上海市浦东新区2014年高考数学(文)(二模)

2014届高中数学·二模汇编（专题：数列）2014届高中数学·二模汇编 数列一、填空题：1、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim 1nn S n →∞=- ．2、已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：① 不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；② 在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为 这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于 ． 3、如果函数x x f a log )(=的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛121，P ，2lim()nn a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.4、以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以nm 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.5、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ． 6、对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+∆=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列{}n a 的通项13n n a -=，则2122232n a aa a ∆+∆+∆++∆=． 7、已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是 ．8、已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．9、设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()nn a a a →∞+++= .10、若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中4-x 的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ =____________．11、对于集合1210{,,,}A a a a =⋅⋅⋅，定义集合,110}{i j x a a i j S x =+≤<≤=，记集合S 中的元素个数 为()S A ．若1210,,,a a a ⋅⋅⋅是公差大于零的等差数列，则()S A =____________．12、对于集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*,3)n N n ∈≥，定义集合,1}{i j x a a i j n S x =+≤<≤=，记集合S 中的元素个数为()S A ．若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是公差大于零的等差数列，则()S A =____________．13、已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ． 14、若三个数c a ,1,成等差数列（其中c a ≠），且22,1,c a 成等比数列，则nn c a c a )(lim 22++∞→的值为 ．15、设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 . 16、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--=,2,)2(,20,)1(1)(2x x f x x x f 若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则=+++∞→)(lim 22221n n k k k ______．17、定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 2118、等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有)(lim k n n k S S a -=∞→成立，则公比=q . 19、如图所示，在一个)12()12(-⨯-n n (N n ∈且2≥n )的正方形网格内涂色，要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色. 若用)(n f 表示涂白色网格的 个数与涂黑色网格的个数的比值，则)(n f 的最小值为 .20、若ij a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a25191410181396128537421中第i 行、第j 列的元素（i 、n j ,,3,2,1 =），则=nn a （结果用含有n 的代数式表示）.第11题图21、若ij a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a25191410181396128537421中第i 行、第j 列的元素（i 、n j ,,3,2,1 =），其中321=ij a ，则=+j i .22、设R ∈a ，n n a n a ⋅=，若{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范围为______．23、设0>a ，n n a n a ⋅=，若{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范围为______．二、选择题：24、设数列{}n a ，以下说法正确的是（ ）A ．若2=4n n a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列B ．若221n n n a a a ++⋅=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列C ．若2m n m n a a +⋅=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列 D ．若312n n n n a a a a +++⋅=⋅，*n N ∈，则{}n a 为等比数列25、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 226、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量,n S OP n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，1,mS OP m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2,kS OP k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭()*n m k ∈N 、、，且12OP OP OP λμ=⋅+⋅ ，则用n m k 、、表示μ= （ ）． （A ）k m k n -- （B ）k n k m -- （C ）n m k m -- （D ）n m n k-- 27、函数21(2)y x =-+图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是 （ ） A ．23 B ．21 C ．33D ．3三、解答题：28、平面直角坐标系xoy 中，已知点(,)n n a (*)n N ∈在函数(2,)x y a a a N =∈≥ 的图像上，点(,)n n b (*)n N ∈在直线(1)y a x b =++ ()b R ∈上．（1）若点1(1,)a与点1(1,)b 重合，且22a b <，求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：当2a =时，数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列；（3）当1b =时，记{}|,n A x x a n N *==∈ ，{}|,n B x x b n N *==∈ ，设C A B = ，将集合C 的元素 按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，写出数列{}n c 的通项公式n c ．29、平面直角坐标系xoy 中，已知点(,)n n a (*)n N ∈在函数(2,)x y a a a N =∈≥ 的图像上，点(,)n n b (*)n N ∈在直线(1)y a x b =++ ()b R ∈上.（1）若点1(1,)a与点1(1,)b 重合，且22a b <，求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：当2a =时，数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列；（3）当2,1a b == 时，记{}|,n A x x a n N *==∈ ，{}|,n B x x b n N *==∈ ，设C A B = ，将集合C 的元素按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，写出数列{}n c 的通项公式n c .30、若函数()f x 满足：集合*{()|}A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数()f x 是等比源函数.（1）判断下列函数：①2log y x =；②sin2y x π=中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：对任意的正奇数b ，函数()2x f x b =+不是等比源函数； （3）证明：任意的*,d b ∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.31、若函数()f x 满足：集合*{()|}A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数()f x 是等比源函数.（1）判断下列函数：①2x y =；②lg y x =中，哪些是等比源函数？（不需证明） （2）证明：函数()23g x x =+是等比源函数；（3）判断函数()21x f x =+是否为等比源函数，并证明你的结论.32、某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？33、某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．34、已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．(1) 求753a a a 、、的值； (2) 求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．35、已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．(1) 求753a a a 、、的值； (2) 求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) 记n n n a a b 212+=-，数列{}n b *(N )n ∈的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．36、已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ， 过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交， 另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n的直线与曲线C 相交，另一个 交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）． （1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近？说明理由；（3）令2121n n n a y y +-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，设1314n n b S =+，求所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和．37、已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ， 过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交， 另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n的直线与曲线C 相交，另一个 交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）． （1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近？说明理由；（3）令2121n n n a y y +-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较314n S +与1310n +大小，并证明你的结论．38、已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列； （2）设对任意正整数n ，有1()n b f n =．