2018届安徽省江南十校高三冲刺联考(二模)理科数学试卷

2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足z2＝12+16i，则z的模为（）A．20B．12C．D．2．（5分）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]4．（5分）不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．5．（5分）直线l过抛物线E：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π7．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24]C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24] 8．（5分）函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y ＝g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知x，y满足，z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2B．k≤2C．k≥﹣2D．11．（5分）向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2B．C．1D．412．（5分）y＝f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是．14．（5分）已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|＝．15．（5分）在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x＝2，类似地可得到：＝．16．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．19．（12分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．20．（12分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．21．（12分）设．（1）g（x）＝f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足z2＝12+16i，则z的模为（）A．20B．12C．D．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z2＝12+16i，∴a2+2abi+b2i2＝12+16i，∴（a2﹣b2）+2abi＝12+16i，∴，解得a2＝16，b2＝4，∴z的模|z|＝＝＝2．故选：C．2．（5分）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ为第三象限角，＝，∴tanθ＝＝2，再根据sin2θ+cos2θ＝1，sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθ＝﹣，cosθ＝﹣，∴sinθ﹣cosθ＝﹣，故选：B．3．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]【解答】解：A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|0＜x≤3}；∴∁R A＝{x|x≤2，或x≥4}；∴（∁R A）∩B＝（0，2]．故选：C．4．（5分）不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M、函数的图象与x轴所围成的区域为N如图．正方形区域M得面积为，区域N得面积为．由测度比为面积比，可得向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为．故选：A．5．（5分）直线l过抛物线E：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点坐标为（2，0），∵直线l过抛物线C：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，∴直线l的方程为x＝2，∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为2）dx＝4＝．故选：C．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，如图所示；则该几何体表面积为S＝4×22+2π•12+π•12+π•1•2＝16+5π．故选：A．7．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24]C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24]【解答】解：分析程序的运行过程知，该程序运行后输出y的值；当x∈[﹣2，1）时，3x2+2∈[2，14]，y＝2（3x2+2）﹣4∈[0，24]；当x∈[1，4]时，y＝2x﹣4∈[﹣2，4]；∴输出y的取值范围是[﹣2，24]．故选：D．8．（5分）函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y ＝g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数＝sin x（sin x+cos x）＝•sin2x+sin x cos x＝•+sin2x＝+（sin2x﹣cos2x）＝+•sin（2x﹣），把f（x）的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y＝g（x）＝+•sin（2x﹣2m﹣）的图象，而g（x）为偶函数，∴2m+＝kπ+，k∈Z，∴m＝，故选：D．9．（5分）平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵不在同一条直线三点确定一个平面，∴至少有三个．当有三个点时，如果在平面β的异侧，则不成立；当四个点时，如果在平面β的异侧，且均平行于平面β，也不成立，当有五个点时成立．∴“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为5，三个平面将空间分成m个平面，m的取值为4，6，7，8，即m的最大值为8，可得的最小值为．故选：C．10．（5分）已知x，y满足，z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2B．k≤2C．k≥﹣2D．【解答】解：x，y满足的可行域如图：z＝xy，当x一定，y最大时，z最大，y 一定则x最大时，z最大，所以，最大值一定在线段2x+y＝3上取得，最小值在（0，1.5）处取得．z＝x（3﹣2x）＝﹣2x2+3x，x∈[0，1]，所以z的最大值为：＝，最小值为：0，x2﹣kx+1≥0对x∈[0，]上恒成立，可得k≤，因为≥2，此时x＝1，1∈，所以则k的取值范围为：k≤2．故选：B．11．（5分）向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2B．C．1D．4【解答】解：如图，设＝，＝，＝，，，可得cos∠MON＝＝﹣，即有∠MON＝120°，又＝﹣，＝﹣，，可得cos∠MPN＝，即∠MPN＝60°，由∠MON+∠MPN＝180°，可得O，M，P，N四点共圆C，在△MON中，OM＝ON＝2，MN＝＝2，则圆C的直径为＝4，可得最大值为4．故选：D．12．（5分）y＝f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．