【精品】2016-2017年湖南省益阳市高二上学期数学期末试卷(理科)与答案

湖南省益阳市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三下·静海开学考) 已知抛物线y2=4x的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 22. （2分）(2019高二上·荆州期中) “ ”是“直线与垂直”的（）.A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要的条件3. （2分） (2019高二上·贵阳期末) 学校某课题组为了解本校高二年级学生的饮食均衡发展情况，现对各班级学生进行抽样调查已知高二班共有52名同学，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是C . 20D . 514. （2分） (2016高二上·武邑期中) 点A（a，1）在椭圆 =1的内部，则a的取值范围是（）A .B .C . （﹣2，2）D . （﹣1，1）5. （2分） (2019高三上·汉中月考) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的（）A . 平均数不变，方差不变B . 平均数改变，方差改变C . 平均数不变，方差改变D . 平均数改变，方差不变6. （2分） (2017高一下·新余期末) 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组抽出的号码为28，则第8组抽出的号码应是a；若用分层抽样方法，则50岁以下年龄段应抽取b人，那么a+b等于（）A . 46B . 457. （2分） (2020高二下·东阳期中) 设椭圆的离心率为 ,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为（）A .B .C .D .8. （2分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若=,=48，则抛物线的方程为（）A . y2=4xB . y2=8xC . y2=16xD . y2=4x9. （2分）某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分（）A . 69B . 71C . 73D . 7510. （2分）已知两点，，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（）A .B .C .D .11. （2分）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·定远期中) 在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·徐州模拟) 如图,△ABC为等边三角形,分别延长BA,CB,AC到点D,E,F,使得AD＝BE＝CF ．若 ,且DE＝ ,则的值是________．14. （1分） (2017高一下·兰州期中) 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于________．15. （1分） (2019高二下·葫芦岛月考) 已知随机变量服从正态分布，，则________．16. （1分）(2018·宣城模拟) 已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且直线的斜率，则的面积为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2020·赣县模拟) 在直角坐标系中，圆C的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P是圆C上任一点，求点P到直线l距离的最小值．18. （5分） (2019高一上·长沙月考) 已知 ,设命题函数在R上单调递减，不等式的解集为R,若和中有且只有一个命题为真命题，求的取值范围.19. （10分） (2015高三上·日喀则期末) 下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：月份91011121历史（x分）7981838587政治（y分）7779798283（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程 = x+（附： = = ， =y﹣ x）20. （15分）某赛季甲，乙两名篮球运动员每场比赛得分可用茎叶图表示如下：（1）求甲、乙运动员成绩的中位数，平均数，方差（结果精确到0.1）；（2）估计乙运动员在一场比赛中得分落在区间[10，40]内的概率；（3）比较两名运动员的成绩，谈谈你的看法．21. （5分） (2016高三上·山西期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB 和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求面PAD与面PBC所成角的大小．22. （15分）(2016高二上·黑龙江期中) 已知抛物线x2=2py上点（2，2）处的切线经过椭圆的两个顶点．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为﹣4的直线与该椭圆交于B，C两点，是否存在一点D，使得直线BC恒过该点？若存在，请求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若△ABC的重心为G，当边BC的端点在椭圆E上运动时，求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、22-3、。

2016-2017高二年级第一学期期末考试数 学 （理科）本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01=+-y x 的斜率是 （ ）A ．1B ．1-C ．4π D ．43π 2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（ ）A ．(2,0)-，2B ．(2,0)-，4C ．(2,0)，2D ．(2,0)，43．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=垂直，则a 的值为 （ ）A ．4B ．4-C ．1D ．1-4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -关于坐标平面xOy 的对称点为 （ ）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)---C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)5．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面说法正确的是（ ）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6．“直线l 的方程为)2(-=x k y ”是“直线l 经过点)0,2(”的 （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A ．53B ．103C ．203D ．2538．实数x ，y 满足10,1,x y x y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，若2u x y =-的最小值为4-，则实数a 等于（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线2214y x -=的渐近线方程为_________．10．点P 是椭圆22143x y +=上的一点，1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，则∆21F PF 的周长是_________． 11．已知命题p ：1x ∀>，2210x x -+>，则p ⌝是_________．12．在空间直角坐标系中，已知点)1,,0(),0,1,2(),2,0,1(a C B A ，若AC AB ⊥，则实数a 的值为_________． 13．已知点P 是圆221x y +=上的动点，Q 是直线:34100l x y +-=上的动点，则||PQ 的最小值为_________．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知圆M 过点A ，(1,0)B ，(3,0)C -． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)的直线l 与圆M 相交于D 、E 两点，且32=DE ，求直线l 的方程．16. （本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，定点(5,0)M . （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求△ABM 的面积；（Ⅱ）若AMB ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程．17. （本小题满分12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P ABC -中，D 为PC 的中点，1PA AB ==，PB PC ==．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求BD 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角D AB C --的余弦值．18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，△12BF F 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点2F 的直线l ，交椭圆于两点P 、Q ，使得1//PA QF ，如果存在，试求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由．高二年级第一学期期末练习参考答案数 学 (理科)阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 2y x =±10. 6 11. 1x ∃>，2210x x -+≤ 12. 1- 13. 114.43三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解：（Ⅰ）设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，则3021009303F D D F E D F F ⎧+==⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩………………………………………………………………（3分）故圆M ：22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++= …………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(1,0)M -.设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅=5分） 此时||1MN ==. …………………………………（6分）当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1MN =，符合题意 …………（7分）当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，由题意1= ……………………………（8分）解得：34k =， ……………………………（9分） 故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=………………………………（10分）综上直线l 的方程为0x =或3480x y -+=16. 解：（Ⅰ）解法1：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2244401y xy y y x ⎧=⇒--=⎨=-⎩………………………………………………（2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->故121244y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ……………………………………………………………（3分）有12||y y -==………………………………………（4分）有121211||4||42||22AMB AMF BMF S S S y y y y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅-=…………………………（5分）解法2：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2246101y xx x y x ⎧=⇒-+=⎨=-⎩……………………………………………（2分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->126x x +=，1228AB x x =++= ……………………………………（3分） 点M 到直线AB的距离d ==4分）182ABM S ∆=⨯⨯…………………………………（5分）（Ⅱ）解法1：易得，直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+2244401y xy my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ………………………………………………………（6分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由216160m ∆=+>，得121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………………………………（7分） 由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=， ………………（8分）即1212(4)(4)0my my y y --+=整理得：21212(1)4()160m y y m y y +-++=此时有：2(1)(4)4(4)160m m m +⋅--⋅+=，解得m =9分） 故l 的方程为15x y =+或15x y =-+即550x -=或550x -=………………………………………（10分）解法2：易知直线l x ⊥时不符合题意.可设直线l 的方程为)1(-=x k y .⎩⎨⎧=-=x y x k y 4),1(2，消去y ，可得0)42(2222=++-k x k x k . …………………………（6分） 则0)1(162>+=∆k .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22142k x x +=+，121=x x . …………………………………………（7分）由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=，………………………（8分）即：0425)(5212121=-++-x x x x x x ， 即：0425)42(512=-++-k ，解得315±=k . …………（9分） 故l 的方程为0535=--y x 或0535=-+y x .………………………………………（10分）17.解：（Ⅰ）∵ 1PA AB ==，PB =∴ PA AB ⊥ ……………………………………………（1分） ∵ 底面是正三角形 ∴ 1AC AB ==∵ PC =∴ PA AC ⊥ ……………………………………（2分） ∵ AB AC A = ,AB AC ⊂平面ABC ∴ PA ⊥平面ABC ．………………………………………（3分）（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AP 为z 轴，平面ABC 中垂直于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，1(,22C ，(0,0,1)P …………………………………………………………………………………………（4分）所以11()42D ，31()42BD =- ． ………………………………（5分）平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，…………………………………（6分）记BD 与平面ABC 所成的角为θ，则1sin cos ,BD θ=<> n =12……………………………（7分） ∴ 6πθ=．…………………………（8分）（Ⅲ）设平面ABD 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n AD ⊥ 得：11042x y z ++=， ……………………………（9分） 由2n AB ⊥得：0x =代入上式得，z y =． ………………………（10分）令2y =，则z =2(0,2,n =． …………………………………（11分）记二面角D AB C --的大小为α，则12cos |cos ,|n n α=<>= ．