27.2.3切线长定理

切线及切线长定理（解析版）【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1)相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．这条直线叫做圆的割线.(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线l 的距离为 d，那么，（1）d＜r直线l 与⊙O相交；直线l 与⊙O相切；直线l 与⊙O相离.要点二、切线的性质和判定定理1．切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.要点诠释：切线的性质中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线判定：过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：（1）切线的判定中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.（2）切线证明的两种基本类型：①有交点，连半径，证垂直；②无交点，做垂直，证半径。

要点三、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.【同步训练】类型一、切线的判定与性质1如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交 BC 于D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙D 的切线．【答案与解析】证明：过点 D 作DF⊥AC 于 F．∵∠B＝90°，∴ DB⊥AB．∵ AD 平分∠BAC，∴ DF＝BD．∴ AC 与⊙D 相切．2如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交AB 于D，E 为BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】证明：连结 OD、CD，则: OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵ AC 是圆 O 的直径，∴ ∠ADC=90°.∴ △CDB 是直角三角形.∵ E 是 BC 的中点，∴ DE=EB=EC，∴ ∠ECD=∠EDC。

初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。

下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。

1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。

2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。

如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。

3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。

-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。

切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。

在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。

然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。

希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。

27.2 3. 第2课时切线长定理及三角形的内切圆A．68° B．52° C．76°D．38°4．如图K－19－4，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，︵上不与点A，C重合的一个动点，连结AD，D是ABCCD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是链接听课例2归纳总结( )图K－19－4A．15° B．20° C．25°D．30°5．如图K－19－5，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )图K－19－5A. 2B. 3 C．2 D．36．如图K－19－6所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，4)，则Rt△ABO的内心的坐标是( )图K－19－6A．(32，2) B．(1，2)C．(1，1) D．无法确定7．如图K－19－7，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( )图K－19－7A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF二、填空题8．如图K－19－8，△ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，如果AF＝2 cm，BD＝6 cm，CE＝4 cm，那么BC＝________cm，AC＝________cm，AB＝________cm.图K－19－89．如图K－19－9，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若PA＝5，则△PCD的周长为________.图K－19－910．2019·湖州如图K－19－10，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．图K－19－1011．如图K－19－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是它的内切圆，∠BOC＝105°，AB＝12，则BC的长为________．图K－19－11三、解答题12．如图K－19－12，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AB交OP于点C.求证：OP⊥AB且AC＝BC.图K－19－1213．如图K－19－13，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.求证：(1)△BFD∽△ABD；(2)DE＝DB.图K－19－1314．