南通2017届高三数学最后一卷

海门中学2017届高三第二次教学质量调研数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}3,2,0,1{,02|-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=B x x x A ，则=B A ▲ ． 2.已知复数z 满足i z i =+)43(（i 为虚数单位），则=||z ▲ ． 3.函数x x x x f ln )23()(2++=的零点的集合为 ▲ ．4.若31tan ),2,0(,=∈απβα，21)tan(=+βα，则=+βα2 ▲ ． 5.将函数)32sin(π+=x y 图像上的点),12(t P π-，向右平移)0(>k k 个单位长度得到点'P ，若'P 在函数x y 2sin =的图像上，则k 的最小值为 ▲ ．6.已知函数⎩⎨⎧<++-≥+=0),cos(0,sin )(22x x x x x x x f α是奇函数，则=αcos ▲ ． 7.若双曲线),(132222R n m nm y n m x ∈=--+的焦距为4，则实数n 的取值范围为 _____▲ ．8.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤+-40301y y x y x ，则y x -2)21(的最大值为 ▲ ． 9.设n S 是公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，若25242322a a a a +=+，且279=S ，则数列}{n a 的通项公式=n a ▲ ．10.已知圆:C 0422=-+x y x 及点)2,1(),0,1(B A -，直线l 平行于AB ，与圆C 相交于N M ,两点，AB MN =若直线l 与直线AB 在圆心C 的同侧，则直线l 的方程为____▲ ．11.若0,0>>b a ，且直线06=-+by ax 与直线052)3(=+--y x b 垂直，则b a 2131+的最小值为 ▲ ．12.设R m ∈，若过点),2(m 存在三条直线与曲线x x y 33-=相切，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13.在ABC ∆中，2=AB ，060=∠A ，点D 满足DB CD 2=，且337=AD ，则=∙ ▲ ．14.在ABC ∆中，2tan 2tan 2tan222CB A ++的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若bc A 23)3sin(=+π （1）求角B 的大小；（2）若2,32==c b ，求ABC ∆的面积。

2017年高考模拟试卷数学卷1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。

一、选择题：1、已知集合{}(){}02ln |,086|2>-=<+-=x x B x x x A ，则=⋂B A ( )A 、()4,3B 、()3,2C 、(]3,2D 、()+∞,22、已知复数z 满足()521=+⋅i z ，则=z ( )A 、3B 、3C 、5D 、53、已知θ是ABC ∆的一个内角，2cos 1cos :,20:>+<<θθπθq p ，则p 是q 的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、函数x x x y sin cos -=的图像大致为（ ）5、若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤-+0420601223y x y x y x ，则31+-x y 的最大值为（ ）A 、7B 、37 C 、35 D 、16、在一次公益活动中，某学校需要安排五名学生去甲乙丙丁四个地点进行活动，每个地点至少安排一个学生且每个学生只能安排一个地点，甲地受地方限制只能安排一人，A 同学因离乙地较远而不安排去乙地，则不同的分配方案的种数为（ ） A 、96 B 、120 C 、132 D 、2407、已知2()3,f x x x =+若||1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．|()()|3||3f x f a a -≤+B ．|()()|2||4f x f a a -≤+C ．|()()|||5f x f a a -≤+D ．2|()()|2(||1)f x f a a -≤+ 843==，向量()+=--的最大值是（ ）A 、5B 、25C 、10D 、2109、已知1(,0)F c -,2(,0)F c 分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l 切圆222()x c y r -+=于点P ,l 分别交Γ右支于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率的值为（ ）A .5 B.5C. D. 10、已知()()21-=x kx x f ，()1-=x x g ，若()x f y =与()x g y =的函数图像有四个不同的交点，则四个交点的横坐标之和的范围为A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+225,2 B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+225,3C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+224,2 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2225,3非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题4分，共36分。

南通市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数iz a b=+（a b∈，R，i为虚数单位）．若(43i)iz=+，则ab的值是▲．【答案】12-2．已知集合{|0}U x x=>，={|2}A x x≥，则U Að=▲．【答案】{|02}x x<<3．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是▲．【答案】564．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是▲．【答案】35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是▲．【答案】75006．设等差数列{}n a的前n项和为n S．若公差2d=，510a=，则10S的值是▲．【答案】1107．在锐角△ABC中，3AB=，4AC=．若△ABC的面积为，则BC的长是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221x ya-=（0a>）经过抛物线28y x=的焦点，则该双曲线的离心率是▲．（第4题）9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ▲ ．【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点， 则PB的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】3(2)-，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα-=，(0π)α∈，，求角α的值．（第12题）（第16题）BCDP M N【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A 1A =，所以()π()sin 3f x x =+．…… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα++-=，…… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP =AD ， M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点． 求证：（1）MN ∥平面P AB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面P AD ⊥平面ABCD ，（第17题）又平面P AD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． …… 10分又AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D = ，所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(12，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF的值．【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． (5)分方法二：由题意，知24a =，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =所以椭圆的标准方程为221y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以12x x == 所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k -+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，， 由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)x D ，，所以01x FD =+． …… 10分 同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB =． 综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+-22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=-128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ， DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以直线为x 轴，OQ 所在直线为y 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， 设直线EF 的方程为1()2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 1|1|21tk -=，解得244t k t =-． …… 3分 O（第18题）代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t+，． …… 5分所以14t tEF =+， 即14EF t t =+（02t <<）． …… 7分 方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t =+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分 ② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++，所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分 因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分O答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）．（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为11()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，， 此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ． 例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数， 则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调． 【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当1a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则11ln x x <，即ln x < …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减， 综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结P A ，PB ，CD ，BC ．因为∠P AB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠P AB =∠PBA ，（第21-A 题）所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M 的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-． 令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点π)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分又因为点π)4，在圆C 上，所以πcos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分D ACBSPE 方法二：点π)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，所以54a b c d a +++≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =． （1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，，所以(222)SB =- ，，，(012)SC =- ，，，(002)DS = ，，． 设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ，由10SB ⋅= n ，10SC ⋅=n ， 得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ． 设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n ，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --…… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB = ，，，(111)CE =-，，．设CP CB λ=（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ== ，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---，，．易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos PE CD PE CD PE CD α⋅===，， …… 8分=，得13λ=或119λ=（舍）．所以21(0)33CP = ，，，CP所以线段CP． …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。

