广东省深圳市龙城高级中学高一数学上学期期末考试试题

2023-2024学年广东省深圳市高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合{}U 1,234,5,6=，，，{}1,3A =，{}234B =，，，U UB A ⋂=痧（）A ．{1}B ．{5，6}C ．{2，4}D ．{1，2，4，5}【正确答案】B【分析】根据题意，根据补集和交集的定义，直接计算可得.【详解】由已知得，{}U 2,4,5,6A =ð，{}U 1,5,6B =ð，所以，{}U U5,6A B ⋂=痧.故选：B2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（）A ．11a b <B ．2c a b>-C ．2211a bc c >++D ．a c b c>【正确答案】C【分析】举特例即可判断选项A ，B ，D ，利用不等式的性质判断C 即可作答.【详解】当a =1，b =-2时，满足a >b ，但11a b>，排除选项A ；当0c =时，20c a b =-，排除选项B ；因为211c +>0，a >b ，由不等式性质得2211a bc c >++，所以选项C 正确；当c =0时，a |c |>b |c |不成立，排除选项D.故选：C3．函数()2223e ex x x f x -=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，再结合()0f x >，即可求解.【详解】由题意，函数()2223e ex x x f x -=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且()2223()e ex x x f x f x --==--，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ；又当0x >时，22222222111e e e ,e 1,e 01,e e e x x x x xx x x y ->=--<∴->=，所以()22230e ex x x f x -=>-，故排除CD.故选：A4．若幂函数()y f x =的图像经过点(18，，则函数()()26f x f x ⎡⎤-+⎣⎦的最小值为（）A ．114B ．134C ．6D ．72【正确答案】C【分析】根据题意求出幂函数的解析式，再由换元法即可求出函数的最值.【详解】设函数()f x x α=，由题意可知：121818α===，故12α=于是()()()1226[],6f x x f x f x x x =-+≥，t =，则：26x t =+，且0t ≥，故()()()226[]60f x f x x t t t -+==++≥易知函数26y t t =++在[)0,∞+上单调递增，因此当0=t 即6x =时，函数取得最小值6.故选：C.5．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 面积为S 1，扇形BOC 面积为S 2，若124l l =，12S S =（）A ．9B ．8C ．16D ．15【正确答案】D【分析】根据题意，由124l l =可得4OA OB =，再由扇形的面积公式即可得到结果.【详解】设BOC α∠=，由124l l =，得4OA OA OB OB αα⋅==⋅，即4OA OB =，所以222222122221116221512OA OB OA OB OB OB S S OB OB OB ααα---====故选:D6．对实数a 与b ，定义新运算⊗:,1,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数()()()222f x x x x =-⊗-，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭B ．(]2,1--C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎤--+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【正确答案】A【分析】先化简函数()f x 的解析式，再作出函数()f x 的图象，转化为直线y c =与函数()f x 的图象有两个交点，数形结合分析即得解.【详解】令()()2221x x x ---≤，解得312x -≤≤，所以()223,,1,2()32,1,2x x x f x x x ∞∞⎧⎛⎫-∈--⋃+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-∈-⎢⎥⎪⎣⎦⎩，当3=2x 时，234x x -=-，2124x -=；当=1x -时，22x x -=-，221x -=-；作出函数()f x 的图象，如图，若()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，即直线y c =与函数()f x 的图象有两个交点，数形结合可得]3(,21,4∞⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭.故选：A7．设()1cos cos cos ...cos 242n n x x x f x x -=，则44π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．332B ．316C ．-116D 316【正确答案】D【分析】根据二倍角公式可将()1cos cos cos ...cos 242n n x x x f x x -=化简成()1sin 22sin 2n n n xf x x -=，代入计算即可求得结果.【详解】由()1cos cos cos ...cos 242n n x x xf x x -=可得()111111cos cos cos ...cos sin sin 2sin 224222sin sin 2sin 222n n n n nn n n x x x x x x x f x x x x -----===；所以44π2πsin 2sin 4π333π3816616sin f ⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=== ⎪⎝⎭⨯.故选：D8．若,,0a b c >且()710a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为（）A ．32B ．32C ．522D ．2522-【正确答案】D【分析】根据题意，将原式变形，然后结合不等式的性质即可得到结果.【详解】因为,,0a b c >且()710a a b c bc +++=-所以27a ab ac bc +++=-即27a ab ac bc-=+++()21444224a ab ac bc bc =++++()222144424a ab ac bc b c ≤+++++当且仅当b c =时，等号成立，所以(()222a b c ≤++，则2a b c ++≥-故选:D 二、多选题9．下面命题正确的是（）A ．“5x >”是“7x >”的必要不充分条件B ．“0pn <”是“一元二次方程20px mx n ++=有一正一负根”的充要条件C ．设,R x y ∈，则“6x y +≥”是“3x ≥且3y ≥”的充分不必要条件D ．命题“2R,210x x x ∃∈++≤”的否定为“2,210x x x ∀∈++≤R ”【正确答案】AB【分析】由充分和必要条件的定义判断A ；由根与系数的关系结合充分和必要条件的定义判断B ；由不等式的性质结合充分和必要条件的定义判断C ；由否定的定义判断D.【详解】对于A ：当5x >时，不能得到7x >；当7x >时，一定可以得出5x >，即“5x >”是“7x >”的必要不充分条件，故A 正确；对于B ：若0pn <，则212Δ40,0m pn x x np=->=<，所以一元二次方程20px mx n ++=有两个根，且一正一负根，若一元二次方程20px mx n ++=有一正一负根，则120nx x p=<，则0pn <，故B 正确；对于C ：若“6x y +≥”，则不一定有“3x ≥且3y ≥”，比如1,5x y ==，满足6x y +≥，但不满足3x ≥且3y ≥；而若“3x ≥且3y ≥”，则一定有“6x y +≥”，所以“6x y +≥”是“3x ≥且3y ≥”的必要不充分条件，故C 不正确；对于D ：由否定的定义可知，命题“2R,210x x x ∃∈++≤”的否定为“2,210x x x ∀∈++>R ”，故D 不正确；故选：AB10．关于函数()lg 2f x x x =+-的零点，下列说法正确的是：（）（参考数据：lg1.50.176≈，lg1.6250.211≈，lg1.750.243≈，lg1.81250.258≈，lg1.8750.273≈，lg1.93750.287≈）A ．函数()f x 的零点个数为1B ．函数()f x 的零点个数为2C ．用二分法求函数()f x 的一个零点的近似解可取为1.8（精确到0.1）D ．用二分法求函数()f x 的一个零点的近似解可取为1.9（精确到0.1）【正确答案】AC【分析】函数()lg 2f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，确定函数仅有1个零点，根据二分法即可求出零点所在区间.【详解】解：易知函数()lg 2f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，因为(1.5)lg1.5 1.520.176 1.520.3240f =+-≈+-=-<，0lg 2222)2(lg f +-==>，所以函数()f x 在(1.5,2)上有1个零点，取区间中点 1.75x =，则(1.75)lg1.75 1.7520.243 1.7520.0070f =+-≈+-=-<，所以函数()f x 在(1.75,2)上有零点，取区间中点 1.875x =，则(1.875)lg1.875 1.87520.273 1.87520.1480f =+-≈+-=>，所以函数()f x 在区间(1.75,1.875)上有零点，取区间中点 1.8125x =，则(1.8125)lg1.8125 1.812520.258 1.812520.07050f =+-≈+-=>，所以函数()f x 在区间(1.75,1.8125)上有零点，又1.75,1.8125精确到0.1的近似值都是1.8，所以函数()f x 的一个零点的近似解为1.8，故选：AC.三、单选题11．若x ，y 满222x y xy +-=，则（）A ．2x y +≤B ．x y +≥-C ．224x y +≤D ．222x y +≥【正确答案】C【分析】由基本不等式的性质进行逐一判断即可.【详解】因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时取等号，所以()()222222222222x y x y xy x y x yxy ++≥++=+⇒+≥，因为()()()22222222x y x y x y xy x y xy +-+++=+⇒=，而222x y xy +-=，所以()()22234x y x y +-+=，于是有()()()222224232x y x y x yx yx y +++++≥⇒≥⇒-+≤AB 都不正确；由()()22222222234422x y x y x y x y x y +-++≥⇒+≥⇒+≤，故选：C 四、多选题12．已知函数()1515xxf x -=+，())lgg x x =，则（）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()g x 为奇函数C ．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和为0D ．设()()()F x f x g x =+，则()()310F a F a +--<的解集为(1，+∞)【正确答案】BC【分析】由定义判断AB ；由奇函数的性质判断C ；根据()F x 的单调性以及奇偶性解不等式，从而判断D.【详解】对于A ：()1515xxf x -=+，定义域为R ，()()15151515x x x x f x f x -----==-=-++，则()f x 为奇函数，故A 不正确；对于B ：())lgg x x =-x0x >，定义域为R ，()))()lglg xx g x x x g x⎛⎫+-⎪-=+==--=-⎪⎪⎭，则()g x 为奇函数，故B 正确；对于C ：()()()F x f x g x =+，()f x ，()g x 都为奇函数，则()()()F x f x g x =+为奇函数，()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上的最大值与最小值互为相反数，必有()F x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和为0，故C 正确；对于D ：()1551221155151x x x x xf x ⎛⎫-+-==-=- ⎪+++⎝⎭，则()f x 在R 上为减函数，())lgg x x ==()g x 在R 上为减函数，则()()()F x f x g x =+在R 上为减函数，若()()310F a F a +--<即()()31F a F a <+，则必有31a a >+，解得12a >，即()()310F a F a +--<的解集为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 五、填空题13．已知π1sin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π02x <<，则π2πsin cos 63x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭___________.【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值，再结合诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】∵π02x <<，∴πππ633x -<-<，∵π1sin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos π33x ⎛⎫== ⎪⎝⎭-．所以ππππsin sincos 62333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,2πππcos cos πcos 3333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴π2πsin cos cos cos ππ6333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2cos 33x ⎛⎫==⎪⎝⎭-.14．若函数()24,1log 4,1a x ax x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩(0a >，且1a ≠)在R 上单调递减，则a 的取值范围__________.【正确答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分段函数单调递减，则要函数在每一段上单调递减，且分段处，左边函数的函数值大于等于右边函数的函数值，得到不等式组，求出答案.【详解】由题意得：01a <<，且当1x ≤时，()()222424f x x ax x a a =-=--，故21a ≥，且14log 14a a -≥-，解得：112a ≤<，故a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．记函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为T ，若()12f T =，π,09⎛⎫⎪⎝⎭为f (x )图像的对称中心.则ω的最小值为___________.【正确答案】32【分析】首先表示出T ，根据()12f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cos f x x ωϕ=+，0ω>0πϕ<<所以最小正周期2πT ω=，因为()()2πcos cos 2πcos 12f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π3ϕ=，即()πcos 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 239k k ω+=+∈，解得39,Z 2k k ω=+∈，因为0ω>，所以当0k =时min 32ω=.故3216．已知函数()23,0lg ,0x a x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()y f x b =-有四个不同的零点12,x x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，123464x x x x +-<<-，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】31a -<<-【分析】根据含有绝对值函数的图象的性质、对数函数的性质，列不等式634a -<-<-且302a -<，解不等式即得a 的取值范围.【详解】函数()f x 如图所示，由于23y x a =-+的图象关于32a x -=对称，由1234x x x x <<<，所以可得123x x a +=-，又34lg lg x x b -==，所以341x x ⋅=，因此()12343x x a x x +=-，故634a -<-<-，634a -<-<-且302a -<，解得31a -<<-.故答案为.31a -<<-六、解答题17．（1）设a 为正实数，已知11221a a --=求()312236a a a a --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的值；（2）2(log 431)319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯+-【正确答案】（1）-12（2）196【分析】（1）根据分数指数幂运算性质，利用因式分解和平方关系即可求得结果；（2）利用对数运算法则和换底公式化简计算即可求值.【详解】（1）将11221a a --=两边同时平方可得121a a -+-=，即13a a -+=，利用立方差公式分解可得()13222231114a a a a a a ---⎛⎫=++= -⎪-⎝⎭，分别代入数值计算可得()()13322643612a a a a --⎛⎫-+-=⨯-=- ⎪⎝⎭.（2）原式22log 23432321lg 2log 3log 2ln e 32=+⨯+-23314lg10log 33log 2233119413236=+-⨯+-=+-+-=18．解决下列问题：(1)已知()()sin 2cos 63sin 5cos αααα--=---+，求tan α值.(2)已知π0x -<<，1sin cos 6x x +=，求sin cos x x -的值.【正确答案】(1)2819-(2)【分析】（1）由诱导公式，()()sin 2cos sin 2cos 663sin 5cos 3sin 5cos αααααααα---=-⇒=---++，后利用sin tan cos ααα=可得答案；（2）将1sin cos 6x x +=平方后，可得sin cos x x ，结合π0x -<<，可判断sin cos x x -符号，平方后可得答案.【详解】（1）由诱导公式，()()sin 2cos sin 2cos 663sin 5cos 3sin 5cos αααααααα---=-⇒=---++，又sin tan cos ααα=，则tan 2286tan 3tan 519ααα-=-⇒=-+.（2）因1sin cos 6x x +=，则2213523672sin cos sin cos sin cos x x x x x x ++=⇒=-，即sin ，cos x x 一正一负，又π0x -<<，则0cos sin x x >>，即sin cos 0x x -<.又()2711236sin cos sin cos x x x x -=-=，则sin cos 6x x -=.19．已知函数()lg(2)f x x =+.(1)若()()0121f x f x <--<，求x 的取值范围；(2)若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()[](1,2)y g x x =∈的反函数.【正确答案】(1)117|132x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<(2)410x y =-，[]lg 2,lg3x ∈.【分析】（1）由对数的运算以及单调性解不等式；（2）由周期性以及偶函数的性质得出当[1,2]x ∈时，lg(4)y x =-，再由对数和指数函数的关系得出反函数.【详解】（1）(12)lg(32)f x x -=-，由32020x x ->⎧⎨+>⎩得322x -<<，由320lg(32)lg(2)lg12x x x x -<--+=<+，得321102x x -<<+，因为20x +>，所以2321020x x x +<-<+，解得317121x -<<，由322171123x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，得317121x -<<，∴x 的取值范围为117|132x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<；（2）当[1,2]x ∈时，2[0,1]x -∈，因此()(2)(2)(2)lg(4)y g x g x g x f x x ==-=-=-=-，[1,2]x ∈ ，[]lg(4)lg 2,lg 3x ∴-∈，则()y g x =的反函数为410x y =-，[]lg 2,lg3x ∈.20．某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商治谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万合的销售收入为G (x )万元，()()2403,0203000600050,2011x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪++⎩.(1)求年利润s (万元)关于年产量x (万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本)(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.