若不等式12226log (1)35n n n b b b x +++++>+ 对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．39、已知定义在*N 上的函数)(x f ，对任意正整数1n 、2n ，都有1212()1()()f n n f n f n +=++，且(1)1f =. （1）若对任意正整数n ，有(2)1n n a f =+，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列； （2）若对任意正整数n ，()f n 使得不等式2()3log (1)28n f n x <+恒成立，求实数x 的取值范围．()()()()()()()()()()1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1f f f n f n f f f n f f n f n --- 40、一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n ≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()2,11,11,2f f f =+；(),f i j 为数表中第i 行的第j 个数．（1）求第2行和第3行的通项公式()2,f j 和()3,f j ； （2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列， 并求(),1f i 关于i （1,2,,i n = ）的表达式； （3）若()()(),111i f i i a =+-，11i i i b a a +=，试求一个等比数列()()1,2,,g i i n = ， 使得()()()121123n n S b g b g b g n =+++< ，且对于任意的11,43m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在实数λ ， 当n λ>时，都有n S m >．41、设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =．（1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由42、已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥=+==-+).2(,,8,21121n ca a a a a n n n （c 为常数，*N n ∈）（1）当2=c 时，求n a ； （2）当1=c 时，求2014a 的值；（3）问：使n n a a =+3恒成立的常数c 是否存在？并证明你的结论．43、 设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21n n n c a b +=+，21n n n b a c +=+（*N ∈n ）． （1）求数列}{n n b c -的通项公式；（2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．44、已知等差数列}{n a 满足73=a ，2675=+a a ． （1）求}{n a 的通项公式；（2）若222+=n a nm ，数列}{n b 满足关系式⎩⎨⎧≥+==-,2,,1,11n m b n b n n 求证：数列}{n b 的通项公式为12-=n n b ；（3）设（2）中的数列}{n b 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，22)()2()1(1<⋅++++⋅-+n n p n n S n恒成立，求实数p 的取值范围．45、设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对任意的*∈N n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,,,,21n a a a A ，132-⨯=n n b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ． ① 求证：对任意的*∈N n ，都有∈n b A ； ② 设数列{}n b 的第n 项是数列{}n a 中第r 项，求nn T r∞→lim 的值．46、用记号∑=ni ia表示n a a a a a +++++ 3210，∑==ni in ab 02，其中N i ∈，*N n ∈.（1）设n n n n nk kx a x a x a x a a x 221212221021)1(+++++=+--=∑ （R x ∈），求2b 的值； （2）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，求证：()∑==ni iniC a 0102)(-⋅+n n a a；（3）在条件（1）下，记∑=-+=ni i n ii n Cb d 1])1[(1，且不等式n n b d t ≤-⋅)1(恒成立，求实数t 的取值范围.。

上海市浦东新区2014届高三二模数学（文）试题一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则U A ð=__{}1,4,5___2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 43y x =± .3.函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为__5_____4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =13. 5.函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点___(2,3)-___.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =__23522n n -___.7.π，则球的体积为 __323π__ ． 8.(文) 把3本不同的语文书、7本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是__115__ 9.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()nn a a a →∞+++=L __13-__． 10.(文) 一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同一图形(如图)，那么搭成这样一个立体图形最少需要 5 个小立方块．11.(文) 已知数据3,4,,,11x y 的均值为6，方差为8，则x y -=____2 _.12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径R 5=，则AB C ∆的周长为_____6+13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为2.14.(文) 已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，且()BA BC AC 0+⋅=uu u r uu u r uu u r，则满足条件的函数()f x 有＿12＿个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “1x >”是“11x<”的( A ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件16. （文）设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)i x y x y -+--的实部大于0，虚部不小于0，则复数z x yi ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ A ）17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ D ） （A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln5x f x x -=+（C ）()arctan 4x f x =（D ）()x xf x e e -=+ 18. （文）方程2lg 4(||200)(||202)x x x =---的解的个数为（ C ）（A ）2 (B ）4 （C ）6 （D ）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. （文）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 是1CC 的中点，点M 在线段11A B 上.（1）当M 为11A B 中点时，求异面直线DM 与AB 所成角的大小.（2）指出直线1CC 与平面MAB 的位置关系（不用证明），并求三棱锥D MAB -的体积.解：（1）∵11//AB A B∴1A MD ∠或其补角是异面直线DM 与AB 所成的角. …………………………………3分 连接1A D ，则三角形1A DM 为直角三角形，且0190DA M ∠=，1AD =， 112A M =∴111tan A DA MD A M∠== …………………………5分 ∴异面直线DM 与AB所成的角为分（2）1CC //平面11AA B B 即1CC ∥平面MAB （不必证明）…………………………7分 ∵CA AB ⊥， 1CA AA ⊥，CA ⇒⊥平面11AA B B 所以C 到平面11AA B B 的距离为CA=1.1CC ∥平面11AA B B ，可知D 到平面11AA B B 的距离与C 到平面11AA B B 的距离相等，为CA=1. …………9分 又11//AB A B ，∴MAB ∆的面积11122ABMS AB AA =⋅=……………………………11分 ∴13D MAB ABMV SCA -=⋅111326AC =⋅⋅=.……………………………………………12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面.设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S . （1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并求此时θ的值. 解：（1）ABCD ABP ADQ S S S S ∆∆=-- ……………………………………………………2分10050tan 50tan()4πθθ=--- ……………………………………………4分1tan 10050tan ,(0)1tan 4θπθθθ-⎛⎫=-+<< ⎪+⎝⎭…………………………………6分 （2）令1tan ,(1,2)t t θ=+∈ …………………………………………………………8分BDCAP21(1)221005010050(2)20050()t S t t t t t ⎡⎤+-=-=-+-=-+⎢⎥⎣⎦ ……………10分2t t +≥=（当且仅当2t t =时，即()1,2t =，等号成立）…12分∴当t =S 的最大值为200-（平方海里）此时，1)θ= …………………………………………………………14分21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. （文）已知定义在*N 上的函数)(x f ，对任意正整数1n 、2n ，都有1212()1()()f n n f n f n +=++，且(1)1f =.（1）若对任意正整数n ，有(2)1n n a f =+，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列； （2）若对任意正整数n ，()f n 使得不等式2()3log (1)28n f n x <+恒成立，求实数x 的取值范围．解：（1）令121n n ==，得()()(2)111f f f =++，则(2)3f =，1(2)14a f =+= …………………………………………………………1分令122n n ==，得()()(4)122f f f =++，则(4)7f =，2(4)18a f =+= ……2分令122n n n ==，得(22)1(2)(2)n n n nf f f +=++，即1(2)12(2)n n f f +=+， ……………………………………………………………4分则1(2)121(2)n nf f +⎡⎤+=+⎣⎦，12n n a a +=所以，数列{}n a 是等比数列，公比2q =，首项14a =. …………………………6分（2）令12,1n n n ==，得(1)1(1)()f n f f n +=++，即(1)()2f n f n +=+则)}({n f 是等差数列，公差为2，首项(1)1f =.故122)1(1)(-=⋅-+=n n n f . …………………………………………………8分 设()21()22nn f n n g n -==，则 11212132(1)()222n n n n n ng n g n +++--+-=-=当1n =时，(1)()0g n g n +->，即(2)(1)g g >当2n ≥时，(1)()0g n g n +-<，即2n ≥时，)}({n g 是递减数列. 所以，max 3(2)4g g ==………………………………………………………………11分 从而233log (1)84x +>，即2log (1)2x +>…………………………………………12分则1014x x +>⎧⎨+>⎩，解得(3,)x ∈+∞．……………………………………………………14分22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.（文）定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求区间[,]a b 长度的最小值．（3）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x Mf x x x M∈⎧=⎨-∉⎩ (M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++的值域所在区间长度的总和． 解：（1）1212x-=，解得1x =-或23log 2x =， 210x -=，解得0x =，……………………2分画图可得：区间[],a b 长度的最大值为2log 3，最小值为23log 2. …………………4分 （2）()2sin(2())2sin(2)84g x x x ππ=++=++分11()0sin(2)424g x x x k πππ=⇒+=⇒=-或7,24x k k Z ππ=-∈， 即()g x 的零点相离间隔依次为6π和56π， …………………………………………8分故若()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，则b a -的最小值为 511007100666πππ-=．…………………………………………………………10分（3）(),3,(1,1)23xx A B F x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈-⎪-⎩…………………………………………………12分当x AB ∈，2112(),,3333F x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………13分 当(1,1)x ∈-，1()(1,)5F x ∈-，……………………………………………………14分 所以[2,2]x ∈-时，112()(1,),533F x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦……………………………………15分 所以值域区间长度总和为2315。