2017年高考数学最后冲刺浓缩精华卷【江苏专版】第九套数学Ⅰ（文理公共）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．）．． 1．设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x ==，则M N = ．2．设复数z 满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 .3．某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[61，140]的人数为 ．4．如果执行下图的程序框图，那么输出的i ＝5．袋中装有编号为1，2，3，4，5的五个大小相同的小球，从中任取两个小球，则取出两球的编号之和为偶数的概率为__________．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1378S =， 71210a a +=，则17a =_______；7．函数()12log 12y x =-定义域为__________．8．正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为__________．9．设直线l ： 3440x y ++=，圆C ： ()2222(0)x y r r -+=>，若圆C 上存在两点,P Q ，直线l上存在一点M ，使得90PMQ ∠= ，则r 的取值范围是_____.10．已知α为钝角，若π4sin 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5πcos 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______； 11．在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，若3332AC BE ⋅= ，则AB 的长为 ．12．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =__________． 13．已知点P 为函数()x f x e =的图象上任意一点，点Q 为圆()22211x e y --+=上任意一点（e 为自然对数的底），则线段PQ 的长度的最小值为__________．14．已知x y R ∈、且满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围是_____________． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（本小题满分14分）已知函数()()2sin 22cos 16f x x x x R π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知()12f A =， b a c 、、成等差数列，且9AB AC ⋅= ，求a 的值.16．（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB=AC ，D 为BC 的中点．（Ⅰ）求证： 1BC AD ⊥平面；（Ⅱ）求证： 11A B//AC D 平面．17．（本小题满分14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知||3AB =米，||2AD =米．（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度x 应控制在什么范围内？（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E ： 22221x y a b+=的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于A ， B 两点，点C 在椭圆E 上， AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D . （Ⅰ）当点B 为椭圆的上顶点， ABD 的面积为2ab 时，求椭圆的离心率； （Ⅱ）当3b =， 2AB AC =时，求k 的取值范围.19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中， 121=3a a =，，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中*2n n N ≥∈，.（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设2n n n n a b T =，为数列{}n b 的前n 项和，求n T ； （3）设()()*1412n a n n n c n N λλ-=+-⋅∈为非零整数，，试确定实数λ的值，使得对任意的*n N ∈，都有1n n c c +>成立. 20．（本小题满分16分）已知函数()24x x f x e x +=+. （I ）讨论函数的单调性,并证明当2x >-时， 240x xe x +++>;（Ⅱ）证明：当[)0,1a ∈时，函数()()223(2)2x e ax ag x x x +--=>-+有最小值，设()g x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.数学Ⅱ（理科加试）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O 在AB 上，且与四边形ABCD 的其余三边相切．点E 在边AB 上，且AE AD =．求证：O ，E ，C ，D 四点共圆．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(),5P x 在矩阵 1 23 4M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()2,Q y y -，求1x M y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为10cos sin 2=+θρθρ，将曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos y x （α为参数），经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后得到曲线2C . （1）求曲线2C 的参数方程；（2）若点M 的曲线2C 上运动，试求出M 到直线C 的距离的最小值.D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()4(0)f x m x m =-+>，且()20f x -≥的解集为[]3,1--．（1）求m 的值；（2）若,,a b c 都是正实数，且11123m a b c++=，求证： 239a b c ++≥． [必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设抽出学生的数学成绩在[]90,100段各不相同，且都超过94分.若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数字中任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为X ，求X 的分布列和期望.23．（本小题满分10分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*122n n n S a n N =+∈. （1）计算123,,a a a 的值，并猜想{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明{}n a 的通项公式.。