【正确答案】(1)2318050,0203000(2)1050,201x x x s x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩；(2)当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润2360万元.【分析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分020x <≤和20x >两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解；(2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果.【详解】（1）当020x <≤时，2()(6050)318050s xG x x x x =-+=-+-；当20x >时，()()()30002605010501x s xG x x x x -=-+=-+-+，所以函数解析式为2318050,0203000(2)1050,201x x x s x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩.（2）当020x <≤时，因为223180503(30)2650s x x x =-+-=--+，又因为函数s 在(0,20]上单调递增，所以当20x =时，s 取最大值，max (20)2350s s ==；当20x >时，()3000210501x s x x -=-+-+90001029501x x =--++900010(1)29601x x =-+-++2960≤-2360=(当且仅当900010(1)1x x +=+，即29x =时等号成立)因为23602350>，所以29x =时，s 的最大值为2360万元.所以当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润2360万元.21．已知函数()()ππsin ,066f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)当2ω=，求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)若函数()f x 在区间,2ωω⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，求ω的取值范围；(3)若函数()f x 在区间π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个零点，求ω的取值范围.【正确答案】(1)π，ππ,0,Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)0ω<≤(3)13722ω≥>【分析】（1）利用辅助角公式对函数进行化简，然后利用正弦函数的性质求解即可；（2）根据,2ωω⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间的子集，建立不等式组求解即可；（3）函数()f x 有零点即ππ6x k ω-=，ππ6k x ωω=+，Z k ∈，若函数()f x 在区间π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有两个零点，则只有0k =和1k =时在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即可求得答案.【详解】（1）由题意()1πππππ2sin cos 2sin 2sin 2626636f x x x x x ωωωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以当2ω=时，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令π2π,Z 6x k k -=∈，解得ππ,Z 122k x k =+∈，所以()f x 的对称中心为ππ,0,Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.（2）若()π2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,2ωω⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则由πππ2π2π262k x k ω-+≤-≤+，Z k ∈得()f x 的单调递增区间为π2π2π2π,33k k ωωωω⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，因为0ω>，所以π2π,,233ωωωω⎛⎫⎡⎤-⊂- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得03ω<≤.（3）令ππ6x k ω-=，即ππ6k x ωω=+，Z k ∈，若函数()f x 在区间π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个零点，则只有0k =和1k =时在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内，所以πππ63ωω+<且π2ππ63ωω+≥，解得13722ω≥>.22．已知函数()133x x f x =-.(1)若()3f x =，求x 的值；(2)()()320t f t mf t +≥对于[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)33log 2x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(2)[)10,∞-+【分析】（1）根据绝对值计算规则写出()f x 不同区间的解析式，再根据解析式列出等式，根据指数和对数函数计算规则计算即可；（2）将不等式展开，根据指数和对数计算规则计算即可.【详解】（1）当0x <时，()1303x xf x -=-=；当0x ≥时，()133x x f x =-若()3f x =，则()()2133331330x x x x f x -⨯-⇒-===，解得3x =因为30x >，所以332x =，解得3log x =⎝⎭（2）当[]1,2t ∈，()()221133332303t t t t t t f t mf t m ⎛⎫⎛⎫+=+≥ ⎪ ⎪⎝⎝⎭-⎭-即()()4231310t t m +--≥，展开可得()()()2223131301t t t m +--≥+，因为[]1,2t ∈，所以()2310t ->，化简可得()()2231103t t m m +≥⇒≥-++[]1,2t ∈可得()[]23182,10t -∈--+，所以实数m 的取值范围为[)10,-+∞.。

2023-2024学年广东省深圳中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况．拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的是（ ） A ．抽签法B ．按性别分层随机抽样C ．按年龄段分层随机抽样D ．随机数法2．下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）A ．2k π+315°（k ∈Z ）B ．k •360°﹣45°（k ∈Z ）C ．k ⋅360°+7π4(k ∈Z) D ．2kπ+5π4(k ∈Z) 3．角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则√1−sin 2α的值为（ ）A ．35B ．−35C ．45D ．−454．已知α∈（0，π），且cos2α=13，则sin α＝（ ）A ．√33 B ．23C ．13D ．√395．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90～139mmhg 和60～89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg 为标准值．设某人的血压满足函数式P （t ）＝115+25sin （160πt ），其中P （t ）为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内 ③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分 其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（ ）A ．2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B ．2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于12C ．2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D ．2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为20.2%7．将函数f （x ）＝2sin x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）﹣a ＝0在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，则tan （x 1+x 2）＝（ ）A ．√33B ．−√33C ．√3D ．−√38．如果对于任意整数n ，sinnπk ，cos nπk ，tan nπk都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（ ）A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 10．下列各式中，值是12的是（ ）A ．cosxcos(x +π3)+sinxsin(x +π3)B ．tan10°+tan35°+tan10°tan35°C ．tan22.5°1−tan 222.5°D ．2−cos 220°3−sin50°11．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（）A．该校竞赛成绩的极差为70分B．a的值为0.005C．该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D．这组数据的第30百分位数为8112．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(−sin π3，cosπ3)，f（x）＝cosαsin2x﹣sinαcos2x，则下列结论正确的是（）A．1−cos2α=12B．x=2π3是y＝f（x）的图象的一条对称轴C．将函数y＝f（x）图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为y＝sin2xD．y＝f（x）在(0，4π3)内恰有3个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为．14．已知cosα=17，sin（α+β）=5√314，0＜α＜π2，0＜β＜π2，则cosβ＝．15．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0≤φ≤π2)是R上的奇函数，其图象关于点A(3π4，0)对称，且在区间[0，π4]上是单调函数，则ω的值为．16．y＝cos（α+β）+cosα﹣cosβ﹣1的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知f(α)=sin(π−α)cos(2π−α)cos(3π2−α)cos(π2−α)sin(−π−α)．（1）化简f （α）；（2）若α是第三象限角，且sin(α−π)=15，求f （α）的值．18．（12分）据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在（9，12]内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？19．（12分）已知函数f(x)=2√3sin(π−x)cosx +2cos 2x ． （1）若x ∈[−π6，π3]，求函数f （x ）的值域；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣1在区间[−π6，m]上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．20．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m 2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m 2，凤眼莲的覆盖面积y （单位：m 2）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）与y =px 12+k(p ＞0，k ＞0)可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4711）．21．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且直线x=−π2是其图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y＝g（x），已知常数λ∈R，n∈N*，且函数F（x）＝f（x）+λg（x）在（0，nπ）内恰有2023个零点，求常数λ与n的值．22．（12分）已知二次函数f（x）满足：f(x+1)=x2+3x+2．g(x)=log2(2+43x−1)．（1）求f（x）的解析式；（2）求g（x）的单调性与值域（不必证明）；（3）设ℎ(x)=2cosx+mcos2x(x∈[−π2，π2])，若f[h（x）]≥g[h（x）]，求实数m的值．2023-2024学年广东省深圳中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况．拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的是（ ） A ．抽签法B ．按性别分层随机抽样C ．按年龄段分层随机抽样D ．随机数法解：因为总体中使用手机扫码支付的情况按年龄段具有明显差异，所以选择按年龄段分层随机抽样． 故选：C ．2．下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）A ．2k π+315°（k ∈Z ）B ．k •360°﹣45°（k ∈Z ）C ．k ⋅360°+7π4(k ∈Z) D ．2kπ+5π4(k ∈Z) 解：因为74πrad =315°，终边落在第四象限，且与﹣45°角终边相同，故与7π4的终边相同的角的集合S ＝{α|α＝315°+k •360°}＝{α|α＝﹣45°+k •360°}，即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限． 故选：B ．3．角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则√1−sin 2α的值为（ ）A ．35B ．−35C ．45D ．−45解：根据三角函数定义可知cosα=35，又sin 2α+cos 2α＝1，则√1−sin 2α=√cos 2α=cosα=35．故选：A ．4．已知α∈（0，π），且cos2α=13，则sin α＝（ ）A ．√33 B ．23C ．13D ．√39解：由cos2α=13，得1−2sin 2α=13，解得sin α=±√33，又α∈（0，π），∴sin α=√33．故选：A ．5．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90～139mmhg 和60～89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg 为标准值．设某人的血压满足函数式P （t ）＝115+25sin （160πt ），其中P （t ）为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内 ③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分 其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为某人的血压满足函数式P （t ）＝115+25sin （160πt ），又因为﹣1≤sin （160πt ）≤1，所以115﹣25≤P （t ）≤115+25，即90≤P （t ）≤140， 即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，命题①正确； 因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围， 即此人的血压不在健康范围内，命题②错误，③正确； 对于函数P （t ）＝115+25sin （160πt ），其最小正周期为T =2π160π=180（min ）， 则此人的心跳为1T=80次/分，命题④正确．故选：C ．6．孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（ ）A ．2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B ．2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于12C ．2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D ．2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为20.2%解：由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为38.7%＞13，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为31.5%+24.2%=55.7%＞12，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7%﹣2.5%＝36.2%，C 说法错误； 2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%+19.0%2=20.2%，D 说法正确．故选：C ．7．将函数f （x ）＝2sin x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）﹣a ＝0在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，则tan （x 1+x 2）＝（ ）A ．√33B ．−√33C ．√3D ．−√3解：将函数f （x ）＝2sin x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到y ＝2sin2x 的图象；再向右平移π6个单位长度，得到g(x)=2sin2(x −π6)=2sin(2x −π3)的图象．当x ∈[0，π2]时，2x −π3∈[−π3，2π3]．令2x −π3=t ，t ∈[−π3，2π3]， 则关于t 的方程2sin t ＝a 在[−π3，2π3]上有两个不等的实数根t 1，t 2，所以t 1+t 2＝π，即2x 1−π3+2x 2−π3=π，则x 1+x 2=5π6，所以tan(x 1+x 2)=tan 5π6=−√33． 故选：B ．8．如果对于任意整数n ，sinnπk ，cos nπk ，tan nπk都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：当k ＝1时，于任意整数n ，sin nπk =sin n π＝0，cos nπk =cos n π＝±1，tan nπk=tan n π＝0，都是有理数，故整数1是“好整数”．当k ＝2时，若n ＝1，tan nπk =tan π2不存在，故整数2不是“好整数”．当k ＝3时，若整数n ＝1，sin nπk =sin π3=√32，为无理数，故整数3不是“好整数”．当k ＝4时，若整数n ＝1，sin nπk =sin π4=√22，为无理数，故整数4不是“好整数”．综合以上可得，1是最大的“好整数”． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（ ）A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关解：根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确； 由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确； 根据弧度的定义知，180°一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确． 故选：ABC ．10．下列各式中，值是12的是（ ）A ．cosxcos(x +π3)+sinxsin(x +π3)B ．tan10°+tan35°+tan10°tan35°C ．tan22.5°1−tan 222.5°D ．2−cos 220°3−sin50°解：cosxcos(x +π3)+sinxsin(x +π3)=cos(x −x −π3)=cos π3=12，A 正确；tan10°+tan35°+tan10°tan35°＝tan （10°+35°）（1﹣tan10°tan35°）+tan10°tan35°＝tan45°＝1，B 不对； tan22.5°1−tan 222.5°=122tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，C 正确； 2−cos 220°3−sin50°=2−1+cos40°23−sin50°=12(3−sin50°)3−sin50°=12，D 正确．故选：ACD ．11．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（ ）A ．该校竞赛成绩的极差为70分B ．a 的值为0.005C ．该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D ．这组数据的第30百分位数为81解：因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值， 所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为（a +0.008+2a +0.012+0.015+4a +0.030）×10＝70a +0.65＝1，解得a ＝0.005，所以B 正确； 该校竞赛成绩的平均分的估计值x =55×0.005×10+65×0.008×10+ 75×0.012×10+85×0.015×10+95×0.030×10+105×4×0.005×10+115×2×0.005×10＝90.7分，所以C 正确；设这组数据的第30百分位数为m ，则（0.005+0.008+0.012）×10+（m ﹣80）×0.015×10＝0.3，解得m =2413，所以D 错误． 