[1，1.5] （单位：千克），其相应的脂肪摄入量在[9，13.5] （单位：克），不符合营养学家的建议；……………………….2分 当脂肪摄入量在[9，27] （单位：克）时，则食物A 的重量在[2，3] （单位：千克），相应的 蛋白质摄入量在[120，180] （单位：克），不符合营养学家的建议. ………………………….4分 (Ⅱ)设学生每天吃x 千克食物A ，y 千克食物B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0272791890306060y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0332322y x y x y x ，分作出其相应的可行域，如图阴影部分所示…....8分 每天的伙食费为2015z x y =+……..………….9分由⎩⎨⎧=+=+2322y x y x 解得42(,)55M作直线0:20150l x y +=，平移0l 过点M 时，z 有最小值………………………………………………………………………………………..10分所以min 4220152255z =⨯+⨯=………………………………………………….………….…12分所以学生每天吃0.8千克食物A ，0.4千克食物B ，既能符合营养学家的标准又花费最少.………………………………………………………13分20．（本小题满分13分）本题主要考查抛物线的定义和几何性质、直线的方程、圆的方程等基本知识.本题通过用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查学生运算求解能力以及应用解析几何知识解决问题的能力.考查数形结合思想与方程思想等数学思想.(Ⅰ)解法一:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线1分因为O 点为FC 的中点且O R ∥PC,所以R 点为线段PF 的中点.又因为R Q ⊥PF,所以QR 为PF 的垂直平分线,可知PQ=QF. ………4分根据抛物线定义,Q 点在抛物线E :x y 42=上,如图所示. ………5分解法二:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线 设P 点坐标为(0,1y -),则直线PF 的方程为)1(210--=x y y ……………………….……….2分 R 点坐标(0,021y ),直线RQ 的方程为00212y x y y +=…………………………….…………..3分 又直线PQ 的方程为0y y =.故Q 点坐标为),41(020y y ………………………………………….4分 把Q 点代入x y 42=,满足方程,即Q 点在抛物线E :x y 42=上………………………….……5分 (Ⅱ)解法一: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .①当直线AB 的斜率不存在时,设直线AB 的方程为a x =,求得)2,(a a A ,)2,(a a B -)2,(),2,(a a N a a M ---,显然以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………………..………6分 ②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为)(a x k y -=,代入x y 42= 得0)42(22222=++-k a x ak x k .设)2,(11x x A )2,(22x x B -由韦达定理得2212221,42a x x kak x x =+=+………….……7分 又求得212,2x K x K OB OA -==.故直线OA 的方程:x x y 12=,直线OB 的方程:x x y 22-= ………………………………8分得到)2,(),2,(12x a a N x a a M ---………………………………………………………………..9分由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=, …………………………………………………..………………………….10分 求得),2,(2x a m a ---=)2,(1x a m a --=代入上式得…………………..………11分04)(2122=-+x x a m a ,⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).……………………….………13分 解法二: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(221y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………………7分 又求得214,4y K y K OB OA ==.故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= …………………….………………8分 得到)4,(),4,(21y aa N y a a M ----…………………………………………………………….……9分 由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=,………………………………………………………………………….……….10分 求得),4,(1y a m a ---=)4,(2y am a ---=.代入上式得………………………………11分016)(2122=++y y a m a ⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..………….………13分解法三: 设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(222y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………..………6分又求得214,4y K y K OB OA ==. 故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= ………………………….….………7分 得到)4,(),4,(21y a a N y a a M ----……………………………………………………….………8分 以MN 为直径的圆的圆心(a -,)22(21y a y a +-),半径|22|21y ay a r -=…………….……………9分 故圆的方程2212212)22()22()(y a y a y a y a y a x -=++++ 化简得016)(4)(212212122=+++++y y a y y y y a y a x ……………………………………………11分由韦达定理结论可得04)(422=-+++a y a x yt满足题目要求只须对于任意非零实数t 上式恒成立.解得⎩⎨⎧=--=02y a a x ,⎩⎨⎧=-=02y a a x .故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..……………….13分 21．（本小题满分14分）本题考查函数与导数的基础知识、导数的应用、方程的解及不等式证明等问题，考查运算求解能力，考查了分类与整合、化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想． （Ⅰ）依题意得：由已知得()0x ,∈+∞，2,2n a ==，21144122()x x x f x x x⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭'∴== ………………………………………….……… 1分令 ()0f x '>，得12x >；令()0f x '<，得102x <<, …………………..………………… 2分则函数()f x 在102,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，…………………………..… 3分11ln 222f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值,且无极大值..………………….………………..…4分（Ⅱ）(i)11()n f x nax x -'=-，1a >，令11()010n n f x nax nax x -'=-=⇒-=，设0x =，…………..………………..…… 5分函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x ,+∞上单调递增，函数()f x 存在两个零点，∴函数的最小值0()0f x <，………………….…………….… 6分则()0111()1ln 1f x a na na n n=⋅-=+-， 即()11ln 10na n n +-<，111n a e n-∴<<，…………………………………………...……… 7分 又11n n na ee-+<<，111n nn e na +-⎛⎫> ⎪⎝⎭　， 111+10nn n n n n f e a e n ++--⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝， (8)分011nx na=<，且1a >，()110f a ∴=->， 根据零点存在性定理可知()f x 在()00x ，和()0,x +∞各有一个零点………………………..…9分（ii ）解法一：不妨设1x >2x ,依题意得：1122ln 1...........ln 1..........n n ax x ax x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②，①-②得：()1212ln ln n na x x x x -=-，①+②得：()()1212ln 2nn a xx x x +=+，…………………………………………..……… 10分又1212ln ln n nx x a x x -=-，()()()12121212ln ln ln 2n nn nx x x x x x x x -+∴+=-，设121x t x =>，()12ln x x ∴=()1ln 21n n t t t +⋅--，……………………………… …………..… 11分 欲证2212n x x e ->，只要证：()122ln 2x x n >-，即证：()12ln 1n n t t t n+⋅>-，……………… 12分即证：21ln 1n n t t n t ->⋅+，设()()21ln 11n n t g t t t n t -=-⋅>+，()()()()()()2212221411220111nnnn n n n t t t ntg t t n t t t t t -+--'=-⋅==>+++， ()g t ∴ 在()1,+∞上递增，()()10g t g ∴>= ， ……………………………..…....… 13分21ln 1n n t t n t -∴>⋅+， ()12ln 1n n t t t n+∴⋅>- ，2212nx x e-∴> …………………………………………………..… 14分。