2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若集合A ={2, 3}，则∁U A =________．2. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为________． 3. 函数f(x)=|sinx 4cosx13|的最大值为________． 4. 已知直线l 1:ax −y +2a +1=0和l 2:2x −(a −1)y +3=0(a ∈R)，若l 1⊥l 2，则a =________．5. 函数y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，如果函数y =f(x)的图象过点(2, −2)，那么函数y =f −1(x)+1的图象一定过点________．6. 已知数列{a n }为等差数列，若a 1+a 3=4，a 2+a 4=10，则{a n }的前n 项的和S n =________．7. 一个与球心距离为√3的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为________．8. （文） 把3本不同的语文书、7本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是________．9. 设a ∈R ，(ax −1)8的二项展开式中含x 3项的系数为7，则limn →∞(a +a 2+...+a n )=________．10. （文）一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同一图形（如图），那么搭成这样一个立体图形最少需要________个小立方块． 11. （文）已知数据3，4，x ，y ，11的均值为6，方差为8，则|x −y|=________．12. 在△ABC 中，角B 所对的边长b =6，△ABC 的面积为15，外接圆半径R =5，则△ABC 的周长为________．13. 抛物线y 2=4mx(m >0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(−m, 0)，则|PF||PA|的最小值为________．14. （文）已知函数f(x)的定义域为{1, 2, 3}，值域为集合{1, 2, 3, 4}的非空真子集，设点A （1, f(1)），B (2, f(2))，C （3, f(3)），且(BA →+BC →)⋅AC →=0，则满足条件的函数f(x)有________个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “a >1”是“1a <1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 16. （文）设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(x −2y)+(5−2x −y)i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z =x +yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的（ ）A B C D17. 能够把椭圆x24+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（）A f(x)=4x3+xB f(x)=ln5−x5+x C f(x)=arctan x4D f(x)=e x+e−x18. （文）方程lgx2=4−(|x|−200)(|x|−202)的解的个数为（）A 2B 4C 6D 8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19. （文）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB= AC=1，∠ABC=π4，D是CC1的中点，点M在线段A1B1上．（1）当M为A1B1中点时，求异面直线DM与AB所成角的大小．（2）指出直线CC1与平面MAB的位置关系（不用证明），并求三棱锥D−MAB的体积．20. 如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=π4（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．21. （文）已知定义在N∗上的函数f(x)，对任意正整数n1、n2，都有f(n1+n2)=1+f(n1)+f(n2)，且f(1)=1．（1）若对任意正整数n，有a n=f(2n)+1，求a1、a2的值，并证明{a n}为等比数列；（2）若对任意正整数n，f(n)使得不等式f(n)2n <38log2(x+1)恒成立，求实数x的取值范围．22. （文）定义区间(c, d)，[c, d), (c, d]，[c, d]的长度均为d−c，其中d>c．（1）已知函数y=|2x−1|的定义域为[a, b]，值域为[0, 12]，写出区间[a, b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f(x)=2sinx，将函数y=f(x)的图象的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移π8个单位，再向上平移√3个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a, b](a，b∈R且a<b)满足：y=g(x)在[a, b]上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[a, b]中，求区间[a, b]长度的最小值．（3）已知函数f M(x)的定义域为实数集D=[−2, 2]，满足f M(x)={x,x∈M−x,x∉M，（M是D的非空真子集）．集合A=[1, 2]，B=[−2, −1]，求F(x)=f A∪B(x)f A(x)+f B(x)+3的值域所在区间长度的总和．23. （文）已知中心在原点O，左焦点为F1(−1, 0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为√77|OB|．（1）求椭圆C的方程；（2）过P(3, 0)的直线l交椭圆C于R、S两点，交直线x=1于Q点，若|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，求直线l的方程；（3）圆D以椭圆C的两焦点为直径，圆D的任意一条切线m交椭圆C于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）答案1. {1, 4, 5}2. y=±43x3. 54. 135. (−2, 3)6. 32n2−52n7. 323π8. 1159. −1310. 511. 212. 6+6√613. √2214. 2015. A16. A17. D18. C19. 解：（1）∵ AB // A1B1∴ ∠A1MD或其补角是异面直线DM与AB所成的角．…3分连接A1D，则三角形A1DM为直角三角形，且∠DA1M=900，A1D=√52，A1M=12∴ tan∠A1MD=A1DA1M=√5...5分∴ 异面直线DM与AB所成的角为arctan√5．…6分（2）CC1 // 平面AA1B1B即CC1 // 平面MAB（不必证明）…7分∵ CA⊥AB，CA⊥AA1，AB∩AA1=A，∴ CA⊥平面AA1B1B∴ C到平面AA1B1B的距离为CA=1．∵ CC1 // 平面AA1B1B，可知D到平面AA1B1B的距离与C到平面AA1B1B的距离相等，为CA=1．…9分又AB // A1B1，∴ △MAB的面积S△ABM=12AB⋅AA1=12...11分∴ V D−MAB=13S△ABM⋅CA=13⋅12⋅AC=16．…12分．20. 解：（1）S=S ABCD−S△ABP−S△ADQ...2分=100−50tanθ−50tan(π4−θ)…4分=100−50(tanθ+1−tanθ1+tanθ)，(0<θ<π4)…6分（2）令t=1+tanθ，t∈(1, 2)…8分S=100−50[1+(t−1)2t ]=100−50(t+2t−2)=200−50(t+2t)…10分∵ t +2t≥2√t ⋅2t=2√2，（当且仅当t =2t时，即t =√2∈(1,2)，等号成立）…12分∴ 当t =√2时，搜索区域面积S 的最大值为200−100√2（平方海里） 此时，θ=arctan(√2−1)…14分． 21. 解：（1）令n 1=n 2=1，得f(2)=1+f(1)+f(1)， 则f(2)=3，a 1=f(2)+1=4...1分令n 1=n 2=2，得f(4)=1+f(2)+f(2)，则f(4)=7，a 2=f(4)+1=8...2分 令n 1=n 2=2n ，得f(2n +2n )=1+f(2n )+f(2n )， 即f(2n+1)=1+2f(2n )，…4分则f(2n+1)+1=2[1+f(2n )]，a n+1=2a n所以，数列{a n }是等比数列，公比q =2，首项a 1=4．…6分（2）令n 1=n ，n 2=1，得f(n +1)=1+f(1)+f(n)，即f(n +1)=f(n)+2 则{f(n)}是等差数列，公差为2，首项f(1)=1． 故f(n)=1+(n −1)⋅2=2n −1．…8分 设g(n)=f(n)2n=2n−12n，则g(n +1)−g(n)=2n+12n+1−2n−12n=3−2n 2n+1当n =1时，g(n +1)−g(n)>0，即g(2)>g(1)当n ≥2时，g(n +1)−g(n)<0，即n ≥2时，{g(n)}是递减数列． 所以，g max =g(2)=34...11分从而38log 2(x +1)>34，即log 2(x +1)>2...12分 则{x +1>0x +1>4，解得x ∈(3, +∞)．…14分． 22. 解：(1)|2x −1|=12，解得x =−1或x =log 232，|2x −1|=0，解得x =0，画图可得：区间[a, b]长度的最大值为log 23，最小值为log 232．（2）g(x)=2sin(2(x +π8))+√3=2sin(2x +π4)+√3g(x)=0⇒sin(2x +π4)=−√32⇒x =kπ−11π24或x =kπ−724π，k ∈Z ， 即g(x)的零点相离间隔依次为π6和5π6，故若y =g(x)在[a, b]上至少含有2014个零点，则b −a 的最小值为1007π−5π6=100616π．（3）F(x)={x 3，x ∈A ∪Bx2x−3，x ∈(−1,1)当x ∈A ∪B ，F(x)∈[−23，−13]∪[13,23]，当x ∈(−1, 1)，F(x)∈(−1,15)，所以x ∈[−2, 2]时，F(x)∈(−1,15)∪[13,23] 所以值域区间长度总和为2315．23. 解：（1）设椭圆C 方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)∴ 直线AB 方程为：x−a +yb =1...1分 ∴ F 1(−1, 0)到直线AB 距离为d =√a 2+b 2=√77b ， ∴ a 2+b 2=7(a −1)2...2分又b 2=a 2−1，解得：a =2，b =√3...3分 故：椭圆C 方程为：x 24+y 23=1．…4分（2）当直线l 与x 轴重合时，|PQ|=2，而|PR|⋅|PS|=1×5=5，∴ |PQ|2≠|PR|⋅|PS| 故可设直线l 方程为：x =my +3，…5分代人椭圆C 的方程，得：3(my +3)2+4y 2=12，即：(3m 2+4)y 2+18my +15=0 ∴ △=(18m)2−4×15(3m 2+4)=48(3m 2−5) 记R(x 1, y 1)，S(x 2, y 2)，Q(x 0, y 0)， ∴ y 1y 2=153m 2+4，y 0=−2m...7分∵ |PQ|2=|PR|⋅|PS|，即|PR||PQ|=|PQ||PS|⇒y 1y 0=y0y 2，∴ y 1y 2=y 02∴ 153m 2+4=4m 2，解得：m 2=163，符合△>0，∴ m =±4√33...9分 故直线l 的方程为x =±4√33y +3，即：y =±√34(x −3)…10分（3）椭圆C 的两焦点为F 1(−1, 0)、F 2(1, 0)，∴ 圆D 的方程为：x 2+y 2=1①若切线m 垂直于x 轴，则其方程为：x =±1，易求得|MN|=3...11分 ②若切线m 不垂直于x 轴，可设其方程为：y =kx +b ∴√k 2+1=1，∴ b 2=k 2+1将y =kx +b 代人椭圆C 方程，得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12=0∴ △=(8kb)2−4(3+4k 2)(4b 2−12)=48(4k 2+3−b 2)=48(3k 2+2)>0(∗)…13分 记M 、N 两点的坐标分别为(x 3, y 3)、(x 4, y 4) 此时：x 3+x 4=−8kb3+4k 2，x 3x 4=4b 2−123+4k 2⇒|x 3−x 4|=4√3(4k 2+3−b 2)3+4k 2∴ |MN|=√1+k2×4√3(4k2+3−b2)3+4k2=√1+k2×4√3(3k2+2)3+4k2...15分令3+4k2=t，所以t≥3，k2=t−34∴ |MN|=f(t)=√t+14×4√3×3t−14t=√3(t+1)(3t−1)t=√3(−1t2+2t+3)，t≥3⇒0<1t ≤13⇒3<−1t2+2t+3≤329⇒3<|MN|≤4√63...17分综合①②，得：弦长|MN|的取值范围为[3,4√63]．…18分．。