,.江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考2017届高三（下）数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3，6}，则（∁I A）∩B= ．2．（5分）复数1+的实部为．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为．5．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为．6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为．7．（5分）已知点P（x，y）满足，则z=的最大值为．8．（5分）设正项等比数列{a n}满足2a5=a3﹣a4．若存在两项a n、a m，使得a1=4，则m+n的值为．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣2x+1，不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集用区间表示为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+m=0（m＞0）与圆x2+y2=8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为．12．（5分）已知P是曲线y=x2﹣ln x上的动点，Q是直线y=x ﹣1上的动点，则PQ的最小值为．13．（5分）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA=3，PC=4．矩形对角线AC=6，则= ．14．（5分）在△ABC中，若+=3，则sin A的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a=1，b=，f（A）=2，求角C．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（1）求证：OD∥平面A1BE；（2）求证：AB1⊥平面A1BE．,.17．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2=b2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB的面积为时，求直线l的方程．18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2，在点O处交汇；该商业区为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1，l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1，l2上．（1）设OA=a km，OB=b km试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；（2）设∠AOT=α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B 的位置，使得新建公路AB的长度最短．19．（16分）设a＞0且a≠1函数f（x）=a x+x2﹣x ln a﹣a（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数f（x）的最小值；（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．,.20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．（1）已知数列{a n}满足a1=4，a2=8，a n+a n﹣1=8n﹣4（n≥2，n∈N*），求证：数列{a n}是“S型数列”；（2）已知等比数列{a n}的首项与公比q均为正整数，且{a n}为“S型数列”，记b n=a n，当数列{b n}不是“S型数列”时，求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{c n}是“S型数列”，当c2=9，且对任意大于等于2的自然数n都满足（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{c n}的一个通项公式（不必证明）；如果不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：∠OBP=∠CQP．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知a，b∈R，矩阵A=，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：ρsin（）=，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x，y，z均为正数．求证：．三、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD 与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．,.26．（10分）设集合S={1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A={a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n=6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．,.【参考答案】一、填空题1．{2，6}【解析】因为全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，所以∁I A={2，4，6}，又B={2，3，6}，则（∁I A）∩B={2，6}，故答案是：{2，6}．2．【解析】1+=，则复数1+的实部为：．故答案为：．3．6【解析】模拟程序的运行，可得n=1，执行循环体，n=2不满足条件42＞2017，执行循环体，n=3不满足条件43＞2017，执行循环体，n=4不满足条件44＞2017，执行循环体，n=5不满足条件45＞2017，执行循环体，n=6满足条件46＞2017，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．4．660【解析】由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的频率为：（0.02+0.026+0.02）×10=0.66，∴估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为：1000×0.66=660．故答案为：660．5．【解析】双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），可得a=2b，即：a2=4b2=4c2﹣4a2，e＞1，解得e=．故答案为：；6．【解析】从这5张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成的两位数为：12；13；14；15；21；23；24；25；31；32；34；35；41；42；43；45；51；52；53；54，共20个，偶数为：12，14，24，32，34，42，52，54，共8个，故两位数是偶数的概率是．故答案为7．3【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：由z=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得A（1，3），显然直线过A（1，3）时，z取得最大值，z==3，故答案为：3．8．6【解析】正项等比数列{a n}满足2a5=a3﹣a4．则2a3q2=a3（1﹣q），可得2q2+q﹣1=0，q＞1，解得q=．若存在两项a n、a m，使得a1=4，∴a1=4，∴n+m=6．故答案为：6．9．【解析】如图，连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，,.可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG=G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP=，PG=，可得BG=，同理可得DG=，则△BDG边BD上的高为，∴，则．故答案为：．10．（﹣1，3）【解析】根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，当x＜0时，f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，为减函数，则当x＞0时，f（x）也为减函数，综合可得f（x）在R上为减函数，若f（x2﹣3）＞f（2x），则有x2﹣3＜2x，解可得﹣1＜x＜3，即不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．11．2【解析】根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D 点，因为△ABC为等边三角形，所以∠AOB=120°，由余弦定理知：AB=2，故BD=，所以OD=，所以O（0，0）到直线AB的距离=，解得m=±2，∵m是正数，∴m的值为2故答案为2．12．【解析】函数的定义域为（0，+∞），由y=x2﹣ln x的导数为y′=x﹣，令x﹣=，可得x=2，所以切点为（2，1﹣ln2），它到直线y=x﹣1即3x﹣4y﹣4=0的距离d==．即点P到直线y=x﹣1的距离的最小值为．故答案为：．13．﹣【解析】由题意可得=（+）•（+）=+•+ +=9+•（+）+0=9+=9+3•6•cos（π﹣∠PAC）=9﹣18•=9﹣18•=﹣，故答案为：．14．【解析】在△ABC中，+=3，∴．∴，即，∴．根据正弦定理得：．∴a2=3bc cos A．又根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣2bc cos A=3bc cos A．∴．当且仅当b=c时等号成立，∴．∴，即，∴．故答案为：二、解答题,. 15．解：（1）f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2≤2．当=1，即2x+=+2kπ，解得x=kπ+，k∈Z时取等号．∴f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．（2）f（A）=2，∴2sin=2，解得A=kπ+，k∈Z．∵a＜b，∴A为锐角，∴A=．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴12=+c2﹣2c，化为：c+1=0，解得c=．由正弦定理可得：，可得sin C==×=．∴C=15°，75°，或105°．16．解：（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1，且又E 是CC1中点，则EC∥BB1且，所以EC∥OD且EC=OD．所以四边形ECDO为平行四边形，所以EO∥CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE（2）因为正三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．所以CD⊥平面A1ABB1由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1所以EO⊥AB1．因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B=O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB．所以AB1⊥平面A1BE．17．解：（1），椭圆方程为：（2）因为切点在第一象限，可设直线l为y=kx+m（k＜0，m＞0），联立方程，得（x1，x2分别为A、B横坐标）AB长：=∴∴∴m==，直线l为18．解：（1）在△AOB中，OA=a km，OB=b km，；由余弦定理得：=a2+b2﹣ab；所以；如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，,.则，所以直线AB的方程为，即；因为AB与扇形弧相切，所以，即；a，b∈（3，6）（2）因为OT是圆O的切线，所以OT⊥AB．在Rt△OTA中，AT=3tanα；在Rt△OTB中，；所以，AB=AT+TB=3tanα+3tan（﹣α）（0＜α＜）；所以，AB=3（tanα+）=；设，u∈（1，4），则，当且仅当u=2，即时取等号；此时km．所以，当km时，新建公路AB的长度最短．19．解：（1）当a=e时，f（x）=e x+x2﹣x﹣e，f'（x）=e x+2x﹣1．设g（x）=e x+2x﹣1，则g（0）=0，且g'（x）=e x+2＞0．所以，g（x）在（﹣∞，+∞）上单增，当x＞0时，g（x）＞g（0）=0；当x＜0时，g（x）＜g（0）=0．即当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．综上，函数f（x）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（﹣∞，0）．（2）f'（x）=a x ln a+2x﹣ln a=（a x﹣1）ln a+2x①当a＞1，若x＞0，则a x＞1，ln a＞0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＜1，ln a＞0，所以f'（x）＜0②当0＜a＜1，若x＞0，则a x＜1，ln a＜0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＞1，ln a＜0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上减，（0，+∞）上增．所以f（x）min=f（0）=1﹣a，（3）由（2）得：a＞0，a≠1，f（x）min=1﹣a．（ⅰ）若1﹣a＞0即0＜a＜1时，f（x）min=1﹣a＞0，函数f（x）不存在零点．（ⅱ）若1﹣a＜0即a＞1时，f（x）min=1﹣a＜0．f（x）的图象在定义域是不间断的曲线，f（x）在（﹣∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增．f（a）=a a+a2﹣a ln a﹣a＞a2﹣a ln a﹣a=a（a﹣ln a﹣1）．令t（a）=a﹣ln a﹣1，（a＞1），，所以t（a）在（1，+∞）递增；所以t（a）＞t（1）=0．所以f（a）＞0．故f（x）在（0，a）有一个零点．又f（﹣a）＞a2﹣a＞0，故f（x）在（﹣a，0）有一个零点．所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有2个零点．综上：①0＜a＜1时，函数f（x）不存在零点；②a＞1时，函数f（x）有2个零点．20．（1）证明：由题意，a n+1+a n=8n+4 ①，a n+a n﹣1=8n﹣4 ②，②﹣①得a n+1﹣a n﹣1=8所以a2n=8n，a2n﹣1=8n﹣4，因此a n=4n，从而a n﹣a n﹣1=4＞3 所以，数列{a n}是“S型数列”（2）由题意可知a1≥1，且a n﹣a n﹣1=4＞3，因此{a n}单调递增且q≥2而（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）=a n﹣1（q﹣1）﹣a n﹣2（q﹣1）=（q﹣1）（a n﹣1﹣a n﹣2）＞0所以{a n﹣a n﹣1}单调递增，又b n=a n，因此{b n﹣b n﹣1}单调递增又{b n}不是“S型数列”所以，存在n0，使得﹣≤3，所以b2﹣b1≤﹣≤3，即a1（q﹣1）≤4又因为a2﹣a1＞3，即a1（q﹣1）＞3且a1，q∈N+，,.所以a1（q﹣1）=4从而a1=4，q=2或a1=2，q=3或a1=1，q=5∴a n=2n+1或或（3）可取a n=（n+1）2，验证符合（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）条件，而且a n﹣a n﹣1=2n+1＞321．证明：连接OA，因为OD⊥AB，OA=OB，所以，又，所以∠ACB=∠DOB，又因为∠BOP=180°﹣∠DOP，∠QCP=180°﹣∠ACB，所以∠BOP=∠QCP，所以B，O，C，Q四点共圆，所以∠OBP=∠CQP．22．解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，得：=，∴3a﹣b=3，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=，得：，∴a+b=5，解得，即A=．∵→→→→．∴A的逆矩阵A﹣1=．23．解：圆C：p=2cos（）即x2+y2+2y=0，x2+（y+1）2=1，表示圆心为（0，﹣1），半径等于1的圆．直线l：ρsin（）=，即ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即x+y﹣2=0，圆心到直线的距离等于=，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+1．24．证明：因为x，y，z都是为正数，所以①同理可得②③当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：三、解答题25．解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°．又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=，由已知得得E（，，0），D（0，，0）=（﹣1，0，1），，∴，即异面直线AE、BF所成的角的余弦值为．（2）平面AA1B的一个法向量为=（0，1，0）．设=（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，．由，取．∴所以cos=．平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值为．26．解：（1）n=6时，S={1，2，3，4，5，6}；∵a3﹣a2≤2；,.∴a3﹣a2=2，或a3﹣a2=1；当a3﹣a2=2时，a2和a3可分别为2和4，3和5，4和6；此时对应的a1分别有1个，2个和3个；当a3﹣a2=1时，a2和a3可分别取2和3，3和4，4和5，5和6；对应的a1分别有1个，2个，3个和4个；∴集合A的个数=1+2+3+1+2+3+4=16个；（2）当n≥5时，若a3﹣a2=2，则a2和a3可分别为2和4，3和5，…，n﹣2和n；此时，对应的a1可分别为1个，2个，…，n﹣3个，共有个；同理，a3﹣a2=1时，a1共有个；∴集合A的个数为：==（n﹣2）2，n≥5，n∈N*．。

