(北京市)2014年高考真题数学(文)试题

2014北京市高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.已知函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则123()()()f x f x f x ++的值为()A.正B.负C.零D.可正可负3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）A ．4+52π B ．4+32π C ．4+2π D ．4+π 4.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( )A ．-1B ．CD ．15.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A． B．C． D．7. 已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若，线段AB的中点到直线的距离为1，则p的值为（）8. 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．9.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a aB a a a=+-=--+，若{}3A B=-，则实数a的值为________________.10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向①时输出的结果S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果S＝n，求m＋n的值．11.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ． 12. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是________________.13.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是_______14.设a ∈R ，若x ＞0时均有[（a ﹣1）x ﹣1]（x 2﹣ax ﹣1）≥0，则a= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15.已知向量)4cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x x x ==．记n m x f ⋅=)( (I)求)(x f 的周期；(Ⅱ)在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a —c)cos B=b cosC ， 若f (A )=，试判断∆ABC 的形状． 16. 某校要从2名男同学和4名女同学中选出2人担任羽毛球比赛的志愿者工作，每名同学当选的机会均相等．（Ⅰ）求当选的2名同学中恰有l 名男同学的概率； （Ⅱ）求当选的2名同学中至少有1名女同学的概率．17. 如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （1）求证：B 1B∥平面D 1AC ；（2）求证：平面D 1AC⊥平面B 1BDD 1．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .求证: '⋅k k 为定值.19.已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20. 已知函数x a x g ln )2()(-=，2ln )(ax x x h +=)(R a ∈，令)()()('x h x g x f +=.(Ⅰ)当0=a 时，求)(x f 的极值； (Ⅱ)当2-<a 时，求)(x f 的单调区间；(Ⅲ)当23-<<-a 时，若对]3,1[,21∈∀λλ，使得3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m f f λλ恒成立,求m 的取值范围.2014北京市高考压轴卷数学文word 版参考答案 1. 【答案】D 【解析】1()1,2,1,12x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D ． 2. 【答案】B【解析】∵3()f x x x =--，∴函数()f x 在R 上是减函数且是奇函数，∵120x x +>，∴12x x >-，∴12()()f x f x <-，∴12()()f x f x <-，∴12()()0f x f x +<， 同理：23()()0f x f x +<，31()()0f x f x +<，∴123()()()0f x f x f x ++<.3. 【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分2π，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．故选A ． 4. 【答案】A. 【解析】5. 【答案】C【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n 可能在平面α内，故①错误 ②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确 ③过直线m 作平面γ交平面β与直线c ，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选C6. 【答案】C.【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选7. 【答案】B.【解析】分别过A、B作交线l：x=﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）根据抛物线的定义，得∴梯形ACDB中，中位线MN=（）=2，可得x0+=2，x∵线段AB的中点M到直线的距离为1，可得|x0﹣|=1∴|2﹣p|=1，解之得p=1或3故选：B8. 【答案】C.【解析】求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc ∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故选C．9. 【答案】a=-1.【解析】若a-3=-3,则a=0，此时：}1,1,3{},3,1,0{--=-=B A ,}3,1{-=⋂∴B A ,与题意不符，舍 若2a-1=-3,则a=-1，此时：}2,4,3{},3,1,0{--=-=B A ，}3{-=⋂∴B A ，∴a=-1 若a2+1=-3,则a 不存在 综上可知：a=-1 10. 【答案】20.【解析】当箭头指向①时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0，S ＝1； i ＝2，S ＝0，S ＝2； i ＝3，S ＝0，S ＝3； i ＝4，S ＝0，S ＝4； i ＝5，S ＝0，S ＝5； i ＝6结束． ∴S＝m ＝5．当箭头指向②时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0， S ＝1； i ＝2，S ＝3； i ＝3，S ＝6； i ＝4，S ＝10； i ＝5，S ＝15； i ＝6结束． ∴S＝n ＝15． ∴m＋n ＝20． 11. 【答案】44【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得64a =,又由611111611211()114422a a aS a ⨯+==== 12. 【答案】6.【解析】每个个体被抽到的概率等于 =，而中型超市有120家，故抽取的中型超市数是 120×=613.【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为y kx =，因为与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，所以0k >，且联列解得,P Q ⎛ ⎝，所以4PQ ==≥14. 【答案】【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1，y 2=x 2﹣ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）． 考查函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1：令y=0，得M （，0），∴a＞1；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣1，显然过点M （，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）． 故答案为：15. 【解析】211()cos cos cos 4442222x x x x x f x +++1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（I ）π4=T（Ⅱ 根据正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-= 12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒=∵()f A =∴ 1sin 262263A A πππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或 π 而203A π<<，所以3A π=，因此∆ABC 为等边三角形.……………12分16. 【解析】（I ）所有的选法共有=15种，当选的2名同学中恰有1名男同学的选法有•=8种，∴当选的2名同学中恰有1名男同学的概率为 ．（II ）所有的选法共有=15种，当选的2名同学中恰有2名女同学的选法有=6种， 当选的2名同学中恰有1名女同学的选法有•=8种，故当选当选的2名同学中至少有1名女同学的选法有6+8=14种， 故当选的2名同学中至少有1名女同学的概率为．17. 【解析】证明：（1）设AC∩BD=E，连接D 1E ， ∵平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1． ∴B 1D 1∥BE，∵B 1D 1=BE=， ∴四边形B 1D 1EB 是平行四边形， 所以B 1B∥D 1E ．又因为B 1B ⊄平面D 1AC ，D 1E ⊂平面D 1AC ， 所以B 1B∥平面D 1AC（2）证明：侧棱DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC⊥DD 1．∵下底ABCD 是正方形，AC⊥BD．∵DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC⊥平面B 1BDD 1∵AC ⊂平面D 1AC ，∴平面D 1AC⊥平面B 1BDD 1．18.【解析】（Ⅰ）由条件2,a b ==…………2分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分 （Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立. 设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分 因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ， 直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ， ………9分 令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x yN ，所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--. ………10分 直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=- 12121()422y y x x =+-- 122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x k x x x x -++=⋅-++ …………12分 2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++ 34k=- 所以k k '⋅为定值43-. …………13分 19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分所以1122n n a a a a ++-=-, ………2分即21214n n a a a a ++-=-=. ………3分所以数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分 所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121n n a qa a qa ++-=-. ………7分因为当1n =时，由(1)(1),B qA =可得21a qa =， ………8分 所以210n n a qa ++-=.因为0n a >， 所以2211n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， ………9分（２）必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=. ………10分因为0n a >，所以(),(),()A n B n C n 均大于0.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分 即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………13分综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………14分20. 【解析】。