【解答】解：设g（x）＝，∴g′（x）＝，∵（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，∴（x﹣2）（（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，当x＞2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（2，+∞）上单调递减，当x＜2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，∴g（4）＜g（3）＜g（），∴＜＜∴f（4）＜2f（3）＜（2+4）f（），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是7920．【解答】解：二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，∴第7项是中间项，展开式共有13项，则n＝12；∴二项式展开式的通项公式为T r+1＝••＝（﹣2）r••，令6﹣＝0，解得r＝4，∴展开式中常数项是T5＝（﹣2）4•＝16×＝7920．故答案为：7920．14．（5分）已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|＝．【解答】解：两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（1，﹣2），则圆在第四象限内；设两个圆的圆心分别为（a，﹣a），（b，﹣b），由于两圆都过点（1，﹣2），则有＝|a|，＝|b|，∴a和b分别为（x﹣1）2+（x﹣2）2＝x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣6x+5＝0 的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝16，∴两圆心的距离|C1C2|＝•|a﹣b|＝4．故答案为：4．15．（5分）在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x＝2，类似地可得到：＝．【解答】解：可以令＝S（S＞0），可得（）+1＝S，即，解得S＝，故答案为：．16．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则：sin A＝，所以：8sin A sin B＝3sin C，解得：2b＝3c，设：b＝3x，c＝2x，a＝2y在△ABC中，利用余弦定理：cos A＝﹣＝，解得：y＝2x．在△ABD中，利用余弦定理：4x2＝﹣2cos∠BDA，在△ACD中，利用余弦定理：﹣2，所以：13x2＝8x2+5，解得：x＝1，所以：b＝3，c＝2，故：＝，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，；当n≥2，＝，可得，又∵当n＝1时也成立，∴；（2），＝，∴T n＝，＝．18．（12分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．【解答】解：（1）（2）由＝，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；（3）由题意可知，∴，∴．19．（12分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．【解答】（1）证明：设AC，BD交于点O，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵A1B＝A1D，O是BD的中点，∴A1O⊥BD，AC∩A1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1，又∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）解：∵AA1＝A1C，O是AC的中点，∴OA1⊥AC，OA1，OA，OB两两垂直，以OA，OB，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设AA1＝A1C＝AB＝2，由题得BD＝2，，OA1＝1，则，，B（0，1，0），A1（0，0，1），设是平面OBB1的一个法向量，，，由，可得，设是平面OB1C的一个法向量，则，＝，由，可得，可得＝，∴二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值为．20．（12分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），∵，＝（﹣1，﹣），∴，故x1+x2＝﹣1，y1+y2＝﹣．将A，B带入椭圆方程中，可得，化简可得：，∴＝，∴直线AB的方程为：y＝﹣（x+）﹣，即x+2y+2＝0．（2）证明：设C（m，n），则，①当直线AB的斜率不存在时，n＝0，由题意可得C（2，0），，或C（﹣2，0），，，此时；②当直线AB的斜率存在时，n≠0，由（1），∴AB：，即直线AB：＝，即3mx+4ny+6＝0，⇒3x2+3mx+3﹣4n2＝0，∴x1+x2＝﹣m，，∵，＝＝，O到AB的距离，∴×．∴S△ABC为定值．21．（12分）设．（1）g（x）＝f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f'（x）＝lnx﹣3ax+3a，即g（x）＝lnx﹣3ax+3a，x∈（0，+∞），，①g（x）在[1，2]上单调递增，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，得；②g（x）在[1，2]上单调递减，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，得，由①②可得a的取值范围为；（2）由（1）知，①a≤0，f'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意；②时，，又f'（x）在上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，∴时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，上单调递增，f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意；③时，，f'（x）在（0，1）上单调递增，∴x∈（1，+∞）上单调递减，∴x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意；④时，，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）在x＝1处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．【解答】解：（1）在曲线M中x2＝cos2α+3sin2α，∴曲线M的普通方程为y＝x2﹣1，x∈[﹣2，2]．在曲线中：．可得ρcosθ﹣ρsinθ＝，∴曲线的直角坐标方程为；x﹣y＝，即y＝x﹣m．（2）联立，x∈[﹣2，2]有两解，令，在[﹣2，2]上有两解，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．【解答】解：（1）|x﹣1|+|x﹣2|≤x+3，可得①，②⇒1＜x＜2，③⇒0≤x≤1，由①②③可得x∈[0，6]；（2）①当m＝0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即对m恒成立，，当且仅当，即时取等号，∴f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|≥4，由x≥2，2x﹣3≥4，解得x≥，即为x≥；1＜x＜2，x﹣1+2﹣x≥4，解得x∈∅；x≤1时，3﹣2x≥4，解得x≤﹣；综上可得．。