=AB ________是虚数单位），则||z 的值为12n x ，则样本数据13x 24．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5．随机从1，2，3，4，5五个数中取两个数，取出的恰好都为偶数的概率为________． 6．已知等差数列{}n a 满足1210+=a a ，432-=a a ．则数列第10项10=a ________．7．如图，四棱锥-P ABCD 中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2=AB ，3=AD ，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥-E PAB 的体积为4，则PA 的长为________．8．函数2|log |=y x ，1[,32]4∈x 的值域为________． 9．如果函数3sin(2)=+y x ϕ的图像关于点5π(,0)6中心对称，则||ϕ的最小值为________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)=-OA t ，(2,2)=OB ，若∠OBA 为直角三角形，则实数t 的值为________．11．若存在实数x ，使不等式2e 2e 10+-≥x x a 成立，则实数a 的取值范围为________．12．已知正数a ，b 满足13+=a bab 的最小值为________． 13．已知点(2,3)A ，点(6,3)-B ，点P 在直线3430-+=x y 上，若满足等式20+=AP BP λ的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．14．设函数33,()2,⎧-<=⎨-≥⎩x x x a f x x x a，若关于x 的不等式()4>f x a 在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，π3=B ． (1)若=AC 2=BC ，求AB ． (2)若cos =A ，求tan C ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，⊥AB 平面PAD ，∥DC AB ，2=DC AB ，E 为棱PA 上一点.(1)设O 为AC 与BD 的交点，若2=PE AE ，求证：∥OE 平面PBC ；(2)若⊥DE AP ，求证：⊥PB DE ．17．(本小题满分14分）南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积（亿立方米）关于t 的近似函数的关系为321124100,010()4(10)(341)100,1012⎧-+-+<≤=⎨--+<≤⎩t t t t V t t t t (1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以1-<<i t i 表示第t 月份(1,2,...,12)=i ，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积． 18．(本小题满分14分）已知圆222:(0)+=>O x y r r 与椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b相交于点(0,1)M ，(0,1)-N ，且椭圆(1)求r 值和椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点． ①若23=MB MA ，求直线l 的方程；②设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，问：21k k 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．19．(本小题满分16分）设函数()e ||=--x f x x a ，其中a 是实数．(1)若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，求实数k 的取值范围． 20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，2122==a a ，且312++-=n n n na a a a 对*∀∈n N 恒成立，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列212{}-+n n a a 为等比数列；(2)若存在正实数t ，使得数列{+}n S t 为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图,AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ．过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2=-AB BE BD AE AC ．B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为π()3=∈R θρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ()1cos 2=⎧⎨=-⎩为参数x y ααα，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，∈b R ，e >>a b （其中e 是自然数对数的底数），求证：>a b b a ．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．小明和小刚进行篮球投篮比赛，采用五局三胜制，当有人赢得三局时，比赛即停止．已知每局比赛中小明获胜的概率为34． (1)求第三局结束后小明获胜的概率；(2)设比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．23．设0(,)(1)-=-+∑nk knk m P n m C m k，(,)-=nn m Q n m C ，其中m ，*∈n N ．(1)当1=m 时，求(,1)(,1)P n Q n 的值；(2)对+∀∈m N ，证明：(,)(,)P n m Q n m 恒为定值．为直角，有0=OB AB ，即有()0-=OB OB OA ，∴2=OA OB OB ； 代入坐标得2-t 5=t ． 13a b， 3b，则(=-AP x ，(=-BP x ，根据2+=AP BP λ22134)()2-+<y λ．2234403|334-+=<+)(7,)+∞1，函数f ， )(7,)+∞15．解：(1)∵在△ABC 中，3=B ，2=AC ，2=BC ， 由余弦定理得2222cos =+-AC AB BC AB BC B ， 得21242=+-AB AB ，即2280--=AB AB 解之得4=AB ，2=-AB （舍去）．(2)cos 0=>A ，得π02<<A ，sin ==A sintan cos ==AA A 又∵π3=B ，∴tan tan tan tan()1tan tan 533+=-+=-==-A B C A B A B ．16．解：(1)在△AOB 与△COD 中， ∵∥DC AB ，2=DC AB ，∴12==AO AB CO CD ， 又∵2=PE AE ，∴在△APC 中，有12==AO AE CO PE ，则∥OE PC ． 又∵⊄OE 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ，∴∥OE 平面PBC ．(2)∵⊥AB 平面PAD ，⊂DE 平面PAD ， ∴⊥AB DE ．又∵⊥AP DE ，⊂AB 平面PAB ，⊂AP 平面PAB ，⋂=AP AB A ， ∴⊥DE 平面PAB ，⊂PB 平面PAD ， ∴⊥DE PB ．17．解：(1)当010<≤t 时，32()1124100100=+-+<V t t t t ， 化简得211240-+<t t ， 解得3<t 或8>t ，又∵010<≤t ，故04<<t 或810<≤t ，当1012<≤t 时，()4(10)(341)100100=--+<V t t t ，得41103<<t ， 又∵1012<≤t ，故1012<≤t ． 综上得04<<t ，或812<≤t ．∴衰退期为1月，2月，3月，4月，…9月，10月，11，12月共8个月． (2)由(1)知：()V t 的最大值只能在(4,9)内取到． 由322()(1124100)32224''=-+-+=+-V t t t t t t 令()0'=V t ， 得6=t 或43=t （舍去）． 当t 变化时，()'V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在6=t 时取最大值(6)136()=亿立方米V ． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．解：(1)∵圆222:+=x y r O 与椭圆22221(0):+=>>x y ab a C b相交于点(0,1)M∴1==b r ．又∵离心率为e ==c a ∴a∴椭圆22:12+=y C x ．(2)∵过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，∴直线l 的方程为1(0)=+≠y kx k ，由22112=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y 得22(21)40++=k x kx ， ∴222421(,)2121--+++k k B k k ，同理2211=+⎧⎨+=⎩y kx x y 得到22(1)20++=k x kx ，∴22221(,)11--+++k k A k k ，∵23=MB MA ，则224223211--=++k kk k ∵0≠k ，∴=k l 的方程为1=+y x ． ②根据①222421(,)2121--+++k k B k k ，22221(,)11--+++k k A k k ， 222111121-++-+====---+A N NAA N k y y k k k k x x k k ，22222111214221-++-+====---+B N NB B N k y y k k k k x x k k ， ∴2112=k k 为定值．19．解：(1)∵e ,()e |e ,⎧-+≥⎪=--=⎨+-<⎪⎩x xx x a x a f x x a x a x a ，则e 1,()e 1,⎧-≥⎪'=⎨+<⎪⎩x x x af x x a ，∵()f x 在R 上单调递增， ∴()0'≥f x 恒成立，当<x a 时，()e 110'=+≥>xf x 恒成立，当≥x a 时，()e 10'=-≥xf x 恒成立，故()0'≥f a ，即0≥a ．(2)由(1)知当0≥a 时，()f x 在R 上单调递增，不符题意， ∴有0<a ．此时，当<x a 时，()e 110'=+≥>xf x ，()f x 单调递增，当≥x a 时，()e 1'=-xf x ，令()0'=f x ，得0=x ，∴()0'<f x 在(,0)a 上恒成立，()f x 在(,0)a 上单调递减，()0'>f x 在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()()e ==极大af x f a ，()(0)1==+极小f x f a ，即0<a 符合题意．由2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，可得e 1--≥a a ka 对任意0<a 恒成立，设()e (1)1=-+-a g a k a ，求导，得()e (1)'=-+ag a k ，①当1≥-k 时，()0'≥g a 恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递增， 又∵1(1)0e-=+<g k ，与()0>g a 矛盾； ②当0≥k 时，()0'≤g a 在(,0)-∞上恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递减， 又∵(0)0=g ，∴此时()0≥g a 恒成立，符合题意；③当10-<<k 时，令()0'>g a 在(,0)-∞上解集为(ln(1),0)+k ， 即()g a 在(ln(1),0)+k 上单调递增， 又∵(0)0=g ，∴(ln(1))0+<g k 不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0,)+∞． 20．证明：(1)由312+++=n n n n a a a a ，可知323311...+++====n n n n a a aa a a a ，∴212232123212212()++---++==++n n n n n n n na a a a a a a a a a ， 当1=n 时，123+=a a ，即数列212{}-+n n a a 是以3为首项，3a 为公比的等比数列．(2)法一：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 又∵{}+n S t 为等比数列，故有221()()()++++=+n n n S t S t S t ，对+∀∈N n 恒成立，∴222221()()()++++=+k k k S t S t S t 和222322()()()++++=+k k k S t S t S t 对+∀∈N k 恒成立，即123333333112333333333(1)3(1)(2)(1)()()(1)111(2)(1)(2)(1)3(1)(1)(1)()111+++⎧--+-++=++⎨---⎩+-+--++++=+---k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a 对+∀∈N k 恒成立， 解得34=a ，1=t ，此时2132(1)(1)(1)++=+S S S 也成立．∴34=a ，1=t ，即21=-n n S 得到12-=n n a ．法二：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，3212342123333(1)33()()...()111--=++++++==----k kk k ka S a a a a a a a a a a 要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有331=-t a 成立① 故当21=+n k 时，333321123451333(2)(1)22()()...()11111+-+-++=+++++++=+=-+---k k k n n a a a a S a a a a a a a a a a a ．要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有33211+=--a t a 成立② 联立①②得1=t ，34=a 以下同解法一法三：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 要使得{}+n S t 为等比数列必有2243()()()++=+S t S t S t 和2132()()()++=+S t S t S t解得1=t ，34=a ，通过验证1=t ，31=a 时，{}+n S t 为等比数列．以下同解法一第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．解：A ．连接AD ， ∵AB 为圆O 的直径， ∴90∠=︒ADB ，又∵⊥EF AB ，90∠=︒AFE ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， ∴=BD BE BA BF ，又~△△ABC AEF ，即=AB AF AE AC ．∴2()-=-=-=BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ．B ．∵212()5614--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦f λλλλλ，由()0=f λ，得2=λ或3=λ． 当2=λ时，对应的一个特征向量为121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当3=λ时，对应的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；设321211⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m n ，解得11=⎧⎨=⎩m n ，∴33333312122143()12131135⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A αααααC ．∵直线l 的极坐标方程为π()3=∈θρR ， ∴直线l的直角坐标方程为=y ，又∵曲线C 的参数方程为2cos 1cos 2=⎧⎨=-⎩x y αα，∴曲线C 的普通方程为212,[2,2]2=-+∈-y x x ，联立解方程组2122⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y y x ．解得3⎧=⎪⎨=-+⎪⎩x y3⎧=⎪⎨=-⎪⎩x y∴点P的直角坐标方程为(3-． D ．∵0>a b ，0>b a ， ∴要证>a b b a ， 只要证ln ln >a b b a只要证ln ln >b ab a，构造函数ln (),(e,)=∈+∞x f x x x ． 21ln (),(e,)-'=∈+∞x f x x x，()0'<f x 在区间(e,)+∞恒成立， ∴函数()f x 在(e,)∈+∞x 上是单调递减，∴当e >>a b 时，有()()>f b f a 即ln ln >b ab a，得证． 22．解：(1)记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464==P A ．(2)由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()()4416==+=P X131333311345(4)()()()()4444128==+=P X C C ，27(5)(3)(4)128===-==P X P X P X ．∴比赛局数X 的分布列为∴比赛局数X 的数学期望是74527483()34516128128128=⨯+⨯+⨯=E X ．23．解：(1)当1=m 时，1100111(,1)(1)(1)111++--=∑-=∑-=+++nn kkk k nn k k P n C C k n n ， 又∵11(,1)1+==+n Q n C n ，显然(,1)(,1)1=P n Q n ．(2)0(,)(1)-=∑-+nk knk mP n m C m k111111(1)()(1)-----=+∑-++-++n k k k nn n k m mC C m k m k111(1,)(1)---=-+∑-+n k k n k m P n m C m k 0(1,)(1)-=-+∑-+n k knk m m P n m C n m k (1,)(,)=-+mP n m P n m n即(,)(1,)=-+nP n m P n m m n， 由累乘，易求得!!1(,)(0,)()!+==+n n mn m P n m P m n m C ，又∵1(,)+=nn Q n m C ， ∴(,)(,)1=P n m Q n m ．。