厦门市2015年高三质量检查语文试题（满分：150分考试时间：150分钟）1．考生请将自己的姓名、准考证号及所有答案填写在答题卡上。

2．答题要求，请见答题卡上的“注意事项”。

一、古代诗文阅读（27分）（一）默写常见的名句名篇（6分）1．补写出下列名句名篇中的空缺部分。

（6分）（1）秋风萧瑟，。

（曹操《观沧海》）（2），形影相吊。

（李密《陈情表》）（3）闻道有先后，，如是而已。

（韩愈《师说》）（4）间关莺语花底滑，。

（白居易《琵琶行》）（5），望帝春心托杜鹃。

（李商隐《锦瑟》）（6）余立侍左右，援疑质理，。

（宋濂《送东阳马生序》）（二）文言文阅读（15分）阅读下面的文言文，完成2～5题。

秦欲伐齐，齐、楚之交善，惠王患之。

张仪曰：“王其为臣约车并币，臣请试之。

”张仪南见楚王，曰：“弊邑之王所说甚者，无大大王；唯仪之所甚愿为臣者，亦无大大王。

弊邑之王所甚憎者，无大齐王；唯仪甚憎者，亦无大齐王。

今弊邑欲伐之，而大国与之欢，是以弊邑之王不得事令，而仪不得为臣也。

大王苟能闭关绝齐，臣请使秦王献商、於之地，方六百里。

若此，齐必弱，齐弱则必为王役矣。

则是北弱齐，西德于秦，而私商、於之地以为利也，则此一计而三利俱至。

”楚王大说，宣言之于朝廷，曰：“不谷①得商、於之田，方六百里。

”群臣闻见者毕贺，陈轸后见，独不贺。

陈轸曰：“臣见商、於之地不可得，而患必至也，故不敢妄贺。

”楚王曰：“何也？”对曰：“夫秦所以重王者，以王有齐也。

今地未可得而齐先绝，是楚孤也，秦又何重孤国？且先出地后绝齐秦计必弗为也先绝齐后责地且必受欺于张仪。

受欺于张仪，王必惋之。

是西生秦患，北绝齐交，则两国兵必至矣。

”楚王不听，曰：“吾事善矣！子其弭口无言，以待吾事。

”楚王使人绝齐，使者未来，又重绝之。

张仪反，秦使人使齐，齐、秦之交阴合。

楚因使一将军受地于秦。

张仪至，称病不朝。

楚王曰：“张子以寡人不绝齐乎？”乃使勇士往詈齐王。

张仪知楚绝齐也，乃出见使者曰：“从某至某，广从六里。

厦门市2014-2015学年度第一学期高三年级质量检测数学(文科)试题注意事项：1. 本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2. 本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：锥体体积公式：=-Sh,其中S 为底面面积，力为高.第I 卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案 是正确的.1.已知集合A = {0丄2},集合B = {xlx-2<0},则AC\B =A. {0,1}B. {0,2}C. {1,2} A. 23.函数/(x)是定义在/?上的奇函数，当兀>0时,/(x) = x 2+l,则/(-I)等于A. 1B. -1C. 2D. -2 4.若 a G (―,/r), sin(^-6r) = -,贝ij tan a - 25 4 4 小 3 小 3 A.—— B.- — C.—— D. 一 3 3 x W 0. x +y ^0, 4 4 5.若关于兀,y 的不等式组也7 + 1=0,表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图，在棱长为1的正方体ABC/)-A l B ]C l D l 中，E 是棱BC 上的一点, 则三棱锥D- BGE 的体积等于1 亦 小能 1A ・一B ・ ----C ・ -------D ・ 一 3 12 6 62 2 _7. 过双曲线C : —-^- = 1的左焦点作倾斜角为兰的直线/,贝怕线/与双曲线C 的交点情况是 4 9 6D. {0,1,2}2.向量tz = (l,m), b = (2,-4)若a = AbU 为实数)，则加的值为第6题图A.没有交点B.只有一•个交点C.两个交点都在左支上D.两个交点分别在左、右支上8.已知加w/?, “函数丁=2"+加一1有零点”是"函数y = log//?x在(0,+oo)上为减函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必耍条件9. 如图，网格纸上小止方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面 体最长的棱的长度等于A. V34B. V41C. 5A /2D. 2届10. 已知函数/•⑴的导函数广⑴的图象如图所示,/(-!) = /(2) = 3,令g(x) = (x-V)f(x),则不等式g(x) > 3x-3的解集是A. [-1,1]U[2,+00)B. (-8,-1]U[1,2]C. (—00, —1]U[2, +oo)D. [—1,2] 第II 卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的相应位置. 11・抛物线y 2 = 4x 的准线方程是 ________________________________ ・7T 7T12.将函数/(x) = cosx 的图彖向右平移一个单位，得到函数y = g(x)的图彖，则 6213.函数y = x + —(x>I)的最小值是 _________________ x-1a -1 数列｛%｝屮，6/,=-,勺+严 一，则该数列的前22项和等于 2 色 如图，正方形ABCD 屮，AB = 2, DE = EC.若F 是线段BC±的一个动点，则正•乔 的最人值是 _________________ .点P(x, y)在直线丁 =也+ 2上，记卩=兀| +卜若使T 取得垠小值的点P 冇无数个,则实数R 的収值是 ___________ • 三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17.(本小题满分12分)数列｛%｝中，坷=一1, a 4 = 8 . •(I )若数列｛%｝为等比数列,求吗的值;(II)若数列｛%｝为等差数列，其询〃项和为S”.已知S”=%+6,求刃的值.14. 15. i 第9题图18.(本小题满分12分)2 2 已知圆M：(I 2)24- /= 16,椭圆C： 1+匚=1(。