江南十校2018年高考二模冲刺卷数 学 试 题（文）本卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号和准考证号。

2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上．．．．对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第II 卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卷．．．规定的位置给出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描写清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，．．．．．．．．．．．．．．在试题卷、草稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卷一并交回。

参考公式：球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．设复数z 满足(2)12i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的为（ ） A ．-i B ．iC ．1-iD ．1+i 2．若集合2{|20},{|||,}A x x x B y y x x A =--≥==∈，则A B = （ ）A ．φB ．[0，1]C ．[0，2]D ．{0，1，2}3．若0,0,220a b a b >>+-=且，则ab 的最大值为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．44．已知点M 是直线:240l x y --=与x 轴的交点，过M 点作直线l 的垂线，得到的直线方程是（ ）A ．220x y --=B ．220x y -+=C ．220x y +-=D ．220x y ++=5．下图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π5．若10,0,2,a b a b ab ab >>+=+且则的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4 D．6．已知点P （x ，y ）的坐标x ，y 满足210,||10x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩则2269x y x +-+的取值范围是（ ）A ．[2，4]B ．[2，16]C ．[4，10]D ．[4，16]7．抛物线24y x =的焦点到准线的距离为（ ）A ．18B ．12 C ．2 D ．48．若将函数cos()(0,0)6y A x A πωω=+>>的图像向左平移6π个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．数列{}n a 为等差数列，且11,2a q ==，则12231111n n n T a a a a a a +=+++的结果可化为（ ）A ．114n -B ．112n -C ．21(1)34n -D ．21(1)32n -10．在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 （ ）A ．16B ．15 C ．14D ．13第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数z满足z2=12+16i，则z的模为()A.20B.12C.2√5D.2√3【答案】C【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算复数相等的充要条件【解析】设z=a+bi，由复数z满足z2=12+16i，列方程组求出a2=16，b2=4，由此能求出z的模．【解答】解：设z=a+bi，∵复数z满足z2=12+16i，∴a2+2abi+b2i2=12+16i，∴(a2−b2)+2abi=12+16i，∴{a2−b2=12,2ab=16,解得a2=16，b2=4，∴z的模|z|=√a2+b2=√16+4=2√5．故选C.2. θ为第三象限角，tan(θ−π4)=13，则sinθ−cosθ=()A.−35√5 B.−15√5 C.35√5 D.15√5【答案】B【考点】三角函数【解析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求出sinθ和cosθ的值，可得sinθ−cosθ的值．【解答】∵θ为第三象限角，tan(θ−π4)=13=tanθ−11+tanθ，∴tanθ=sinθcosθ=2，再根据sin2θ+cos2θ=1，sinθ<0，cosθ<0，∴sinθ=−2√55，cosθ=−√55，∴sinθ−cosθ=−√55，3. 已知全集为R，集合A={x|−x2+6x−8>0}，B={x|log2x3≤0}，则(∁R A)∩B=()A.(−∞, 2]B.(−∞, 3]C.(0, 2]D.[2, 3]【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】解出A，B，然后进行补集、交集的运算．【解答】A={x|2<x<4}，B={x|0<x≤3}；∴∁R A={x|x≤2, 或x≥4}；∴(∁R A)∩B=(0, 2]．4. 不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数y=√2−x2的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A.π8B.π4C.2πD.π16【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意画出图形，再由测度比为面积比得答案．【解答】作出不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M、函数y=√2−x2的图象与x轴所围成的区域为N如图．正方形区域M得面积为2√2×2√2=8，区域N得面积为12×π×(√2)2=π．由测度比为面积比，可得向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为π8．5. 直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A.13B.113C.323D.283【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得直线l的方程为x=2，将y2=8x化为y=±2√2x．如图所示，由定积分的几何意义，得所求阴影部分面积为S=2∫22√2xdx=4√2∫x 1 22dx=4√2×(23x32)|2=4√2×23×2√2=323．故选C．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A.16+5πB.16+3πC.20+4πD.20+5π【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图知该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】根据几何体的三视图知，该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，如图所示；则该几何体表面积为S=4×22+2π⋅12+π⋅12+π⋅1⋅2=16+5π．7. 阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[−2, 4]时，则输出y的范围是（）A.