故选：BC ．12．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(−sin π3，cos π3)，f （x ）＝cos αsin2x ﹣sin αcos2x ，则下列结论正确的是（ ）A ．1−cos2α=12B ．x =2π3是y ＝f （x ）的图象的一条对称轴 C ．将函数y ＝f （x ）图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为y ＝sin2xD ．y ＝f （x ）在(0，4π3)内恰有3个零点 解：∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(−sin π3，cos π3)=（−√32，12），∴sinα=12，cosα=−√32，∴α=5π6+2kπ，k ∈Z ，∴f（x）＝cosαsin2x﹣sinαcos2x＝sin（2x﹣α）=sin(2x−5π6−2kπ)=sin(2x−5π6)，k∈Z，对于A：1−cos2α=2sin2α=2×(12)2=12，故A正确；对于B：因为f(2π3)=sin(4π3−5π6)=sinπ2=1，所以x=2π3是y＝f（x）的图象的一条对称轴，故B正确；对于C：将函数y＝f（x）图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为y=sin[2(x+5π6)−5π6]=sin(2x+5π6)，故C错误；对于D：令f（x）＝0，得sin(2x−5π6)=0，解得2x−5π6=kπ，k∈Z⇒x=5π12+kπ2，k∈Z，仅k＝0，1，即x=5π12，11π12符合题意，即y＝f（x）在(0，4π3)内恰有两个零点，故D错误．故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为95．解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，则92×50＝90×30+20x，解得：x＝95，故答案为：95．14．已知cosα=17，sin（α+β）=5√314，0＜α＜π2，0＜β＜π2，则cosβ＝12．解：cosα=17，sin（α+β）=5√314，0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴sinα=√1−(17)2=4√37，cosβ＞0，∴sinαcosβ+cosαsinβ=5√3 14，∴4√37cosβ+17√1−cos2β=5√314，解得cosβ=1 2．故答案为：1 2．15．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0≤φ≤π2)是R上的奇函数，其图象关于点A(3π4，0)对称，且在区间[0，π4]上是单调函数，则ω的值为43．解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0≤φ≤π2)是R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即sinφcosωx＝﹣cosωx sinφ，又因为ω＞0，所以sinφ＝0，因为0≤φ≤π2，所以φ＝0；故f（x）＝sinωx；又因为图象关于点A(3π4，0)对称，则3ωπ4=kπ，k∈Z，所以ω=4k3，k∈Z，因为函数在区间[0，π4]上是单调函数，则12×2πω≥π4，得0＜ω≤4；所以ω=43．故答案为：4 3．16．y＝cos（α+β）+cosα﹣cosβ﹣1的取值范围是[−4，12]．解：y＝cosαcosβ﹣sinαsinβ+cosα﹣cosβ﹣1＝（cosβ+1）cosα﹣（sinβ）sinα﹣（cosβ+1）=√(cosβ+1)2+sin2βsin(α+φ)−(cosβ+1)=√2+2cosβsin(α+φ)−(cosβ+1)由sin（α+φ）∈[﹣1，1]，得−√2+2cosβ−(cosβ+1)≤y≤√2+2cosβ−(cosβ+1)，令t=√1+cosβ，则t∈[0，√2]，则−√2t−t2≤y≤√2t−t2，所以y≥−√2t−t2=−(t+√22)2+12≥−4，当且仅当t=√2，即cosβ＝1时取等号，且y≤√2t−t2=−(t−√22)2+12≤12，当且仅当t=√22，即cosβ=−12时取等号，所以y的取值范围为[−4，12 ]．故答案为：[−4，12 ]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知f(α)=sin(π−α)cos(2π−α)cos(3π2−α)cos(π2−α)sin(−π−α)．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且sin(α−π)=15，求f（α）的值．解：（1）f(α)=sin(π−α)cos(2π−α)cos(3π2−α)cos(π2−α)sin(−π−α)=sinαcosα(−sinα)sinαsinα＝﹣cosα．（2）∵α是第三象限角，且sin(α−π)=15，∴sinα=−15，∴cosα=−√1−sin2α=−√1−125=−2√65，∴f（α）＝﹣cosα=2√6 5．18．（12分）据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在（9，12]内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？解：（1）∵（0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+a ）×3＝1， ∴a =1300， ∵用水量在（9，12]的频率为0.065×3＝0.195， ∴n =390.195=200（户）． （2）∵（0.015+0.025+0.050+0.065+0.085）×3＝0.72＜0.8， （0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050）×3＝0.87＞0.8， ∴15+3×0.80−0.720.87−0.72=16.6（吨）．（3）设该市居民月用水量最多为m 吨， 因为16.6×3＝49.8＜70，所以m ＞16.6，则w ＝16.6×3+（m ﹣16.6）×5≤70，解得m ≤20.64， 故该市居民月用水量最多为20.64吨．19．（12分）已知函数f(x)=2√3sin(π−x)cosx +2cos 2x ． （1）若x ∈[−π6，π3]，求函数f （x ）的值域；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣1在区间[−π6，m]上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．解：（1）由题意得f(x)=2√3sin(π−x)cosx +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，当x ∈[−π6，π3]，则2x +π6∈[−π6，5π6]，则−12≤sin(2x +π6)≤1，则0≤2sin(2x +π6)+1≤3，即函数f （x ）的值域为[0，3]；（2）当x ∈[−π6，m]时，2x +π6∈[−π6，2m +π6]，g(x)=f(x)−1=2sin(2x +π6)，且g （x ）在区间[−π6，m]上有且仅有两个零点，而y ＝sin x 在[−π6，2π)有且仅有2个零点0，π，故π≤2m +π6＜2π，∴5π12≤m ＜11π12，即m ∈[5π12，11π12)． 20．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m 2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m 2，凤眼莲的覆盖面积y （单位：m 2）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）与y =px 12+k(p ＞0，k ＞0)可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4711）．解：（1）函数y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）与y =px 12+k(p ＞0，k ＞0)在（0，+∞）上都是增函数， 随着x 的增加，函数y ＝ka x（k ＞0，a ＞1）的值增加的越来越快，而函数y =px 12+k 的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）符合要求． 根据题意可知x ＝2时，y ＝24；x ＝3时，y ＝36， ∴{ka 2=24ka 3=36，解得{k =323a =32． 故该函数模型的解析式为y =323⋅(32)x，1≤x ≤12，x ∈N *； （2）当x ＝0时，y =323，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是323m 2， 由323⋅(32)x ＞10•323，得(32)x ＞10，∴x ＞log 3210=lg10lg 32=1lg3−lg2≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且直线x=−π2是其图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y＝g（x），已知常数λ∈R，n∈N*，且函数F（x）＝f（x）+λg（x）在（0，nπ）内恰有2023个零点，求常数λ与n的值．解：（1）由三角函数的周期公式可得ω=2ππ=2，∴f（x）＝sin（2x+φ），令2x+φ=π2+kπ(k∈Z)，得x=π4−φ2+kπ2(k∈Z)，由于直线x=−π2为函数y＝f（x）的一条对称轴，所以，−π2=π4−φ2+kπ2(k∈Z)，得φ=3π2+kπ(k∈Z)，由于0＜φ＜π，∴k＝﹣1，则φ=π2，因此，f(x)=sin(2x+π2)=cos2x；（2）由题意可得g（x）＝sin x，所以F（x）＝f（x）+λg（x）＝cos2x+λsin x＝﹣2sin2x+λsin x+1，令F（x）＝0，可得2sin2x﹣λsin x﹣1＝0，令t＝sin x∈[﹣1，1]，得2t2﹣λt﹣1＝0，Δ＝λ2+8＞0，则关于t的二次方程2t2﹣λt﹣1＝0必有两不等实根t1，t2，则t1t2=−12，即t1，t2异号，（i）当0＜|t1|＜1且0＜|t2|＜1时，则方程sin x＝t1和sin x＝t2在区间（0，nπ）（n∈N*）均有偶数个根，从而方程2sin2x﹣λsin x﹣1＝0在（0，nπ）（n∈N*）也有偶数个根，不合乎题意；（ii）当t1＝﹣1时，则0＜t2＜12，当x∈（0，2π）时，sin x＝t1只有一根，sin x＝t2有两根，所以，关于x的方程2sin2x﹣λsin x﹣1＝0在（0，2π）上有三个根，由于2023＝3×674+1，则方程2sin2x﹣λsin x﹣1＝0在（0，1348π）上有3×674＝2022个根，由于方程sin x＝t1在区间（1348π，1349π）上无实数根，方程sin x＝t2在区间（1348π，1349π）上有两个实数解，因此，关于x的方程2sin2x﹣λsin x﹣1＝0在区间（0，1349π）上有2024个根，不合乎题意，（iii）当t1＝1，则−12＜t2＜0，当x∈（0，2π）时，sin x＝t1只有一根，sin x＝t2有两根，所以，关于x的方程2sin2x﹣λsin x﹣1＝0在（0，2π）上有三个根，由于2023＝3×674+1，则方程2sin2x﹣λsin x﹣1＝0在（0，1348π）上有3×674＝2022个根，由于方程sin x＝t1在区间（1348π，1349π）上只有一个根，方程sin x＝t2在区间（1348π，1349π）上无实数解，因此，关于x的方程2sin2x﹣λsin x﹣1＝0在区间（0，1349π）上有2023个根，合乎题意；此时，2×12﹣λ×1﹣1＝1﹣λ＝0，得λ＝1，综上所述：λ＝1，n＝1349．22．（12分）已知二次函数f（x）满足：f(x+1)=x2+3x+2．g(x)=log2(2+43x−1)．（1）求f（x）的解析式；（2）求g（x）的单调性与值域（不必证明）；（3）设ℎ(x)=2cosx+mcos2x(x∈[−π2，π2])，若f[h（x）]≥g[h（x）]，求实数m的值．解：（1）根据题意，二次函数满足f（x+1）＝x2+3x+2，令t＝x+1，则x＝t﹣1，则f（t）＝（t﹣1）2+3（t﹣1）+2＝t2+t，故f（x）＝x2+x；（2）根据题意，函数g(x)=log2(2+43x−1)，对数函数的定义域，有2+43x−1＞0，解可得x＞0，即函数的定义域为（0，+∞）；设u=2+43x−1，y＝log2u，而u=2+43x−1在（0，+∞）上单调递减，y＝log2u单调递增，所以g(x)=log2(2+43x−1)在区间（0，+∞）上单调递减，g（x）的值域是（1，+∞）；（3）结合（2）结论知g(x)=log2(2+43x−1)在（0，+∞）上单调递减且g（1）＝2，又f（x）＝x2+x在（0，+∞）上单调递增且f（1）＝2，故当x≥1时，f（x）≥2≥g（x），0＜x＜1时，f（x）＜2＜g（x），由f[h（x）]≥g[h（x）]⇒h（x）≥1恒成立，即2cos x+m（2cos2x﹣1）≥1在x∈[−π2，π2]上恒成立，设cos x＝t∈[0，1]，则不等式2mt2+2t﹣（m+1）≥0在t∈[0，1]上恒成立，①当m＝0时，不等式化为2t﹣1≥0，显然不满足恒成立；②当m＞0时，将t＝0代入得﹣（m+1）≥0，与m＞0矛盾；③当m＜0时，只需{−(m+1)≥02m+2−(m+1)≥0，变形可得{m≤−1m≥−1，解可得m＝﹣1；综上可得：m＝﹣1．。

深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题评分标准年级：高一 科目：数学命题人：贺险峰 审题人：邱才颙、黎建蒙单项选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CB AB CC BA多项选择题：题号 9 10 11 12 答案 ABCACDBCAB二、填空题:13． 95 ． 14． 12 ． 15. 43 ． 16．1[4,]2−一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”， “老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”， 所以最合理的是按年龄段分层随机抽样. 故选：C2．【详解】因为7πrad 3154=，终边落在第四象限，且与45−角终边相同，故与7π4的终边相同的角的集合{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==−+⋅ 即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限. 故选：B.3．【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=， 又22sin cos 1αα+=，则225cos 31sin cos ααα−===. 故选：A4．【详解】因为21cos 212sin 3αα=−=，所以3sin 3α=±，因为()0,πα∈，所以3sin 3α=. 故选：B .5．【详解】因为某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，又因为1sin(160π)1t −≤≤，所以11525()11525P t −≤≤+，即90()140P t ≤≤， 即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，故①正确； 因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围， 即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确； 对于函数()11525sin(160π)P t t =+，其最小正周期2π1160π80T ==（min ）， 则此人的心跳为180T=次/分，故④正确； 故选：C6．【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为138.7%3>，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为131.5%24.2%55.7%2+=>，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7% 2.5%36.2%−=，C 说法错误；2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%19.0%20.2%2+=，D 说法正确． 故选：C ．7．【详解】将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到2sin 2y x =的图象， 再向右平移π6个单位长度，得到()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，令π23x t −=，π2π,33t ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则关于t 的方程2sin t a =在π2π,33−⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根1t ，2t ，所以12πt t +=，即12ππ22π33x x −+−=，则125π6x x +=，所以()125π3tan tan 63x x +==−． 故选：B8．【详解】考虑三角函数的定义域，将选项代入验证可得最大“好整数”为1 故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确； 根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确. 故选：ABC.10．【详解】ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos 332x x ⎛⎫=−−== ⎪⎝⎭，A 正确；tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒()()tan 10351tan10tan 35tan10tan 35=︒+︒−︒︒+︒︒tan 451=︒=，B 不对；22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒==︒=−︒−︒，C 正确；()2311cos 403sin502cos 2012223sin 503sin503sin502−︒−︒−︒===−︒−︒−︒，D 正确. 故选：ACD11．【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值， 所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为(0.00820.0120.01540.030)10700.651a a a a ++++++⨯=+=，解得0.005a =， 所以B 正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值550.00510650.00810x =⨯⨯+⨯⨯+750.01210850.01510950.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10540.0051011520.0051090.7+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=分，所以C 正确．设这组数据的第30百分位数为m ，则(0.0050.0080.012)10(80)0.015100.3m ++⨯+−⨯⨯=，解得2413m =， 所以D 错误． 故选：BC ．12．【详解】因为ππ31sin ,cos ,3322⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由三角函数的定义得1sin 2α=，3cos 2α=−，所以5π2π,6k k α∈=+Z ， 则()()cos sin 2sin cos 2sin 2f x x x x ααα=−=−5π5πsin 22πsin 2,66x k x k ∈⎛⎫⎛⎫=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，A: 22111cos 22sin 222αα⎛⎫−==⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；B ：因为5π62π4ππsin sin 1332f ⎛⎫⎛⎫=−== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴，故B 正确；C ：将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度， 所得到的函数解析式为5π5πsin 2sin 2665π6y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；D ：令()0f x =，得5πsin 206x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，解得5π5ππ2π,,6122k x k k x k ∈∈−=⇒=+Z Z ， 仅0k =，1，即5π11π,1212x =符合题意， 即()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个零点，故D 错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【详解】设所求平均成绩为x ，由题意得5092309020x ⨯=⨯+⨯，∴95x =. 故答案为：9514．【详解】因为π02α<<且11cos c 2πos 73α=<=，则ππ32α<<， 又02βπ<<，所以π3παβ<+<，且()533sin 142αβ+=<， 所以π2π3αβ<+<，则()()211cos 1sin 14αβαβ+=−−+=−，243sin 1cos 7αα=−=， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++⎡⎤⎣⎦111534311471472=−⨯+⨯=. 故答案为：12 15．