2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科） 2014.4一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．已知集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2|230,B x x x x R =--≥∈，则=B A ____________．2．直线10x +=的倾斜角的大小是____________．3．函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间是____________． 4．函数()22y x x x=+≥的值域是____________．5．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生.7．函数()()sin cos cos 2sin cos sin x x x f x xx xπ+-=-的最小正周期T =____________．8．已知函数)12(arcsin )(+=x x f ，则=-)6(1πf____________． 9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1AB 与AC 所成角的余弦值是____________．10．若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中4-x 的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=____________． 11．在极坐标系中，定点A (2,),2π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，则点A 和点B 间的最短距离为____________．12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示) 13．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(,AP mAB nAF m n =+为实数），则m n +的最大值为____________． 14．对于集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*,3)n N n ∈≥，定义集合,1}{i j x a a i j n S x =+≤<≤=，记集合S 中的元素个数为()S A ．若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是公差大于零的等差数列，则()S A =____________．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是-------------( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③16．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则BB3sin sin 等于-------（ ） A ．c a B ．b c C ．abD ．c b17．函数y =图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是---------------------------------------------------------------------------------- （ ） A ．23 B ．21 C ．33D ．3 18．设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分，第（1）小题６分，第（2）小题６分）如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体． （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积． 20．（本题满分14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知0120ABC ∠=，0150ADC ∠=，1BD =（千米），3AC =（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰． （即从B 点出发到达C 点）ACBD21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）定义：对于函数()f x ，若存在非零常数,M T ，使函数()f x 对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x T f x M +-=，则称函数()f x 是广义周期函数，其中称T 为函数()f x 的广义周期，M 称为周距． （1）证明函数()()()1xf x x x Z =+-∈是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M 的值； （2）试求一个函数()yg x =，使()()()()sin f x g x A x x R ωϕ=++∈（A ωϕ、、为常数，0,0A ω>>）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M ；（3）设函数()y g x =是周期2T =的周期函数，当函数()()2f x x g x =-+在[]1,3上的值域为[]3,3-时，求()f x 在[]9,9-上的最大值和最小值．23．（本题满分18分，第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分） 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n ≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()2,11,11,2f f f =+；(),f i j 为数表中第i 行的第j 个数．（1） 求第2行和第3行的通项公式()2,f j 和()3,f j ；（2） 证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求(),1f i 关于i （1,2,,i n =）的表达式；（3）若()()(),111i f i i a =+-，11i i i b a a +=，试求一个等比数列()()1,2,,g i i n =，使得()()()121123n n S b g b g b g n =+++<，且对于任意的11,43m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在实数λ ，当n λ>时，都有n S m >．()()()()()()()()()()1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1f f f n f n f f f n f f n f n ---2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科） 2014.4二． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．已知集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2|230,B x x x x R =--≥∈，则=B A ____________．2．直线10x +=的倾斜角的大小为____________．3．函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间是____________． 4．函数()20y x x x=+>的值域为____________．5．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生.7．函数()()sin cos cos 2sin cos sin x x x f x xx xπ+-=-的最小正周期T =____________．8．已知函数)12(arcsin )(+=x x f ，则=-)6(1πf____________． 9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．10.已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是____________．11．若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中4-x 的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=____________． 12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则这三个数位于不同行不同列的概率是____________． (结果用分数表示)13．对于集合1210{,,,}A a a a =⋅⋅⋅，定义集合,110}{i j x a a i j S x =+≤<≤=，记集合S 中的元素个数为()S A ．若1210,,,a a a ⋅⋅⋅是公差大于零的等差数列，则()S A =____________．14．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量侧视图 俯视图 (,AP mAB nAF m n =+为实数），则m n +的最大值为____________． 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．命题p ：1a ≥；命题q ：关于x 的实系数方程20x a -+=有虚数解,则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 16．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是-----------( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③17．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则BB3sin sin 等于----（ ） A ．c a B ．b c C ．abD ．c b18．函数y =图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A ．23 B ．21 C ．33D ．3四． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）如图所示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆.试求这个几何体的体积与侧面积.20．（本题满分14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知0120ABC ∠=，0150ADC ∠=，1BD =（千米），3AC =（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰． （即从B 点出发到达C 点）ACBD21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，若点11,04M ⎛⎫⎪⎝⎭，求证MA MB ⋅为定值.22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）定义：对于函数()f x ，若存在非零常数,M T ，使函数()f x 对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x T f x M +-=，则称函数()f x 是广义周期函数，其中称T 为函数()f x 的广义周期，M 称为周距． （1）证明函数()()()1xf x x x Z =+-∈是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M 的值； （2）试判断函数()()sin f x kx b A x ωϕ=+++（k A ωϕ、、、为常数，0,0,0k A ω≠>>）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T 和周距M ，若不是，请说明理由；（3）设函数()y g x =是周期2T =的周期函数，当函数()()2f x x g x =-+在[]1,3上的值域为[]3,3-时，求()f x 在[]9,9-上的最大值和最小值．