2015-2016学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（0，1）2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），x=x0﹣1”的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），x2≠x﹣1B．∀x∈（0，+∞），x2=x﹣1C．∃x0∉（0，+∞），x≠x0﹣1D．∃x0∈（0，+∞），x≠x0﹣13．（5分）已知数列{a n}满足a4=23，a n+1=2a n+1，则a2等于（）A．5B．C．6D．4．（5分）已知向量=（1，0，1），=（0，﹣1，﹣1），则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若＜＜0，则ab＜b2D．若＞，则a＞b6．（5分）命题p“若sinα=，则α=30°；命题q：若点（m，n）在直线x+y+1=0的上方，则m+n+1＞0，下列命题是真命题的是（）A．p∨￢q B．￢p∧q C．￢q∧￢q D．p∧q7．（5分）△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=x+y+z，则x+y+z等于（）A．3B．2C．D．19．（5分）已知直线l：+=1（a＞0，b＞0），直线l过点P（1，4），则a+b的最小值是（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知正项等比数列{a n}，其前n项和为S n，a k﹣1=2，a k•a k+2=a=64，则S10等于（）A．410﹣1B．C．210﹣1D．11．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，E为线段A1C上的动点，则满足ED⊥ED1的点E的个数为（）A．0B．1C．2D．无数个12．（5分）已知点F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作直线l与双曲线C相交于A，B两点，若满足|AB|=2的直线l有且仅有两条，则双曲线C的方程可以是（）A．x2﹣4y2=1B．x2﹣=1C．2x2﹣2y2=1D．x2﹣y2=1二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）若“x2+x﹣2≤0”是“x≤k”的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（5分）已知点P（0，1）到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为．15．（5分）如图，某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB的大小为45°，山脚P到山顶A的直线距离为2km，在A处测得山顶B的仰角为30°，则乙山的高度为km．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且a n+1=λS n﹣S n+1，其中λ是常数，若{a n}是递增数列，则λ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a7=22，S4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．（12分）在△ABC中，AB=4，AC=6，cosB=．（Ⅰ）求△ABC面积；（Ⅱ）求AC边上的中线BD的长度．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=2，AC=2，BC=2，AA1=2，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n 的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．21．（12分）甲、乙两个粮库要项A，B量诊运送大米，已知甲库将调出100吨大米，乙库将调出80吨大米，A镇至少需要60吨大米，B镇至少需要100吨大米，且甲往B镇运送大米的吨数不少于乙往A镇运送大米的吨数的2倍，两库到两镇运费如表（其中a为常数，＜a＜2）．运费（元/吨）甲库乙库A镇240+10a180 B镇260210为了满足上述要求，同时使总运费最省，试问甲、乙粮库应运往A镇各多少吨大米？22．（12分）如图，已知F1（0，﹣1），F2（0，1）为椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F1作两条倾斜角互补的直线l1，l2，l1，l2分别与椭圆Γ相交于A，B，C，D四点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）求阴影部分S的最大值；（Ⅲ）求证：直线AD与直线BC的交点是定点．2015-2016学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（0，1）【解答】解：根据抛物线的定义可得，x2=2y的焦点坐标（0，）故选：B．2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），x=x0﹣1”的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），x2≠x﹣1B．∀x∈（0，+∞），x2=x﹣1C．∃x0∉（0，+∞），x≠x0﹣1D．∃x0∈（0，+∞），x≠x0﹣1【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定是全称命题，则命题的否定是：∀x∈（0，+∞），x2≠x﹣1，故选：A．3．（5分）已知数列{a n}满足a4=23，a n+1=2a n+1，则a2等于（）A．5B．C．6D．【解答】解：∵a4=23，a n+1=2a n+1，∴a4=2a3+1=23，解得a3=11；∴11=a3=2a2+1，解得a2=5．故选：A．4．（5分）已知向量=（1，0，1），=（0，﹣1，﹣1），则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：||=，||=，=﹣1．∴cos＜＞==﹣．∴与的夹角为120°．故选：C．5．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若＜＜0，则ab＜b2D．若＞，则a＞b【解答】解：对于A：令a=2，b=0，c=1，d=﹣2，不成立；对于B：令a=2，b=﹣1，c=﹣1，d=﹣3，不成立；对于C：若＜＜0，则b＜a＜0，∴ab＜b2，故C正确；对于D：若＞，a（a﹣1）＜0时，ab﹣b＜ab﹣a，则﹣b＜﹣a，则a＜b，不成立；故选：C．6．（5分）命题p“若sinα=，则α=30°；命题q：若点（m，n）在直线x+y+1=0的上方，则m+n+1＞0，下列命题是真命题的是（）A．p∨￢q B．￢p∧q C．￢q∧￢q D．p∧q【解答】解：命题p“若sinα=，则α=30°，是假命题；命题q：若点（m，n）在直线x+y+1=0的上方，则m+n+1＞0，是真命题；故￢p∧q∧真命题，故选：B．7．（5分）△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：由题意可得2b•cosB=a•cosC+c•cosA，再利用正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，∴sin2B=sin（A+C），即2sinBcosB=sinB．由于sinB≠0，∴cosB=，∴B=60°，故选：B．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=x+y+z，则x+y+z等于（）A．3B．2C．D．1【解答】解：∵，=，=，∴=x+y+z=（x+y）+（x+z）+（y+z）．∵=，∴，解得x=y=z=．∴x+y+z=．故选：C．9．（5分）已知直线l：+=1（a＞0，b＞0），直线l过点P（1，4），则a+b的最小值是（）A．6B．8C．9D．10【解答】解：∵直线l：+=1（a＞0，b＞0），直线l过点P（1，4），∴=1．则a+b=（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a=6时取等号．∴a+b的最小值是9．故选：C．10．（5分）已知正项等比数列{a n}，其前n项和为S n，a k﹣1=2，a k•a k+2=a=64，则S10等于（）A．410﹣1B．C．210﹣1D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，=2，a k•a k+2=a=64，∵a k﹣1==2q2，∴a k+1∴64=（q4）2==（2q2）2，解得q=2，a1=．∴S10==．故选：D．11．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，E为线段A1C上的动点，则满足ED⊥ED1的点E的个数为（）A．0B．1C．2D．无数个【解答】解：以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，则D（0，2，0），D1（0，2，3），设A1E=λA1C，（0≤λ≤1），则由A1（0，0，3），=（1，2，﹣3）得：=（λ，2λ，3﹣3λ），则=（﹣λ，2﹣2λ，3λ﹣3），=（﹣λ，2﹣2λ，3λ），若ED⊥ED1，则⊥，即λ2+（2﹣2λ）2+3λ（3λ﹣3）=0，即14λ2﹣17λ+4=0，解得：λ=，故存在两个满足条件的点，故选：C．12．