【详解】因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，则()()f x f x −=−，即sin cos cos sin x x ϕωωϕ=−， 又因为0ω>，所以sin 0ϕ=，因为π02ϕ≤≤，所以0ϕ=；故()sin f x x ω=； 又因为图象关于点3π,04A ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则3ππ4k ω=，Z k ∈，所以43k ω=，Z k ∈，因为函数在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12ππ24ω⨯≥，得04ω<≤；所以43ω=， 故答案为：43.16．【详解】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=−+−−(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+−−+22(cos 1)sin sin()(cos 1)ββαϕβ=+++−+22cos sin()(cos 1)βαϕβ=++−+由sin()[1,1]αϕ+∈−，得22cos (cos 1)22cos (cos 1)y ββββ−+−+≤≤+−+， 令1cos t β=+，则[0,2]t ∈，则2222t t y t t ≤≤−−−， 所以22212()422y t t t ≥−−=−++≥−，当且仅当2t =，即cos 1β=时取等号，且222112()222y t t t ≤−=−−+≤，当且仅当22t =，即1cos 2β=−时取等号， 所以y 的取值范围为1[4,]2−.故答案为：1[4,]2−四、解答题：本题共6小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本题满分10分）已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫−−− ⎪⎝⎭=⎛⎫−−− ⎪⎝⎭(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin π5α−=，求()f α的值.【详解】（1）()f α=()sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅−==−⋅ --------------5分（2）由诱导公式可知()1sin πsin 5αα−=−=，即1sin 5α=−--------7分又α是第三象限角，所以22126cos 1sin 155αα⎛⎫=−−=−−=− ⎪⎝⎭------------9分 所以()26cos 5f αα=−=.-----------------------10分18（本题满分12分）据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求a 和n 的值；(2)若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；(3)在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？ 【详解】（1）()0.0150.0250.0500.0650.0850.0500.0200.0150.00531a +++++++++⨯=，1.300a ∴=--------------------2分 用水量在(]9,12的频率为0.06530.195⨯=，392000.195n ∴==（户）---------------4分 （2）()0.0150.0250.0500.0650.08530.720.8++++⨯=<，()0.0150.0250.0500.0650.0850.05030.870.8+++++⨯=>，0.800.7215316.60.870.72−∴+⨯=−（吨）-------------------------8分（3）设该市居民月用水量最多为m 吨，因为16.6349.870⨯=<，所以m 16.6>， 则()16.6316.6570w m =⨯+−⨯≤，解得20.64m ≤，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．------------------------12分19（本题满分12分）已知函数()()223sin πcos 2cos f x x x x =−+．(1)若ππ,63x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；(2)若函数()()1g x f x =−在区间π,6m ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【详解】（1）由题意得()()223sin πcos 2cos f x x x x=−+π3sin2cos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，-----------------4分当ππ,63x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2[,]666x +∈−，则1πsin 2126x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为[]0,3；---------------------6分（2）由题()()π2sin 216g x x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=−⎭=在区间π,6m ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，--------7分当π,6x m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,2]666u x m =+∈−+，原问题转化为sin y u =在ππ[,2]66m −+有且仅有2个零点，-----------------9分故π5π11ππ22π,61212 m m ≤+<≤<解得，即5π11π,1212m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是.-------------12分20（本题满分12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份． （参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【详解】（1）函数()0,1x y ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数， 随着x 的增加，函数()0,1xy ka k a =>>的值增加的越来越快，而函数()120,0y px k p k =+>>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型()0,1xy ka k a =>>符合要求，------2分根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为*32323N 2,11,x y x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭；---6分（2）当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3，---------8分 由3233210323x⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，得3102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，-------------9分 所以32lg1011log 10 5.93lg3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈−−，----------------11分 又*N x ∈，所以6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．-----------12分21（本题满分12分）已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=−是其图象的一条对称轴.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*R,N n λ∈∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得2π2πω==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，--------2分 令()π2πZ 2x k k ϕ+=+∈，得()ππZ 422k x k ϕ=−+∈， 由于直线2x π=−为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()πππZ 2422k k ϕ−=−+∈， 得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0πϕ<<，1k ∴=−，则2ϕπ=， 因此，()πsin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；-------------------4分（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin 242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−=−= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，-----------------6分()()()2cos 2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=−++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ−−=，令[]sin 1,1t x =∈−，得2210t t λ−−=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ−−=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =−，则1t 、2t 异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,πN n n *∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ−−=在()()0,πN n n *∈也有偶数个根，不合乎题意；-----------8分（ii ）当11t =−时，则2102t <<，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,1348π上有36742022⨯=个根， 由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上有两个实数解， 因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在区间()0,1349π上有2024个根，不合乎题意，-------------------10分 （iii ）当11t =，则2102t −<<，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,1348π上有36742022⨯=个根， 由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在区间()0,1349π上有2023个根，合乎题意； 此时，2211110λλ⨯−⨯−=−=，得1λ=，综上所述：1λ=，1349n =.---------------------------12分22（本题满分12分）已知二次函数()f x 满足：()2132f x x x +=++．()24log 231xg x ⎛⎫=+ ⎪−⎝⎭(1)求()f x 的解析式；(2)求()g x 的单调性与值域（不必证明）； (3)设()2cos cos 2h x x m x =+（,2ππ2x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦），若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值． 【详解】（1）由题意()2132f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =−，有()22(1)3(1)2f t t t t t =−+−+=+，故()2f x x x =+ ------------2分（2）函数()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪−⎝⎭，由420031x x +>⇒>−，即定义域为()0,+∞， 且4231xu =+−在()0,+∞上单调递减及2log y u =单调递增 所以()24log 231xg x ⎛⎫=+⎪−⎝⎭在()0,+∞上单调递减.---------------4分 且()g x 的值域是()1,+∞------------------6分（3）结合（2）结论知()24log 231xg x ⎛⎫=+⎪−⎝⎭在()0,+∞上单调递减且()12g =， 又()2f x x x =+在()0,+∞上单调递增且()12f =故当1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<， 由()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，-----------------8分 即()22cos 2cos 11x m x +−≥在,22x ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈， 则不等式()22210mt t m +−+≥在[]0,1t ∈上恒成立，-----------9分 ①当0m =时，不等式化为210t −≥，显然不满足恒成立； ②当0m >时，将0t =代入得()10m −+≥，与0m >矛盾； ③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m −+≥⎧≤−⎧⎪⇒⇒=−⎨⎨+−+≥≥−⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为1−．---------------------12分。

高一（上）期末数学试卷（必修一、二）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．已知集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}2．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f （a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）5．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．477．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．10．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．计算的结果是．14．已知4a=2，lgx=a，则x=．15．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．18．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．19．已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．已知集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}={x∈Z|0≤x≤3}={0，1，2，3}，N={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，则M∩N={1，2}．故选：A．2．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的解析式求得f（2）＜0，f（3）＞0，可得f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C．3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α；对于B，根据线面垂直的判定定理进行判断；对于C，若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交；对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行．【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α，故A不正确；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，因为m∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交，故C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．故选B．4．已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f （a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）【考点】对数值大小的比较．【分析】由复合函数的单调性可得函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，进而得出大小关系．【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又，，，因此b＞c＞a，∴f（b）＞f（c）＞f（a）．故选：B．5．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．6．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．47【考点】等比数列的通项公式．【分析】n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，从而应有2n+1=64×210=216，由此能求出结果．【解答】解：因为开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，所以3分钟后占据内存22KB，两个3分钟后占据内存23KB，三个3分钟后占据内存24KB，故n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，则应有2n+1=64×210=216，∴n=15，15×3=45，故选：A．7．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a||=﹣log a|x|，即可得出图象．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选B．8．在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程；②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线；④，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线，故错；对于④，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x0，正确；故选：B．9．如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出水的体积，即可求出容器中水的深度．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，故选：C．10．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．12．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，转化为t2+at+b=0必有两个根t1、t2，分类讨论求解．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．计算的结果是2．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】利用指数幂的运算法则、对数的运算法则和换底公式即可得出．【解答】解：运算=1﹣++lg2+lg5=1﹣0.4+0.4+1=2．故答案为2．14．已知4a=2，lgx=a，则x=．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数函数和对数函数的定义计算即可．【解答】解：∵4a=2，∴22a=2，即2a=1解得a=∵lgx=a，∴lgx=∴x=，故答案为：15．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2x﹣y=0或x+y﹣3=0．【考点】直线的两点式方程．【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=016．已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可得GH∥EF，且GH：EF=2：3，设出三棱锥P﹣ABQ体积为V，=，，=，作差求出多面体ADGE 可得V P﹣DCQ﹣BCHF的体积，则答案可求．【解答】解：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，∴EF∥AB，DC∥AB，则EF∥DC，又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD，又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，=，，设三棱锥P﹣ABQ体积为V，则V P﹣DCQ=．∴=．∴多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【考点】直线的点斜式方程；斜率的计算公式；直线的一般式方程．【分析】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=，求出直线OC的斜率即可；（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．