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题５分，第（3）小题9分） 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n ≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()2,11,11,2f f f =+；(),f i j 为数表中第i 行的第j 个数．（3） 求第2行和第3行的通项公式()2,f j 和()3,f j ；（4） 证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列； （5） 求(),1f i 关于i （1,2,,i n =）的表达式．()()()()()()()()()()1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1f f f n f n f f f n f f n f n ---2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）参考答案及评分标准2014.4三． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．(]5,1-- ２．56π 3．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 4．[)3,+∞5．13i - 6．40 7．π 8．14- 9 10．211 12．141313．5 14．23n - 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．Ｃ 16．Ｄ 17．Ｂ 18．Ｃ五． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）解：（1）连接OM ，则OM AB ⊥，设OM r =，则OB r =， 在BMO ∆中，1sin2OM ABC OB ∠===，所以r =--------------------------（4分） 所以2443S r ππ==．-----------------（6分）（2）ABC ∆中，90ACB ∠=，30ABC ∠=,BC =， 1AC ∴=，-------------------------------（8分）2323141413333V V V AC BC r ππππ∴=-=⨯⨯-=⨯=圆锥球．（12分） 20．（本题满分14分）解：由0150ADC ∠=知030ADB ∠=，由正弦定理得001sin 30sin120AD =，所以，AD =---------------------------------------（4分）在ADC ∆中，由余弦定理得：2222cos150AC AD DC AD DC =+-⋅，即222032cos150DC DC =+-，即2360DC DC +⋅-=，解得 1.372DC =≈（千米）， -----------------------------------------------（10分） 2.372BC ∴≈（千米），--------------------------------------------------------------------（12分） 由于2.372 2.4<，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14分） 21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设椭圆的短半轴为b ，半焦距为c ，则222a b =，由222c a b =-得222222a a c a =-=， 由4221=⨯⨯c b 解得4,822==b a ,则椭圆方程为14822=+y x . ----------（6分） （2）由22(1)28y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(21)4280,k x k x k +-+-= 设1122(,),(,),A x y B x y 由韦达定理得：,1282,12422212221+-=+=+k k x x k k x x MA MB ∴⋅=221122121212(,)(,)()(1)(1)x m y x m y x x m x x m k x x -⋅-=-+++--=22221212(1)()()k x x m k x x k m +-++++=22222222284(1)()2121k k k m k k m k k -+-+++++=()22254821m k m k ++-++，----------------（10分） 当5416m +=，即114m =时，MA MB ⋅=167-为定值，所以，存在点11(,0)4M使得MA MB ⋅为定值（14分）．22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分） 解：（1）()()()1xf x x x Z =+-∈，∴()()()()()222112x xf x f x x x +⎡⎤⎡⎤+-=++--+-=⎣⎦⎣⎦，（非零常数） 所以函数()()()1xf x x x Z =+-∈是广义周期函数，它的周距为2．-----（4分）（2）设()()0g x kx b k =+≠，则()()sin f x kx b A x ωϕ=+++()2f x f x πω⎛⎫+- ⎪⎝⎭()222sin sin k k x b A x kx b A x πππωϕωϕωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++-+++=⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦（非零常数） 所以()f x 是广义周期函数，且22,k T M ππωω==．-----------------（ 9分） （3）()()()()()222224f x f x x g x x g x +-=-++++-=-，所以()f x 是广义周期函数，且2,4T M ==- ．------------------------------------------（10分） 设[]12,1,3x x ∈满足()()123,3f x f x =-=， 由()()24f x f x +=-得：()()()()111164424444431215f x f x f x f x +=+-=+--=---=--=-，又()()()24f x f x f x +=-<知道()f x 在区间[]9,9-上的最小值是x 在[]7,9上获得的，而[]167,9x +∈，所以()f x 在[]9,9-上的最小值为15-．--------------------（ 13分）由()()24f x f x +=-得()()24f x f x -=+得：()()()()222210846442023f x f x f x f x -=-+=-++==+=，又()()()24f x f x f x -=+>知道()f x 在区间[]9,9-上的最大值是x 在[]9,7--上获得的，而[]2109,7x -∈--，所以()f x 在[]9,9-上的最大值为23．-----------------------（16分）23．（本题满分18分；第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分．） 解：（1）()()()()()2,1,1,121,4841,2,,1f j f j f j f j j j n =++=+=+=-()()()()()()3,2,2,122,8284816161,2,,2f j f j f j f j j j j n =++=+=++=+=-．--------------------------------------------------------------------------------------------------------（3分）（2）由已知，第一行是等差数列，假设第()13i i n ≤≤-行是以i d 为公差的等差数列， 则由()()()()()()1,11,,1,2,,1f i j f i j f i j f i j f i j f i j ++-+=+++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()(),2,2i f i j f i j d =+-=（常数）知第()113i i n +≤≤-行的数也依次成等差数列，且其公差为2i d .综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；------------（7分） 由于()114,22i i d d d i -==≥，所以11422i i i d -+=⋅=，所以1(,1)(1,1)(1,2)2(1,1)i f i f i f i f i d -=-+-=-+，由12i i d -=，得(),1f i 2(1,1)2i f i =-+， （9分）于是()()1,11,1122i i f i f i --=+ ， 即()()1,11,1122i i f i f i ---=，又因为()11,14222f ==，所以，数列(),12if i ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，()(),12112if i i i =+-=+，所以()(),11i f i i=+⋅（1,2,,i n =）． （12分）（3）()()(),111i f i i a =+-(),11211i i f i a i ⇒=+=++ ， ()()11111111221212121i i i i i ii i b a a +++⎛⎫⇒===- ⎪++++⎝⎭， 令()2ig i =1111111()2221212121i i i i i i i b g i ++⎛⎫⇒=-⨯=- ⎪++++⎝⎭，-----------------（14分） 2231111111212121212121n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11113213n +=-<+． ---------------------------------------------------------------------------------------------------------（15分）n S m >111321n m +⇔->+111132133n m m +-⇔<-=+， 11,43m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10134m ⇒<-<，132113n m +⇒+>-23log 1113n m ⎛⎫⇒>-- ⎪-⎝⎭，令λ=23log 113m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，则当n λ>时，都有n S m >，∴适合题设的一个等比数列为()2i g i =．-------------------------------------------------------（18分）2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）参考答案及评分标准2014.4四． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)１．(]5,1-- ２．56π 3．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 4．)⎡+∞⎣5．13i - 6．40 7．π 8．14- 9 10．20 11．2 12．11413．17 14．5 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．B 16．Ｃ 17．Ｄ 18．Ｂ六． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：根据几何体的三视图知，原几何体是以半径为1由于该圆锥的母线长为2，---------------（4分） 则它的侧面积2S rl ππ==侧，-----------（8分）体积213V r h π==．------------------------（12分）20．（本题满分14分）解：由0150ADC ∠=知030ADB ∠=， 解：由0150ADC ∠=知030ADB ∠=，由正弦定理得001sin 30sin120AD=，所以，AD =---------------------------------------（4分） 在ADC ∆中，由余弦定理得：2222cos150AC AD DC AD DC =+-⋅，即222032cos150DC DC =+-，即2360DC DC +⋅-=，解得 1.372DC =≈（千米）， -----------------------------------------------（10分） 2.372BC ∴≈（千米），--------------------------------------------------------------------（12分） 由于2.372 2.4<，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14分） 21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设椭圆的短半轴为b ，半焦距为c ，则222a b =，由222c a b =-得222222a a c a =-=，由4221=⨯⨯c b 解得4,822==b a , 则椭圆方程为14822=+y x . --------------------------------------------（6分） （2）由22(1)28y k x x y =-⎧⎨+=⎩得 2222(21)4280,k x k x k +-+-= ----------------------------------------------------------------（8分）设1122(,),(,),A x y B x y 由韦达定理得： ,1282,12422212221+-=+=+k k x x k k x x MA MB ∴⋅=11221111(,)(,)44x y x y -⋅- 212121211121()(1)(1)416x x x x k x x =-+++-- =16121))(411()1(2212212++++-+k x x k x x k =16121124)411(1282)1(2222222++++-+-+k k k k k k k =,167161211281622-=++--k k 所以MA MB ⋅为定值167-. ------------------------------------------（14分）22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）解：（1）()()()1x f x x x Z =+-∈，∴()()()()()222112x x f x f x x x +⎡⎤⎡⎤+-=++--+-=⎣⎦⎣⎦（非零常数） 所以函数()()()1x f x x x Z =+-∈是广义周期函数，它的周距为2；-----（4分）（2）函数()()sin f x kx b A x ωϕ=+++（k A ωϕ、、、为常数，0,0,0k A ω≠>>）是广义周期函数， 且22,k T M ππωω==.