（5分）已知点F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作直线l与双曲线C相交于A，B两点，若满足|AB|=2的直线l有且仅有两条，则双曲线C的方程可以是（）A．x2﹣4y2=1B．x2﹣=1C．2x2﹣2y2=1D．x2﹣y2=1【解答】解：对于A，即有x2﹣=1，可得a=1，b=，当AB垂直于x轴时，弦长AB为=＜2，由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有两条，共有3条；对于B，x2﹣=1，可得a=1，b=，当AB垂直于x轴时，弦长AB为=4＞2，由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有0条，共有1条；对于C，即有﹣=1，可得a=b=，当AB垂直于x轴时，弦长AB为=＜2，由2a=＜2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有两条；交于右支，有两条，共有4条；对于D，可得a=b=1，当AB垂直于x轴时，弦长AB为=2，由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有一条，共有2条．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）若“x2+x﹣2≤0”是“x≤k”的充分不必要条件，则k的取值范围是k ≥1．【解答】解：x2+x﹣2≤0，解得﹣2≤x≤1，∵“x2+x﹣2≤0”是“x≤k”的充分不必要条件，∴k≥1．∴k的取值范围是：k≥1．故答案为：k≥1．14．（5分）已知点P（0，1）到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为3．【解答】解：双曲线C：﹣=1的一条渐近线设为y=x，即为bx﹣ay=0，可得点P（0，1）到渐近线的距离为=，即有3a==c，可得e==3．故答案为：3．15．（5分）如图，某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB的大小为45°，山脚P到山顶A的直线距离为2km，在A处测得山顶B的仰角为30°，则乙山的高度为2km．【解答】解：假设甲山底部为C，乙山底部为D，过A作AE⊥BD于E．由题意可知∠APC=30°，∠BPD=45°，AP=2，∴AC=AP•sin30°=1，DE=AC=1，设BD=h，则DP=BD=h，BE=h﹣1，∴BP=h．∵∠BAE=30°，∴AB=2BE=2h﹣2．在△ABP中，由余弦定理得：cos45°===．解得h=2．∴乙山的高度为2km．故答案为：2．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且a n+1=λS n﹣S n+1，其中λ是常数，若{a n}是递增数列，则λ的取值范围是λ＞3．=λS n﹣S n+1，【解答】解：∵a n+1∴a n=λS n+1﹣S n+2，+2﹣a n+1=λa n+1﹣a n+2，两式相减得：a n+2整理得：2a n=（λ+1）a n+1，即=，+2依题意＞1，即λ＞1（n≥2），又∵a2=λS1﹣S2，∴2a2=（λ﹣1）a1，即=，依题意，＞1，即λ＞3，综上所述，λ＞3，故答案为：λ＞3．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a7=22，S4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知可得：，解得，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；（Ⅱ）由（I）可知S n===n（n+2），∴==（﹣），∴T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣＜．18．（12分）在△ABC中，AB=4，AC=6，cosB=．（Ⅰ）求△ABC面积；（Ⅱ）求AC边上的中线BD的长度．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即36=16+a2﹣2×4a×．∴a2﹣a﹣20=0，解得a=5．又cosB=，B为三角形内角，∴sinB==．=sinB==．∴S△ABC（Ⅱ）设∠ADB=α，则∠CDB=π﹣α．设BD=m．在△ABD与△BCD中，分别利用余弦定理可得：42=m2+32﹣6mcosα，52=m2+32﹣6mcos（π﹣α），∴41=2m2+18，解得m=．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=2，AC=2，BC=2，AA1=2，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点F，连接DF，FA1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵A1E=EC1，A1C1∥AC，∴A1E∥AC，A1E=，BD=DC，BF=FA，∴DF∥AC，DF=，∴DF∥A1E，DF=A1E，∴四边形A1FDE为平行四边形，∴A1F∥DE，A1F⊂面B1BAA1，DE⊄面B1BAA1，∴DE∥平面ABB1A1．（Ⅱ）∵AB2+AC2=8=BC2，∴AB⊥AC，又AA1⊥底面ABC，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，2，2），D（1，1，0），E（0，1，2），=（0，2，0），=（﹣1，0，2），由AA1⊥底面ABC，AC⊂面ABC，得AA1⊥AC，又AB⊥AC，且AB∩AA1=A，∴AC⊥面B1BAA1，∴=（0，2，0）是平面B1BAA1的法向量，=（2，0，2），=（1，1，0），设面AB1D的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），cos＜＞===﹣，由图得，二面角B﹣AB1﹣D为锐二面角，∴二面角B﹣AB1﹣D的余弦值为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n 的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）据题意，MP⊥直线x=﹣1，∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离，连接PF，∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，∴|MP|=|PF|，∴P点的轨迹是抛物线，焦点为F（1，0），准线为直线x=﹣1，∴曲线Г的方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：据题意，M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y﹣n=k（x+1），联立抛物线方程可得ky2﹣4y+4k+4n=0，由直线和抛物线相切，可得△=16﹣4k（4k+4n）=0，即k2+kn﹣1=0，（*）∵△=n2+4＞0，∴方程（*）存在两个不等实根，设为k1，k2，∵k1=k AM，k2=k BM，由方程（*）可知，k AM•k BM=k1•k2=﹣1，∴切线AM⊥BM，∴∠AMB=90°，结论得证．21．（12分）甲、乙两个粮库要项A，B量诊运送大米，已知甲库将调出100吨大米，乙库将调出80吨大米，A镇至少需要60吨大米，B镇至少需要100吨大米，且甲往B镇运送大米的吨数不少于乙往A镇运送大米的吨数的2倍，两库到两镇运费如表（其中a为常数，＜a＜2）．运费（元/吨）甲库乙库A镇240+10a180 B镇260210为了满足上述要求，同时使总运费最省，试问甲、乙粮库应运往A镇各多少吨大米？【解答】解：设甲、乙库往A镇运送x、y 吨大米，则甲、乙库往B镇运送100﹣x、80﹣y吨大米．依题意有：，整理得：，根据上述约束条件作出可行域，如下图所示：设总运费为z，则z=（240+10a）x+260（100﹣x）+180y+210（80﹣y）=（10a﹣20）x﹣30y+42800目标直线为l：y=x+﹣，且l越上移z的值越小，因为＜a＜2，所以斜率∈（﹣，0），如图，当l过点M（20，40）时，Z的值取得最小，答：应该按甲库往A镇运送的大米量为20吨；乙库往A镇运送的大米量为40吨的方案派送大米，总运费最省．22．（12分）如图，已知F1（0，﹣1），F2（0，1）为椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F1作两条倾斜角互补的直线l1，l2，l1，l2分别与椭圆Γ相交于A，B，C，D四点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）求阴影部分S的最大值；（Ⅲ）求证：直线AD与直线BC的交点是定点．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知|AF2|+|BF2|+|AB|=8，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a，可得4a=8，解得a=2，又c=1，b==，则椭圆方程为+=1；（Ⅱ）设直线AB：y=kx﹣1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣x1，y1），D（﹣x2，y2），根据对称性，不妨设k＞0，x1＜0＜x2，y2＞y1，由得：（4+3k2）x2﹣6kx﹣9=0，得△=36k2+36（3k2+4）＞0，x1+x2=，x1x2=﹣，S=2=2••|x 1|•=2|k|•|x1x2|==≤，当且仅当|3k|=，即k=±时，取到最大值；（Ⅲ）证明：依题意可知AD与BC的交点在y轴上，直线BC：=，令x=0，得y=+y2=，代入x1+x2=，x1x2=﹣，可得y=﹣4，所以直线AD与BC的交点为（0，﹣4）．。