2014年高考新课标2卷文科数学试题(解析版)D（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】 D 【解析】.3 7 2 2 5 2 1 3 1 ,2,2D K S M t x 故选变量变化情况如下：==（9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1【答案】 B 【解析】..7,2).1,0(),2,3(),0,1(.B y x z 故选则最大值为代入两两求解，得三点坐标，可以代值画可行区域知为三角形+=（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = （A ）303（B ）6 （C ）12 （D ）3 【答案】 C【解析】..1222.6∴),3-2(23),32(233-4322,34322).0,43(2,2C n m BF AF AB n m n m n n m m F n BF m AF 故选，解得角三角形知识可得，则由抛物线的定义和直，设=+=+==+=+=•=+•===（11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ 【答案】 D【解析】.),∞,1[.11≥.0≥1-)(ln -)(0)(),1()(D k xk xk x f x kx x f x f x f 选所以即恒成立上递增，在+∈>=′∴=≥′∴+∞（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）2,2⎡-⎣ （D ） 2222⎡-⎢⎣⎦，【答案】 A 【解析】.].1,1-[∈x .,1)M(x 1,y O 00A 故选形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y＝e﹣x B．y＝x C．y＝lnx D．y＝|x|3．（5分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，1），则2﹣＝（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．155．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）＝﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．48．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若（x+i）i＝﹣1+2i（x∈R），则x＝．10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．12．（5分）在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝；sin A＝．13．（5分）若x，y满足，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序粗加工精加工。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中， 包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ， 使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟） 满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数）， 图中记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据， 可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y +的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =3.已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155. 设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6. 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞ 7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2014年高考文科数学试题（新课标Ⅰ）及参考答案第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}13M x x =-<<， {}21N x x =-<<，则MN =A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21B. 22C. 23D. 2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=aA. 2B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数 （6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A. AD B.12AD C. 12BC D. BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱 （9）执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M=A.203 B.165 C.72 D.158（10）已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，xF A 045=，则=xA. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A. -5B. 3C. -5或3D. 5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2014年北京高考文科数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|3．已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）第4题图第8题图A．1B．3C．7D．155．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．48．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c （a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A ． 3.50分钟B ． 3.75分钟C ． 4.00分钟D ． 4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若（x+i ）i=﹣1+2i （x ∈R），则x= _________ ． 10．设双曲线C 的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C 的方程为 _________ ．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _________ ．12．在△ABC 中，a=1，b=2，cosC=，则c= _________ ；sinA= _________ ．13．若x ，y 满足，则z=x+y 的最小值为 _________ ．14．顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B 6 21则最短交货期为 _________ 个工作日． 三、解答题，共6小题，满分80分． 15．（13分）已知{a n }是等差数列，满足a 1=3，a 4=12，数列{b n }满足b 1=4，b 4=20，且{b n ﹣a n }为等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和． 16．（13分）函数f （x ）=3sin （2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f （x ）的最小正周期及图中x 0，y 0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1 [0，2） 62 [2，4）83 [4，6）174 [6，8）225 [8，10）256 [10，12）127 [12，14） 68 [14，16） 29 [16，18） 2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=2x3-3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）答题卷一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)9． 10． 11．12． 13． 14．三、解答题15. （本小题满分13分）16（本小题满分13分）17（本小题满分14分）18（本小题满分13分）19.（本小题满分14分）20．（本小题满分13分）参考答案14题注：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时）x （-∞，0）0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 - 0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗。

类题目的关键.
7.已知圆 C : x 32 y 4 2 1 和两点 Am, 0 ， B m, 0 m 0 ，若圆 C 上存在点
P ，使得
APB 90 ，则 m 的最大值为（
）
A. 7 B. 6 C. 5
D. 4
【答案】B
【解析】由图可知当圆 C 上存在点 P 使 APB 90 ，即圆 C 与以 AB 为直径的圆有公共
.
4
【答案】2、 15 8
【解析】由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cos C 1 4 2 2 1 1 2 ，即 c 2 ； 4
cos A b2 c2 a2 4 4 1 7 ，∴ sin A 1 7 2 15 .
2bc
222 8
8 8
y 1
13.若
x
、
是减函数，故选 B.
【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.
3.已知向量 a 2, 4 ， b 1,1 ，则 2a b （ ）
A. 5, 7 B. 5,9
C. 3, 7
【答案】A
【解析】2a－b= 22,4 1,1 5,7.
D. 3,9
4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
.
【答案】 2 2 【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且 PB 面ABC ，PB 2 ，AB 2, AC BC 2 ，
PA 22 22 2 2 ， PC 22 2 2 6 .
P
B
C
A
12.在 ABC 中， a 1， b 2 ， cos C 1 ，则 c
； sin A
y
满足
x
y
1
0
，则
z
3x y 的最小值为