[−8, 4]B.[0, 24]C.[−2, 4]∪(6, 24]D.[−2, 24]【答案】D【考点】程序框图【解析】分析程序的运行过程知该程序运行后输出y的值，讨论x∈[−2, 1)和x∈[1, 4]时，求出y的取值范围．【解答】分析程序的运行过程知，该程序运行后输出y的值；当x∈[−2, 1)时，3x2+2∈[2, 14]，y=2(3x2+2)−4∈[0, 24]；当x∈[1, 4]时，y=2x−4∈[−2, 4]；∴输出y的取值范围是[−2, 24]．8. 函数y=sinx∗sin(x+π3)的图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位后，得到y=g(x)为偶函数，则m的最小值为（）A.π12B.π2C.π3D.π6【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用诱导公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】∵函数y=sinx∗sin(x+π3)=sinx(12sinx+√32cosx)=12⋅sin2x+√32sinxcosx=12⋅1−cos2x2+√34sin2x=14+12(√32sin2x−12cos2x)=14+12⋅sin(2x−π6)，把f(x)的图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位后，得到y=g(x)=14+12⋅sin(2x−2m−π6)的图象，而g(x)为偶函数，∴ 2m +π6=kπ+π2，k ∈Z ，∴ m =π6，9. 平面α内有n 个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α // β，三个平面将空间分成m 个平面，则nm 的最小值为（ ） A.37 B.57C.58D.38【答案】 C【考点】函数的最值及其几何意义 平面的基本性质及推论 【解析】讨论平面α内有n 个点，n =3，n =4不成立，进而得到n 的最小值为5，再求m 的最大值，即可得到所求最小值． 【解答】∵ 不在同一条直线三点确定一个平面， ∴ 至少有三个．当有三个点时，如果在平面β的异侧，则不成立；当四个点时，如果在平面β的异侧，且均平行于平面β，也不成立， 当有五个点时成立．∴ “这n 个点到平面β的距离均相等”是“α // β”的充要条件，则n 的最小值为5， 三个平面将空间分成m 个平面，m 的取值为4，6，7，8， 即m 的最大值为8， 可得nm 的最小值为58．10. 已知x ，y 满足{x ≥0x +2y ≥32x +y ≤3 ，z =xy 的最小值、最大值分别为a ，b ，且x 2−kx +1≥0对x ∈[a, b]上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A.−2≤k ≤2 B.k ≤2C.k ≥−2D.k ≤14572【答案】B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，求出目标函数的最值，利用基本不等式求解k 的范围即可． 【解答】x ，y 满足{x ≥0x +2y ≥32x +y ≤3 的可行域如图：z =xy ，当x 一定，y 最大时，z 最大，y 一定则x最大时，z 最大，所以，最大值一定在线段2x +y =3上取得，最小值在(0, 1.5)处取得． z =x(3−2x)=−2x 2+3x ，x ∈[0, 1]，所以z 的最大值为：−2×(34)2+3×34=98，最小值为：0，x2−kx+1≥0对x∈[0, 98]上恒成立，可得k≤x+1x ，因为x+1x≥2，此时x=1，1∈[0,98brack，所以则k的取值范围为：k≤2．11. 向量m→，n→，p→满足：|m→|=|n→|=2，m→∗n→=−2，(m→−p→)∗(n→−p→)=12|m→−p→|∗|n→−p→|，则|p→|最大值为（）A.2B.√2C.1D.4【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】设OM→=m→，ON→=n→，OP→=p→，求得∠MON=120∘，∠MPN=60∘，可得O，M，P，N四点共圆C，运用余弦定理和正弦定理，可得圆的直径，即为所求最大值．【解答】如图，设OM→=m→，ON→=n→，OP→=p→，|m→|=|n→|=2，m→∗n→=−2，可得cos∠MON=−22×2=−12，即有∠MON=120∘，又PM→=m→−p→，PN→=n→−p→，(m→−p→)∗(n→−p→)=12|m→−p→|∗|n→−p→|，可得cos∠MPN=12，即∠MPN=60∘，由∠MON+∠MPN=180∘，可得O，M，P，N四点共圆C，在△MON中，OM=ON=2，MN=√4+4−2×2×2×(−12)=2√3，则圆C的直径为2√3sin120∘=4，可得|p→|最大值为4．12. y=f(x)的导函数满足：当x≠2时，(x−2)（f(x)+2f′(x)−xf′(x)）>0，则（）A.f(4)>(2√5+4)f(√5)>2f(3)B.f(4)>2f(3)>(2√5+4)f(√5)C.(2√5+4)f(√5)>2f(3)>f(4)D.2f(3)>f(4)>(2√5+4)f(√5)【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】设g(x)=f(x)x−2，可得g(x)在(2, +∞)上单调递减，即可比较大小．【解答】设g(x)=f(x)x−2，∴g′(x)=(x−2)f′(x)−f(x)(x−2)2，∵(x−2)（f(x)+2f′(x)−xf′(x)）>0，∴(x−2)（(x−2)f′(x)−f(x)）<0，当x>2时，(x−2)f′(x)−f(x)）<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(2, +∞)上单调递减，当x<2时，(x−2)f′(x)−f(x)）>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(−∞, 2)上单调递增，∴g(4)<g(3)<g(√5)，∴f(4)4−2<f(3)3−1<√5)√5−2∴f(4)<2f(3)<(2√5+4)f(√5)，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）二项式(√x−2x)n展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是________．【答案】7920【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】根据二项式展开式的二次项系数求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式求得展开式中常数项．【解答】二项式(√x−2x)n展开式中，只有第7项的二次项系数最大，∴第7项是中间项，展开式共有13项，则n=12；∴二项式展开式的通项公式为T r+1=C12r⋅(√x)12−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅C12r⋅x6−3r2，令6−3r2=0，解得r=4，∴展开式中常数项是T5=(−2)4⋅C124=16×12×11×10×91×2×3×4=7920．已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点(1, −2)，则|C1C2|=________．【答案】4√2【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】由题意知圆在第四象限内，设出两圆圆心的坐标，利用条件和根与系数的关系求得两圆圆心距|C1C2|的值．