福建省厦门市2015届高三第一学期质量检测数学理试卷一、选择题1、设集合{}x x 20x y A B A B ⎧==+>==⋂=⎨⎩，，则（ ） . {}2.->x x A {}3.<x x B {}32.>-<x x x C 或 {}32.<<-x x D2、已知命题001p x sinx p 2R ∃∈≥⌝：，，则是（ ） . 21sin ,.00≤∈∃x R x A 21sin ,.00<∈∃x R x B 21sin ,.≤∈∀x R x C 21sin ,.<∈∀x R x D 3、已知向量()2a m 1b m ,2,a b 0m R λλ==∈+==（，），，若存在使得，则（ ） . A.0 B.2 C.0或2 D.0或-24、曲线2y 3x =与直线x 1x 2==，及x 轴所围成的封闭图形的面积等于（ ） .A.1B.3C.7D.85、函数()2x y 2cos -1x 23R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴经过点（ ） . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6.πA ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6.πB ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3.πC ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3.πD 6、确的是表示平面，下列说法正表示两条不同的直线，已知αm l ,（ ） .m l m l A ⊥则若,,.αα αα⊥⊂⊥l m m l B 则若,,.ααl m m l C 则若,,.⊂ m l m l D 则若,,.αα7、等差数列{}n a 中，3a 和9a 是关于方程()216064x x c c -+=<的两根，则该数列的前11项和11S （ ） . A.58 B.88 C.143 D.1768. 在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是（ ） .9.椭圆E ：13222=+y a x 的右焦点为F,直线m x y +=与椭圆E 交于A,B 两点。

厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学理一、选择题1、{}=⋂⎭⎬⎫⎩⎨⎧==>+==B A B A ，则，设集合x -31y x 02x x （ ） .2、是，则，：已知命题p 21sinx x p 00⌝≥∈∃R （ ） .3、()2a m 1b m ,2,a b 0m R λλ==∈+==已知向量（，），，若存在使得，则（ ） .A.0B.2C.0或2D.0或-24、面积等于轴所围成的封闭图形的及，与直线曲线x 2x 1x x 3y 2===（ ） .A.1B.3C.7D.85、()过点的图像的一条对称轴经函数R ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x 1-32xcos 2y 2π（ ） .6、确的是表示平面，下列说法正表示两条不同的直线，已知αm l ,（ ） .m l m l A ⊥则若,,.αα αα⊥⊂⊥l m m l B 则若,,.ααl m m l C 则若,,.⊂7、等差数列中，和是关于方程()216064x x c c -+=<的两根，则该数列的前11项和（）. A.58 B.88 C.143 D.1768. 在直角坐标系中，函数的图像可能是（ ） .9.椭圆E ：的右焦点为F,直线与椭圆E 交于A,B 两点。

若△EAB 周长的最大值是8，则m 的值等于 （ ）.A .0B . 1C .D . 210.设函数)],1,0[(,)!12()1(...!5!3)(*12153N n x n x x x x x f n n n ∈∈--+-+-=--，则 （ ）. A . B . C . D .二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在答题卡相应位置。

（一）必做题：共四题，每小题4分，满分16分。

(2)11.已知)4tan(,cos 2sin πααα+=则= .12.三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .13.已知双曲线C ：)0b 0(12222＞，＞a by a x =- 的渐近线与 圆相切，则双曲线C 的离心率等于 .14.已知数列中，*11n )0(3,3N b b a a a n n n ∈=+=+＞，①当b=1时， =12;②存在，数列成等比数列；③当时，数列是递增数列；④当时数列是递增数列以上命题为真命题的是 .（写出所有真命题对应的序号）。

绝密★启用前2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设函数，则 （ ）.A ．B ．C ．D ．2、椭圆E ：的右焦点为F,直线与椭圆E 交于A,B 两点.若△EAB周长的最大值是8，则m 的值等于 （ ）. A ．0 B ．1 C ．D ．23、在直角坐标系中，函数的图像可能是（ ） .4、等差数列中，和是关于方程的两根，则该数列的前11项和（ ）A ．58B ．88C ．143D ．1765、函数的图形的一条对称轴经过点（ ） .6、曲线与直线x=1,x=2及x 轴围城的封闭图形的面积是（ ） .A ．1B ．3C ．7D ．87、已知向量若存在使得则m=（ ） .A ．0B ．2C ．0或2D ．0或-28、已知命题则是（ ）.C． D．9、设集合则（）.A． B．C． D．10、已知l,m表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（） . A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、已知且则的最大值等于 .12、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线L的极坐标方程为，圆C的参数方程为；，则圆心C到直线L的距离等于 .13、已知矩阵A且，则x+y= .14、已知数列中，，①当b=1时，=12;②存在，数列成等比数列；③当时，数列是递增数列；④当时数列是递增数列以上命题为真命题的是 .（写出所有真命题对应的序号）15、已知双曲线C：的渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率等于 .16、三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .三、解答题（题型注释）17、已知则= .参考答案1、A2、B3、A4、B5、D6、C7、C8、9、D10、A11、12、113、314、①②③15、16、317、-3【解析】1、试题分析：由题根据所给函数取值进行分析判断即可.由题方法一：x=0时，，时，，；故选A.方法二：设，同理令可得..故选A方法三：由题根据泰勒公式和中值定理可得，故选A.考点：导数在研究函数问题中的应用2、试题分析：首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出相应的值，最后求出结果．椭圆E：的右焦点为F，N为左焦点，直线y=x+m与椭圆E交于A，B两点，则△EAB周长l=AB+BF+AF=AB+2a-NB+2a-NA=4a+（AB-NA-NB），，N、A、B三点共线时，所以椭圆的方程为：直线直线y=x+m 经过左焦点．所以：m=1故选B考点：椭圆的性质3、试题分析：由题意根据函数的奇偶性排除C,结合排除B、D，得到正确选项. 由题意∴图象关于原点对称，故排除C；当时，；故排除B、D；故选A．考点：函数的图像和性质4、试题分析：由题根据韦达定理和等差中项性质不难得到，然后求得数列的前11项和.由题根据韦达定理得到，故选B.考点：等差数列性质5、试题分析：先化简可得函数解析式为从而可求其对称轴方程，即可确定答案．∴令可得∴当k=0时，函数的图象的一条对称轴经过点，故选D．考点：二倍角公式，余弦函数的图像6、试题分析：首利用定积分的几何意义求解即可．由题意，，故选C.考点：定积分在求面积中的应用7、试题分析：根据向量的坐标运算和题意求出，利用向量相等的条件列出方程组，求出m的值即可；，故选C．考点：平面向量坐标运算8、试题分析：根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．原命题为特称命题，故其否定为全称命题，故选D考点：命题的否定9、试题分析：由题根据所给集合满足条件化简集合，然后根据交集定义求解即可.,故选D 考点：交集运算10、试题分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．对于A，若，则根据直线与平面垂直的性质定理知：，故A正确；对于B，若，则根据直线与平面垂直的判定定理知：不正确，故B不正确；对于C，，∴由直线与平面平行的性质定理知：l与m平行或异面，故C不正确；对于D，若，则l与m平行，异面或相交，故D不正确．故选：A．考点：空间中线线，线面，面面位置关系11、试题分析：∵x、y均为正数，且x+2y=2，∴由柯西不等式可得当且仅当时，取等号.故所求式子最大值为考点：函数最值及其几何意义12、试题分析：利用消去参数将圆C的参数方程化成直角坐标方程，再将直线l的极坐标方程也化成直角坐标的方程，把圆C与直线l的方程组成方程组解出对应的方程组的解，即得到交点坐标．由圆C的参数方程消去参数化为普通方程，直线l的极坐标方程为，的直角坐标方程为：x=1；所以圆心C到直线l的距离等于1．故答案为：1．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．13、试题分析：由题根据矩阵运算首先求得A的逆矩阵，然后根据矩阵的乘法性质不难得到x,y对应的值，求得结果.由题.考点：矩阵运算14、试题分析：①由题根据所给条件直接验证即可；②假设存在满足条件的值，根据等比数列定义分析，然后根据所给条件利用系数相等求得对应的即可；③④由题根据所给条件应用累加法不难得到数列的单调性，从而判断对应命题的真假；①当b=1时，易知，故①对；②若为等比数列，设公比为q,则，，故存在使数列为等比数列；故②对；③由题可得，，所以b>1时，数列为递增数列；故③对；④由题可得所以，当时数列是递减数列，故④错.考点：等比数列的性质，数列与函数的关系15、试题分析：根据双曲线的渐近线与圆E ：相切⇔圆心（5，0）到渐近线的距离等于半径r=3，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．设的一条渐近线bx-ay=0．所给圆的圆心（5，0），半径r=3．∵渐近线与圆E：相切. 故答案为考点：双曲线的简单性质16、试题分析：由三棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长及高，三棱柱的高为2，求出底面三角形的面积，然后直接由棱柱的体积公式求体积．由棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长为2，底边上的高为1．故棱柱的底面面积棱柱的高h=3，故棱柱的体积V=Sh=3，故答案为：3考点：由三视图求面积，体积17、试题分析：由条件求得,然后运用和角公式求解即可..考点：三角函数化简求值。