2014 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟，。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的4 个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合 A0,1,2,4 ， B1,2,3 ，则 AB（ ）A. 0,1,2,3,4B. 0,4C. 1,2D. 32.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A. y exB.y xy ln xy xC.D.3.已知向量 a 2,4 ， b1,1 ，则 2a b（ ）A. 5,7B. 5,9C. 3,7D. 3,94.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A.1B 3.C 7.D 15.开始否是输出结束5.设 a 、 b 是实数，则“ a b ”是“ a 2 b 2 ”的（）A.充分而不必要条件B 必.要而不必要条件C.充分必要条件D既.不充分不必要条件6.已知函数f x 6log 2 x ，在下列区间中，包含 f x 零点的区间是（）xA. 0,1B. 1,2C. 2,4D. 4,7.已知圆C : x2y21和两点A m,0 ， B m,0 m 0 ，若圆C上存在点3 4P ，使得APB 90 ，则m的最大值为（）A. 7 6 5 4B. C. D.8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p at2 bt c （ a 、b、 c 是常数），下图记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A. 3.50分钟 B.3.75 分钟 C.4.00分钟 D.4.25 分钟p0.80.70.5O345t第2 部分（非选择题共110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

;.2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2014年北京，文1，5分】若集合0,1,2,4A，1,2,3B，则A B （）（A ）0,1,2,3,4（B ）0,4（C ）1,2（D ）3【答案】C 【解析】因为{1,2}AB，故选C ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．（2）【2014年北京，文2，5分】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）（A ）xye（B ）y x（C ）ln yx（D ）yx【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为),0(；选项D ，在)0,(上是减函数，故选B ．【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．（3）【2014年北京，文3，5分】已知向量2,4a，1,1b，则2a b（）（A ）5,7（B ）5,9（C ）3,7（D ）3,9【答案】A 【解析】因为2(4,8)a，所以2(4,8)(1,1)(5,7)ab，故选A ．【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．（4）【2014年北京，文4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）1 （B ）3 （C ）7 （D ）15 【答案】C【解析】当0k 时，1S ；当1k 时，123S ；当2k 时，347S ；当3k 时，输出7S ，故选C ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（5）【2014年北京，文5，5分】设a 、b 是实数，则“ab ”是“22ab ”的（）（A ）充分必要条件（B ）必要而不必要条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分不必要条件【答案】D 【解析】若0,2ab ，则22ab ，故不充分；若2,0a b ，则22ab ，而a b ，故不必要，故选D ．【点评】判断充要条件的方法是：①若p q 为真命题且qp 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p q 为假命题且q p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p q 为真命题且q p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若pq 为假命题且qp 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．（6）【2014年北京，文6，5分】已知函数26log f xx x，在下列区间中，包含f x 零点的区间是（）（A ）0,1（B ）1,2（C ）2,4（D ）4,【答案】C 【解析】因为3(2)410,(4)202f f ，所以由根的存在性定理可知，故选A ．【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．;.O5430.80.70.5tp （7）【2014年北京，文7，5分】已知圆22:341C x y 和两点,0A m ，,00B m m，若圆C 上存在点P ，使得90APB，则m 的最大值为（）（A ）7 （B ）6（C ）5 （D ）4【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点0,0为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以15m ，故选B ．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．（8）【2014年北京，文8，5分】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p atbtc （a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A ）3.50分钟（B ）3.75分钟（C ）4.00分钟（D ）4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p atbtc 的图象上，所以930.71640.82550.5ab c a b c a b c ，解得0.2, 1.5,2a b c．2215130.2 1.520.2()416pttt，当153.754t 时，p 取最大值，故选B ．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，文9，5分】若i i 12i x x R ，则x．【答案】2【解析】由题意知：i 112i x ，所以由复数相等的定义知2x．【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．（10）【2014年北京，文10，5分】设双曲线C 的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点式1,0，则C 的方程为．【答案】221xy【解析】由题意知：2,1ca，所以2221bca，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C 的方程为221xy．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．（11）【2014年北京，文11，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为______．【答案】22【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为222222．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．（12）【2014年北京，文12，5分】在ABC 中，1a ，2b ，1cos 4C，则c；sin A ．【答案】2，158【解析】由余弦定理得：22212cos 52244c a b ab C ，故2c ；因为4417cos 2228A，所以15sin 8A．俯视图侧（左）视图正（主）视图11122;.【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（13）【2014年北京，文13，5分】若x 、y 满足1101yx y xy，则3z xy 的最小值为_______．