切线长定理及应用

我们先来看看初中数学第六册中介绍的切线长定理是什么？切线长定理是指，如果在圆内任取一点P作一条直线与圆相交，交点分别为A、B，则AP、BP的乘积等于切线BC的平方，即AP × BP = BC^2。

接下来，我们来探讨一下切线长定理在实际生活中有哪些用途。

一、建筑工程
在建筑工程中，切线长定理常被应用于圆柱体的斜侧面上。

以一根圆柱形的管为例子，从管的一侧用尺子量出管径D，再从管的对边上，延长一条与对边平行的线段，用尺子测出该线段的长度L，那么根据切线长定理，我们就可以求出管的斜侧面长度H了。

H=√(L^2 - D^2)
切线长定理的应用，能够非常准确地计算出斜侧面长度，从而更好地指导建筑工程的完成。

二、机械制造
在机械制造中，切线长定理也有着重要的应用。

例如，在汽车发动机的齿轮齿条连接处，就需要应用到切线长定理。

由于齿轮锥与齿条倾角不同，因此需要利用切线长定理来计算出锥齿轮齿高。

通过计算锥齿轮齿高，我们可以精确的控制汽车的齿轮连接处，保证其工作的可靠性和稳定性。

三、科学研究
切线长定理在科学研究中也有着重要的应用。

例如，在医学领域中，我们利用切线长定理，可以计算出人体血液的流速。

当血管壁发生了弯曲，就会形成一个圆弧，我们可以利用切线长定理计算出这个圆弧上的切线长，搭配计时器，就能精确地计算出血液在圆弧上的流速了。

切线长定理在生活和科学研究中的应用是十分广泛的，它不仅解决了生活中的实际问题，还帮助我们更好地认识到圆形和直线的关系，为我们的学习和工作提供了很好的指导。

切线长定理及其应用一、基础知识总结1.内切圆和内心定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心.总结：判断一个多边形是否有内切圆，就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。

2.直角三角形的内切圆半径与三边关系（１）一个基本图形；（２）两个结论：1）四边形OECF 是正方形2）r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c)（３）两个方法代数法（方程思想）；面积法3.切线长定义：过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段长叫做切线长。

4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。

二、典型例题解析【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ，且AB=9 cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长D E F O CB A 11212902a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ∆∠∠∠==++∠=︒=+-设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径（），其中（）；（），则（）【例2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1， CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．【例3】如图，以等腰ABC∆中的腰A B为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作⊥，垂足为E．D E A C（I）求证：D E为⊙O的切线；（II）若⊙O的半径为5，60∠= ，求D E的长．B A C【例4】如上图等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是⌒BC的中点．（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线 CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△ BDE的面积．【例5】 已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使 ∠FCA ＝∠AOE ，交AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O 半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.F B DE O A C。

切线长定理及应用切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。

本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。

一、切线长定理的概念切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

二、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。

首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。

然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。

三、切线长定理的应用切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。

2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。

3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。

4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。

5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。

总结：切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。

通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。

切线长定理及应用切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出两条直线与圆相切，这两条直线的切线长相等。

这是一个非常重要的几何定理，其应用广泛，并被用于解决各种与圆相关的问题。

下面我将详细解释切线长定理及其应用。

首先，我们来证明切线长定理。

考虑一个圆C和直线L1与L2，L1和L2分别与圆C相切于点A和点B。

我们需要证明切线长AP等于切线长BP。

假设圆C的半径为r，圆心为O。

连接OA和OB，与切线AP和BP相交于点C 和点D。

根据切线与半径的性质，我们可以发现∠OAB = ∠OBA = 90度（因为OA和OB分别是切线AP和BP所在直线上的半径）。

因此，三角形OAB是等腰直角三角形，所以OA = OB = r。

另外，我们注意到OC = OD （根据切线与直径的性质），以及O为圆心，所以OC = OD = r。

因此，我们可以得出OC = OD = r，OA = OB = r，根据SSS（边-边-边）准则，三角形OAC和三角形OBD是全等的三角形。

根据全等三角形的定义，对应的角相等，因此∠OCA = ∠ODB。

又因为∠OCA =∠OAB（根据直角三角形性质），所以∠OAB = ∠ODB。

考虑直角三角形AOB和三角形BOC，他们共有角∠OBA和∠OAB。

又根据三角形内角和为180度的性质，我们知道∠OAB + ∠OBA + ∠OBA + ∠OCB = 180度（∠OBA + ∠OBA是两个直角）。

将前面得到的∠OAB = ∠OBA代入，我们可以得到2∠OBA + ∠OCB = 180度。

注意到∠OCB是圆心角，且∠BOA是圆周角，如果我们将∠OCB表示为α，将∠BOA表示为β，根据圆周角和圆心角的关系，我们知道α= 2β。

将α= 2β代入之前的等式，我们得到2∠OBA + 2∠OBA = 180度，化简之后得到4∠OBA = 180度，即∠OBA = 45度。

现在，考虑三角形OAB。

我们可以知道∠OAB = 45度，且OB = OA = r。

切线长定理及其应用知识点一 切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一 切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二 圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