18．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，能证明AB⊥平面ADE．+V B﹣ADE，由此能求出结果．（Ⅱ）凸多面体ABCDE的体积V=V B﹣CDE【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，+V B﹣ADE=．…∴凸多面体ABCDE的体积V=V B﹣CDE19．已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．【考点】函数奇偶性的性质；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）利用f（0）=0，即可求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求出函数的值域，即可求实数t的取值范围；（3）利用函数的单调性，化不等式为具体不等式，分类讨论，即可解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．【解答】解：（1）∵x∈R，∴f（0）=0，∴a=﹣1…．（2）∵，∵0≤x≤1，∴2≤3x+1≤4…．∴…．∴…．（3）在R上单调递减，…．f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）x2﹣mx≤2x﹣2m…．x2﹣（m+2）x+2m≤0（x﹣2）（x﹣m）≤0…．①当m＞2时，不等式的解集是{x|2≤x≤m}②当m=2时，不等式的解集是{x|x=2}③当m＜2时，不等式的解集是{x|m≤x≤2}…．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5，由此能求出A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式．（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x ≥0．利用换元法能求出怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，并能求出其最大收益为多少万元．【解答】解：（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k1=，k2=，∴f（x）=x，x≥0．g（x）=，x≥0；（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x≥0．设=t，则x=t2，0≤t≤∴y=﹣，当t=，也即x=时，y取最大值．答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，可获最大收益万元．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接CN，易证AC⊥平面BCC1B1．由勾股定理可得CN的值，进而可得MN的长；（Ⅱ）取AB中点D，连接DM，DB1，可得四边形MDB1N为平行四边形，可得MN∥DB1，由线面平行的判定定理可得MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）当Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．连接BC1，易证QN⊥BC1．可得A1B⊥QN，A1B⊥MQ，由线面垂直的判定可得．【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．…因为MC=1，CN==，所以MN=…（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1…在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=BC．在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1N∥BC，B1N=BC．所以DM∥B1N，DM=B1N．所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN∥DB1．…因为MN⊄平面ABB1A1，DB1⊂平面ABB1A1…所以MN∥平面ABB1A1．…（Ⅲ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．…证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QN⊥BC1．又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，从而NQ⊥平面A1BC1．…所以A1B⊥QN．…同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ．故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ．…22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）讨论对称轴与区间[0，2]的关系，判断f（x）的单调性，列出方程组解出a，b；（2）令g（x）=，讨论极值点与区间[1，2]的关系判断g（x）的单调性，列出不等式组解出b．【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b＞﹣4a时，当时，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）min=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．。

BA广东深圳龙城高级中学21-22学度高一上年末考试-数学高一数学试卷满分150分 ，考试用时120分钟适用龙城高级中学，考试内容：必修1，必修2第一章.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．图（1）是由哪个平面图形旋转得到的图（1）A B C D2．下列函数中有两个不同零点的是A ．lg y x =B ．2x y =C ．2y x =D ．1y x =-3．如图，111C B A ABC -是体积为1的棱柱，则四棱锥B B AA C 11-的体积是（ ） A. 31B. 21C. 32D. 434．函数()12f x x=-的定义域是A ．[)()+∞⋃-,22,1B ．[)+∞-,1C ．()()+∞⋃∞-,22,D ． 1 22 -⋃+∞(，)(，)5．依照表格中的数据，能够判定方程e x -x -2=0的一个根所在的区间为 （ ）A. (-1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)6．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，下面有三个命题：①//m n αβ⇒⊥；②//m n αβ⊥⇒；③//m n αβ⇒⊥；则真命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．37．若10x -<<，那么下列各不等式成立的是A ．220.2x x x -<<B ．20.22x x x -<<C ．0.222x x x -<<D ．220.2x x x -<< 8．如右图为一个几何体的三视图，其中正视图、侧视图为矩形，府视图为正三角形，112A B =，14AA =，则该几何体的表面积为 A．6B．24C．24+D ．329．函数()y f x =在0 2(，)上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的是 A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．用{}min a b c ，，表示 a b c ，，三个数中的最小值．设(){}min 22 10x f x x x=+-，， （x ≥0），则()f x 的最大值为A ．7B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．11．若{2 2 3 4}A =-，，，，2{| }B x x t t A ==∈，，用列举法表示B = . 12．函数()22log 2y x =+的值域是 ．13．运确实是52log 3333322log 2log log 859-+- ． 14．函数)1(log )(++=x a x f ax 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本题满分12分）已知方程20x px q ++=的两个不相等实根为α，β．集合{} A αβ=，，A B 1正视图侧视图府视图{}2 4 5 6B =，，，，{}1 2 3 4C =，，，，A C A =，AB φ=，求 p q ，的值？16．（本题满分12分） 已知函数2()2||f x x x =-． （Ⅰ）判定并证明函数的奇偶性；（Ⅱ）判定函数()f x 在(1,0)-上的单调性并加以证明．17．（本题满分14分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。

深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一 科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）A. 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（ ）A.35B. 35-C.45 D. 45-4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（ ）A.B.C.D. 5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg 为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值④此人的心跳为80次/分.的其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（ ）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长10个时段占比的中位数为20.2%7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（ ）A.B.C.D. 8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．的的的9. 下列说法中正确的是（ ）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关10. 下列各式中，值是12的是（ ）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（ ）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为8112. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（ ）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.14. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.15. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--的取值范围是_________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一 科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）A 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法【答案】C 【解析】【分析】根据抽样方法确定正确答案.【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.故选：C 2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C. ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈【答案】B 【解析】【分析】AC 项角度与弧度混用，排除AC ；D 项终边在第三象限，排除D.【详解】因为7πrad 3154= ，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4终边相同的角的集合.的{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（ ）A.35B. 35-C.45 D. 45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α===.故选：A4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（ ）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为21cos 212sin3αα=-=，所以sin α=，因为()0,πα∈，所以sin α=.故选：B .5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分其中正确结论的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出()P t 的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.【详解】因为某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，又因为1sin(160π)1t -≤≤，所以11525()11525P t -≤≤+，即90()140P t ≤≤，即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，故①正确；因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围，即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；对于函数()11525sin(160π)P t t =+，其最小正周期2π1160π80T ==（min ），则此人的心跳为180T=次/分，故④正确；故选：C6. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（ ）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为20.2%【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为138.7%3>，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为131.5%24.2%55.7%2+=>，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7% 2.5%36.2%-=，C 说法错误；2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%19.0%20.2%2+=，D 说法正确．故选：C ．7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（ ）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的变换可得()π2sin 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即可结合正弦函数的对称性得12πt t +=，进而125π6x x +=，即可求解.【详解】将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到2sin 2y x =的图象，再向右平移π6个单位长度，得到()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令π23x t -=，π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则关于t 的方程2sin t a =在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根1t ，2t ，所以12πt t +=，即12ππ22π33x x -+-=，则125π6x x +=，所以()125πtan tan 6x x +==．故选：B8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义域代入选项逐个验证即可得出结论.【详解】考虑三角函数的定义域，对于选项A ，当1k =时，sin π,cos π,tan πn n n 对于任意整数n ，都是整数，满足题意；对于B ，当2k =时，2ππtantan n n k =对于整数1，没有意义，不满足题意；同理可得对于C 和D ，当3ππtantan n n k =或4ππtan tan n n k =时，代入验证可知不满足题意；所以可知最大“好整数”为1故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的是（ ）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC 【解析】【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.10. 下列各式中，值是12的是（ ）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒【答案】ACD 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断.【详解】ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos 332x x ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，A 正确；tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒()()tan 10351tan10tan 35tan10tan 35=︒+︒-︒︒+︒︒tan 451=︒=，B 不对；22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒==︒=-︒-︒，C 正确；()2311cos 403sin502cos 2012223sin 503sin503sin502-︒-︒-︒===-︒-︒-︒，D 正确.故选：ACD11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（ ）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为81【答案】BC【解析】【分析】利用频率分布直方图，用样本估计总体，样本的极差、平均值、百分位数相关知识计算即可.【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为(0.00820.0120.01540.030)10700.651a a a a ++++++⨯=+=，解得0.005a =，所以B 正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值550.00510650.00810x =⨯⨯+⨯⨯+750.01210850.01510950.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10540.0051011520.0051090.7+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=分，所以C 正确．设这组数据的第30百分位数为m ，则(0.0050.0080.012)10(80)0.015100.3m ++⨯+-⨯⨯=，解得2413m =，所以D 错误．故选：BC ．12. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（ ）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点【答案】AB 【解析】【分析】利用三角函数的定义求得α，从而得到()f x 的解析式，进而利用三角函数的性质与平移的结论，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为ππ1sin ,cos 332⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由三角函数的定义得1sin 2α=，cos α=，所以5π2π,6k k α∈=+Z ，则()()cos sin 2sin cos 2sin 2f x x x x ααα=-=-5π5πsin 22πsin 2,66x k x k ∈⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，A : 22111cos 22sin 222αα⎛⎫-==⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；B ：因为5π62π4ππsin sin 1332f ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴，故B 正确；C ：将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为5π5πsin 2sin 2665π6y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；D ：令()0f x =，得5πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得5π5ππ2π,,6122k x k k x k ∈∈-=⇒=+Z Z ，仅0k =，1，即5π11π,1212x =符合题意，即()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个零点，故D 错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.【答案】95【解析】【分析】利用平均数的求法计算即可.【详解】设所求平均成绩为x ，由题意得5092309020x ⨯=⨯+⨯，∴95x =.