【答案】 1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线3zxy 可得，当直线经过两条直线1y与10xy的交点0,1时，z 取得最小值1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．（14）【2014年北京，文14，5分】顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A 915原料B621则最短交货期为工作日．【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142天．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京，文15，13分】已知n a 是等差数列，满足13a ，412a ，数列nb 满足14b ，420b ，且nn b a 为等比数列．（1）求数列n a 和n b 的通项公式；（2）求数列n b 的前n 项和．解：（1）设等差数列n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d ，所以11312na a n d n n ，，．设等比数列n n b a 的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a ，解得2q ．所以11112n n nnb a b a q ．（2）由（1）知13212n nb n n，，．数列3n 的前n 项和为312n n，数列12n 的前n 项和为1212112nn×．所以，数列n b 的前n 项和为31212nn n ．【点评】本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．（16）【2014年北京，文16，13分】函数3sin 26f xx的部分图象如图所示．（1）写出f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求f x 在区间,212上的最大值和最小值．解：（1）f x 的最小正周期为π，07π6x ．03y ．（2）因为ππ212x ，，所以π5π2066x ，．于是当π206x，即π12x时，f x 取得最大值0；当ππ262x，即π3x 时，f x 取得最小值3．Oy xy 0x 0;.【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．（17）【2014年北京，文17，14分】如图，在三棱柱111ABCA B C 中，侧棱垂直于底面，ABBC ，12AA AC ，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点．（1）求证：平面ABE平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥EABC 的体积．解：（1）在三棱柱111ABCA B C 中，1BB 底面ABC ．所以1BB AB ．又因为ABBC ．所以AB平面11B BCC ．所以平面ABE 平面11B BCC ．（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC ．因为11AC AC ∥，且11ACAC ，所以1FG EC ∥，且1FG EC ．所以四边形1FGEC 为平行四边形．所以1C F EG ∥．又因为EG 平面ABE ，1C F 平面ABE ，所以1C F ∥平面ABE ．（3）因为12AA AC，1BC，ABBC ，所以223AB AC BC．所以三棱锥EABC 的体积111133123323ABC VS AA △．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E ﹣ABC 的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．（18）【2014年北京，文18，13分】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）．解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（2）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a 频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b频率组距．（3）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量．（19）【2014年北京，文19，14分】已知椭圆22:24C xy．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y，点B 在椭圆C 上，且OAOB ，求线段AB 长度的最小值．解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142xy．所以24a，22b ，从而2222cab．因此2a，2c ．故椭圆C 的离心率22c ea．组号分组频数1 02， 6 2 24，8 3 46，17 4 68，22 5 810，25 6 1012，12 7 1214， 6 81416， 2 9 1618， 2 合计100C 1B 1A 1FE C BAGC 1B 1A 1FECBA阅读时间ba频数组距18161412108642O;.（2）设点A ，B 的坐标分别为2t ，，00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ，所以0OA OB，即0020tx y ，解得002y tx ．又22024xy，所以2222ABx ty 22000022y x y x 222002044y xyx220202024442xxxx22002084042x x x≤．因为22002084042x x x≥≤，且当204x时等号成立，所以28AB ≥．故线段AB 长度的最小值为22．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．（20）【2014年北京，文20，13分】已知函数3()23f x xx ．（1）求()f x 在区间[2,1]上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()yf x 相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C 分别存在几条直线与曲线()yf x 相切？（只需写出结论）．解：（1）由323f xxx 得263f x x．令0fx，得22x或22x．因为210f，222f，22112ff ，，所以f x 在区间21，上的最大值为222f．（2）设过点1P t ，的直线与曲线yf x 相切于点00x y ，，则300023y x x ，切线斜率2063kx ，所以切线方程为263yy x 0xx ，2000631ty x x ．整理得324630x x t ．设32463g xxxt，则“过点1P t ，存在3条直线与曲线yf x 相切”等价于“g x 有3个不同零点”．21212121g xxxx x ．g x 与g x 的情况如下：x(0)，0 (01)， 1 (1)，()g x 0 0()g x ↗3t ↘1t ↗所以，(0)3g t是()g x 的极大值，(1)1g t 是()g x 的极小值．当(0)30g t≤，即3t ≤时，此时()g x 在区间1，和(1)，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t ≥，即1t ≥时，此时()g x 在区间(0)，和0，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当00g 且10g ，即31t时，因为1702110gt g t ，，所以g x分别在区间10，，01，和12，上恰有1个零点．由于g x 在区间0，和1，上单调，所以g x 分别在区间0，和1，上恰有1个零点．综上可知，当过点1P t ，存在3条直线与曲线yf x 相切时，t 的取值范围是31，．（3）过点12A，存在3条直线与曲线yf x 相切；过点210B ，存在2条直线与曲线yf x 相切；过点02C ，存在1条直线与曲线yf x 相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝().A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}答案：C解析：因为集合A，B中的公共元素为1，2，所以A∩B＝{1，2}，应选C．2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是().A．