福建师大附中2014-2015学年第一学期期末考试卷高三数学 (理科)本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共50分一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知全集R U =，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=<≤-=-412|},02|1x x B x x A ｛，则*****R C A B⋂=（）（） A. (,2](1,)-∞-⋃-+∞ B ．(,2)[1,)-∞-⋃-+∞ C ．(,)-∞+∞ D ．(2,)-+∞2.设随机变量X 服从正态分布N （0， 1），P （X>1）= p,则P （X>－1）=（ ******* ） A ．1－2p B ． p C ．1－p D ．2p3． 定义：a b ad bc c d =-.若复数z满足112z i i i=-+-，则z 等于（******* ） A ．1i + B ．1i - C ．3i + D ．3i -4．已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（******* ） （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）5．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（******* ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．456． 函数21,0()2,0xog x x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充要条件是（******* ）A ．01a a ≤>或B ．102a <<C ．0a >D ．0a ≤ 7．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=，且12FPF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（******* ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．28．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2BF FO = ，则FD FE ⋅的值是 （*******）A ．34-B ．14-C ．89-D ．49-9．已知抛物线22(0)y px p => 的焦点为F,准线为l ,,A B 是抛物线上的两个动点,且命题人：黄晓滨审核人：江 泽正视图 侧视图,3AFB π∠=设线段AB 的中点M 在l 上的射影为N ,则MN AB的最大值是（******* ）A ．12 B . 1C . 32D . 210．把曲线C ：8cos()87sin(ππ+⋅-=x x y 的图像向右平移)0(>a a 个单位，得到曲线C '的图像，且曲线C '的图像关于直线4π=x 对称，当]823,812[ππ++∈b b x （b 为正整数）时，过曲线C '上任意两点的斜率恒大于零，则b 的值为（******* ）A ．4B ． 3C ．2D ． 1第Ⅱ卷 共100分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置.11．2)n x的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是******* ．12． 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的 边界为直角梯形，则该几何体的体积是 ******* ．13． 若,x y 满足 30,10,350,x y x y x y +-≥-+≥--≤则yx的最大值是*************** ．14．如图.A 1，A 2，…A m-1(m ≥2)将区间[0,l]m 等分，直线x=0，x=1, y=0和曲线y=ex所围成的区域为1Ω 图中m 个矩形构成的阴影区域为2Ω,在1Ω中任取一点,则该点取自2Ω的概率等于 ******* ．15．已知函数sin ()xf x x=，下列命题正确的是******* .（写出所有正确命题的序号）①()f x 是奇函数;②对定义域内任意x ，()f x <1恒成立；` ③当32x π= 时，()f x 取得极小值； ④(2)(3)f f > ;⑤当x>0时，若方程|()f x |=k 有且仅有两个不同的实数解,()αβαββ>则·cos α=－sin β.三、解答题：本大题有6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17．（本小题满分12分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名教师，求该教师选择参加两项培训的概率;(2)任选3名教师，记ξ为3人中选择不参加培训的人数，求ξ的分布列和期望． 18．（本小题满分12分）已知s i n c o s ,1)a x x =- ，(cos ,)b x m = ，函数()f x a b =∙ ()R m ∈的图象过点π(,0)12M . （Ⅰ）求m 的值以及函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形， M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.20．（本小题满分13分）.已知圆22:34O x y +=，椭圆22:1259x y C +=． （Ⅰ）若点P 在圆O 上，线段OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P 的横坐标；（Ⅱ）现有如下真命题：“过圆222253x y +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆2222153x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆222247x y +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆2222147x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”．据此,写出一般结论，并加以证明．21．(本小题满分14分)已知函数)1ln()(),(,12)(2+=∈+-=x x g R a x ax x f . ⑵ x x g y -=)(在]1,0[上的最小值.⑵若存在(0,)x ∈+∞使不等式2(1)()2xa x f x e -->,求实数a 的取值范围. ⑶ 记函数)()()(x g x f x +=ϕ的图像为C ，l 为曲线C 在点)1,0(p 的切线，若存在21≥a ,使直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，求满足条件的所有a 的值.福建师大附中2014-2015学年第一学期期末考试卷解答一、选择题：BCABB ,AACBD; 二、填空题： 11． 112 12．1 13． 214.11(1)mm e -15． ②④⑤三、解答题：本大题有6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）1122123222211.1,1;(1)(1)2.2,221,(2)(222...2)[1234...(21)2]222[(12)(34)...(21)2]1222n n n n n nn n n n a S n n n n n a S S nn a n a nT n n n n n -+===+---≥=-=-===∴==+++++-+-+++-+-⋅=+-++-+++-+-=+-经检验，符合21222n n T n +∴=+-17．（本小题满分12分）解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A ，“该教师选择计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．