【解答】两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(1, −2)，则圆在第四象限内；设两个圆的圆心分别为(a, −a)，(b, −b)，由于两圆都过点(1, −2)，则有√(a−1)2+(−a+2)2=|a|，√(b−1)2+(−b+2)2=|b|，∴a和b分别为(x−1)2+(x−2)2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2−6x+5=0的两个实数根，∴a+b=6，ab=5，∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=16，∴两圆心的距离|C1C2|=√2⋅|a−b|=4√2．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在√2+√2+√2+⋯中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过√2+x=x确定出来x=2，类似地可得到：1+13+132+⋯+13n−1+⋯=________．【答案】32【考点】类比推理【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．【解答】可以令1+13+132+⋯+13n−1+⋯=S(S>0)，可得13(1+13+132+⋯+13n−1+⋯)+1=S，即13S+1=S，解得S=32，△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且AD=√102，8asinB=3√15c，cosA=−14，则△ABC面积为________．【答案】3√154【考点】正弦定理【解析】直接利用正弦定理求出2b=3c，进一步利用余弦定理求出b=3，c=2，进一步利用三角形的面积公式求出结果．【解答】在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且AD=√102，8asinB=3√15c，cosA=−14，则：sinA=√154，所以：8sinAsinB=3√15sinC，解得：2b=3c，设：b=3x，c=2x，a=2y在△ABC中，利用余弦定理：cosA=−14=4x2+9x2−4y22∗2x∗3x，解得：y=2x．在△ABD中，利用余弦定理：4x2=4x2+104−2∗2x∗√102cos∠BDA，在△ACD中，利用余弦定理：9x2=4x2+104−2∗2x∗√102cos∠ADC，所以：13x2=8x2+5，解得：x=1，所以：b=3，c=2，故：S△ABC=12∗2∗3∗√154=3√154，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）数列{a n}满足a1+2a2+3a3+⋯+na n=2−n+22．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n(1+a n)∗(1+a n+1)，求{b n}的前n项和T n．【答案】当n=1时，a1=2−32=12；当n≥2，na n=2−n+22n −(2−n+12n−1)=n2n，可得a n=12n，又∵当n=1时也成立，∴a n=12n；b n=12n(1+12n)(1+12n+1)，=2n+1(2n+1)(2n+1+1)=2(12n+1−12n+1+1)，∴T n=2(12+1−122+1+122+1−123+1+⋯+12n+1−12n+1+1)，=2(13−12n+1+1)=23−22n+1+1．【考点】数列的求和【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】当n=1时，a1=2−32=12；当n≥2，na n=2−n+22n −(2−n+12n−1)=n2n，可得a n=12n，又∵当n=1时也成立，∴a n=12n；b n=12n(1+12n)(1+12n+1)，=2n+1(2n+1)(2n+1+1)=2(12n+1−12n+1+1)，∴T n=2(12+1−12+1+12+1−12+1+⋯+12+1−12+1)，=2(13−12n+1+1)=23−22n+1+1．甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为711，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】由K 2=110(40×20−30×20)260×50×70×40=1121≈0.524<2.706，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；由题意可知XB(3,411)，∴ EX =n ⋅p =1211，∴ DX =np(1−p)=3⋅411⋅711=84121． 【考点】 独立性检验离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）利用已知条件，直接完成2×2列联表．（2）根据表中数据，求出k 2，即可判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关．（3）利用二项分布，转化求解期望与方差即可． 【解答】由K 2=110(40×20−30×20)260×50×70×40=1121≈0.524<2.706，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；由题意可知XB(3,411)，∴ EX =n ⋅p =1211，∴ DX =np(1−p)=3⋅411⋅711=84121．平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60∘，AA 1=A 1C =AB ，A 1B =A 1D ．（2）设BD 与AC 交于O 点，求二面角B −OB 1−C 平面角正弦值． 【答案】证明：设AC ，BD 交于点O ，∵ 底面ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，又∵ A 1B =A 1D ，O 是BD 的中点，∴ A 1O ⊥BD ，AC ∩A 1O =O ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1，又∵ BD ⊂平面BDD 1B 1，∴ 平面ACC 1A 1⊥平面BDD 1B 1；∵ AA 1=A 1C ，O 是AC 的中点，∴ OA 1⊥AC ，OA 1，OA ，OB 两两垂直， 以OA ，OB ，OA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设AA 1=A 1C =AB =2，由题得BD =2，AC =2√3，OA 1=1， 则A(√3,0,0)，C(−√3,0,0)，B(0, 1, 0)，A 1(0, 0, 1)， 设m →=(x,y,z)是平面OBB 1的一个法向量， OB →=(0,1,0)，BB 1→=AA 1→=(−√3,0,1)，由{m →⋅OB →=0m →⋅BB 1→=0 ⇒{y =0−√3x +z =0 ，可得m →=(1,0,√3)， 设n →=(x,y,z)是平面OB 1C 的一个法向量，则OC →=(−√3,0,0)，OB 1→=OB →+BB 1→=OB →+AA 1→=(0,1,0)+(−√3,0,1)=(−√3,1,1)， 由{n →⋅OC →=0n →⋅OB 1→=0 ⇒{−√3x =0−√3x +y +z =0 ，可得n →=(0,1,−1)， 可得cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=√32⋅√2=−√64， ∴ 二面角B −OB 1−C 平面角正弦值为√64)=√104．