证明如下：()2f x f x πω⎛⎫+- ⎪⎝⎭()222sin sin k k x b A x kx b A x πππωϕωϕωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++-+++=⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （非零常数）. -------------------------------------------------------------------------------------（ 8分）（3）()()()()()222224f x f x x g x x g x +-=-++++-=-，所以()f x 是广义周期函数，且2,4T M ==-. ------------------------------------------（10分）设[]12,1,3x x ∈满足()()123,3f x f x =-=，由()()24f x f x +=-得：()()()()111164424444431215f x f x f x f x +=+-=+--=---=--=-，又()()()24f x f x f x +=-<知道()f x 在区间[]9,9-上的最小值是x 在[]7,9上获得的，而[]167,9x +∈，所以()f x 在[]9,9-上的最小值为15-．--------------------（ 13分）由()()24f x f x +=-得()()24f x f x -=+得：()()()()222210846442023f x f x f x f x -=-+=-++==+=， 又()()()24f x f x f x -=+>知道()f x 在区间[]9,9-上的最大值是x 在[]9,7--上获得的，而[]2109,7x -∈--，所以()f x 在[]9,9-上的最大值为23．-----------（16分）23．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）解：（1）()()()()()2,1,1,121,4841,2,,1f j f j f j f j j j n =++=+=+=-，()()()()()()3,2,2,122,8284816161,2,,2f j f j f j f j j j j n =++=+=++=+=-，---------------------------------------------------------------------------------------------------------（4分） （2）由已知，第一行是等差数列，假设第()13i i n ≤≤-行是以i d 为公差的等差数列，则由 ()()()()()()1,11,,1,2,,1f i j f i j f i j f i j f i j f i j ++-+=+++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()(),2,2i f i j f i j d =+-=（常数）知第()113i i n +≤≤-行的数也依次成等差数列，且其公差为2i d .综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列．---------------------------（9分）（3）由于()114,22i i d d d i -==≥，所以11422i i i d -+=⋅=，---------------------（11分）所以1(,1)(1,1)(1,2)2(1,1)i f i f i f i f i d -=-+-=-+，由12i i d -=得(),1f i 2(1,1)2i f i =-+，----------------------------------------------（13分）于是()()1,11,1122i i f i f i --=+，即()()1,11,1122i i f i f i ---=，----------------------------（15分） 又因为()11,14222f ==，所以，数列(),12i f i ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，()(),12112i f i i i =+-=+，所以()(),112i f i i =+⋅（1,2,,i n =）．----------（18分）。

上海市浦东新区2014年高考预测（二模）数学（理）试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则U A ð=__{}1,4,5___2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 43y x =± . 3.函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为__5_____4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =13. 5.函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点___(2,3)-___.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =__23522n n -___.7.π，则球的体积为 __323π__ ． 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.989.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()nn a a a →∞+++=L __13-__． 10.(理)在平面直角坐标系xoy 中,若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos C:2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a =_3__.11.(理)已知随机变量ξ的分布列如右表，若3E ξ=，则D ξ=__1 ．12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径R 5=，则AB C ∆的周长为_____6+13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为2. 14.(理)已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且MA MC MB()R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有＿12＿个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “1x >”是“11x<”的( A ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16. （理）已知z x yi =+，,x y R ∈， i 是虚数单位.若复数+1zi i+是实数，则z 的最小值为( D )（A ）0 （B ）52（C ） 5 （D 17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ D ） （A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln5x f x x -=+（C ）()arctan 4x f x =（D ）()x xf x e e -=+ 18. （理）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ B ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.（理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）求点M 到平面ADN 之间的距离.解：（1）设AB 的中点为E ，连接EN ，则//EN AC ，且12EN AC =，所以MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角。

2014年上海市闸北区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（54分）本大题共有9题，每个空格填对得6分，否则一律得零分.1. 设a ∈R ，i 是虚数单位．若复数a−i 3+i 是纯虚数，则a =________． 2. 不等式4x >|x|的解集为________．3. 若2是log 2a 与log 2b 的等差中项，则a +b 的最小值为________．4. 设变量x ，y 满足约束条件{x ≥0,x −y ≥0,2x −y −2≤0,则z =3x −2y 的最大值为________．5. 若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的体积分别为V 1和V 2，则V 1:V 2的值为________．6. 设x ∈R ，向量a →=(x, 1)，b →=(1, −2)，且a →⊥b →，则|a →+b →|=________． 7. 如图，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE =FB =xcm ．若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为________．8. 设a >0，a n =n ⋅a n ，若{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围为________．9. 已知集合A ={(x, y)|y =|x|+m}，B ={(x, y)|y =mx}，若集合A ∩B 中有且仅有两个元素，则实数m 的取值范围是________．二、选择题（18分）本大题共有3题，每题选对得6分，否则一律得零分.10. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为（ ）A 415B 13C 25D 111511. 函数f(x)=Msin(ωx +φ)(ω>0)在区间[a, b]上是增函数，且f(a)=−M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx +φ)在[a, b]上（ ）A 是增函数B 是减函数C 可以取得最大值MD 可以取得最小值−M12. 现有某种细胞100个，其中有占约总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过10小时，细胞总数大约为（ ）A 3844个B 5766个C 8650个D 9998个三、解答题（78分）本大题共有4题，请在答题纸内写出必要的步骤.13. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=A 1B 1=4，D 、E 分别为AA 1与A 1B 1的中点．（1）求异面直线C 1D 与BE 的夹角；（2）求四面体BDEC 1体积．14. 设函数f(x)=3−2x3+2x (x ∈R)．（1）求函数y =f(x)的值域和零点；（2）请判断函数y =f(x)的奇偶性和单调性，并给予证明．15. 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对任意的n ∈N ∗，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．（1）求证：数列{a n }的通项公式为a n =4n −2；（2）已知数列{b n }是以2为首项，公比为3的等比数列，其第n 项恰好是数列{a n }的第r 项，求lim n →∞r 3n的值． 16. 已知反比例函数y =1x 的图象C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线．（1）求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；（2）设直线l 过点P(0, 4)，且与双曲线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于点Q ． ①求A 、B 中点M 的轨迹方程；②当PQ →=λ1QA →=λ2QB →，且λ1+λ2=−8时，求点Q 的坐标．2014年上海市闸北区高考数学二模试卷（文科）答案 1. 13 2. (0, 2)3. 84. 45. 43√26. √107. 