………（12分）18. 解：（Ⅰ）由题意可得2,1a b c === ……………………………………（2分）所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，……………………………………（3分）椭圆的离心率12c e a ==.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，则 ……………………………（5分）222213(1)412431x y my y x my ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩………………（6分）整理得：22(34)690m y my ++-=，此时21441440m ∆=+>，故122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩……………………………………（7分） 注意到1111(2,)(1,)AP x y my y =-=- ，12222(1,)(2,)FQ x y my y =+=+…………………………（8分）若1//PA QF ，则1221(1)(2)my y my y -⋅=+⋅，即212y y =- ……………（9分）此时由21212122212222627234612(34)3434m y y y m m y y m m m y y y m m ⎧=-=⎧⎪⎪⎪+⇒⇒=-⎨⎨++=-⎪⎪=-+⎩⎪+⎩， ………………………（10分）故2222729(34)34m m m -=-++，解得254m =，即m =……………（11分）故l的方程为1x y =+或1x y =+，20y -=20y += …………………………………（12分）解法2： 由（Ⅰ）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A . 直线l x ⊥时，212221F F AF QF PF ≠=，则1//PA QF 不成立，不符合题意..………………………………（5分）可设直线l 的方程为)1(-=x k y . .……………………………（6分）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134),1(22y x x k y ，消去y ，可得()01248342222=-+-+k x k x k ………………（7分） 则0)1(1442>+=∆k .设11(,)P x y ，22(,)Q x y则3482221+=+k k x x ①，341242221+-=k k x x ② .…………………（8分）),2(11y x -=，),1(221y x F +=. 若1//PA QF ，则F 1//，则0)1)(1()1)(2(1221=-+---x x k x x k .化简得03221=-+x x ③. ………………………（9分）联立①③可得3494221++=k k x ，3494222+-=k k x ， ………………………（10分） 代入②可以解得25±=k . …………………………（11分） 故l20y -=20y +=. ……………（12分）。

2016-2017学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，则a1等于（）A．0 B．C．2 D．0或22．已知两个向量，且，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．4 D．83．已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则命题p的否定¬p是（）A．¬p：∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0C．¬p：∃x0∈R，x02+2x0+2≥0 D．¬p：∀x∈R，x2+2x+2≥04．已知命题p：（x﹣3）（x+1）＞0，命题q：x2﹣2x+1＞0，则命题p是命题q 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．已知变量x，y满足，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣86．函数的部分图象如图所示，则f （x）的解析式是（）A．B．C．D．7．就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500））．根据频率分布直方图可求得样本数据的中位数是（）A．2250 B．2400 C．2500 D．100008．执行如图所示的程序框图，则输出的结果s是（）A．511 B．523 C．1024 D．20479．已知两个向量，则的最大值是（）A．2 B． C．4 D．10．已知函数，在区间上任取一点x0，则f（x0）≤0的概率为（）A．B．C．D．11．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在12．已知F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，I是△PF1F2的内心，且，则m=（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．甲、乙两名同学在5次数学考试后，用茎叶图统计成绩如图所示，则甲、乙的平均成绩之差=．14．已知三角形ABC的两内角A、B的对应边分别为a、b，若，则sinB的值等于．15．已知直线y=x﹣1与椭圆交于A、B两点，则线段AB的长为．16．关于函数，则下列命题：①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）在定义域上是偶函数；③y=f（x）在区间上是减函数；④将函数的图象向右平移个单位后，将与函数y=f（x）的图象重合．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数，当时，f（x）有最大值2．（1）求f（x）的最小正周期及解析式；（2）若，求的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点，AB=2，PA=3．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：CD⊥AE；（3）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值．19．某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数y与当天气温（平均温度）x/°C的对比表：（1）请在图a中画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）如果某天的气温是5°C，试根据（2）求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数．参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：=，=﹣．参考数据：0×140+1×136+3×129+4×125=1023，÷4=132.5．20．已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a、b、c，且2acosC=2b ﹣c．（1）求A的大小；（2）若，求三角形ABC的面积．21．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足，数列{c n}满足c n=（2n+1）a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和B n；（3）求数列{c n}的前n项和C n．22．已知点A（0，﹣2），B（0，2），P是平面上一动点，且满足，设点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）将直线AB绕点A逆时针旋转得到AB'，若AB'与曲线C恰好只有一个公共点D，求D点的坐标；（3）过（2）中的D点作两条不同的直线DE、DF分别交曲线C于E、F，且DE、DF的斜率k1、k2满足k1•k2=3，求证：直线EF过定点，并求出这个定点坐标．2016-2017学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，则a1等于（）A．0 B．C．2 D．0或2【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的通项公式和等比数列的性质列出方程，由此能求出首项．