南通市 2017 届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1．设复数z a bi （a，b R，i为虚数单位）．若z(43i)i ，则ab的值是▲．【答案】122．已知集合 U{ x | x0} ， A={ x | x ≥ 2} ，则 e U A = ▲．【答案】 { x | 0 x2}3．某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的概率是▲．开始【答案】5S 1， k164．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲ ．S S k2k k 1【答案】 35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用S10N分层抽样的方法抽取一个容量为500 的样本．其中大一年级Y输出 k 抽取 200 人，大二年级抽取100 人．若其他年级共有学生3000 人，则该校学生总人数是▲ ．结束【答案】 7500（第 4题）6．设等差数列a n的前n项和为 S n．若公差d 2 ，a510，则 S10的值是▲．【答案】 1107．在锐角△ABC中，AB 3，AC 4 ．若△ ABC的面积为3 3 ，则BC的长是▲．【答案】138．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y2 1 （a0 ）经过抛物线y28x的焦点，则a2该双曲线的离心率是▲．【答案】5 29．已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为▲．3【答案】 2210． 若直 y2x b 曲 ye xx 的一条切 ， 数b 的 是【答案】 111． 若正 数 x ，y 足 x y1 ，y4的最小 是▲．x y【答案】 812． 如 ，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， ABC 90 ，AB 3， BCDC2．若 E ，F 分 是 段 DC 和 BC 上uuur uuur的 点， AC EF 的取 范 是▲ ．A4 ，6【答案】▲ ．D E CFB（第 12 题）13． 在平面直角坐 系 xOy 中，已知点 A(0 ， 2) ，点 B(1， 1) ， P x 2y 22 上一 点，PB的最大 是 ▲ ．PA 【答案】 214． 已知函数 f (x)x ，x ≥a ， 2 f ( x) ax 恰有 2 个不同的零点， 数3， 若函数 g (x)x3x x a .a 的取 范 是▲．【答案】 (3，2)2二、解答 ：本大 共6 小 ，共90 分．15．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x) Asin xπ（ A0 ， 0 ） 象的相 两条 称 之 的距离π 3，且 点 ( π， 3 ) ．3 2（ 1）求函数 f ( x) 的解析式；（ 2）若角足 f ( )3 f (π ，(0 ，π) ，求角的 ．) 12【解】 周期T ，（1）由条件，2π即2π2π，所以 1，即 f ( x) A sin xπ．⋯⋯3分3因 f ( x) 的 象 点( π，3) ，所以 Asin2π 3，所以A 1，3 232所以f ( x)sin xπ⋯⋯6分3 ．（2）由 f ( )3 f (π) 1 ，2得 sinπ 3sinπ π 1 ， ⋯⋯ 8分33 2 即 sinπ 3cosπ1 ，33所以2sinπ π 1 ，即 sin1⋯⋯ 123 32．分因0 ，π ，所以 π 5π． ⋯⋯14分6或616．（本小 分14 分）如 ，在四棱P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AP =AD ，M ，N 分 棱 PD ， PC 的中点．P求 ：（ 1）MN ∥平面 PAB ；M N（ 2）AM ⊥平面 PCD ．DC【 】（1）因 M ， N 分 棱 PD ，PC 的中点，所以∥ ，⋯⋯2分ABMN DC（第 16又因 底面是矩形，所以∥，题）ABCDAB DC所以∥．⋯⋯4分MN AB又 AB 平面 PAB ， MN平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB ．⋯⋯6分（2）因 AP =AD ， MPD 的中点，所以 AM ⊥ PD ．⋯⋯ 8 分因 平面 PAD ⊥平面 ABCD ，又平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ， CD ⊥AD ， CD 平面 ABCD ，所以 CD ⊥平面 PAD ．⋯⋯10分又AM 平面 ，所以 ⊥ ．⋯⋯12分PADCD AM因 CD ， PD平面 PCD ， CD I PDD ，所以 AM ⊥平面 PCD ．⋯⋯14分17．（本小 分 14 分）x 22在平面直角坐 系xOy 中，已知y 1( ab 0) 的左焦点 F ( 1 ，0)，且a 2b 2y点 ，3) ．B2（1）求 的 准方程；（2）已知 的弦AB 点 F ，且与 x 不垂直．FxD O若 D x 上的一点，DADB ，求AB的 ．ADF，（第 17 题）c 1【解】（1）方法一：由 意，得1 9 ， ⋯⋯3分a 2 4b 2 1a 2b 2c 2，2，解得3.b 2所以 的 准方程x 2y 2 1．⋯⋯5分43方法二：由 意，知23 223 22a(11)( 2)(1 1)(2)4，所以 a 2．⋯⋯2分又 c 1 ， a 2 b 2c 2 ，所以 b3 ，2y 2所以 的 准方程x1 ．⋯⋯5分4 3（ 2）方法 1： 直 AB 的方程 y k( x 1) ．① 若 k =0 ，=2 =4，= =1，所以AB 4 ； ⋯⋯6分DF② 若 k ≠ 0 ，A( x 1， y 1) ， B(x 2， y 2 ) ，AB 的中点 M (x 0， y 0 ) ，代入 方程，整理得(3 4k 2 )x 28k 2x 4k 212 0，所以 x 14k26 k21， x 24k 2 6 k 2 1 ，3 4k 23 4k 2所以 x 03 4k 2，⋯⋯8分4k 2所以 y 0k( x 0 1)3k，34k 2所以 AB 的垂直平分 方程y3k1x 4k 2．3 4k 2k 3 4k 2因= ，所以点D的垂直平分 与x 的交点，DA DBAB所以 D ( k 2 2 ， ，3 4k 0)22所以 DFk1 3 3k．⋯⋯10分3 4k 23 4 k 2因 的左准 的方程x4 ，离心率1 ，2由 AF1，得 AF1 ( x 1 4) ，x 1 4 22同理 BF1( x 24) ．2所以 AB AFBF1 (x 1 x2 ) 4 x 0 4 12 12k 2．⋯⋯12分23 4k 2所以AB4 ．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 2： A( x 1， y 1) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M ( x 0， y 0 ) ，① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ； ⋯⋯ 6 分DF② 若直 AB 不与 x 重合，A( x 1，y 1 ) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M (x 0，y 0 ) ，x 2y 211，由44得 x 1 x 2y 1y 2 0 ，x 22 y 22， 43441所以 (x 1 x 2 ) x 0 ( y 1 y 2 ) y 0 0 ，43所以直 AB 的斜率y 1y 23x 0 ， ⋯⋯8分x 1 x 24 y 0所以 AB 的垂直平分 方程yy4 y 0 ( xx ) ．3 x 0因 DA =DB ，所以点 D AB 的垂直平分 与 x 的交点，所以 D (x 0，0) ，所以 FDx 0 1．⋯⋯10分44同方法一，有 AB x 04 ，⋯⋯12分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 3：① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ．⋯⋯6分DF② 若直 AB 不与 x 重合， A(x 1， y 1 ) ， B( x 2，y 2 ) ，AB 的中点x 1 x 2 y 1 y 2) ，M ( 2 ， 2所以 AB 的垂直平分 方程yy 1y 2x 1x2( xx 1x 2) ． 8 分2yy221y2y 2xx2令 y =0，得 x D1212( x 1 x 2 )2y 12 y 22x 12x 222( x 1x 2 )3(1 1 2 3(1 1 2224 x 1 ) 4 x 2 )x 1x 22( x 1 x 2 )1 x2 1 x 24 1 422( x 1 x 2 ) x 1 x 2 ．8 x 1 x 21 ．所以 DF8同方法一，有AB1( x 1x 2 ) 4 ，2⋯⋯ 10 分 ⋯⋯12 分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯ 14 分DF18．（本小 分16 分）如 ，半AOB 是某 国主 教育基地一景点的平面示意 ，半径OA 的 1 百米．了保 景点，基地管理部 从道路l 上 取一点C ，修建参 路C -D -E -F ，且 CD ，DE ， EF 均与半 相切，四 形CDEF 是等腰梯形． DE ＝ t 百米， 修建每1 百米参，0 t≤ 1，53路的 用 f (t ) 万元， 算 f (t)1，18 t 2.t 3（ 1）用 t 表示 段 EF 的 ；（ 2）求修建 参 路的最低 用．D ElCAOB F（第 18 题）【解】 DE 与半 相切于点Q ， 由四 形 CDEFy是等腰梯形知 OQ l ， DQ ＝QE ，以 OF 所在DQE直 x ， OQ 所在直 y ，建立如所示的平面直角坐 系．xOy（1）方法一：由 意得，lAOB F x 点 E 的坐 ( t，1) ，C⋯⋯ 1 分2直 EF 的方程 y 1 k( xt) （ k0 ），2即 kx y 1 1tk0 ．2因 直 EF 与半 相切，所以 心 O 到直 EF 的距离|1 1tk |1 ，解得 k 4t⋯⋯3分2 ．k 2 1t 24代入 y 1k( xt) 可得，点 F 的坐 (t1，0) ．⋯⋯ 5分24 t所以t 1 t 2 t 1( 4 t2 )1 4t，EF即 EFt 14t （ 0t2）．⋯⋯ 7 分方法二： EF 切 O 于G ， OG ，DE点 E 作 EHAB ，垂足 H ．G因 EHOG ， OFGEFH ，GOFHEF ，lC AOH B F 所以 Rt △ EHF ≌Rt △ OGF ，⋯⋯ 3分所以 HFFGEF1t ．2由 EF 2 1 HF 21 (EF1 t )2 ， ⋯⋯5分2所以 EFt 1 （ 0t 2 ）．⋯⋯7分4 t（2） 修建 参 路的 用y 万元．① 当1t 13 20 t≤ 3 ， y 5 2( 4 t ) t 5( 2 t t ) ，由 y5( 3 2 0 ， y 在 0 1 上 减．