故答案为：9514. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意，分别求得()sin ,cos ααβ+，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为π02α<<且11cos c 2πos 73α=<=，则ππ32α<<，又02βπ<<，所以π3παβ<+<，且()sin αβ+=<，所以π2π3αβ<+<，则()11cos 14αβ+==-，sin α==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦11111472=-⨯+=.故答案为：1215. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.【答案】43【解析】【分析】由函数为奇函数，得0ϕ=，再根据函数图像关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可知43kω=，根据函数的单调性可得04ω<≤，进而得解.【详解】因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，即sin cos cos sin x x ϕωωϕ=-，又因为0ω>，所以sin 0ϕ=，因为π02ϕ≤≤，所以0ϕ=；故()sin f x x ω=；又因为图象关于点3π,04A ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则3ππ4k ω=，Z k ∈，所以43k ω=，Z k ∈，因为函数在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12ππ24ω⨯≥，得04ω<≤；所以43ω=，故答案为：43.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--取值范围是_________．【答案】1[4,]2-【解析】【分析】由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数的性质用含cos β的关系式表示y ，再借助二次函数最值求解即得.【详解】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=-+--(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+--+)(cos 1)αϕβ=+-+)(cos 1)αϕβ=+-+由sin()[1,1]αϕ+∈-，得(cos 1)(cos 1)y ββ-+≤≤+，令t =，则t ∈，则22t y t ≤≤--，所以221(42y t t ≥-=-+≥-，当且仅当t =，即cos 1β=时取等号，且2211(22y t t ≤-=-+≤，当且仅当t =，即1cos 2β=-时取等号，的所以y 的取值范围为1[4,]2-.故答案为：1[4,]2-四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.【答案】（1）()cos f αα=-（2【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.【小问1详解】因为()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅-==-⋅，所以()cos fαα=-.【小问2详解】由诱导公式可知()1sin πsin 5αα-=-=，即1sin 5α=-，又α是第三象限角，所以cos α===所以()cos fαα=-=.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？【答案】（1）1300a =，200n = （2）16.6吨 （3）20.64吨【解析】【分析】（1）频率分布直方图总面积为1，由此即可求解.（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.（3）按题意列不等式即可求解.【小问1详解】()0.0150.0250.0500.0650.0850.0500.0200.0150.00531a +++++++++⨯= ，1.300a ∴=用水量在(]9,12频率为0.06530.195⨯=，392000.195n ∴==（户）【小问2详解】()0.0150.0250.0500.0650.08530.720.8++++⨯=< ，()0.0150.0250.0500.0650.0850.05030.870.8+++++⨯=>，0.800.7215316.60.870.72-∴+⨯=-（吨）【小问3详解】设该市居民月用水量最多为m 吨，因为16.6349.870⨯=<，所以m 16.6>，则()16.6316.6570w m =⨯+-⨯≤，解得20.64m ≤，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【答案】（1）[]0,3（2）5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简可得()f x 的表达式，结合ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定π26x +的范围，即可求得答案；（2）由π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定πππ2[,2666x m +∈-+，根据()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即求得答案.【小问1详解】由题意得()()2πcos 2cos f x x x x=-+的πcos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2[,666x +∈-，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为[]0,3；【小问2详解】由题可得π6m >-，当π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,2666x m +∈-+，()()π2sin 216g x x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=-⎭=，且()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，而sin y x =在π[,2π)6-有且仅有2个零点，分别为0,π，故π5π11ππ22π,61212m m ≤+<∴≤<，即5π11π,1212m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1x y ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【答案】（1）选择模型()0,1x y ka k a =>>符合要求，*32323N 2,11,xy x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭ （2）六月份【解析】【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；（2）由（1）结合已知可得3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，再结合已知数据即可得出答案.【小问1详解】函数()0,1x y ka k a =>>与()120,0y pxk p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数()0,1x y kak a =>>的值增加的越来越快，而函数()120,0y px k p k =+>>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型()0,1x y kak a =>>符合要求，根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为*32323N 2,11,x y x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭；【小问2详解】当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3，由3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，得3102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，又*N x ∈，所以6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =（2）1,1349n λ==【解析】【分析】（1）由周期求得ω，再由对称性求得ϕ得解析式；（2）由图象变换求得()g x ，然后可得()F x 的表达式，令[]sin 1,1t x =∈-，()0F x =化为22210,Δ80t t λλ--==+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，然后分类讨论()0F x =在(0,π)n 上解的个数后得出结论．【小问1详解】由三角函数的周期公式可得()()2π2,sin 2πf x x ωϕ==∴=+，令()π2π2x k k Z ϕ+=+∈，得()ππ422k x k Z ϕ=-+∈，由于直线π2x =-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()πππZ 2422k k ϕ-=-+∈，得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0π,1k ϕ<<∴=-，则π2ϕ=，因此，()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++ ，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得22210,Δ80t t λλ--==+>，【则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,πNn n ∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,πNn n ∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =-时，则212t =，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上有两个实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2024个根，不合乎题意，（iii ）当11t =，则212t =-，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2023个根，合乎题意；此时，1122λ-+=，1λ=，综上所述：1,1349n λ==．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+ ⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．【答案】（1）()2f x x x =+ （2）在()0,∞+上单调递减，值域是()1,+∞．（3）1-【解析】【分析】（1）利用换元法，令1t x =+，代入化简即可求出函数的解析式；（2）可设4231x u =+-，利用复合函数的单调性，即可判定函数的单调性，进而求得值域；（3）由（2）知，()12g =，()12f =，结合()(),f x g x 的单调性可知当1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即为()1h x ≥恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，只需不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解.【小问1详解】由题意()2132f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =-，有()()22(1)312f t t t t t =-+-+=+，故()2f x x x =+【小问2详解】函数()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，由420031x x +>⇒>-，即定义域为()0,∞+，且4231x u =+-在()0,∞+上单调递减及2log y u =单调递增所以()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减．因为()0,x ∞∈+，42231x u =+>-，所以()g x 的值域是()1,∞+【小问3详解】结合（2）结论知()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减且()12g =，又()2f x x x =+在()0,∞+上单调递增且()12f =故当1x ≥时，()()2,01f xg x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()()1f h x g h x h x ⎡⎤⎡⎤≥⇒≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，则不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立；②当0m >时，将0=t 代入得()10m -+≥，与0m >矛盾；③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为-1．【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.。

2023-2024学年广东省深圳高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{1,1,2}A =-，集合{}(1)(3)0B x x x =--=，则()U A B ⋃=ð（）A ．{0,1}B ．{0,3}C ．{2,0}-D ．{2,3}-【正确答案】C【分析】解方程得到集合B ，然后求并集和补集即可.【详解】由题意得{}1,3B =，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-，(){}2,0U A B =- ð.故选：C.2．已知命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(4,)-+∞B ．()21,+∞C ．(),21-∞D ．()3,-+∞【正确答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.【详解】因为命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，所以240x x a -++>在[3,3]x ∈-上有解，所以2max (4)0x x a -++>，而一元二次函数24x x a -++在422(1)x =-=⨯-时取最大值，即22420a -+⨯+>解得4a >-，故选：A3．已知函数()y f x =的定义域为R ，则命题“()y f x =是偶函数”是命题“()()f x f x =对一切实数x 都成立”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【正确答案】C【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析两个命题的关系，结合充分必要条件的定义可得答案．【详解】解：根据题意，若()y f x =是偶函数，即()()f x f x -=，必有()()f x f x =成立，反之，若()()f x f x =，当0x <时，有()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数，故题“()y f x =是偶函数”是命题“()()f x f x =对一切实数x 都成立”的充分必要条件，故选：C ．4．设3log 10a =，0.92b =， 3.10.9c =，则（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b<<【正确答案】A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解即可.【详解】因为33log 10log 92a =>=，()0.921,2b =∈，()3.10.90,1c =∈.故a b c >>.故选：A.5．函数()22e ex x x f x -=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，再结合()0f x >，即可求解.【详解】由题意，函数()22e ex x x f x -=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且()22()e ex xx f x f x --==--，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.又当0x >时，e e 0x xy -=->，所以()220e ex x x f x -=>-，故排除CD.故选：A6．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（）A ．8π-B ．8π-C ．16π-D ．16π-【正确答案】A【分析】先根据图形特征求得4AB BC AC ===，从而ABC S = ABC 的面积218463S ππ=⨯⨯=，最后根据“莱洛三角形”面积与扇形面积之间的关系求出其面积即可.【详解】解：由题意可知等边三角形的边长为4，即4AB BC AC ===,所以扇形ABC 的面积等于以A 为圆心，AB 为半径的圆的面积AB 的16，故扇形ABC 的面积218463S ππ=⨯⨯=，又1442ABC S =⨯⨯⨯该“莱洛三角形”的面积为328ABC S S π-=- 故选：A.7．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A ．2cos 2xB π26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=，又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin=16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．8．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =.函数|1|()(13)x g x e x --=-<<，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】A【分析】首先根据题干条件确定抽象函数()f x 的对称性和周期性，然后根据()f x 的性质及()g x 的解析式画出()f x 与()g x 在()1,3-的图像，观察图像，结合函数对称性求解所有交点横坐标之和.【详解】由()(2)f x f x =-，可知函数()f x 的图像关于直线1x =对称，又 ()f x 为偶函数，()()()22f x f x f x ∴=-=+，故函数()f x 是周期函数，且周期2T =，|1|()(13)x g x e x --=-<<，∴()g x 的图像也关于直线1x =对称，当12x ≤≤时，1()2,()x f x x g x e -=-=，设1()2,(12)x h x x e x -=--≤≤，则1()10x h x e -'=-+<，即函数()h x 在[1,2]为减函数，又(1)0h =，即()0≤h x ，即函数()f x ，()g x 的图像在(1,2)无交点，则函数()f x ，()g x 在(1,3)-上的图像如图所示，可知两个图像有3个交点，一个在直线1x =上，另外两个关于直线1x =对称，则三个交点的横坐标之和为3.故选：A二、多选题9．设正实数a ，b 满足+=1a b ，则（）A ．11a b+有最小值4B 12CD ．22+a b 有最小值12【正确答案】ACD【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】选项A ：1111()()224a b a b b a b a a b +=++=++≥+=，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；选项B122a b +≤=，当且仅当12a b ==12，故B 错误；选项C：212a b =++=+≤，，当且仅当12a b ==时取等号，故C 正确；选项D：由1=22a b +≤2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确.故选：ACD.10．已知22sin(3)cos(5)()3cos sin 22f παπααππαα-+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()y f x =为奇函数B ．6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值大于零C ．若tan 2α=，则2()5f α=D ．若12()25f α=，()0,απ∈，则7sin cos 5αα-=【正确答案】AD【分析】利用诱导公式化简得()sin cos f ααα=-，可求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据奇函数的定义即可判断()y f x =是否为奇函数，构造齐次式方程，代入tan 2α=，即可求出()f α的值，利用同角三角函数的平方关系，即可求出7sin cos 5αα-=±，再根据三角函数值的正负，即可求出结果.【详解】解：()2222sin cos sin(3)cos(5)()sin cos 3sin cos cos sin 22f ααπαπααααππαααα⋅--+==-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()sin cos f x x x =-，()y f x = 的定义域为R ，(0)sin 0cos 00f =-=，且()()()sin()cos()sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=---=--==-，()y f x ∴=为奇函数，A选项正确；πππ1()sin cos 0666224f =-=-⨯=-<，B 选项错误；2222sin cos tan 22()sin cos sin cos tan 1215f ααααααααα---=-====-+++，C 选项错误；若12()sin cos 25f ααα=-=，则()2221249sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 122525αααααααα-=+-=-=+⨯=，即7sin cos 5αα-=±，()0,απ∈ ，sin 0α∴>，而12sin cos 025αα-=>，cos 0α∴<，则7sin cos 5αα-=，D 选项正确；故选：AD.11．