158. (0, 12)9. (−1, 0)10. D11. C12. B13. 解：（1）过点D作DF // BE交AB于点F，连结FC1，∴ ∠C1DF即所求异面直线所成角（或补角），解得DC1=√20=2√5，DF=√22+12=√5，∴ FC=√AC2+AF2−2AC⋅AFcos60∘=√42+12−2×4×1×1 2=√13，又CC1=4，∴ FC1=√FC2+CC12=√29，由余弦定理，有cos∠C1DF=DC12+DF2−FC122DC1⋅DF =−15．∴ 异面直线C1D与BE的夹角为arccos15．（2）DE=2√2，BD=2√5，△BDE的高为3√2，∴ S△BDE=12×2√2×3√2=6，∴ △BDE的面积为6，∵ △A1B1C1为等边三角形，E为A1B1中点，∴ C1E=√42−22=2√3，∴ 高为C1E=2√3，∴ 四面体BDEC1体积V=13×6×2√3=4√3．∴ 四面体BDEC1体积4√3．14. 解：（1）∵ f(x)=3−2x3+2x =−1+63+2x，∵ 2x>0，∴ 3+2x>3∴ 0<13+2x <13，∴ 0<63+2x<2，∴ −1<f(x)<1，故y=f(x)的值域为(−1, 1)；令f(x)=0，即63+2x=1，解得x=log23，∴ y=f(x)的零点为x=log23，（2）对任意的x∈R，f(−1)=3−2−13+2−1=57≠±15=±f(1)，故y=f(x)是非奇非偶函数，∴ 对任意的x1，x2∈R，x1<x2，f(x1)−f(x2)=63+2x1−63+2x2=6(2x2−2x1)(3+2x1)(3+2x2)，∵ 3+2x1>0，3+2x2>0，2x2−2x1>0，∴ f(x1)>f(x2)，故y=f(x)在定义域R上是减函数．15. 解：（1）由题意得a n+22=√2S n，a n>0，平方可得S n=18(a n+2)2，当n=1时，a1=18(a1+2)2，解得a1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=18(a n+2)2−18(a n−1+2)2，变形整理得(a n+a n−1)(a n−a n−1−4)=0，由题意知a n+a n−1≠0，∴ a n−a n−1=4∴ 数列{a n}为首项为2，公差为4的等差数列，∴ a n=2+4(n−1)=4n−2（2）由题意2×3n−1=4r−2，解得r=3n−1+12，∴ limn→∞r3n=limn→∞3n−1+12×3n=limn→∞(16−12×3n)=1616. 解：（1）由题意得：顶点：(−1, −1)、(1, 1)，--------------------------------- 焦点：(−√2, −√2)、(√2, √2)为焦点．--------------------------------------（2）①直线l斜率不存在或为0时显然不满足条件；设直线l:y=kx+4(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x, y)，--------------------- 将y=kx+4代入y=1x，得kx2+4x−1=0，-------------------------------------- △=16+4k>0，∴ k>−4，--------------------------------------x1+x2=−4k ，x1x2=−1k，-------------------------------∴ x =−2k ，y =2，-------------------------------------- ∵ k >−4，∴ x ∈(−∞, 0)∪(12, +∞)，-------------------------------------- ∴ A 、B 中点M 的轨迹方程为y =2(x ∈(−∞, 0)∪(12, +∞)，------------②直线l 斜率不存在或为0时显然不满足条件；------------------------------------- 设直线l:y =kx +4(k ≠0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则Q(−4k , 0)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−将y =kx +4代入y =1x ，得kx 2+4x −1=0，-------------------------------------- ∵ PQ →=λ1QA →=λ2QB →，∴ (−4k , −4)=λ1(x 1+4k , y 1)=λ2(x 2+4k , y 2)，----------- ∴ λ1+λ2=−4kx 1+4+−4kx 2+4=−8，即2k 2x 1x 2+7k(x 1+x 2)+24=0，解得k =−2，--------------------------------------∴ Q(2, 0)．--------------------------------------。

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故πsin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AE EC λ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．710e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ=，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,710e e ≤≤≤≤710e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221xy a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A 【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99i x x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(i i i i x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147y x =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= .19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v 小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y 有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m m y y m m +=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。

静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试数学试卷文科（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .（文）若),(ππ-∈x ，则方程12cos 2sin 3=-x x 的解是_____________. 9．（文）满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x f +=的最小值为_______.10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（文）在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线过点()2,3，且它的一个顶点与抛物线24y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 .12． （文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．13.（文）若三个数c a ,1,成等差数列（其中c a ≠），且22,1,c a 成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值为 ． 14． （文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都第10题图有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15.（文） 不等式12x x->的解集为……………………………………………（ ）. )(A }01|{>-<x x x 或 )(B }1|{-<x x )(C }1|{->x x )(D }01|{<<-x x16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118. （文）已知向量，满足：1||||==，且||3||k k -=+（0>k ）．则向量与向量的夹角的最大值为 ……………………………… （ ）.)(A 3π )(B 32π )(C 6π )(D 65π三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm ）如图所示．设两条异面直线1AQ 和PD 所成的角为θ，求cos θ的值．1A 1D C 1 Q1A 正视图侧视图俯视图20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（文）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为k （0>k ）的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（文）已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥=+==-+).2(,,8,21121n ca a a a a n n n （c 为常数，*N n ∈）（１）当2=c 时，求n a ； （２）当1=c 时，求2014a 的值；(第20题图)（3）问：使n n a a =+3恒成立的常数c 是否存在？并证明你的结论．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 文1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．22 9．37； 10. 4111. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；文A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴. （文）由//PQ CD ，且PQ CD =，可知//PD QC ，故1AQC ∠为异面直线1AQ 、PD 所成的角（或其补角）．由题设知2222111126AQ A B B Q =+=+=，12AC = 取BC 中点E ，则QE BC ⊥，且3QE =，222223110QC QE EC =+=+=．由余弦定理，得2221111cos cos 2AQ QC AC AQC AQ QC θ+-=∠=⋅== 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k-++.所以MN ==2212(1)43k k +=+. 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.（文）（1）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-，解得22a =，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221k y k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k kE k k -++. 若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ．因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . （文）（1）46)1(62-=-+=n n a n （2） 21=a ，82=a ，63=a ，24-=a ，85-=a ，66-=a ，27=a ，88=a ，69=a ，210-=a ，811-=a ， 612-=a ，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由n n n a a a =+-+11有n n n n a a a a -=-=+++123，n n n n a a a a =-==++++3336．……8分(理由和结论各2分)因为 463352014+⨯=，所以242014-==a a ．（3）假设存在常数c ，使n n a a =+3恒成立．由n n n ca a a =+-+11 ○1，及n n a a =+3，有1112+-++=+⇒=+n n n n n n ca a a ca a a ○2○1式减○2式得0)1)((1=+-+c a a n n ． 所以01=-+n n a a ，或01=+c ．当*N n ∈，01=-+n n a a 时，数列｛n a ｝为常数数列，不满足要求．由01=+c 得1-=c ，于是n n n a a a -=+-+11，即对于2≥∈n N n 且，都有11-+--=n n n a a a ，所以 n n n n n n a a a a a a --=--=+++++12123,，从而n n n n n n n a a a a a a a =-+=--=+++++11123, )1(≥n ．所以存在常数1-=c ，使n n a a =+3恒成立．23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ； （2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列，证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、 1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x xx p x p ， 所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）同理科22（3）．。