2 t 2 )，3所以当 t13， y 取最小 32.5 ；⋯⋯11分② 当 11 t 116 3 23 t2 ， y (8 t)2( 4 t )t12t t2 t 2 ，所以 y1216 4 4( t 1)(3t 2 3t1)⋯⋯13分233，ttt因1t2 ，所以 3t 21 0 ，3t3且当 t( 1，1) ， y 0 ；当 t(1，2) ， y0 ，3所以y 在 ( 1 ， 上 减；在 (1，2) 上 增．3 1)所以当 t 1 ， y 取最小 24.5 ．由①②知，y 取最小24.5 ．⋯⋯15分答：（ 1）EF 的t1( 4t ) 百米；（ 2）修建 参 路的最低 用24.5万元．⋯⋯16分19．（本小 分16 分）已知 { a n } 是公差 d 的等差数列， { b n } 是公比 q 的等比数列， q 1 ，正整数E ( m ， p ， r ) （ mp r ）．（ 1）若 a 1b 2 a 2 b 3 a 3b 1 ，求 q 的 ；（ 2）若数 E 中的三个数构成公差大于1 的等差数列，且 a m b pa pb r a r b m ，求 q 的最大 ；（ 3）若 b n( 1) n 1 ， a m b m a p b p a rb r0 ， 写出 足条件的一个数E2和 的通 公式a n ．（注：本小 不必写出解答 程）【解】（1）由条件，知a 1b 1 q a 1 d b 1q 2 ，即 d b 1 ( q q 2 ) ，d b 1 q 2d b 1 ( q 2a 1 a 1 2db 1， 1).所以 2q 2 q 1 0 ．⋯⋯2分因 q1，所以q1．⋯⋯4分2（2）由 a m b p a p b r ，即 a p a m b p b r ，所以 ( p m)d b m (q p m q r m ) ，同理可得， ( rp) d b m (q rm1) ．⋯⋯ 6 分因 m ，p ，r 成等差数列，所以 pmrp1(r m) ．2q p m t ， 有 2t 2 t 1 0 ，因 q1，所以 t1，故 t1 ，即 q p m 1 ． ⋯⋯8分22所以 1 q 0 ．p m，奇数，又公差大于 1，所以≥ 3 ，⋯⋯10分111所以 | q | ( 1 ) ≥ ( 1 ) 3 ，即 q ≤ - ( 1)3， 2221当3 ， q 取最大 - ( 1) 3．⋯⋯ 12 分2（3） 足 意的数E (m ，m 2 ，m 3) ，此 通 公式a n( 1 )m1( 3 n 3m 1) ， mN * ．288例如： E (1，3，4 ) ， a n3 n 11 ． ⋯⋯ 16 分8820．（本小分16 分）已知函数 f ( x) ax2cos x （a R ）， f ( x)的函数g ( x)．（ 1）明：当 a12， g (x) 在R上增；（ 2）若 f ( x) 在x0 取得极小，求a的取范；（ 3）函数 h( x) 的定域D，区 (m，+) D ，若 h( x) 在 (m，+) 上是函数，称 h( x) 在D上广．明函数y f ( x)x ln x 在 (0 ，) 上广．【解】（1）当1122， f (x)2x cosx ，a所以 f ( x)x sin x ，即 g ( x)x sin x ，⋯⋯ 2分所以 g (x)1cos x≥ 0 ，所以 g ( x) 在R上增．⋯⋯ 4分（2）因 g (x)f( x)2ax si n x ，所以 g ( x) 2 a cos x ．①当 a≥1， g ( x)≥1cos x≥0 ，所以函数 f( x) 在R上增．2若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的增区是(0 ，) ，减区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极小，符合意．⋯⋯ 6分②当 a≤ -11cos x ≤ 0 ，所以函数 f( x) 在R上减．2， g ( x) ≤若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的减区是(0 ，) ，增区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极大，不符合意．⋯⋯8分③ 当1a 1 ，x0(0 ， ) ，使得 cos x02a ，即 g ( x0 )0 ，22但当 x(0 ， x0 ) ，cosx2a ，即g (x) 0，所以函数 f ( x) 在 (0 ， x0 ) 上减，所以 f ( x) f (0)0 ，即函数 f (x) 在 (0 ， x0 ) 减，不符合意．上所述， a 的取范是 1 ，．⋯⋯10分2（3） h( x)ax2cos x x ln x （x0 ），11①若 a0，注意到 ln x x ， ln x2x 2，即ln x 2 x．⋯⋯12分2当x 1 4a 1，2ah ( x)2ax sin x1ln x 2 ax2 x 22( x14a 1)( x14a 1 ) 0．2a2a1 4 a12所以m，函数 h( x) 在 (m ，) 上增．⋯⋯ 14分2a②若 a ≤ 0，当 x>1，h ( x) 2 ax sin x 1ln xsin x 1ln x <0．所以m 1 ，函数h( x)在( m，+) 上减，上所述，函数y f ( x)xln x 在区 (0 ， ) 上广．⋯⋯ 16分数学Ⅱ（附加题）21．【做】本包括 A、 B、 C、D 四小，定其中两，并在相的答区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．A． [ 修 4- 1：几何明 ] （本小分10 分）如，已知 ABO的一条弦，点 P 弧 AB的中点，点 P 任作两条弦 PC， PD，分交于点，．PAB E F求： PE PC PF PD ．【】PA，PB， CD，BC．因∠ PAB =∠ PCB，又点 P 弧 AB的中点，所以∠PAB =∠PBA，所以∠PCB =∠．⋯⋯4分PBA又∠ DCB =∠ DPB，所以∠ PFE =∠ PBA+∠ DPB =∠PCB+∠ DCB=∠ PCD，所以，，，C 四点共．E F D所以 PE PC PF PD．⋯⋯10分B． [ 修 4 2：矩与 ] （本小分10 分）-AE FBOCD（第 21- A 题）PA B E FOCD已知矩1a，点 (1， 1) 在M的作用下得到点( 1， 5) ，求矩M M =b1的特征．【解】由意，1a11，即1a，11b151b，5解得 a 2 ， b 4 ，所以矩 M =12⋯⋯5分1．4矩 M 的特征多式 f (122．) 5 6 14令 f ( )0，得 1 2 ， 23 ，所以 M 的特征 2和3．⋯⋯10分C ． [ 修 4- 4：坐 系与参数方程 ] （本小 分 10 分）在极坐 系中，已知 C 的 心在极 上，且 极点和点π ，求 C 的极坐(3 2，)4方程．【解】方法一：因 心C 在极 上且 极点，所以 C 的极坐 方程=acos ，⋯⋯4分π 在 C 上，又因 点 (3 2，)4所以3 π，解得a 6 ．2= a cos 4所以 C 的极坐 方程=6cos ．⋯⋯10分π 方法二：点(3 2 ， ) 的直角坐 (3 ，3) ，4因 C 点 (0 ，0) ， (3 ，3) ，所以 心 C 在直 x y 30 上．又 心 C 在极 上，所以 C 的直角坐 方程( x 3)2 y 29 ．⋯⋯6分 所以 C 的极坐 方程 =6cos ． ⋯⋯ 10分D ． [ 修 4 5：不等式 ] （本小 分10 分）-已知 a ， b ，c ， d 是正 数，且 abcd1，求 ： a 5 b 5 c 5d 5 ≥ a b c d ．【 】因 a ， b ， c ， d 是正 数，且abcd 1，所以 a 5 b c d ≥ 4 4 a 5 bcd 4a ． ①⋯⋯ 4 分同理 b 5c da ≥ 4b ， ②c 5d a b ≥ 4c ， ③ d 5a bc ≥ 4d ，④将①②③④式相加并整理，即得5555b cd ． ⋯⋯ 10 分a b c d ≥ a 【必做 】第22、 23 ，每小 10 分，共 20 分． 在答 卡指定区域内作答，解答．．．．．．．写出文字明、明程或演算步．22．（本小分 10 分）如，在四棱S ABCD 中，SD平面，四形ABCD是直角梯形，ABCDADCDAB 90， SD AD AB 2，DC 1．S（1）求二面角 S BC A 的余弦；（2） P 是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面 SAD所成角的正弦2 26 ，求段E13CP 的．D CAPB （第 22 题）【解】（1）以D坐原点，建立如所示空直角坐系 D xyz，zD (0 ，0，0) ， B(2 ，2，0) ， C (0 ，1，0) ， S(0 ，0，2) ，Suur uuur uuur(0 ，0 ，2) ．所以 SB(2，2， 2) ， SC(0 ，1， 2) ， DS平面 SBC的法向量n1( x，y，z)，Euur uuur由 n1 SB0 ， n1SC 0，得 2x 2 y 2 z0 且 y 2 z 0 ．D取 z 1 ，得 x1，y 2，A x所以 n1( 1，2 ，1)是平面 SBC的一个法向量．因SD 平面，取平面的一个法向量n2(0，0 ，1)．ABC ABC二面角 S BC A的大小，所以 cosn1n21 | n1|| n 2|6由可知二面角S BC A二面角，CyPB ⋯⋯ 2 分6，6所以二面角S BC A的余弦 6 ．⋯⋯5分6 uuur(2 ，1，0)uuur(1， 1 ，1) ．（2）由（ 1）知 E (1，0，1) ， CB， CEuuur uuur uuur(2 ，1，0)(2，，0)，CP CB（0≤≤1），CPuuur uuur uuur(12，1，1) ．所以 PE CE CP易知 CDuuur(0 ，1，0) 是平面SAD的一个法向量．平面 SAD ，所以CDPE 与平面 SAD 所成的角，uuur uuur uuur uuur所以 sinPE CD1cos PE ，CD，⋯⋯8分uuur uuur5 22PE CD3即51226 ，得 1 或11 （舍）．2231339所以uuur21uuur5，CP(，，，CP333所以段 CP 的 5 ．⋯⋯10分323．（本小分10 分）已知函数f0(x)cxax db（ a0 ， acbd0 ）． f n ( x) f n 1 (x) 的数，n N *．（1）求 f 1( x) ， f 2 ( x) ；（2）猜想 f n ( x) 的表达式，并明你的．【解】（1） f1 (x) f 0( x)cx d bc ad2，ax b(ax b)f2 ( x) f1 ( x)cb ad 2 a(bc ad)．⋯⋯ 2分(ax b)2(ax b)3（2）猜想 f n ( x)(1)n1a n 1(bc ad )n!， n N*．⋯⋯ 4分(ax b) n1明：①当 n1，由（ 1）知正确，② 假当n k ，k N*正确，即有 f k ( x)(1)k 1a k 1(bc ad)k! ．(ax b)k1当 n k1，f k 1 (x) f k( x)(1)k 1a k1(bc ad )k!( ax b) k1(1)k1a k 1(bc ad )k!(ax b) (k 1)(1)k a k(bc ad )(k1)!．(ax b) k 2所以当 n k1成立．由①②得，一切n N *正确．⋯⋯10分。