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）设AC ，BD 交于点O ，∵ 可得AC ⊥BD ，A 1O ⊥BD ，AC ∩A 1O =O ，即BD ⊥平面ACC 1A 1，平面ACC 1A 1⊥平面BDD 1B 1；（2）可得OA 1，OA ，OB 两两垂直，以OA ，OB ，OA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，求得平面OBB 1的一个法向量和平面OB 1C 的一个法向量，即可． 【解答】证明：设AC ，BD 交于点O ，∵ 底面ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，ACC 1A 1，又∵ BD ⊂平面BDD 1B 1，∴ 平面ACC 1A 1⊥平面BDD 1B 1；∵ AA 1=A 1C ，O 是AC 的中点，∴ OA 1⊥AC ，OA 1，OA ，OB 两两垂直， 以OA ，OB ，OA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设AA 1=A 1C =AB =2，由题得BD =2，AC =2√3，OA 1=1， 则A(√3,0,0)，C(−√3,0,0)，B(0, 1, 0)，A 1(0, 0, 1)， 设m →=(x,y,z)是平面OBB 1的一个法向量， OB →=(0,1,0)，BB 1→=AA 1→=(−√3,0,1)，由{m →⋅OB →=0m →⋅BB 1→=0 ⇒{y =0−√3x +z =0 ，可得m →=(1,0,√3)， 设n →=(x,y,z)是平面OB 1C 的一个法向量，则OC →=(−√3,0,0)，OB 1→=OB →+BB 1→=OB →+AA 1→=(0,1,0)+(−√3,0,1)=(−√3,1,1)， 由{n →⋅OC →=0n →⋅OB 1→=0 ⇒{−√3x =0−√3x +y +z =0 ，可得n →=(0,1,−1)， 可得cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=√32⋅√2=−√64， ∴ 二面角B −OB 1−C 平面角正弦值为√64)=√104．已知椭圆E:x 24+y 23=1，点A 、B 、C 都在椭圆E 上，O 为坐标原点，D 为AB 中点，且CO →=2OD →．（1）若点C 的坐标为(1,32)，求直线AB 的方程；（2）求证：△ABC 面积为定值． 【答案】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，D(x 0, y 0)，∵ CO →=2OD →，CO →=(−1, −32)，∴ D(−12,−34)，故x 1+x 2=−1，y 1+y 2=−32．x 2y 2∴ k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=−34×1kOD=−12，∴ 直线AB 的方程为：y =−12(x +12)−34，即x +2y +2=0． 证明：设C(m, n)，则D(−m 2,−n2)， ①当直线AB 的斜率不存在时，n =0，由题意可得C(2, 0)，A(−1,−32)，B(−1,32)或C(−2, 0)，A(1,−32)，B(1,32)， 此时S △ABC =12∗3∗3=92；②当直线AB 的斜率存在时，n ≠0，由（1）k AB =−34∗1k OC=−3m4n ，∴ AB:y +n2=−3m4n (x +m2)，即直线AB:y =−3m4nx −3m 2+4n 28n=−3m4n x −32n ，即3mx +4ny +6=0，{3mx +4ny +6=03x 2+4y 2=12 ⇒3x 2+3mx +3−4n 2=0， ∴ x 1+x 2=−m ，x 1x 2=1−4n 23，∵ CO →=2OD →，|AB|=√1+9m 216n 2√m 2−4(1−4n 23)=√9m 2+16n 216n 2√4−43n 2−4+16n 23=12√9m 2+16n 2，O 到AB 的距离d =22，∴ S △ABC =3S △OAB =3×12×12√9m 2+16n 2√9m 2+16n 2=92． ∴ S △ABC 为定值．【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，代入椭圆方程，求出D 点坐标得出A ，B 坐标的关系，代入斜率公式求出直线AB 的斜率得出直线方程；（2）设C ，D 坐标，讨论直线AB 的斜率是否存在，联立方程组，计算|AB|，和O 到AB 的距离d ，则S △ABC =3S △AOB ，根据根与系数的关系化简得出结论． 【解答】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，D(x 0, y 0)，∵ CO →=2OD →，CO →=(−1, −32)，∴ D(−12,−34)，故x 1+x 2=−1，y 1+y 2=−32．将A ，B 带入椭圆方程中，可得{x 124+y 123=1 ，∴ k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=−34×1kOD=−12，∴ 直线AB 的方程为：y =−12(x +12)−34，即x +2y +2=0． 证明：设C(m, n)，则D(−m 2,−n2)， ①当直线AB 的斜率不存在时，n =0，由题意可得C(2, 0)，A(−1,−32)，B(−1,32)或C(−2, 0)，A(1,−32)，B(1,32)， 此时S △ABC =12∗3∗3=92；②当直线AB 的斜率存在时，n ≠0，由（1）k AB =−34∗1k OC=−3m4n ，∴ AB:y +n2=−3m4n (x +m2)，即直线AB:y =−3m4nx −3m 2+4n 28n=−3m4n x −32n ，即3mx +4ny +6=0，{3mx +4ny +6=03x 2+4y 2=12 ⇒3x 2+3mx +3−4n 2=0， ∴ x 1+x 2=−m ，x 1x 2=1−4n 23，∵ CO →=2OD →，|AB|=√1+9m 216n 2√m 2−4(1−4n 23)=√9m 2+16n 216n 2√4−43n 2−4+16n 23=12√9m 2+16n 2，O 到AB 的距离d =22，∴ S △ABC =3S △OAB =3×12×12√9m 2+16n 2√9m 2+16n 2=92． ∴ S △ABC 为定值．设f(x)=xlnx −32ax 2+(3a −1)x ．（1）g(x)=f ′(x)在[1, 2]上单调，求a 的取值范围；（2）已知f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围． 【答案】由f ′(x)=lnx −3ax +3a ，即g(x)=lnx −3ax +3a ，x ∈(0, +∞)，g ′(x)=1x −3a ，①g(x)在[1, 2]上单调递增，∴ 1x −3a ≥0对x ∈[1, 2]恒成立，即a ≤13x 对x ∈[1, 2]恒成立，得a ≤16；②g(x)在[1, 2]上单调递减，∴ 1x −3a ≤0对x ∈[1, 2]恒成立，即a ≥13x 对x ∈[1, 2]由①②可得a 的取值范围为(−∞,16]∪[13,+∞)；由（1）知，①a ≤0，f ′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴ x ∈(0, 1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， x ∈(1, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x)在x =1处取得极小值，符合题意； ②0<a <13时，13a >1，又f ′(x)在(0,13a )上单调递增，∴ x ∈(0, 1)时，f ′(x)<0， ∴ x ∈(1,13a )时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, 1)上单调递减，(1,13a )上单调递增， f(x)在x =1处取得极小值，符合题意；③a =13时，13a =1，f ′(x)在(0, 1)上单调递增，∴ x ∈(1, +∞)上单调递减， ∴ x ∈(0, +∞)时，f ′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意；④a >13时，0<13a <1，当x ∈(13a ,1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1, +∞)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∴ f(x)在x =1处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得a ∈(−∞,13)． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）由f ′(x)=lnx −3ax +3a ，g(x)=lnx −3ax +3a ，x ∈(0, +∞)，g ′(x)=1x −3a ，通过①g(x)在[1, 2]上单调递增，②g(x)在[1, 2]上单调递减，转化求解a 的范围． （2）由（1）知，①a ≤0，②0<a <13时，③a =13时，④a >13时，判断导函数的符号，函数的单调性，以及函数的极值，推出a 的范围． 【解答】由f ′(x)=lnx −3ax +3a ，即g(x)=lnx −3ax +3a ，x ∈(0, +∞)，g ′(x)=1x −3a ，①g(x)在[1, 2]上单调递增，∴ 1x −3a ≥0对x ∈[1, 2]恒成立，即a ≤13x 对x ∈[1, 2]恒成立，得a ≤16；②g(x)在[1, 2]上单调递减，∴ 1x −3a ≤0对x ∈[1, 2]恒成立，即a ≥13x 对x ∈[1, 2]恒成立，得a ≥13，由①②可得a 的取值范围为(−∞,16]∪[13,+∞)；由（1）知，①a ≤0，f ′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴ x ∈(0, 1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， x ∈(1, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x)在x =1处取得极小值，符合题意；∴ x ∈(1,13a )时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, 1)上单调递减，(1,13a )上单调递增， f(x)在x =1处取得极小值，符合题意；③a =13时，13a =1，f ′(x)在(0, 1)上单调递增，∴ x ∈(1, +∞)上单调递减， ∴ x ∈(0, +∞)时，f ′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意；④a >13时，0<13a <1，当x ∈(13a ,1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1, +∞)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∴ f(x)在x =1处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得a ∈(−∞,13)．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线M 的参数方程为：{x =cosα−√3sinαy =2sin 2α−2√3sinαcosα （α为参数），曲线N 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=m ．（1）求曲线M 的普通方程与曲线N 的直角坐标方程；（2）曲线M 与曲线N 有两个公共点，求m 的取值范围． 【答案】在曲线M 中x 2=cos 2α+3sin 2α−2√3sinαcosα=1+2sin 2α−2√3sinαcosα=1+y ， ∴ 曲线M 的普通方程为y =x 2−1，x ∈[−2, 2]． 在曲线中：ρcos(θ+π4)=m ．可得ρcosθ−ρsinθ=√2m ，∴ 曲线的直角坐标方程为；x −y =√2m ，即y =x −√2m ．联立{y =x −√2my =x 2−1⇒x 2−x +√2m −1=0，x ∈[−2, 2]有两解， 令g(x)=x 2−x +√2m −1，在[−2, 2]上有两解， ∴ {△=1−4(√2m −1)>012∈[−2,2]g(2)=1+√2m ≥0g(−2)=5+√2m ≥0 ，∴ m ∈[−√22,5√28)．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）利用三角函数的基本关系式，转化求解参数方程的普通方程，化简极坐标方程为普通方程．（2）联立直线方程与抛物线方程，列出不等式组求解即可．在曲线M 中x 2=cos 2α+3sin 2α−2√3sinαcosα=1+2sin 2α−2√3sinαcosα=1+y ， ∴ 曲线M 的普通方程为y =x 2−1，x ∈[−2, 2]． 在曲线中：ρcos(θ+π4)=m ．可得ρcosθ−ρsinθ=√2m ，∴ 曲线的直角坐标方程为；x −y =√2m ，即y =x −√2m ．联立{y =x −√2my =x 2−1⇒x 2−x +√2m −1=0，x ∈[−2, 2]有两解， 令g(x)=x 2−x +√2m −1，在[−2, 2]上有两解， ∴ {△=1−4(√2m −1)>012∈[−2,2]g(2)=1+√2m ≥0g(−2)=5+√2m ≥0 ，∴ m ∈[−√22,5√28)． [选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x −1|+|x −2|． （1）解不等式：f(x)≤x +3；（2）不等式|m|⋅f(x)≥|m +2|−|3m −2|对任意m ∈R 恒成立，求x 的范围． 【答案】|x −1|+|x −2|≤x +3，可得①{x ≥22x −3≤x +3 ⇒2≤x ≤6， ②{1<x <2x −1+2−x ≤x +3 ⇒1<x <2，③{x ≤13−2x ≤x +3 ⇒0≤x ≤1，由①②③可得x ∈[0, 6]；①当m =0时，0≥0，∴ x ∈R ；②当m ≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m −3|对m 恒成立， |2m+1|−|2m−3|≤|(2m+1)−(2m −3)|=4，当且仅当2m ≥3，即0<m ≤23时取等号， ∴ f(x)=|x −1|+|x −2|≥4，由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72，即为x ≥72； 1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀； x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12； 综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．绝对值不等式的解法与证明 不等式恒成立的问题 【解析】（1）分别讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，去掉绝对值，解不等式求并集可得； （2）讨论m =0，m ≠0，由绝对值不等式的性质可得f(x)≥4，再讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，解不等式求并集可得范围． 【解答】|x −1|+|x −2|≤x +3，可得①{x ≥22x −3≤x +3 ⇒2≤x ≤6， ②{1<x <2x −1+2−x ≤x +3 ⇒1<x <2，③{x ≤13−2x ≤x +3 ⇒0≤x ≤1，由①②③可得x ∈[0, 6]；①当m =0时，0≥0，∴ x ∈R ；②当m ≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m −3|对m 恒成立， |2m+1|−|2m−3|≤|(2m+1)−(2m −3)|=4，当且仅当2m ≥3，即0<m ≤23时取等号， ∴ f(x)=|x −1|+|x −2|≥4，由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72，即为x ≥72； 1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀； x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12； 综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．。