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()310f x f x +++=，且()1f x +为偶函数，则（）A ．()20f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为周期函数D ．()4f x +为偶函数【正确答案】AC【分析】A 选项：根据()1f x +为偶函数得到()()11f x f x +=-+，再结合()()310f x f x +++=得到()()310f x f x ++-+=，令=1x -，即可得到()20f =；C 选项：根据()()310f x f x +++=得到()()4f x f x +=，即可得到()f x 的周期是4；B 选项：根据()()310f x f x ++-+=得到()()4f x f x +=--，再结合周期性即可得到()()f x f x --=，()f x 为奇函数；D 选项：根据()f x 为奇函数和()f x 的周期是4即可得到()4f x +为奇函数.【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，又()()310f x f x +++=，所以()()310f x f x ++-+=，令=1x -，得()()220f f +=，所以()20f =，故A 正确；因为()()310f x f x +++=，所以()()2=-+f x f x ，()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期是4，又()()310f x f x ++-+=，所以()()()4f x f x f x +=--=，所以()f x 为奇函数，故B 错，C 正确；因为()f x 为奇函数，且()f x 的周期是4，所以()4,0是()f x 的对称中心，()()44f x f x +=--+，()4f x +为奇函数，故D 错.故选：AC.12．已知函数()24,0{21,0x x x x f x x -+<=->，若关于x 的方程()()244230f x f x λλ-++=有5个不同的实根，则实数λ可能的取值有（）A ．32-B ．43-C ．76-D ．87-【正确答案】BC【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可知关于()f x 的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可.【详解】作出函数()24,021,0x x x x f x x -⎧+<=⎨->⎩的图象如下，因为关于x 的方程()()244230fx f x λλ-++=有5个不同的实根，所以关于()f x 的一元二次方程有两个不同的根且满足1()0f x -<<，4()1f x -<≤-，令()t f x =,则244230t t λλ-++=的两根满足10,41t t -<<-<≤-，令2()4423g t t t λλ=-++，则(4)0(1)0(0)0g g g ->⎧⎪-≤⎨⎪>⎩，即18670670230λλλ+>⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩，解得3726λ-<≤-故选：BC三、填空题13．计算：cos20sin50cos50cos70︒︒-︒︒=____________．【正确答案】12##0.5【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式求解即可.【详解】cos20sin50cos50cos70︒︒-︒︒cos20sin50cos50sin20=︒︒-︒︒()sin 5020=︒-︒sin 30=︒12=.故1214．若()26661log 3log 2log 18log 2a -+⋅=，则a 的值为_________【正确答案】1【分析】利用对数的运算性质进行计算.【详解】()()()()22666666661log 3log 2log 1812log 3log 31log 31log 3log 221log 3a -+⋅-++-+=-()2266666612log 3log 31log 322log 3121log 322log 3-++--===--故答案为.115．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；【正确答案】45a ≤<【详解】()()12120f x f x x x ->-⇒log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单调递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围16．已知函数()2ln 2ln 1030x x x f x x ⎧+->⎪=≤，，，若()2f a =，则=a __________．【正确答案】3e -或e 或25-【分析】分00，a a >≤两种情况，化简()2f a =，可得答案.【详解】若()2022123，ln ln ln a f a a a a >=⇒+-=⇒=-或ln 1a =，得3e a -=或e a =；若()03225，a f a a ≤=-=⇒=-.综上，3e a -=或e a =或25a =-.故3e -或e 或25-四、解答题17．（1）已知sin cos 22αα⋅=sin cos αα⋅的值；（2）已知22log cos log sin 1αα-=-，求sin cos sin cos αααα+-的值；【正确答案】（1）38-；（2）3.【分析】（1）根据指数的运算性质可得1sin cos 2αα+=，再由sin cos αα+与sin cos αα⋅的关系求值即可.（2）由对数的运算性质可得tan 2α=，再由正余弦的齐次计算求目标式的值.【详解】（1）由sin cos 22αα⋅=1sin cos 2αα+=，∴()21cos sin 12sin cos 4αααα+=+=，解得3sin cos 8αα⋅=-.（2）由22log cos log sin 1αα-=-，可得：cos 1sin 2αα=，即tan 2α=，∴sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---.18．()log (1)log (3),(0,1),(1)2a a f x x x a a f =++->≠=-(1)求a 值以及函数()f x 的定义域；(2)求函数()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；(3)求函数()f x 的单调递增区间．【正确答案】(1)12，(1,3)-；(2)2-；(3)(1,3)﹒【分析】(1)由f (1)＝－2解得a ，由1＋x ＞0且3－x ＞0解得定义域；(2)化简f (x )解析式，根据x 范围求出真数部分范围，即可求其最值；(3)根据复合函数单调性判断方法“同增异减”即可﹒【详解】（1）(1)log (11)log (31)2log 22a a a f =++-==-，解得；12a =故1122()log (1)log (3)f x x x =++-，由1030x x +>⎧⎨->⎩，解得：13x -<<，故函数的定义域是(1,3)-；（2）由(1)得()21122()log (1)(3)log 23f x x x x x =+-=-++，令2323,0,2t x x x ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦得2(1)4[3,4]t x =--+∈，则原函数为[]12log ,3,4y t t =∈，由于该函数12log y t =在[3,4]t ∈上单调递减，∴min 12log 42y ==-，因此，函数()y f x =在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-；（3）由(1)得：()21122()log (1)(3)log 23f x x x x x =+-=-++，令22()23(1)4,(1,3),()g x x x x x g x =-++=--+∈-的对称轴是1x =，故()g x 在(1,1)-递增，在(1,3)递减，∴()f x 在(1,3)递增，在(1,1)-递减，故函数()f x 单调递增区间为(1,3)．19．某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【正确答案】(1)()0.125,()f x x g x ==(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，写出年收益的解析式，利用换元法可得最大年收益.【详解】（1）由题意设投入x 万元，稳健型产品的年收益()f x mx =，风险型产品的年收益()g x =由图知，函数()f x 和()g x 的图象分别过点(1,0.125)和(1,0.5)，代入解析式可得0.125,0.5m n ==，所以()0.125,()f x x g x ==（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，用于投资风险型产品的资金为20x -，年收益为y ，则10.125(8y x x =+=+，[0,20]x ∈令t 2211(420)[(2)24]88y t t t =---=---，[0,t ∈当2t =，即16x =时，max 3y =，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.20．已知函数()222cos f x x x m =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为6.(1)求常数m 的值；(2)当x R ∈时，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x ，求函数()g x 的单调递减区间、对称中心.【正确答案】(1)3(2)单调递减区间为,,21223k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；对称中心,4,424k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.【分析】（1）先对()f x 化简，根据最大值求m ；（2）利用整体代入法求单调递减区间和对称中心.【详解】（1）()222cos sin 21cos 22sin 216f x x x m x x m x m π⎛⎫+++++=+++ ⎪⎝⎭，由70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()f x 的最大值为2+m +1=6，解得m =3.（2）由（1）知，()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到()2sin 446g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.要求函数()g x 的单调递减区间，只需3242262k x k πππππ+≤+≤+，解得,,21223k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.所以()g x 的单调递减区间为,,21223k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦要求函数()g x 的对称中心，只需4,6x k k Z ππ+=∈，解得,424k x k Z ππ=-∈.所以()g x 的对称中心为(,4),424k k Z ππ-∈.21．函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，其中//MN x 轴.(1)试写出函数()y f x =的解析式；(2)将()y f x =的图象向左平移π3个单位得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在区间(,)m m -上单调递增，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)5()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)π0,6⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】（1）由题图知35ππ4123T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求得2ω=，应用五点法求ϕ，即可得解析式；（2）根据图象平移写出()y g x =解析式，由正弦型函数的性质求其增区间，结合已知区间求m 的范围.【详解】（1）由图知，点M 与N 间的最大值对应的横坐标为1πππ2263⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()f x 的最小正周期为T ，则35ππ4123T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得T π=，则2ω=，把π,13⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 中，即πsin 213ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得7π2π(Z)6k k ϕ=+∈，因为||πϕ<，故5π6ϕ=-，所以5()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）由题知，π5π()sin 2πsin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+()k ∈Z 得：()ππππZ 63k x k k -+≤≤+∈，又(,)m m -中0m m >>-，即ππ(,),63m m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，故m 的取值范围是π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．定义在D 上的函数()y f x =，如果满足：存在常数0M >，对任意x D ∈，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.(1)证明：()1=+x f x x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是有界函数；(2)若函数()111142x x f x a +--⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭在[)1,-+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)[]5,1-【分析】（1）根据1()111x f x x x ==-++，利用求解单调性求解；（2）根据()111x 142x x f a +--⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭在[)1-+∞，上是以3为上界的有界函数，令112x t +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(]01t ∈，，转化24(a t t a t t ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-+⎪⎩，在1](0,t ∈时恒成立求解.【详解】（1）解：1()111x f x x x ==-++，则()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，故11()()()22f f x f -≤≤，即11()3f x -≤≤，故|()|1f x ≤，故()f x 是有界函数；（2）因为()111142x x f x a +--⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭在[)1-+∞，上是以3为上界的有界函数，所以111-31432x x a +--⎛⎫≤+⋅+≤ ⎪⎝⎭在[)1-+∞，上恒成立，令112x t +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(]01t ∈，，所以2313a t t -≤+⋅+≤在1](0,t ∈时恒成立，所以24()a t t a t t ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-+⎪⎩，在1](0,t ∈时恒成立，函数2y t t =-在1](0,t ∈上严格递减，所以21,1t a t-≥∴≤；函数4()y t t =-+在1](0,t ∈上严格递增，所以45,5t a t ⎛⎫-+≤-∴≥- ⎪⎝⎭.所以实数a 的取值范围是[]5,1-.。

2023-2024学年广东省深圳市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}24xA x =>，{}ln 1B x x =<，则集合A B = （）A ．(,e)-∞B ．(2,e)C ．(,1)-∞D ．(0,2)【正确答案】B【分析】解不等式求得集合A 、B ，由此求得A B ⋂.【详解】()224222,x x A >=⇒>⇒=+∞，()ln 1ln e 0e 0,e x x B <=⇒<<⇒=，所以()2,e A B ⋂=.故选：B2．记0cos(80)k -=，那么0tan100=A ．kB ．k-C D ．【正确答案】B【详解】()cos 80k -= ,cos80k ∴= ,从而sin80==sin 80tan 80cos80∴==，那么tan100tan(18080)tan 80=-=-=故选B ．3．使不等式101x<<成立的一个充分不必要条件是（）.A ．102x <<B ．1x >C ．2x >D ．0x <【正确答案】C解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式101x<<，∴011x x>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得1x >，故不等式的解集为：(1,)+∞，则其一个充分不必要条件可以是2x >，故选：C ．本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．4．下列函数是偶函数且在区间(–),0∞上为减函数的是（）A ．2y x =B ．1y x=C ．y x =D ．2y x =-【正确答案】C根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】2y x =不是偶函数；1y x=不是偶函数；y x =是偶函数，且函数在(),0∞－上是减函数，所以该项正确；2y x =-是二次函数，是偶函数，且在(–),0∞上是增函数，故选：C.5．将函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A ．3x π=B ．6x π=C ．23x π=D ．x π=【正确答案】D【分析】根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式，从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.【详解】将函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则函数解析式变为2cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；向左平移3π个单位得2cos 2cos 33y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为：x k π=，k ∈Z ，k ＝1时，x π=.故选：D.6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则3131x y x y +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【正确答案】A 【分析】将3131x y x y +--分离常数为112131x y ++--，由1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，可得1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，再结合基本不等式求解即可.【详解】由311311112131131131x y x y x y x y x y -+-++=+=++------，又1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，所以1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，所以()11111311311124131131311x y x y x y x y y x ⎛⎫--+=-+-+=+++≥+= ⎪------⎝⎭，当且仅当131311x y y x --=--，即32x =，12y =时，等号成立，故3131x y x y +--的最小值为6.故选：A.7．已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log 2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b>>【正确答案】A首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<.故选：A.关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2x f x =的性质，后面的问题迎刃而解.8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P 的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（）A ．()2cos 2,1sin 2--B ．