知识点一切线长定义及切线长定理1. _____________________________________________________ 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和____________________________________________ 之间的线段长叫作这点到圆的切线长注意切线长和切线的区别和联系：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论:(1) △ PAB是等腰三角形；(2) OP 平分△ APB，即△ APO A BPO ；(3) 弧AM=弧BM ;(4)在Rt OAP和Rt OBP中，由AB OP，可通过相似得相关结论;如：OA2 OB2 OE OP, AP2 BP2 PE PO, AE2 BE2 OE EP(5)图中全等的三角形有对，分别是：题型一切线长定理的直接应用【例1】如图所示，AO的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P的两条切线与AO切于点E、F,求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，FA、PB、DE分别切A0于A、B、C, A O的半径长为6 cm, PO= 10 cm,求APDE的周长.切线长定理及其应用【例3】如图所示，△ ABC中，/ C=90 , AC=3 , AB=5 , D为BC边的中点，以AD上一点0为圆心的O0和AB、BC均相切，则O 0的半径为 ______________ .£4【过关练习】1•如图所示，PA、PB是AO的切线，A、B为切点，△ OAB=30°.( 1)求厶APB的度数.(2)当0A=3时,求AP的长•2•如图所示，已知PA、PB、DE分别切e 0于A、B、C三点，AO的半径为5cm, △ PED的周长为24cm , △ APB=50°求：(1) P0 的长；(2) △ EOD 的度数•3•如图，在直角梯形 ABCD 中,AB // CD,AB 丄BC,以BC 为直径的 △ 与AD 相切，点E 为AD 的中点，下列结论 正确的个数是( )B1 2知识点二圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和 __________________ .（如图，即AB+CD=AD+BC ）题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与AO 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

圆的切线长定理及其推论一、引言圆是数学中重要的几何概念之一，它具有许多独特的性质和定理。

本文将重点介绍圆的切线长定理及其推论，通过详细的阐述和推导，帮助读者更好地理解和应用这一定理。

二、圆的切线长定理圆的切线长定理是指：若直线与圆相切，则切线的长度等于切点到圆心的距离的平方根乘以2。

证明：设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为圆的半径，切点为P(x₀, y₀)。

设直线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

由于直线与圆相切，所以切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线与圆相切，所以直线只有一个交点，即判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²解得：b=r√(k²+1)由直线方程y=kx+b，可得直线长度为：l=√(1+k²)由此可得切线的长度为：2l=2√(1+k²)即圆的切线长定理成立。

三、圆的切线长定理的推论根据圆的切线长定理，我们可以得出以下推论：推论1：若直线过圆的直径中点，则直线与圆相切。

证明：设直线方程为y=kx+b，过圆的直径中点，则直线过圆心，即切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线过圆的直径中点，所以切点的坐标满足圆的方程，即有：x₀²+y₀²=r²将x₀²+y₀²=r²代入直线方程，得到：(1+k²)x₀²+2kbx₀+b²-r²=0由于直线方程与圆的方程有唯一交点，所以判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²由于直线方程过圆心，即切线的长度为0，所以有：b=0解得：k=0即斜率为0，即直线垂直于x轴，即直线过圆的直径中点。

初中数学切线长定理的应用有哪些
切线长定理是初中数学中与圆相关的一个重要定理，它有广泛的应用。

下面我将详细介绍切线长定理的几个常见应用。

1. 判断切线的长度相等：
-已知一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，判断这两条切线的长度是否相等。

根据切线长定理可得：如果两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。

2. 求解切点坐标：
-已知一个圆的方程及一条切线的方程，求解切点的坐标。

根据切线长定理的性质可得：切点的坐标可以通过将切线的方程与圆的方程联立求解得到。

3. 求解切线的斜率：
-已知一个圆的方程及切点的坐标，求解切线的斜率。

根据切线长定理的性质可得：切线的斜率可以通过切点的坐标和圆的方程求解得到。

4. 判断切线与其他直线的关系：
-已知一个圆和一条直线，判断这条直线与圆的关系。

根据切线长定理可得：如果一条直线与圆相交于一个点，并且这个点是圆的切点，那么这条直线是圆的切线。

5. 解决圆的切线问题：
-切线长定理可以用于解决与圆的切线相关的问题。

例如，求解切线的长度、判断切线的存在与位置关系、求解切线与角的关系等。

切线长定理在初中数学中有广泛的应用，可以帮助我们解决与切线和圆相关的问题，判断切线的长度相等、求解切点的坐标和切线的斜率，判断切线与其他直线的关系，以及解决圆的切线问题。