y＝e﹣x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|答案：B解析：A项，函数y＝e﹣x为R上的减函数;B项，函数y＝x3为R上的增函数;C项，函数y＝ln x为(0，＋∞)上的增函数;D项，函数y＝|x|在(﹣∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数.故只有B项符合题意，应选B．3.已知向量a＝(2，4)，b＝(﹣1，1)，则2a﹣b＝().A．(5，7)B．(5，9)C．(3，7)D．(3，9)答案：A解析：因为2a＝(4，8)，b＝(﹣1，1)，所以2a﹣b＝(4﹣(﹣1)，8﹣1)＝(5，7).故选A．4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为().A．1B．3C．7D．15答案：C解析：开始时k＝0，S＝0.第一次循环，k＝0<3，S＝0＋20＝1，k＝0＋1＝1，第二次循环，k＝1<3，S＝1＋21＝3，k＝1＋1＝2，第三次循环，k＝2<3，S＝3＋22＝7，k＝3.此时不满足条件k<3，输出结果S，即输出7.故选C．5.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的().A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：当a＝0，b＝﹣1时，a>b成立，但a2＝0，b2＝1，a2>b2不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件.反之，当a ＝﹣1，b ＝0时，a 2＝1，b 2＝0，即a 2>b 2成立，但a>b 不成立，所以“a>b”是“a 2>b 2”的不必要条件.综上，“a>b”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，应选D ． 6.已知函数f (x )＝6x ﹣log 2x.在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ). A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)答案：C解析：由题意知f (1)＝61﹣log 21＝6>0，f (2)＝62﹣log 22＝3﹣1＝2>0，f (4)＝64﹣log 24＝32﹣2＝﹣12<<0.故f (2)·f (4)<0.由零点存在性定理可知，包含f (x )零点的区间为(2，4).7.已知圆C ：(x ﹣3)2＋(y ﹣4)2＝1和两点A (﹣m ，0)，B (m ，0)(m>0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ). A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案：B解析：因为A (﹣m ，0)，B (m ，0)(m>0)，所以使∠APB ＝90°的点P 在以线段AB 为直径的圆上，该圆的圆心为O (0，0)，半径为m.而圆C 的圆心为C (3，4)，半径为1.由题意知点P 在圆C 上，故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切， 故m ﹣1≤|CO|≤m ＋1，即m ﹣1≤5≤m ＋1，解得4≤m ≤6. 所以m 的最大值为6.故选B ．8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ).A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟答案：B解析：由题中图象可知点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函数图象上，因此有{0.7＝a ×32＋b ×3＋c ，0.8＝a ×42＋b ×4＋c ，0.5＝a ×52＋b ×5＋c ，解得{a ＝﹣0.2，b ＝1.5，c ＝﹣2.故p ＝﹣0.2t 2＋1.5t ﹣2，其对称轴方程为t ＝﹣1.52×(﹣0.2)＝154＝3.75.所以当t ＝3.75时，p 取得最大值.故选B ．第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若(x＋i)i＝﹣1＋2i(x∈R)，则x＝__________.答案：2解析：由已知得x i＋i2＝﹣1＋2i，即x i＝2i，解得x＝2.10.设双曲线C的两个焦点为(﹣√2，0)，(√2，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为__________.答案：x2﹣y2＝1解析：由题意知双曲线的焦点在x轴上，且c＝√2，设其方程为x 2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)，又由顶点为(1，0)知a＝1，所以b＝√c2﹣a2＝1.故所求双曲线的方程为x2﹣y2＝1.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________.答案：2√2解析：由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中P A⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC．故该三棱锥的最长棱为PC．在Rt△P AC中，PC＝√PA2＋AC2＝√22＋22＝2√2.12.在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝14，则c＝__________;sin A＝__________.答案：2√158解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2﹣2ab cos C＝12＋22﹣2×1×2×14＝4，故c＝2.所以cos A＝b 2＋c2﹣a22bc＝22＋22﹣122×2×2＝78.故sin A＝√1﹣cos2A＝√1﹣(78)2＝√158.13.若x，y满足{y≤1，x﹣y﹣1≤0，x＋y﹣1≥0，则z＝√3x＋y的最小值为__________.答案：1解析：如图，作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z ＝√3x ＋y 可化为y ＝﹣√3x ＋z ，作出直线l 0：y ＝﹣√3x 并平移.因为k AB ＝﹣1>﹣√3，所以当直线过点A 时，z 取得最小值. 由{x ＋y ﹣1＝0，y ＝1，解得A (0，1)，所以z 的最小值为z ＝√3×0＋1＝1.14.顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：则最短交货期为__________个工作日. 答案：42解析：最短交货期为先由徒弟完成原料B 的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天;徒弟可在这几天中完成原料A 的粗加工;最后由工艺师完成原料A 的精加工，需15个工作日.故交货期为6＋21＋15＝42个工作日.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n ﹣a n }为等比数列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.分析：(1)先由等差数列{a n }中的a 1，a 4求出公差d ，即可求其通项a n ，然后根据b 1，b 4的值及{b n ﹣a n }为等比数列，从而求出该数列的第1项和第4项，得出其公比，从而写出其通项公式，即可求得{b n }的通项.(2)根据{b n }的通项公式的结构特征即可利用分组求和的方法求得{b n }的前n 项和. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4﹣a 13＝12﹣33＝3.所以a n ＝a 1＋(n ﹣1)d ＝3n (n ＝1，2，…). 设等比数列{b n ﹣a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4﹣a 4b 1﹣a 1＝20﹣124﹣3＝8，解得q ＝2.所以b n ﹣a n ＝(b 1﹣a 1)q n ﹣1＝2n ﹣1.从而b n ＝3n ＋2n ﹣1(n ＝1，2，…).(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n ﹣1(n ＝1，2，…). 数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×1﹣2n 1﹣2＝2n ﹣1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n ﹣1.16.