………1分（1）任选1名，该教师选择参加两项培训的概率是1()0.60.750.45P P AB ==⨯= ……4分 （2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是0()=()()0.40.250.1P P AB P A P B ==⨯=． ……5分因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中选择不参加培训的人数ξ服从二项分布(30.1)B ，， …6分 且33()0.10.9kk k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，， …8分 即ξ的分布列是所以，ξ的期望是10.24320.02730.0010.3E ξ=⨯+⨯+⨯=．……12分 （或ξ的期望是30.10.3E ξ=⨯=．） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由()21π1cos cos 2(cos 21)sin(2)262f x x x x m x x m x m =-+=-++=--+．因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=， 解得12m =.……4分 2,2T ππ==由222262k x k πππππ-≤-≤+， 可得函数()f x 的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈……6分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……8分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……9分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分 所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…11分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……12分19. （本小题满分12分）解：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ．又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP．∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°．……………………………4分 (II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ．建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分则0,0),(0,0,(0,1,0)A P D -, 2,0),(0,1,0)B C ． 由M 为PB中点，∴M ．∴2,0,DM PA ==(0,2,0)DC = ．∴200PA DM ⋅=⨯= ，0200(0PA DC ⋅=⨯+⨯=．∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．……………………………8分(III)0,1,0)CM CB ==．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z = ， 则0n CM ⋅=，从而x +z =0； ……①, 0n CB ⋅=，从而0y +=． ……②由①、②，取x =−1，则1y z ==．∴可取(1,1)n =- ．……………10分由(II)知平面CDM的法向量可取0,PA =，…………………………11分∴cos ,||||n PA n PA n PA ⋅<>===．∴所求二面角的余弦值为－．…………………………………………………13分 法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=，则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥，又在PAB ∆中，中位线//MN 12AB ，1//2CO AB ，则//MN CO ，则四边形OCMN 为 ，所以//MC ON ，在APO ∆中，AO PO =，则O N A P ⊥，故A P M C ⊥而MC CD C = ，则PA MCD ⊥平面…………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知M C P A B ⊥平面，则N M B ∠为二面角D MC B --的平面角，在Rt PAB∆中，易得PA=PB ===cos AB PBA PB ∠===，cos cos()NMB PBA π∠=-∠=故，所求二面角的余弦值为.…………13分 20． （本小题满分13分）（Ⅰ）设点00(,)P x y ，则220034x y +=， （1） ……………………1分 设线段OP 的垂直平分线与OP 相交于点M ，则M 00(,)22x y ，……2分 椭圆22:1259x y C +=的右焦点(4,0)F ， ………………3分 MF OP ⊥Q ,∴1OP MF k k ⋅=-，∴ 000002142y y x x -⋅=--，∴2200080y x x +-=， （2）…………………………4分由（1），（2），解得0174x = ，∴点P 的横坐标为174． ……………5分（Ⅱ）一般结论为：“过圆2222x y a b +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，则这两条切线互相垂直．” ……………………7分证明如下：（ⅰ）当过点Q 与椭圆22221x y a b+=相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x a =±，Q 点Q 在圆2222x y a b +=+上 ，∴(,)Q a b ±±，∴直线y b =±恰好为过点Q 与椭圆22221x y a b+=相切的另一条切线∴两切线互相垂直．………………………………8分（ⅱ）当过点(,)Q m n 与椭圆22221x y a b+=相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为()y n k x m -=-，由22221,(),x y a b y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得 []222222()0b x a k x m n a b +-+-=， 整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b ++-+--=，……………9分Q 直线与椭圆相切，∴42222222224()4()[()]0a k n km b a k a n km a b ∆=--+--=，整理得()()2222220m a k mnk n b --+-=，………………………10分∴221222n b k k m a-=-， ………………………11分点(,)Q m n 在圆2222x y a b +=+上，∴2222m n a b +=+， ∴2222m a b n -=-，∴121k k =-，∴两切线互相垂直，综上所述，命题成立．……………………………13分21．(本小题满分14分) 解:⑴0,10,111≤'∴≤≤-+='y x x y ,所以x x g y -=)(在]1,0[上单调递减，当1=x 时，12ln min -=y …………………（4分）2(1)()(2)2x a x f x e -->可化为2221212x xax a ax x a x e--+-><--()21,()22[1]0,11()0,()0+()(0),(0)1,1x x x x x h x x h x e e x e e h x h x h x h h a '=--∴=-=->>∴>>'∴<∴∞∴<=-∴<- 令且在(，）上是减函数，（10分）(3) 函数)(x ϕ的定义域为,1)0(,1122)(),,1(-='++-='+∞-ϕϕx ax x 所以在切点)1,0(p 处的切线l 的斜率为1-，因此，切线的方程为：1+-=x y 。