圆的切线长定理(1)
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e an dAl l tsi nt he i rb ei n ga r切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段[学习目标] 1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
直线AB 切⊙O 于P ,PC 、PD 为弦,图中几个弦切角呢?(四个)4.弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理 图形已知结论证法相交弦定理⊙O 中,AB 、CD 为弦,交于P.PA·PB =PC·PD.连结AC 、BD ,证:△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O 中,AB 为直径,CD⊥AB 于P.PC 2=PA·PB.用相交弦定理.t t i e an dAl l th i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t 切割线定理⊙O 中,PT 切⊙O 于T ,割线PB 交⊙O 于APT 2=PA·PB 连结TA 、TB ,证:△PTB∽△PAT切割线定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线,交⊙O 于A 、CPA·PB =PC·PD过P 作PT 切⊙O 于T ,用两次切割线定理圆幂定理⊙O 中,割线PB 交⊙O 于A ,CD 为弦P'C·P'D =r 2-OP'2PA·PB =OP 2-r 2r 为⊙O 的半径延长P'O 交⊙O 于M ,延长OP'交⊙O 于N ,用相交弦定理证;过P 作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理:过一定点P 向⊙O 作任一直线,交⊙O 于两点,则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||(R 为圆半径),因为叫做点对于⊙O 的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
CA圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线: 1.切线的判定:2.切线的性质:【运用举例】例1.如图,已知⊙O 所内接△ABC ,过点B 作直线BD ,∠DBC =∠A ,试说明,BD 与⊙O 相切。
例2.如图,已知CB 是⊙O 的切线,C 是切点,OB 交⊙O 于点D ,∠B =30,BD =6㎝,求BC 。
例3、如图,PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ,点C 是⊙O 上一点,且∠ACB =65°,求∠P 的度数.例4、已知:如图AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上的一点(与A 、B 不重合),QP ⊥AB ,垂足为P ,直线QA 交⊙O 于点C 点,过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D ,求证:△CDQ 是等腰三角形.当P 点在AB 的延长线上时,其他条件不变,这个结论还成立吗?试说明.二、切线长定理 1、切线长:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长2、切线长定理:符号语言:∵PA 、PB 是O ⊙的切线,A 、B 是切点,∴,PA=PB 【运用举例】例1.在△ABC 中,AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O 与BC 、AC 、 AB 分别相切于 D 、 E 、F ,则 AF=_____, BD=_______ 、CF=________例2、如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别是A 、B ,直线EF 也是⊙O 的切线,切点为Q ,交PA 、PB 为E 、F 点,已知12PA cm ,求△PEF 的周长.例3、已知:如图,P 为⊙O 外一点,PA ,PB 为⊙O 的切线,A 和B 是切点,BC 是直径. 求证:AC∥OP.例4.如图,AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ,BC 切⊙O 于点E ,若AB =4,CD =9,求⊙O 的半径。
OCB AP三、弦切角定理及其推论1、弦切角:________________________________________________________________。
圆的切线长定理及其推论一、引言圆是数学中重要的几何概念之一,它具有许多独特的性质和定理。
本文将重点介绍圆的切线长定理及其推论,通过详细的阐述和推导,帮助读者更好地理解和应用这一定理。
二、圆的切线长定理圆的切线长定理是指:若直线与圆相切,则切线的长度等于切点到圆心的距离的平方根乘以2。
证明:设圆的方程为x²+y²=r²,其中r为圆的半径,切点为P(x₀, y₀)。
设直线方程为y=kx+b,其中k为斜率,b为截距。
由于直线与圆相切,所以切点的坐标满足直线方程和圆的方程,即有:kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示,代入圆的方程,得到:x²+(kx+b)²=r²化简得:(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线与圆相切,所以直线只有一个交点,即判别式等于0,即有:Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得:(k²+1)r²=b²解得:b=r√(k²+1)由直线方程y=kx+b,可得直线长度为:l=√(1+k²)由此可得切线的长度为:2l=2√(1+k²)即圆的切线长定理成立。
三、圆的切线长定理的推论根据圆的切线长定理,我们可以得出以下推论:推论1:若直线过圆的直径中点,则直线与圆相切。
证明:设直线方程为y=kx+b,过圆的直径中点,则直线过圆心,即切点的坐标满足直线方程和圆的方程,即有:kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示,代入圆的方程,得到:x²+(kx+b)²=r²化简得:(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线过圆的直径中点,所以切点的坐标满足圆的方程,即有:x₀²+y₀²=r²将x₀²+y₀²=r²代入直线方程,得到:(1+k²)x₀²+2kbx₀+b²-r²=0由于直线方程与圆的方程有唯一交点,所以判别式等于0,即有:Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得:(k²+1)r²=b²由于直线方程过圆心,即切线的长度为0,所以有:b=0解得:k=0即斜率为0,即直线垂直于x轴,即直线过圆的直径中点。
切线长定理内容
切线长定理,又称为“切割定理”或“外切线定理”,是平面几何中的一个重要定理,它主要描述圆内接四边形中的一些关系。
具体来说,该定理指出:圆内接四边形的两条对角线相互垂直,当且仅当它们的对边之和相等。
也就是说,如果在一个圆内接四边形中,对角线BD与AC相互垂直,那么有AD+BC=AB+CD。
反之,如果AD+BC=AB+CD,那么对角线BD 与AC相互垂直。
这个定理的证明可以通过使用勾股定理、相似三角形、正弦定理等几何知识进行推导。
根据勾股定理,我们可以得到在半径为r的圆中,切线长度的平方等于切点到圆心的距离的平方减去半径的平方。
然后,应用正弦定理和相似三角形的性质,就可以得到切线长定理了。
切线长定理不仅是几何学中的重要定理,而且在各种实际应用场合中也有着广泛的应用。
例如,它可以用来计算圆内接四边形的对角线长度,或者用于建模和计算机图形学中。
此外,它还有着许多相关的推论和应用,例如垂径定理、欧拉线等等,在数学研究和应用中都有着重要的地位。
圆的切线长定理圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一,它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。
这个定理被广泛应用于各个领域,包括物理学、工程学和计算机图形学等。
本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。
一、圆的切线长定理的表述圆的切线长定理可以用以下方式表述:如果在圆上有一点P,并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点,那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。
即PA * PB = PT^2,其中T是切点。
二、圆的切线长定理的证明要证明圆的切线长定理,可以使用几何推理和三角关系。
设圆的半径为r,圆心为O,切点为T,切线与圆心连线为OT。
连接OA、OB,得到△OAT和△OBT两个直角三角形。
由正弦定理可得:sin∠OAT = r / OTsin∠OBT = r / OT又因为∠OAT和∠OBT是互余角(补角),即∠OAT + ∠OBT = 90°,所以sin∠OAT = cos∠OBT。
将上述两个等式代入PA * PB = PT^2,得到:r * r = PA * PB因此,圆的切线长定理得证。
三、圆的切线长定理的应用圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。
以下是一些具体应用:1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。
如果已知圆的半径和切线与圆的位置,可以通过切线长定理计算切线的长度。
2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。
通过已知切点和切线长度,可以确定切线的位置,从而求解与圆相切的直线方程。
3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。
通过已知切线长度和切点,可以计算切线与圆心连线的长度。
4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。
例如,判断两个圆是否相切,可以通过切线长定理计算切线的长度,从而判断圆是否相切。
圆的切线长定理是几何学中的重要定理,它描述了切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置的关系。
通过应用该定理,我们可以解决各种与圆相关的问题,从而推动几何学的发展和应用。