()1sin 2,2cos 2--C ．()1cos 2,2sin 2--D ．()2sin 2,1cos 2--【正确答案】D【分析】如图，根据题意可得22BAP π∠=-，利用三角函数的定义和诱导公式求出cos 2sin 2DP DA =-=，，进而得出结果.【详解】如图，由题意知， 2BPOB ==，因为圆的半径1R =，所以22DAP π∠=-，所以sin(2)cos 2cos(2)sin 222DP AP DA AP ππ=-=-=-=，，所以2sin 21cos 2OC PC =-=-，，即点(2sin 2,1cos 2)P --.故选：D 二、多选题9．下列函数中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（）A ．12y x =B ．y ＝x 2﹣2x +1C ．3y x=D ．3y x =【正确答案】ACD【分析】先判断函数的单调性，再求每个函数的值域得解.【详解】解：A.12y x =在（0，+∞）上是增函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确；B.y ＝x 2﹣2x +1在（0，+∞）上的值域是[0,)+∞，所以该选项错误；C.3y x=在（0，+∞）上是减函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确；D.3y x =在（0，+∞）上是增函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确.故选：ACD10．下列各式的值为1的是（）A ．tan20tan25tan20tan251+-B ．13661log 27log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭C ．sin72cos18cos108sin18-D ．22cos 2251⋅- 【正确答案】BC【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.【详解】()tan20tan25tan20tan25tan 2025tan451,A tan20tan2511tan20tan25++=-=-+=-=---错误；()1366666661log 27log 83log 33log 223log 3log 223log 621,B8-⎛⎫+-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭对；()sin72cos18cos108sin18sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901,C -=+=+== 对；22cos 22.51cos452-==，D 错误.故选：BC.11．下列说法正确的是（）A ．()f x x =与()ln e xg x =为同一函数B ．已知a ，b 为非零实数，且a b >，则2211ab a b>恒成立C ．若等式的左、右两边都有意义，则442sin cos 2sin 1ααα-=-恒成立D ．关于函数()2311x f x x =+-有两个零点，且其中一个零点在区间()1,2【正确答案】ABCD【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.【详解】对于A ，因为函数()f x x =与()ln e xg x x ==的定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，因为a ，b 为非零实数，且a b >，所以2222110a b ab a b a b --=>，故选项B 成立；对于C ，因为442222sin cos (sin cos )(sin cos )αααααα-=+-222sin cos 2sin 1ααα=-=-，故选项C 正确；对于D ，因为函数2()311x f x x =+-的零点个数等价于()3x g x =与2()11h x x =-图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，且(1)3(1)10g h =<=，(2)9(2)7g h =>=，所以函数2()311x f x x =+-有两个零点，且其中一个在(1,2)上，故选项D 正确，故选.ABCD12．已知函数2()1f x x mx =+-，则下列说法中正确的是（）A ．若12,x x 为方程()6f x =-的两实数根，且21123x x x x +=，则5m =±B ．若方程()2f x =-的两实数根都在(0,2)，则实数m 的取值范围是5(,2]2--C ．若(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x <，则实数m 的取值范围是(2,2)-D ．若[],1x m m ∀∈+，()0f x <，则实数m的取值范围是(2-【正确答案】ABD【分析】对于A ，由已知结合方程的根与系数关系可求；对于B ，结合二次方程的实根分布可求；对于C ，由已知不等式分离参数可得1m x x<+，然后结合基本不等式可求；对于D ，由已知结合二次函数的性质可求.【详解】对于A ，因为12,x x 为方程()6f x =-的两实数根，即12,x x 是方程250x mx ++=的两实数根，所以满足12125x x mx x +=-⎧⎨⋅=⎩，因为222112121212()2()2535x x x x x x m x x x x +---⨯+===，则5m =±，此时2450m ∆=-⨯>，故A 正确；对于B ，因为方程()2f x =-的两实数根都在(0,2)，即方程210x mx ++=的两实数根都在(0,2)，所以需满足2220224000102210m m m m ⎧<-<⎪⎪⎪-⎨⎪+⋅+>⎪+⋅+>⎪⎩，可得522m -<-，故B 正确；对于C ，因为(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x <，则210x mx -+>，即1m x x<+，因为12x x +，则2m <，故C 错误；对于D ，因为2()1f x x mx =+-图像开口向上，[x m ∀∈，1]m +，都有()0f x <，所以()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，即22210(1)(1)10m m m m ⎧-<⎨+-+-<⎩，解得02m -<<，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知函数()21f x x -=，则()2f -=__________.【正确答案】12-##0.5-【分析】令212x -=-求出x 的值，即为结果.【详解】令212x -=-，得12x =-，所以()122f -=-.故12-14．函数()lg sin y x =________.【正确答案】|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭由题意得sin 01cos 02x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得即可.【详解】由题意，要使函数有意义，则sin 01cos 02x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，即sin 01cos 2x x >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得()()22,22,33k x k k Z k x k k Z πππππππ⎧<<+∈⎪⎨-+≤≤+∈⎪⎩，所以()223k x k k Z πππ<≤+∈所以函数的定义域为|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为.|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.15．已知()1sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为44⎡-⎢⎥⎣⎦；④()f x 的图象可由()1sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度得到．以上四个说法中，正确的有为______．【正确答案】②【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】解：因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故①不正确；因为ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上递增，所以()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确；因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故③不正确；由于1π1πg()sin(2sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，故④不正确．故②．16．函数()(||2)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为1-，最大值是3，则n m -的最大值为__________.【正确答案】4【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出()3f x =和()1f x =-()0x <时自变量的值，结合图象得到n m -的最大值.【详解】解：函数()(2),0()2(2),0x x x f x x x x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩的图象如下，当0x ≥时，令(2)3x x -=，得11(x =-舍)，23x =，当0x <时，令(2)1x x --=-，得312x =--，412(x =-舍)，结合图象可得max 23()3(12)4 2.n m x x -=-=--=故42四、解答题17．完成下列计算，保留应有过程.(1)2sin 4cos 34?sin 34--=；(2)已知1sin cos 8αα=，且ππ42α<<，则cos sin ?αα-=；【正确答案】(1)3-(2)32【分析】（1）利用两角和差余弦公式和辅助角公式可化简分子为334- ，由此可得结果；（2）根据cos sin αα<，结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】（1）33sin 442sin 4cos342sin 4cos30cos 4sin 30sin 422sin 34sin 34sin 34+----+==-()34303343sin 34sin 34+==-=-（2）∵ππ42α<<，则cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴()213cos sin cos sin 12sin cos 142αααααα-=--=--=--=-.18．设x ∈R ，函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求ω和ϕ的值；(2)在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π上的图像；(3)若()f x >x 的取值范围．【正确答案】(1)2ω=，3πϕ=-(2)作图见解析(3)7{|,Z}2424x k x k k ππππ+<<+∈【分析】（1）利用最小正周期和4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭ωφ，即可；（2）利用列表，描点画出()f x 图像即可；（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.【详解】（1）∵函数()f x 的最小正周期2T ππω==，∴2ω=．∵cos 2cos sin 442f πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且02πϕ-<<，∴3πϕ=-．（2）由（1）知()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：x 06π512π23π1112ππ23x π-3π-02ππ32π53π()f x 1210－1012()f x 在[]0,π上的图像如图所示：（3）∵()f x >cos 232x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴222()434k x k k πππππ-<-<+∈Z ，则7222()1212k x k k ππππ+<<+∈Z ，即7()2424k x k k ππππ+<<+∈Z ．∴x 的取值范围是7{|,Z}2424x k x k k ππππ+<<+∈19．已知2(2)f x x bx c =++，不等式()12f x <-的解集是(2,3).(1)求()f x 的解析式；(2)不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解仅有2个，求实数k 取值范围；(3)若对于任意[1x ∈-，1]，不等式()2t f x ⋅恒成立，求t 的取值范围.【正确答案】(1)2()210f x x x=-(2)[3,2)--(3)11[,]46-【分析】（1）结合根与系数关系求得b ，c ；（2）根据不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解仅有2个，可得到758k <-，即可求解；（3）对t 进行分类讨论，结合函数的单调性求得t 的取值范围.【详解】（1）因为2(2)f x x bx c =++，不等式()12f x <-的解集是(2,3)，所以2，3是一元二次方程22120x bx c +++=的两个实数根，可得23212232b c ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩，所以2()210f x x x =-；（2）不等式()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩，即2221002()10()0x x x k x k ⎧->⎨+-+<⎩，解得5,05x x k x k><⎧⎨-<<-⎩，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6､7，可得到758k <-，解得32k -<-，则实数k 取值范围是[3-，2)-；（3）因为对于任意[1x ∈-，1]，不等式()2t f x ⋅恒成立，所以2510tx tx --≤，当0=t 时，10-<恒成立；当0t >时，函数251y tx tx =--在[1x ∈-，1]上单调递减，所以只需满足()()()2115110f t t -=⋅--⋅--≤，解得106t <；当0t <时，函数251y tx tx =--在[1x ∈-，1]上单调递增，所以只需满足f （1）215110t t =⋅-⋅-≤，解得104t -<，综上，t 的取值范围是11[,]46-.20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P 到水面的距离h （单位：m ，在水面下，h 为负数）表示为时间t （单位：s ）的函数，并求13t =时，点P 到水面的距离；(2)在点P 从0P 开始转动的一圈内，点P 到水面的距离不低于4m 的时间有多长？【正确答案】(1)()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2m (2)4s【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h 关于时间t 的函数，和13t =时的函数值；（2）先确定定义域[]0,12t ∈，再求解不等式，得到26t ≤≤，从而求出答案.【详解】（1）筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为52ππ606⨯=()rad /s ，故()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()13ππ134sin 2266h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故点P 到水面的距离为2m（2）点P 从0P 开始转动的一圈，所用时间012t =，令()ππ4sin 2466h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]0,12t ∈，解得：26t ≤≤，则624-=，故点P 到水面的距离不低于4m 的时间为4s.21．已知函数4()log (41)x f x kx =++与44()log (2)3x g x a a =⋅-，其中()f x 是偶函数．（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）求函数()g x 的定义域；（Ⅲ）若函数()()()F x f x g x =-只有一个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）12k =-；（Ⅱ）分类讨论，答案见解析；（Ⅲ）{}()31,-⋃+∞．（Ⅰ）由偶函数的性质，运算即可得解；（Ⅱ）转化条件为4203x a a ⋅->，按照0a >、a<0分类，即可得解；（Ⅲ）由对数的运算性质转化条件得方程()()22421223x x x a a +=-⋅有且只有一个实根，换元后，结合一元二次方程根的分布即可得解.【详解】（Ⅰ）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x =-，∴44log (41)log (41)x x kx kx -++=+-，∴441log 241x x kx -+=-+，∴44(41)log 241x x x x kx +==-+，即(21)0k x +=对一切x R ∈恒成立，∴12k =-；（Ⅱ）要使函数()g x 有意义，需4203x a a ⋅->，当0a >时，423x >，解得24log 3x >，当a<0时，423x <，解得24log 3x <，综上可知，当0a >时，()g x 的定义域为24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当a<0时，()g x 的定义域为24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵()()()F x f x g x =-4414log (41)log 223x x x a a ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭只有一个零点，∴方程4414log (41)log 223x x x a a ⎛⎫+=+⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根，即方程2444444log (41)log 4log 2log 2233xx x x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦有且只有一个实根，亦即方程()()22421223x x x a a +=-⋅有且只有一个实根，令2x t =（0t >），则方程24(1)103a a t t ---=有且只有一个正根，①当1a =时，34t =-，不合题意；②当1a ≠时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由0∆=可得244(1)03a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得34a =或3-若34a =，则2t =-不合题意，舍去；若3a =-，则12t =满足条件；若方程有两根异号，则244(1)03101a a a ⎧⎛⎫∆=+->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨-⎪<⎪-⎩，∴1a >，综上所述，实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞.方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人.疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题.【主题一】【科学抗疫，新药研发】(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ktc t c e -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A ．5.32h B ．6.23h C ．6.93h D ．7.52h【主题二】【及时隔离，避免感染】(2)为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米()0a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低．【正确答案】(1)C(2)当01a <≤时，x =时总价最低；当1a >时，8x =时总价最低【分析】（1）利用已知条件0.10()e 2000e kt t c t c --==，求解指数不等式得答案．（2）根据题意表达出总造价()768001200,08a y x x x =+<≤，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.【详解】（1）解：由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，由10.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12e 1t -≥，故0.1ln 2t -≥-，ln 2 6.93h 0.1t ∴≤≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．故选：C ．（2）解：由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504a y x x =⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08a y x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥，当且仅当768001200a x x =，即x =取等号.故当8≤，即1a ≤，x =当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =时总价最低；当1a >时，8x =时总价最低.。