江苏省南通市2017届高三第一次调研测试理科数学试卷参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．棱锥的体积公式：1V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．{3}AB =，则A B =________为虚数单位，则z 的实部为________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．6．若实数x ，y 满足24,37,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =＋的最大值为________．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：8．如图，在正四棱柱1111–ABCD A B C D 中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥11D A BD -的体积为 ______3cm ．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0,)2x ∈相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．13．已知函数()|||4|f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且A B A C ⊥，则线段BC 的长的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5AB =． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E PC 为的中点，OP OC =，PA PD ⊥．求证：（1）直线PA BDE ∥平面； （2）平面BDE PCD ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O OP 作的垂线交直线y 于点Q ，求2211OP OQ +的值． 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F AD 为的中点，点E BC 在边上，裁剪时先将四边形CDFE EF MNFE 沿直线翻折到处（点C ，D BC M 分别落在直线下方点，N 处，FN BC P 交边于点），再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP ∠=π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ． （1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积．B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在棱长为11112ABCD A B C D -的正方体中，11P C D 为棱的中点，1Q BB 为棱上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP AQ 与所成角的余弦值； （2）若直线1AA APQ 与平面所成的角为45︒，求实数λ的值． 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点2F 的距离为． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E x P 处的切线与轴相交于点，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB △面积的最小值．江苏省南通市2017届高三第一次调研测试数学试卷∞2)(2,+)+2,62]二、解答题：本大题共∠OA OB AOBcos2-ABOA OB3，PC PD P=，PCD．PN MN=2m ）解法一：=0 EFDθ(<19．【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)()144x x f x x x x+-'=--=，（0x >）．2分令()0f x '=，得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． 所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()21,0ax x f x ax x x x--'=--=>．所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=，函数()f x 在(0,+)∞上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 6分因为当10a -≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e e af -+=，所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,+)∞上有零点．综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点．8分（3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln f x ax x x =--，得221(),(0)ax x f x x x--'=>，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<；当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '>>． 所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增．要使得函数()f x 在(0,+)∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数h()=2ln 1x x x +-在(0,+)∞上是增函数，且h(1)=0， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<．13分以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a a g a a a a-=--=>， 所以011x a <<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01(,)ex 上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=----=>≥（因为ln 1x x ≤-），且0()0f x <．所以函数()f x 在02(,)x a上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(0,1)．16分下面证明：ln 1x x ≤-．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（0x >）． 令()0t x '=，得1x =．当(0,1)x ∈时，()0t x '<；当(1,)x ∈+∞时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x ≤-成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x xa x +=，（0x >）有两个不等的实数解． 又因为ln 1x x ≤-，所以222ln 211(1)1x x x a x x x+-=≤=--+，（0x >）． 因为0x >时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当1a =时，1x =，即关于x 的方程2ln x xa x +=有且只有一个实数解．所以<<1a 0．13分（以下解法同解法1）20．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， 2分 整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．4分（2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =． 又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=． 6分当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列． 8分（3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n ∈*N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取20]1n =+，则当10n n >时，原式得证．所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2,)+∞．16分21．A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE =， 所以21322x x x ⨯==，所以2x =． 2分取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．6分又因为2CE x ==，所以OCE △的面积1122S OH CE ==⨯ 10分B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．【解】设ab Acd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵–1A 的属于特征值的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，．4分因为点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，．8分解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 10分C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线.π()4θρ=∈R .被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB =． 10分解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， 3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②．6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，8分所以(0,0),(2,2)A B ，所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =． 10分D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，8分所以max 5y =，此时3sinx =． 22．【解】以{}1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为=(1,2,2)AP ，=(2,0,1)AQ ，所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ <>==，．所以AP 与AQ ． 4分（2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为(,,)x n y z =，则0,0,AP AQ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即220,220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以(2,2,2)n λλ=--．6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒，所以111||=||||||2,AA AA AA cos n <>==n n ， 23．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3分（2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2(,)4t E t 到直线PF 的距离为3|2|t t t d +-= 5分联立方程2,420,x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =所以221212222164(4)1122tt AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7分所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22||t t S t t ++=⨯=⨯．不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x 在)+∞上单调递增．所以当x 32min 4)()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分。