【解答】解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，∴，即，解得a1=2．故选：C．2．已知两个向量，且，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】共线向量与共面向量．【分析】，则存在实数k使得，即可得出．【解答】解：∵，∴存在实数k使得，∴，解得k=，m=﹣2，n=6．则m+n=4．故选：C．本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则命题p的否定¬p是（）A．¬p：∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0C．¬p：∃x0∈R，x02+2x0+2≥0 D．¬p：∀x∈R，x2+2x+2≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：“∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”，则命题p的否定￢p是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：B4．已知命题p：（x﹣3）（x+1）＞0，命题q：x2﹣2x+1＞0，则命题p是命题q 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先分别化简，再根据定义或者集合之间的包含关系可以求解．【解答】解：由p：（x﹣3）（x+1）＞0，得x＜﹣1或x＞3，∴命题q：x2﹣2x+1＞0，解得x≠1，显然前者可以推出后者，后者不能推出前者．故选：A．5．已知变量x，y满足，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=﹣2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大此时z最大．由，解得A（1，）将A的坐标代入目标函数z=﹣2x+y，得z=﹣2×1+=6．即z=﹣2x+y的最大值为．故选：B．6．函数的部分图象如图所示，则f （x）的解析式是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象的最高点和最低点求出A，根据图象求周期可得ω，因为图象过（）带入求解Φ，即可求函数f（x）的解析式；【解答】解：（1）由题设图象知，最高点1，最低点﹣1，∴A=1，周期T=，则T=π∴ω==2．∵点（）在函数图象上，则1=sin（2×+Φ），∴+Φ=，（k∈Z）．∵＜Φ，∴Φ=．故得f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）故选C．7．就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500））．根据频率分布直方图可求得样本数据的中位数是（）A．2250 B．2400 C．2500 D．10000【考点】频率分布直方图．【分析】根据中位数的两边频率相等，列出方程求出中位数的值．【解答】解：从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2，解得x=400．∴中位数为2400（元）．故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果s是（）A．511 B．523 C．1024 D．2047【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=513时，满足条件n≥10，输出s的值即可．【解答】解：第一次循环，i=1＜10，i=2，s=3，i=3，第二次循环，i=3＜10，i=8，s=11，i=9，第三次循环，i=9＜10，i=512，s=523，i=513，第四次循环，i=513＞10，输出s=523，故选：B9．已知两个向量，则的最大值是（）A．2 B． C．4 D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的线性运算得到2﹣的表达式，再由向量模的求法，利用正弦和余弦函数的公式进行化简，即可求出答案．【解答】解：∵向量，∴2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴=+（2sinθ+1）2=4﹣4cosθ+4sinθ+4=8sin（θ﹣）+8≥8+8=16，当sin（θ﹣）=1时，取“=”，∴的最大值为4．故选：C．10．已知函数，在区间上任取一点x0，则f（x0）≤0的概率为（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数不等式的性质求出不等式的解，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由f（x0）≤0得log2x0≤0，即≤x0≤1，则在区间[，2]上任取一点x0，使f（x0）≤0的概率P==，故选：D．11．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【考点】等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a7=a6+2a5，可得，化简解得q=2．由存在两项a m，a n，使得，可得=4a1，化为：m+n=6．又m，n∈N*，即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a7=a6+2a5，∴，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0，解得q=2．∵存在两项a m，a n，使得，∴=4a1，化为：m+n=6．则m=1，n=5；m=2，n=4；m=3，n=3；m=4，n=2；m=5，n=1．则当m=2，n=4时，的最小值为．故选：A．12．已知F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，I是△PF1F2的内心，且，则m=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的边长和r表示出等式中的三角形的面积，结合题中条件，即可解此等式求出m．【解答】解：设△PF1F2内切圆的半径为r，则∵，∴|PF2|r=|PF1|r﹣m•|F1F2|r，∴|PF1|﹣|PF2|=m|F1F2|，根据双曲线的标准方程知2a=m•2c，∴m=．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．甲、乙两名同学在5次数学考试后，用茎叶图统计成绩如图所示，则甲、乙的平均成绩之差=2．【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图，分别求出，，由此能求出甲、乙的平均成绩之差．【解答】解：由茎叶图，知：=（88+89+90+91+92）=90，=（83+88+89+89+91）=88，∴甲、乙的平均成绩之差=90﹣88=2．故答案为：2．14．已知三角形ABC的两内角A、B的对应边分别为a、b，若，则sinB的值等于．【考点】正弦定理．【分析】根据题意和正弦定理列出方程求出sinB的值即可．【解答】解：由题意知，由得，sinB===，故答案为：．15．已知直线y=x﹣1与椭圆交于A、B两点，则线段AB的长为．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】联立，得7x2﹣8x﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出线段AB的长．【解答】解：联立，得7x2﹣8x﹣8=0，△=64+4×7×8=288＞0，设A（x1，y），B（x2，y2），则，∴|AB|==．故答案为：．16．关于函数，则下列命题：①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）在定义域上是偶函数；③y=f（x）在区间上是减函数；④将函数的图象向右平移个单位后，将与函数y=f（x）的图象重合．其中正确命题的序号是①③④．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】化简函数f（x）为余弦型函数，求出f（x）的最大值与最小正周期，并判断f（x）的单调性和图象平移问题．