(本小题满分13分)函数f (x )＝3sin (2x ＋π6)的部分图象如图所示.(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值; (2)求f (x )在区间[﹣π2，﹣π12]上的最大值和最小值.分析：(1)首先利用公式求得f (x )＝3sin (2x ＋π6)的最小正周期，然后根据图形确定y 0，即f (x )的最大值，再根据x 0的位置即可求得其取值.(2)先根据x 的范围确定2x ＋π6的范围，进而求得f (x )的最值. 解：(1)f (x )的最小正周期为π.x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈[﹣π2，﹣π12]， 所以2x ＋π6∈[﹣5π6，0].于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝﹣π12时，f (x )取得最大值0;当2x ＋π6＝﹣π2，即x ＝﹣π3时，f (x )取得最小值﹣3.17.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点. (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证：C 1F ∥平面ABE ; (3)求三棱锥E ﹣ABC 的体积.分析：(1)首先利用侧棱垂直于底面得到BB 1⊥AB ，然后结合已知即可证得AB ⊥平面BCC 1B 1，最后利用面面垂直的判定定理即得结论.(2)取AB 的中点G ，然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得GF EC 1，进而转化为C 1F ∥EG ，最后利用线面平行的判定定理证得结论.(3)先求出△ABC 的三边长，由已知可得该三棱锥的高等于AA 1，然后代入锥体体积公式即得结果.(1)证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ．所以BB 1⊥AB ．又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG.因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE.(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝√AC 2﹣BC 2＝√3.所以三棱锥E ﹣ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×√3×1×2＝√33.18.(本小题满分13分)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整(1)12小时的概率; (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)分析：(1)直接根据频率分布表中的数据求出相应事件的频数，然后代入频率公式求值.(2)先根据频率分布表中的数据求出相应范围内的频率，然后根据频率分布直方图中纵轴表示频率组距即可求出a ，b 的值.(3)根据频率分布直方图数据的分布情况即可估计平均数所在位置.解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1﹣10100＝0.9.从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组[4，6)的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085.课外阅读时间落在组[8，10)的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组. 19.(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值. 分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出a ，c ，即可求其离心率e.(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后用相应坐标表示出|AB|2，代入坐标之间的关系，根据代数式的结构特征求其最值. 解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2﹣b 2＝2.因此a ＝2，c ＝√2. 故椭圆C 的离心率e ＝ca ＝√22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝﹣2y0x 0.又x 02＋2y 02＝4，所以|AB|2＝(x 0﹣t )2＋(y 0﹣2)2＝(x 0＋2y 0x 0)2＋(y 0﹣2)2＝x 02＋y 02＋4y 02x 02＋4＝x 02＋4﹣x 022＋2(4﹣x 02)x 02＋4＝x 022＋8x 02＋4(0<x 02≤4).因为x 022＋8x 02≥4(0<x 02≤4)，且当x 02＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB 长度的最小值为2√2.20.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝2x 3﹣3x. (1)求f (x )在区间[﹣2，1]上的最大值;(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围;(3)问过点A (﹣1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切?(只需写出结论)分析：(1)先求函数f (x )的导函数f'(x )，然后求出f'(x )＝0的解，进而比较这些值与区间端点处的函数值的大小，即可求得最大值.(2)设出切点坐标(x 0，y 0)，利用导数的几何意义表示出切线方程，由切点在曲线上及切线过点P 将切线方程化为关于x 0的三次方程，从而将已知转化为方程有三个解，构造相应函数，转化为函数图象与x 轴有三个交点，利用导数研究单调性和极值，利用极值和0的大小关系构造不等关系，从而求得t 的取值范围.(3)根据(2)中的结论，比较纵坐标与t 的大小，即可写出相应的结论. 解：(1)由f (x )＝2x 3﹣3x 得f'(x )＝6x 2﹣3，令f'(x )＝0，得x ＝﹣√22或x ＝√22. 因为f (﹣2)＝﹣10，f (﹣√22)＝√2，f (√22)＝﹣√2，f (1)＝﹣1， 所以f (x )在区间[﹣2，1]上的最大值为f (﹣√22)＝√2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 03﹣3x 0，且切线斜率为k ＝6x 02﹣3，所以切线方程为y ﹣y 0＝(6x 02﹣3)(x ﹣x 0)，因此t ﹣y 0＝(6x 02﹣3)(1﹣x 0).整理得4x 03﹣6x 02＋t ＋3＝0， 设g (x )＝4x 3﹣6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”. g'(x )＝12x 2﹣12x ＝12x (x ﹣1). g (x )与g'(x )的情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值.当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤﹣3时，此时g (x )在区间(﹣∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥﹣1时，此时g (x )在区间(﹣∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (0)>0，且g (1)<0，即﹣3<t<﹣1时，因为g (﹣1)＝t ﹣7<0，g (2)＝t ＋11>0，所以g (x )分别在区间[﹣1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点.由于g (x )在区间(﹣∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g (x )分别在区间(﹣∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(﹣3，﹣1). (3)过点A (﹣1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切; 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切; 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切.。