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． （1）【2017年江苏,1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =，则实数a 的值为_______． 【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=，解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年江苏,2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+,其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． (3）【2017年江苏,3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=,则应从丙种型号的产品中抽取630018100⨯=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． (4)【2017年江苏，4,5分】如图是一个算法流程图:若输入x 的值为116,则输出y 的值是_______． 【答案】2-【解析】初始值116x =，不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-．【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5）【2017年江苏，5,5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=．【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题．（6)【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

2017年高考数学最后冲刺浓缩精华卷【江苏专版】第一套数学Ⅰ（文理公共）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．）．． 1．【2017届江苏南京市盐城高三一模】已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I . 【答案】{}1-考点：集合运算【方法点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．【江苏省南通市2017年高考数学全真模拟试题（一）】已知复数12z ai =+, 22z i =-（其中0a >，i 为虚数单位）.若12z z =，则a 的值为__________．【答案】1【解析】由题意， ()2222221a +=+-，又0a >，所以1a =.3．【2017届南京市、盐城市高三年级二模】下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．【答案】30【解析】根据上表数据，根据分层抽样方法可知错误！未找到引用源。

4．函数错误！未找到引用源。

的定义域为__________．【答案】错误！未找到引用源。

【解析】由对数函数及分数的约束条件可得错误！未找到引用源。

，应填答案错误！未找到引用源。

5．【2016-2017学年江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______________．【答案】错误！未找到引用源。

6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．【答案】1 4【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为21 84 =.点睛：此题主要考查有关计数原理、古典概型概率的计算等有关方面的知识和运算技能，属于中低档题型，也是高频考点.在计算古典概型中任意一随机事件发的概率时，关键是要找出该试验的基本事件总数和导致事件发的基本事件数，在不同情况下基本事件数的计算可能涉及排列、组合数的计算和使用分类计数、分步计数原理.7．已知正四棱锥的底面边长是错误！未找到引用源。