【解答】解：函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）=cos（2x﹣）+cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）﹣sin（2x﹣）=cos[（2x﹣）+]=cos（2x﹣），对于①，y=f（x）的最大值为，命题正确；对于②，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，命题错误；对于③，x∈[，]时，2x﹣∈[0，π]，cos（2x﹣）是单调减函数，∴y=f（x）在区间[，]上是减函数，命题正确；对于④，将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）的图象，命题正确；综上，以上正确的命题是①③④．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数，当时，f（x）有最大值2．（1）求f（x）的最小正周期及解析式；（2）若，求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用周期公式求f（x）的最小正周期，利用当时，f（x）有最大值2，求出解析式；（2）若，求出cos2α，即可求的值．【解答】解：（1），当时，f（x）有最大值2，又，∴A=2，∴，即，所以f（x）的解析式为．（2）∵，∴，∵，则，∴，∴，∴．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点，AB=2，PA=3．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：CD⊥AE；（3）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB∥平面EAC．（2）求出，利用向量法能证明CD⊥AE．（3）求出平面CAD的法向量和平面EAC的法向量，利用向量法能求出二面角C ﹣PD﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）如图，由已知得AB、AD、AP两两垂直，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，3），∵点E是PD的中点，∴点E的坐标为，∴．设平面EAC的法向量为，由，得，令x=1，得，又，∴，∴，∵PB⊄平面EAC，∴PB∥平面EAC．（2）∵，∴，∴CD⊥AE．解：（3）∵平面CAD的法向量为，平面EAC的法向量为，∴，由图形知二面角C﹣PD﹣A的平面是锐角，∴二面角C﹣PD﹣A的余弦值为．19．某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数y与当天气温（平均温度）x/°C的对比表：（1）请在图a中画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）如果某天的气温是5°C，试根据（2）求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数．参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：=，=﹣．参考数据：0×140+1×136+3×129+4×125=1023，÷4=132.5．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据表中数据，画出散点图即可；（2）计算、，根据x i y i和的值，求出回归系数和，写出回归方程；（3）根据回归方程计算x=5时的值即可．【解答】解：（1）根据表中数据，画出散点图，如图所示；；（2）计算=×（0+1+3+4）=2，=×=132.5，又x i y i=1023，=26，∴==﹣3.7，=﹣=132.5﹣（﹣3.7）×2=139.9，故所求线性回归方程为=﹣3.7x+139.9；（3）当x=5时，=﹣3.7×5+139.9=121.4≈121；预测这天大约可以卖出121杯热饮．20．已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a、b、c，且2acosC=2b ﹣c．（1）求A的大小；（2）若，求三角形ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出．（2）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵2acosC=2b﹣c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB﹣sinC①，在三角形ABC中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC②，由①②可得：2cosAsinC﹣sinC=0，在三角形ABC中sinC≠0，故得，又0＜A＜π，所以．（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，得，即，∴bc=6．故得：．21．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足，数列{c n}满足c n=（2n+1）a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和B n；（3）求数列{c n}的前n项和C n．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2），利用“裂项求和”方法即可得出．（3）c n=（2n+1）a n，，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）①当n≥2时，，，∴．②当n=1时，a1=S1=3，它满足上式，∴数列{a n}的通项公式为：．（2），．（3）∵c n=（2n+1）a n，∴，∴，①②，则①﹣②得：=，∴．22．已知点A（0，﹣2），B（0，2），P是平面上一动点，且满足，设点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）将直线AB绕点A逆时针旋转得到AB'，若AB'与曲线C恰好只有一个公共点D，求D点的坐标；（3）过（2）中的D点作两条不同的直线DE、DF分别交曲线C于E、F，且DE、DF的斜率k1、k2满足k1•k2=3，求证：直线EF过定点，并求出这个定点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系；轨迹方程．【分析】（1）设点P的坐标为（x，y），由得，化简即可得出．（2）由题意知可设AB'的方程为y=kx﹣2，与抛物线方程联立化为：x2﹣8kx+16=0，△=0，解得k．直线AB绕点A逆时针旋转得到AB'，即可得出．（3）设点E、F的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（2）知D（﹣4，2），利用k1•k2=3，可得，由E、F在曲线C上，代入上式整理得：x1x2﹣4（x1+x2）﹣176=0，直线EF的方程为：，代入化简即可得出．【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），由得，化简得x2=8y，即曲线C的方程是x2=8y．（2）由题意知可设AB'的方程为y=kx﹣2，由消去y得：x2﹣8kx+16=0（※），∴△=64k2﹣64=0，∴k=±1，∵直线AB绕点A逆时针旋转得到AB'，∴k=﹣1代入（※）式解得x=﹣4，∴y=2，∴点D的坐标是（﹣4，2）．（3）设点E、F的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（2）知D（﹣4，2），∵k1•k2=3，∴，∵E、F在曲线C上，∴代入上式整理得：x1x2﹣4（x1+x2）﹣176=0，直线EF的方程为：，即，∴，即，∴直线EF过定点（4，﹣22）2017年3月15日。