2017-2018学年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|x2≥x}，N={y|y=3x+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|x≤0或x＞1}D．{x|0≤x≤1}2．已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知数列{a n}满足a1=15，a2=，且2a n+1=a n+a n+2．若a k•a k+1＜0，则正整数k=（）A．21 B．22 C．23 D．244．设点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1：6，则双曲线的渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=05．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知某四面体的四个顶点坐标分别是A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2），D（1，1，2），则该四面体的正视图的面积不可能为（）A．B．C． D．26．设A是由x轴、直线x=a（0＜a≤1）和曲线y=x2围成的曲边三角形区域，集合Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率为，则实数a的值是（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a的值是（）A．2 B．﹣C．﹣D．﹣28．若把函数y=sin（ωx﹣）的图象向左平移个单位，所得到的图象与函数y=cosωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是（）A．2 B．C．D．9．设点P （x ，y ）在不等式组表示的平面区域上，则z=的最小值为（ ）A ．1B ．C ．2D ．10．对于平面向量，，给出下列四个：p 1：若＞0，则与的夹角为锐角；p 2：“||=||||”是“”的充要条件； p 3：当，为非零向量时，“”是“||=|||﹣|||”的必要不充分条件；p 4：若||=||，则||≥||． 其中的真是（ ）A ．p 1，p 3B ．p 2，p 4C ．p 1，p 2D ．p 3，p 411．已知直线l 是曲线C 1：y=x 2与曲线C 2：y=lnx ，x ∈（0，1）的一条公切线，若直线l 与曲线C 1的切点为P ，则点P 的横坐标t 满足（ ）A ．0＜t ＜B ．＜t ＜1C ．＜t ＜D ．＜t ＜12．已知点M ，N 是抛物线y=4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN=135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y=﹣的距离为d ，若|MN |2=λ•d 2，则λ的最小值为（ ）A ．B ．1﹣C ．1+D ．2+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数则f （log 32）的值为______．14．已知（3x +）（2x ﹣）5的展开式中的各项系数和为4，则x 2项的系数为______．15．已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=CD=1，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ﹣ABC ，当二面角D ﹣AC ﹣B 是直二面角时，三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积为______．16．设数列{a n }满足a n =，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S=______．三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，且满足（2b ﹣a ）•cosC=c •cosA ． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）设y=﹣4sin 2+2sin （C ﹣B ），求y 的最大值并判断当y 取得最大值时△ABC 的形状．18．4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而收获更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动，校学生会实践部的同学随即抽查了学校的40名高一学生，通过调查它们是喜爱读（Ⅱ）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．AC=AD=PD=PC，∠DAC=90°，M在PB上．（Ⅰ）若点M是PB的中点，求证：PA⊥平面CDM；（Ⅱ）在线段PB上确定点M的位置，使得二面角D﹣MC﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆C； +=1（a＞b＞0）的离心率e=，过左焦点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为（﹣，）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C长轴的左、右两端点分别为D，E，点P为椭圆上异于D，E的动点，直线l：x=﹣4与直线PD，PE分别交于M，N两点，试问△F1MN的外接圆是否恒过x轴上不同于点F1的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．21．设函数f（x）=ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）=（x+1）f（x）+a（2x2+3x），若对任意x≥0都有g（x）≤0成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆交BC于E点．（Ⅰ）证明：=；（Ⅱ）若2AD=BD=AC，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（Ⅱ）若P（3，），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．2016年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

安徽省江淮十校2018届高三数学第二次联考试题理
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