第二单元函数与导数1．[2014·北京卷2] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是() A．y＝e－x B．y＝x3 C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B2．[2014·山东卷3] 函数f(x)＝1log2x－1的定义域为()A．(0，2) B．(0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】C3．[2014·全国卷5] 函数y＝ln(3x＋1)(x＞－1)的反函数是()A．y＝(1－e x)3(x＞－1) B．y＝(e x－1)3(x＞－1)C．y＝(1－e x)3(x∈R) D．y＝(e x－1)3(x∈R)【答案】D4．[2014·北京卷2] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3 C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B5．[2014·湖南卷4] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【答案】A6．[2014·重庆卷4] 下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 【答案】D7．[2014·广东卷5] 下列函数为奇函数的是()A．2x－12x B．x3sin x C．2cos x＋1 D．x2＋2x【答案】A8．[2014·湖北卷9] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3} C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3} 【答案】D9．[2014·山东卷9] 对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)【答案】D10．[2014·江西卷10] 在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图像不可能是( )【答案】B 11．[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 【答案】D12．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 【答案】C12．[2014·湖南卷] 若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2 【答案】C12．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 【答案】C13．[2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 【答案】B14．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A B C D 【答案】B15．[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 【答案】D16．[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin y C ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.1x 2＋1>1y 2＋1【答案】A17．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x【答案】B 18．[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 【答案】B19．[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ] 【答案】B20．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a 【答案】C21. [2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D22．[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1 【答案】D 23．[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 【答案】B24．[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋23 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 【答案】D25．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞) 【答案】C26．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9【答案】C27．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 【答案】A28．[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3} 【答案】D29．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A30．[2014·北京卷] 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，图1-2记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )图1-2A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 【答案】B31．[2014·陕西卷] 如图1-2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )图1-2A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x【答案】A32．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】D33．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 【答案】C34．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．【答案】－3235．[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 【答案】516、36．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]37．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．【答案】338．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 【答案】139．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________． 【答案】(－∞，0)40．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．【答案】1041．[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.【答案】27842．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－22，043．[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． 【答案】3244．[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．【答案】5 15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫0，1645．[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫0，1246．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]47．[2014·福建卷] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．【答案】248．[2014·浙江卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2， x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.【答案】249．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】(1，2)50．[2014·广东卷] 曲线y ＝－5e ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【答案】5x ＋y ＋2＝051．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【答案】－352．[2014·江西卷] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【答案】(e ，e) [解析] 由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝eln e ＝e ，所以P (e ，e)．53．[2014·安徽卷] 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x . 【答案】①③④54．[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④55．[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169.又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119.56．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.(3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.57．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.58．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0，故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.59．[2014·全国卷] 函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．(i)若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1时成立．故此时f (x )在R 上是增函数．(ii)由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根；x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a.若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数．若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数．当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，0∪(0，＋∞)．60．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln x ＋mx ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x 2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)，设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a <1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x >0)，∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， ∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立， ∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.61．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．62．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0， 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图像知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切． 63．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x . (3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：令k ＝1c (k ＞0)，要使不等式x ＜c e x 成立，只要e x ＞kx 成立．而要使e x ＞kx 成立，则只需要x >ln(kx )， 即x ＞ln x ＋ln k 成立．①若0＜k ≤1，则ln k ≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .②若k ＞1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln 2)， 易知k ＞ln k ，k ＞ln 2，所以h (x 0)＞0.因此对任意c ∈(0，1)，取x 0＝4c ，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：①若c ≥1，取x 0＝0， 由(2)的证明过程知，e x ＞2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x ＞2x ＞x ， 即x ＜c e x .②若0＜c ＜1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1. 令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c.当x ＞ln 1c时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．取x 0＝2ln 2c，则h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c＞0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )＞h (x 0)＞0， 即x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .64．[2014·江苏卷] 已知函数f 0(x )＝sin xx (x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立． 解： (1)由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝cos x x －sin xx 2， 于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′－⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝ －sin x x －2cos x x 2＋2sin xx3， 所以f 1⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2，f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－2π＋16π3. 故2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－1.(2)证明：由已知得，xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf 0′(x )＝cos x ， 即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎫x ＋π2. 类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． (i)当n ＝1时，由上可知等式成立．(ii)假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf k －1′(x )＋f k (x )＋xf k ′(x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2·⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋（k ＋1）π2，所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋（k ＋1）π2， 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(i)(ii)可知，等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． 令x ＝π4，可得nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋n π2(n ∈N *)， 所以⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝(n ∈N *)．65．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1， (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎫x －a 1－a (x －1)．(i)若a ≤12，则a 1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.(ii)若12<a <1，则a 1－a>1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )>0.f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>aa －1，所以不合题意．(iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1，符合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．66．[2014·山东卷] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知，当a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2（x ＋1）2，所以f ′(1)＝12. 又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .因为x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以，x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增．67．[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知得，b n ＝2a n ＞0，当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d .故数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列．(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n .于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝（1－3n ）4n ＋1－43，所以，S n ＝（3n －1）4n ＋1＋49.68．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1，求a 的取值范围．解：(1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭⎫0，1a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭1a ，＋∞. 当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝13a 2. (2)由f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32a 时，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫32a ，＋∞时，f (x )<0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B ，显然0∉B .下面分三种情况讨论：(i)当32a >2，即0<a <34时，由f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集． (ii)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)．由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B ，所以A ⊆B .(iii)当32a <1，即a >32时，有f (1)<0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，32.69．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.70．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．71．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0， 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图像知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切． 72．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .(3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .。