湖南省益阳市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·三明期末) 已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C1与双曲线C2共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1 ， e2 ，则e1+e2取值范围为（）A . [2，+∞）B . [4，+∞）C . （4，+∞）D . （2，+∞）2. （2分）若，，且，则（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·肇庆模拟) 已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·湖北期中) 下列说法错误的是（）A . 若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题B . 已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0C . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D . “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件5. （2分）将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交成60°角D . 异面且成60°角6. （2分）椭圆9x2+y2=36的短轴长为（）A . 2B . 4C . 6D . 127. （2分） (2018高二上·浙江月考) 过双曲线的左顶点作斜率为2的直线，若与双曲线的两条渐近线分别相交于点，且，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .8. （2分）已知双曲线与直线有交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（）A .B .C .D .10. （2分）如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A . BD∥平面CB1D1B . AC1⊥BDC . AC1⊥平面CB1D1D . 异面直线AD与CB1所成的角为60°11. （2分） (2018高三上·张家口期末) 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·沈阳期末) 直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（）A . 0条B . 1条C . 2条D . 3条二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若命题“∃x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________14. （1分） (2016高二下·泰州期中) 点C（4a+1，2a+1，2）在点P（1，0，0）、A（1，﹣3，2）、B（8，﹣1，4）确定的平面上，则a=________．15. （1分） F1 ， F2是双曲线的两个焦点，B是虚轴的一个端点，若△F1BF2是一个底角为30°的等腰三角形，则该双曲线的离心率是________16. （1分） (2016高二上·嘉定期中) 已知向量，满足| |=5，| |=3，| ﹣ |=7，则• =________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2016高二上·黄石期中) 设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18. （10分）(2020·江西模拟) 已知椭圆：过点，且它的焦距是短轴长的倍.（1）求椭圆的方程.（2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使当时，的面积为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19. （15分） (2020高二上·徐州期末) 如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：直线与平面相交．20. （10分） (2020高二上·黄陵期末) 求满足下列条件的抛物线的标准方程．（1）焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．21. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2．（1）证明：EF∥平面PBC；（2）若，求二面角E﹣DF﹣A的正弦值．22. （5分）已知椭圆C:+=1与双曲线有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y2=2x于P、Q两点，且OP⊥OQ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上，是否存在点R（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

2016-2017学年湖南省高二上学期期末调研考试数学（理）试题一、选择题1．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】整理为，即，焦点到准线的距离，故选C.2．的内角的对边分别为，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，代入可得，整理为：，解得或舍，故选D.3．设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】特称命题的否定为“”，故选C.4．设等差数列的前项和为，且，则当取最小值时，等于（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】解析：由题设可得，结合可得，所以，则当时，的值最小，应选答案A。

5．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A.，不能判断正负；B.，所以正确；C,D做差后也不能判断正负，故选B.6．已知是等比数列，,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵是等比数列，，，∵是首项为4，公比的等比数列，∴是首项为8，公比为的等比数列，【考点】等比数列前n项和7．设，则“”是“”成立的（）A. 充要不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当时，，当一正一负时，，当时，，所以，故选C．【考点】充分必要条件．8．已知点是椭圆的焦点，点在椭圆上且满足，则的面积为（）A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】，所以，所以，，，解得：，所以三角形的面积为，故选D.9．设的内角的对边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以 ,，所以，那么，根据正弦定理：，代入可得，故选A.10．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解析：因为，所以，由题设可知，所以，即，应选答案B。

点睛：本题旨在考查基本不等式的灵活运用及运用逆向思维分析问题解决问题的能力。

高二理数期末复习（二）一、选择题（共12个小题,每小题5分，共60分．每题只有一项是符合题目要求．）1、角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( B )A ．35B ．45C ．35-D ．－452、若02πβα<<<且()4cos 5αβ+=，()5sin 13αβ-=，那么cos2α的值是( C ) A ．6365 B ．6365- C ．3365 D ．5665或1365-3、函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos 2x 的图象，则只要将f (x )的图象( D )A ．向右平移π6B ．向右平移π12C ．向左平移π6 D ．向左平移π124、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ B ）A. 30,14,7===A b a ，有两解B.150,25,30===A b a ,有一解 C.45,9,6===A b a ，有两解 D.60,10,9===A c b ，无解5．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 BA ．5000米B ． 米C ．4000米D ．米6、边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 ( B ) A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01507、在△ABC 中，60A ∠=︒，2AB =，且△ABC 的面积ABC S ∆=，则边BC 的长为（ A ）A B ．3 C D ．78、设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C 等于(B )(A)π3 (B) 2π3 (C)3π4 (D)5π69、在（0,2π）内，使sin cos x x >成立的x 取值范围为( C )A ．5(,)(,)424ππππ⋃B ．(,)4ππC ．5(,)44ππD ．