上海市浦东新区2014年高考三模冲刺数学试卷 一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）1．函数()2x x x f -=的定义域为 .2．如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+=．3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ．4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有 组.8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 _________米． 9．（文）如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm ．（理）已知圆的方程是1)1(22=-+y x ，若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为 ．10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271>∈=--n n aa n n nN ，则当n a 取得 最小值时n 的值是 ．11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d .12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有33)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:2213=+ 23135=++ 241357=+++ 3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件：（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．给出下面三个数列：①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-；②数列}{n b ：1，2，3，4，5；③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6.具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15．非零向量b a ,，m a =||，n b =||，若向量b a c 21λλ+=，则||c 的最大值为……（ ） A ．n m 21λλ+ B ．n m ||||21λλ+ C ．||21n m λλ+ D ．以上均不对16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前n 项和910n S =,则双曲线2211x y n n -=+的渐近线方程为 …………………………………………………………（ ）A．y x = B．y = C．y x = D．y x =17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是…… ………………（ ）A ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 18．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满MF MF =则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为……………… （ ）A B C D 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin f x m x x = ()0m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，ππ()()sin 44f A f B A B-+-=，角A ，B 所对的边分别是a ，b ，求b a 11+的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF的方程是200(5x y x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b .（1）求椭圆C 的方程； （2）求MON ∠tan 的最大值；（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）已知数列{}na，{}nb满足：()1*n n nb a a n N+=-∈．（1）若11,na b n==，求数列{}n a的通项公式；（2）若()112n n nb b b n+-=≥，且121,2b b==．①记()611n nc a n-=≥，求证：数列{}nc为等差数列；②若数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a应满足的条件．上海市浦东新区2014年高考三模冲刺数学试卷 参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．]1,0[； 2．13； 3．4； 4．i 1812+-； 5．060； 6．3π； 7．25； 8．8；9．（文）4π；（理）2sin ρθ=；10．6或7； 11．a36； 12．0 ； 13．9； 14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．B ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()f x．………………………2分而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分 在]4,0[π上递增．在 ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减， 所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B-+-=得s i ns i n 6s i n s i n A B A B +=．……………………………………………………7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分因为△ABC 的外接圆半径为3=R．a b +．…………………………11分所以 211=+b a …………………………………………………………………12分20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，………………2分因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a a y ，…4分即x x a ay --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以x x a a x f -⋅+=2)(||．……………………………………………………6分 （2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m t t =+2，…………………………………………8分即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，………………………………………12分 解得322<<m ；所以m 的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=， 又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤；.…………………………………………………………………2分.211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤；………………………4分 所以z 的取值范围是75502z ≤≤..………………………………………………6分（2）由题意，得200200(,),(,)K s G t s t ，..…………………………………………8分所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st ∆=⋅⋅=--=+-则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，..……………………………10分 因为函数140000(400)2MGK S z z ∆=+-在75,502z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，..………12分 所以当50z =时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,3a b == ,方程为22143x y +=.·······················4分（2）当000=y x 时，显然0tan =∠MON ，由椭圆对称性，只研究0,000>>y x 即可，设k x y k OM ==00（0>k ），于是32kk ON =···························································5分=-≤+-=+-=∠32232233232132tan 2k k k kkMON（当且仅当232=k 时取等号）··············································································8分（3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝;1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得:222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩ ①···································································10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得:1212340x x y y +=；整理得:221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ② 将①式代入②式得: 22342k m +=, ································································· 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAB S AB d ∆==············································································14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得: 223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)304m m --=；552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上: OAB ∆又ODE ∆所以二者相等. ·························································16分 23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，有 ()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．…………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n nn n n b b b b b b b ++++++====，所以，1656161661626364111221722n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=， 所以，数列{}n c为等差数列．……………………………………………………8分②设()6*n n i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=， 即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分设()677767766666666i i k i i k i k a i a i a a k f k i i k i k i k +++--+====+++++． （其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =；……………………………… 12分 当76i a i ≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a if f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦． （Ⅰ）若76i a i>，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列； （Ⅱ）若76i a i<，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．三模 第 11 页 2014-5-20综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分。