在应用切线长定理时，需要注意定理的性质和运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对切线长定理应用的了解。

圆的切线长定理圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。

这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。

本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。

一、圆的切线长定理的表述圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。

即PA * PB = PT^2，其中T是切点。

二、圆的切线长定理的证明要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。

设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。

连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。

由正弦定理可得：sin∠OAT = r / OTsin∠OBT = r / OT又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，所以sin∠OAT = cos∠OBT。

将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到：r * r = PA * PB因此，圆的切线长定理得证。

三、圆的切线长定理的应用圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。

以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。

如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。

2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。

通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。

3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。

通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。

4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。

例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。

圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置的关系。

通过应用该定理，我们可以解决各种与圆相关的问题，从而推动几何学的发展和应用。

小专题(十四) 切线长定理的变式与应用类型1 “单个”切线长定理方法归纳：通常利用切线长相等以及圆外这点与圆心的连线平分两切线的夹角解决问题．1．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，若OP ＝4，PA ＝23，则∠APB 的度数为(A )A ．60°B ．90°C ．120°D ．无法确定类型2 “两个”切线长定理方法归纳：常常利用圆心与圆外两点构成直角三角形解决问题．2．已知：如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，且AB ∥CD ，BO ＝6，CO ＝8，求OF 的长．解：∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，∴∠EOB ＝∠BOF ，∠COF ＝∠COG ，OF ⊥BC.∵AB ∥CD ，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°.又∵BO ＝6，CO ＝8，∴BC ＝10.∵S △BOC ＝12OB·OC ＝12BC·OF ， ∴OF ＝245.类型3 “三个”切线长定理方法归纳：如图1中，有结论△PDE 的周长＝2PA ＝2PB.如图2中，有结论AE ＝AF ＝b ＋c －a 2；BF ＝BD ＝a ＋c －b 2；CD ＝CE ＝a ＋b －c 2. 特殊的，如图3，当∠C ＝90°时，r ＝a ＋b －c 2(或ab a ＋b ＋c)．3．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C.若AD＝8，则△ABC的周长是(C)A．8 B．10C．16 D．不能确定4．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4 cm，则Rt△MBN的周长为8_cm．5．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，求⊙O的半径长．解：在Rt△ABC中，∵AC＝13，AB＝12，∴BC＝132－122＝5.∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别切于点D，E，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD＝OE.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEOD为正方形．∴BD＝BE＝OD.设⊙O的半径长为r，则BE＝BD＝r，AD＝AB－BD＝12－r，CE＝BC－BE＝5－r，∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，∴AF＝AD＝12－r，CF＝CE＝5－r.∴12－r＋5－r＝13.解得r＝2.即⊙O的半径长为2.类型4“四个”切线长定理方法归纳：圆的外切四边形的两组对边的和相等．6．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(D)A．8 B．9 C．10 D．11。

直线与圆的位置关系切线长定理在几何学中，直线与圆的位置关系一直是一个重要的研究课题。

其中，切线长定理是直线与圆的位置关系中的一个重要定理，它在解决直线与圆的位置关系问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍切线长定理的定义、推导过程及其应用。

一、切线长定理的定义切线长定理是指直线与圆的位置关系中，一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度关系。

具体来说，切线长定理可以表述为：一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度平方等于切点到圆心的距离的平方减去圆的半径的平方。

切线长定理可以用公式表示为：PT^2 = PC^2 - r^2其中，PT表示切线与切点之间的长度，PC表示切点到圆心的距离，r表示圆的半径。

二、切线长定理的推导切线长定理的推导可以通过几何方法和代数方法来进行。

这里我们将介绍一种代数方法的推导过程。

假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。

直线的方程为y = kx + c，其中k为直线的斜率，c为直线的截距。

首先，我们要找到直线与圆相切的条件。

直线与圆相切的条件是直线与圆的切点只有一个，也就是直线与圆的方程组有且只有一个解。

将直线方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程：(x-a)^2 + (kx+c-b)^2 = r^2解这个方程，得到直线与圆相切的条件：Δ = (k^2+1)(c-b)^2 - (1+k^2)(a^2+b^2-r^2) = 0其中，Δ为方程的判别式。

当Δ=0时，直线与圆相切。

接下来，我们要求出切线与切点之间的长度。

设直线与圆的切点为P(x0, y0)，则切点到圆心的距离为：PC^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2切线与切点之间的长度为：PT^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2将直线方程代入PT^2的表达式中，得到：PT^2 = (x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2将PT^2和PC^2代入切线长定理的公式中，得到：(x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2 - r^2 化简上式，得到切线长定理的公式：PT^2 = PC^2 - r^2三、切线长定理的应用切线长定理在解决直线与圆的位置关系问题时起着重要作用。