53(,)(,)442ππππ⋃10、三角形三内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且4tan 3C =，8c =，则△ABC外接圆半径为（ D ）A ．10B ．8C ．6D ．5 11、在△ABC 中，cos22B ＝2a c c+ (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( B )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形12、定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( A ) A ．()()sin cos f f αβ> B ．()()sin cos f f αβ< C ．()()sin sin f f αβ> D ．()()cos cos f f αβ< 二、填空题（每小题5分，满分20分.） 13、如图为sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ<><的图象的一段，其解析式为___)3y x π=+14、函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为___________.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π ,(k ∈Z ); 15、将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=___________．6π16、在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____30 三，解答题17． （本小题满分12分）在ABC ∆中， cos (2)cos b C a c B =-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求sin sin A C +的取值范围.解析：（Ⅰ）∵cos (2)cos b C a c B =-，得sin cos (2sin sin )cos B C A C B =-．2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A ∴=+=+=． ∵ 0A π<<, ∴0sin ≠A ， ∴1cos 2B =． ∵π<<B 0，∴3B π=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得23C A π=-且203A π<< ，23sin sin sin sin()sin )326A C A A A A A ππ∴+=+-=+=+．5666A πππ<+<，1sin()(,1]62A π∴+∈．sin sinA C ∴+的取值范围是18．（本小题满分12分）已知34παπ<<，110tan tan 3αα+=- （1）求tan α的值；（2）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．解：(1)由110tan tan 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=， 即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求。

2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。

2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。

2016-2017学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知，并且α是第二象限角，则tanα的值为（）A．B．C．D．2．（5分）某个单位共有职工500人，其中青年职工125人，中年职工280人，老年职工95人．为了了解这个单位职工的身体职工，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中年职工中应抽取的人数为（）A．54B．55C．56D．573．（5分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x 4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．15B．16C．17D．185．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等比数列，则公比q等于（）A．2B．C．D．6．（5分）“x＜2”是“﹣3＜x＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（）A．12.5，12.5B．13.5，13C．13.5，12.5D．13，138．（5分）抛物线y2=ax的准线方程是x=2，则a的值是（）A．8B．C．﹣8D．9．（5分）已知A为△ABC的内角，向量，若，则角A=（）A．B．C．D．10．（5分）设a＞0，b＞0，若a+b=1，则的最小值是（）A．8B．6C．4D．211．（5分）函数y=（3﹣x2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣3，1）12．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（0）=（）A．1B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量满足，且且与的夹角为，则=．14．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为．15．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值为．16．（5分）函数，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某校1400名学生参加某次知识竞赛，从中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（1）求这些分数落在区间[55，65）内的频率；（2）估计该校参加本次知识竞赛中成绩低于45分的人数是多少？18．（12分）已知等差数列{a n}，满足a3=7，a5+a7=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．21．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点与上顶点分别为点A、B，且．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点（0，2）斜率为2的直线l交椭圆C于P、Q，且OP⊥OQ，求椭圆C的方程．22．（12分）设函数．（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）当时，求函数f（x）的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．2016-2017学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知，并且α是第二象限角，则tanα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：，且α是第二象限角，∴sinα===，∴tanα===﹣．故选：D．2．（5分）某个单位共有职工500人，其中青年职工125人，中年职工280人，老年职工95人．为了了解这个单位职工的身体职工，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中年职工中应抽取的人数为（）A．54B．55C．56D．57【解答】解：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取．∵职工500人，其中青年职工125人，中年职工280人，老年职工95人，∴从中抽取一个容量为100的样本，则中年职工中应抽取的人数为=56人．故选：C．3．（5分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线=1的渐近线方为，整理，得y=．故选：C．4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．15B．16C．17D．18【解答】解：S=0+2﹣1=1＜15，n=2，S=1+4﹣1=4＜15，n=3，S=4+6﹣1=9，n=4，S=9+8﹣1=16＞15，输出S=16，故选：B．