2014年北京市高考真题及答案(word版）语文、数学、英语、政治、历史、地理、物理、化学、生物全科（10份）经典答案解析目录2014年北京市高考语文试卷及答案 (2)2014年北京市高考数学（文）试卷及答案 (11)2014年北京市高考数学（理）试卷及答案 (16)2014年北京市高考英语试卷及答案 (23)2014年北京市高考文综（地理）试卷及答案 (33)2014年北京市高考文综（政治）试卷及答案 (40)2014年北京市高考文综（历史）试卷及答案 (46)2014年北京市高考理综（生物）试卷及答案 (52)2014年北京市高考理综（化学）试卷及答案 (55)2014年北京市高考理综（物理）试卷及答案 (61)2014年北京市高考语文试卷及答案本试卷共8页，150分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、本大题共7小题，共22分。

阅读下面的文字，完成1—4题。

“千门万户曈曈日，总把新桃换日符。

”贴春联是中国人过年时的一项传统民俗活动。

人们通常在除夕这天，将写好的春联贴于门上。

春联的字数可多可少，但上下联必须构成对仗，如四言联“春安夏泰，秋稔．（rěn ）冬祥”，六言联“冬尽梅花点点，□□□□□□”。

春联寓意吉祥，言简意赅．（g āi ），深受人们喜爱。

春联是仅在春节这一特定时节张贴的对联，而对联还有其他种类，如婚联、寿联、挽联，以及为园林建筑 甲 （题写／题签）的楹．（yíng ）联等。

对联的撰．写，往往注重其 乙 （蕴涵／内涵）与品位。

尤其是名联佳对，文辞讲究，意蕴．丰富， 丙 （吟咏／涵咏）起来锒锒．．上口，齿颊．．留香。

对联或镌．（jùn ）刻或书写，楷行隶篆，其中不乏艺术精品。

1．文中加点字的注音和字形都不正确．．．的一项是（2分） A ．秋稔．（rěn ）冬祥 意蕴． B ．楹．（yíng ）联齿颊．．留香 C ．言简意赅．（g āi ） 撰．写 D ．镌．（jùn ）刻锒锒．．上口 2．在文中方格处填入下列语句，恰当的一项是（2分） A ．万户栖柳依依 B ．千家喜气洋洋 C ．春回爆竹声声D ．春来微风缕缕3．在文中甲乙丙处依次填入词语，恰当的一项是（2分） A ．题写 内涵 吟咏 B ．题签 内涵 涵泳 C ．题写 蕴涵 涵泳D ．题签 蕴涵 吟咏4．下列关于“对联”的表述，正确的一项是（2分） A ．字数限于四言和六言 B ．上下联讲究对仗和押韵 C ．只适合在喜庆场合张贴D ．常常与书法艺术相结合5．下列句子中加点的俗语，使用不正确．．．的一项是（3分） A ．世界上热点问题不少，按下葫芦起了瓢．．．．．．．。

【练习 5】【2014 高考重庆卷文第 11 题】已知集合 A {3,4,5,12,13}, B {2,3,5,8,13}，则
A B _______
【答案】 3,5,13
§1 2
补集
【例 2】【2014 高考湖北卷文第 1 题】已知全集 U {1,2,3,4,5,6,7} ，集合 A {1,3,5,6} ，则
N中
【练习 3】【2014 高考江苏卷第 1 题】已知集合 A 2, 1,3, 4 ， B 1, 2,3 ，则 A B
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【答案】 {1,3}
｛ 2,0, 2｝ ， B x | x 2 x 2 0 ， 【练习 4】【2014 高考全国 2 卷文第 1 题】已知集合 A
则A
B （
A
） B {2} C ｛0｝ D ｛ 2｝
【答案】B
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B.{x | x 1} C.{x | 2 x 3} D.{x |1 x 3}
A.{x | x 2}
【答案】C 【练习 7】【2014 高考全国 1 卷文第 1 题】已知集合 M x | 1 x 3 , N x | 2 x 1 ， 则M A
N
0, 2
B
2,3
C
3, 4
D
3,5
【答案】B
2， 4， 6， 8} , N {2， 3， 5， 6， 7} ,则 M 【练习 2】【2014 高考大纲卷文第 1 题】设集合 M {1，
元素的个数为（C 5 D 7

2014年全国高考新课标1卷文科数学试题一、选择题，本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M =｛x |—1<x <3}，N ={x |—2<x <1},则M ∩N =( ）A ．(-2，1)B ．(-1,1）C ．(1，3)D ．(—2，3） 2．若tan α>0，则( ）A ．sin α〉0B ．cos α>0C ．sin2α〉0D ．cos2α〉03．设i iz ++=11,则｜z |=( )A ．21B ．22C ．23D ．24．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则a=( ) A ．2 B ．26 C ．25D ．15．设函数f (x ），g (x ）的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g （x )是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．f （x ）g （x ）是偶函数B ．|f （x ）｜g (x ）是奇函数C ．f （x )｜g （x ）|是奇函数D ．|f (x )g （x )|是奇函数6． 设D ,E ，F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ，AB 的中点，则=+FC EB ( ）A ．ADB ．AD 21C ．BC 21D ．BC7．在函数① y=cos ｜2x|，②y=｜cos x ｜，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为( ）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 8．如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱9．执行下面的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1，2,3,则输出的M =（ )A ．203B ．72C ．165D ．15810．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A （x 0，y 0）是C 上一点，|AF ｜=54x 0,则x 0=( ）A ．1B ．2C ．4D ．811．设x，y满足约束条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．—5 B．3 C．-5或3 D．5或—312．已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f(x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）A．（2,+∞）B．（1，+∞）C．（-∞，-2）D．（-∞, —1）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市;丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________。