5．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等比数列，则公比q等于（）A．2B．C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等比数列，∴，解得q=2．故选：A．6．（5分）“x＜2”是“﹣3＜x＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：显然前者可以推不出后者，后者能推出前者，故选：B．7．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（）A．12.5，12.5B．13.5，13C．13.5，12.5D．13，13【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15]的的位置，即中位数为10+（15﹣10）×=13．故选：D．8．（5分）抛物线y2=ax的准线方程是x=2，则a的值是（）A．8B．C．﹣8D．【解答】解：∵y2=2px的准线方程为x=﹣，∴由y2=ax的准线方程为x=2得：a=﹣4×2=﹣8，故选：C．9．（5分）已知A为△ABC的内角，向量，若，则角A=（）A．B．C．D．【解答】解：向量，若，则•=cosA﹣sinA=0，解得tanA=；又A为△ABC的内角，∴A=．故选：A．10．（5分）设a＞0，b＞0，若a+b=1，则的最小值是（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，则=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．∴其最小值是4．故选：C．11．（5分）函数y=（3﹣x2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣3，1）【解答】解：y′=（3﹣x2）e x+（﹣2x）e x=﹣（x+3）（x﹣1）e x，令y′＞0，解得：﹣3＜x＜1，故函数在（﹣3，1）递增，故选：D．12．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（0）=（）A．1B．C．D．【解答】解：由图象知A=1，T=4×（）=π，则ω==2，此时f（x）=sin（2x+φ），将（，﹣1）代入解析式得sin（+φ）=﹣1，又|φ|＜，则φ=，所以f（x）=sin（2x+），所以f（0）=sin=．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量满足，且且与的夹角为，则= 3．【解答】解：，且与的夹角为，则=||×||×cos=2×3×=3．故答案为：3．14．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为．【解答】解：列树状图得：共有12种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为8种，所以概率为．故答案为：．15．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值为2．【解答】解：由约束条件不等式组作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣，由图可知，当直线y=x﹣过C（2，0）时，直线在y轴上的截距直线，z最大．∴z=2﹣2×0=2．故答案为：2．16．（5分）函数，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：∵，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在（﹣∞，+∞）是为增函数，由f（msinθ）+f（1﹣m）＞0，得f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1），则msinθ＞m﹣1，即（1﹣sinθ）m＜1，当θ=时，sinθ=1，此时不等式等价为0＜1成立，当θ∈（0，），0＜sinθ＜1，∴m＜，∵0＜sinθ＜1，∴﹣1＜﹣si nθ＜0，0＜1﹣sinθ＜1，则＞1，则m≤1，故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某校1400名学生参加某次知识竞赛，从中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（1）求这些分数落在区间[55，65）内的频率；（2）估计该校参加本次知识竞赛中成绩低于45分的人数是多少？【解答】解：（1）设区间[75，85）内的频率为x，则区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x和2x．依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，解得x=0.05，所以区间[55，65）内的频率为0.2；（2）由题意得成绩低于45分的频率为0.04+0.12+0.19=0.35，则成绩低于45分的人数约为0.35×1400=490．18．（12分）已知等差数列{a n}，满足a3=7，a5+a7=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，∵a5+a7=26∴a6=13，，∴a n=a3+（n﹣3）d=2n+1；（Ⅱ）由（1）可知，∴．19．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）=sinxcosx+2=，（1），f（x）的最小正周期．（2）由得，∴f（x）的单调递增区间为．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵，由正弦定理得．…（3分）又sinB≠0，从而．…（5分）由于0＜A＜π，所以．…（7分）（2）解法一：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，而，…（9分）得7=4+c2﹣2c=13，即c2﹣2c﹣3=0．因为c＞0，所以c=3．…（11分）故△ABC的面积为S=．…（14分）解法二：由正弦定理，得，从而，…（9分）又由a＞b知A＞B，所以．故．…（12分）所以△A BC的面积为．…（14分）21．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点与上顶点分别为点A、B，且．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点（0，2）斜率为2的直线l交椭圆C于P、Q，且OP⊥OQ，求椭圆C的方程．【解答】解：（1）由已知，即，即4a2+4b2=5a2，即4a2+4（a2﹣c2）=5a2，∴；（2）由（1）知a2=4b2，可得椭圆C：，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．．，．∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．从而，解得b=1，a=2，∴椭圆C的方程为．22．（12分）设函数．（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）当时，求函数f（x）的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=1时，，∴f（1）=﹣3，，∴f'（1）=1，∴f（x）在x=1处的切线方程为y﹣3=x﹣1，即x﹣y﹣4=0．（2）当时，．所以当0＜x＜2，f'（x）＞0，当x＞2时，f'（x）＜0，故当时，函数f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）．（3）当时，由（2）知函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以函数f（x）在[1，2]上的最小值为．若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立⇔g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值（※）．又．①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（※）矛盾．②当0≤b ≤1时，，由及0≤b ≤1得b 无解．③当b ＞1时，g （x ）在[0，1]上为减函数，，此时．综上所述，b 的取值范围是．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。