2019·绵阳如图K－19－14，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上(点D不与点A，B重合)．直线AD 交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE 交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若DE∥AB，求sin∠ACO的值．图K－19－14素养提升思维拓展能力提升分类思想如图K－19－15，在四边形ABCD中，AD ∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，当t为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？图K－19－15教师详解详析[课堂达标]1．[答案] B2．[答案] B3．[解析] C∵⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F都为切点，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠IDA＝∠IFA＝90°，∴∠A＋∠DIF＝180°.∵∠DIF＝2∠DEF＝2×52°＝104°，∴∠A＝180°－104°＝76°.4．[解析] C因为PA，PB是⊙O的两条切线，由切线长定理得∠APO＝∠OPB＝12∠APB＝40°. 连结OA，则∠OAP＝90°，所以∠AOP ＝90°－40°＝50°，所以∠ADC ＝12∠AOP＝25°.故选C.5．[解析] C在Rt△MBC中，∵∠C＝60°，MB＝2 3，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．又∵CD也为⊙O 的切线，∴CD＝BC＝2.6．[答案] C7．[解析] C如图所示，连结OA，OB，则AO，BO分别是∠CAB与∠CBA的平分线，则∠EAO ＝∠OAB.又因为EF∥AB，所以∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，所以AE＝OE，同理可求出OF＝BF，则EF＝AE＋BF.8．[答案] 10689．[答案] 10[解析] ∵PA，PB为⊙O的两条相交切线，∴PA＝PB.同理可得CA＝CE，DE＝DB.∵△PCD的周长＝PC＋CE＋DE＋PD，∴△PCD的周长＝PC＋CA＋BD＋PD＝PA＋PB＝2PA，∴△PCD的周长＝10.10．[答案] 70°[解析] ∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，∠ODB＝90°.∵∠ABC ＝40°，∴∠OBD＝20°，∴∠BOD＝70°.故填70°.11．[答案] 612．证明：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO(切线长定理)，∴OP⊥AB，AC＝BC(等腰三角形“三线合一”)．13．证明：(1)如图．∵E是△ABC的内心，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.又∵∠D为△BFD与△ABD的公共角，∴△BFD∽△ABD.(2)连结BE，如图．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠EBF.又∵∠BED＝∠1＋∠ABE，∠DBE＝∠EBF＋∠3，由(1)得∠1＝∠3，∴∠BED＝∠DBE，∴DE＝DB.14．[解析] (1)连结OD，利用切线长定理得到BE ＝DE，利用切线的性质得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE＝∠ACB，则CE＝DE，从而得到BE＝CE；(2)过点O作OH⊥AD于点H，如图．设⊙O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE ＝CE＝r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH＝DH＝22r，CD＝2r，接着根据勾股定理计算出OC＝5r，然后根据正弦的定义求解．解：(1)证明：连结OD，如图．∵BE，DE为⊙O的切线，∴BE＝DE，OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ADO＋∠CDE＝90°，∠A＋∠ACB＝90°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠CDE＝∠ACB，∴CE＝DE，∴BE＝CE.(2)过点O作OH⊥AD于点H，如图．设⊙O的半径为r.∵DE∥AB，∴∠DOB＝∠DEB＝90°，∴四边形OBED为矩形．又∵＝OD，∴四边形OBED为正方形，∴DE＝BE＝r.易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形，∴OH＝DH＝22r，CD＝2r.在Rt△OCB中，OC＝（2r）2＋r2＝5r.在Rt△OCH中，sin∠OCH＝OHOC＝22r5r＝1010，即sin ∠ACO 的值为1010. [素养提升]解：设运动t s 时，直线PQ 与⊙O 相切于点G ，过P 作PH ⊥BC 于点H ，则PH ＝AB ＝8，BH ＝AP ＝t ，可得HQ ＝|26－3t －t|＝|26－4t|，由切线长定理，得AP ＝PG ，QG ＝BQ ，则PQ ＝PG ＋QG ＝AP ＋BQ ＝t ＋26－3t ＝26－2t.由勾股定理，得PQ 2＝PH 2＋HQ 2，即(26－2t)2＝82＋(26－4t)2，化简，得3t 2－26t ＋16＝0，解得t 1＝23，t 2＝8， 所以当t ＝23或t ＝8时，直线PQ 与⊙O 相切． 因为t ＝0时，直线PQ 与⊙O 相交，当t ＝263时，点Q 运动到点B ，点P 尚未运动到点D ，但也停止运动，直线PQ 也与⊙O 相交， 所以可得以下结论：当t ＝23或t ＝8时，直线PQ 与⊙O 相切； 当0≤t ＜23或8＜t ≤263时，直线PQ 与⊙O 相交； 当23＜t ＜8时，直线PQ 与⊙O 相离．。

切线长定理内容
切线长定理是几何学中的一个定理,它描述的是当两个物体相对运动时,如果物体A的切线速度与物体B的速度方向相反,那么物体A 的切线长度一定比物体B的长度长。

切线长定理的公式为:
L_A / L_B = (v_A^2 / c^2) - (v_B^2 / c^2)
其中,L_A表示物体A的切线长度,L_B表示物体B的切线长
度,v_A表示物体A的相对速度,v_B表示物体B的相对速度,c表示光速。

切线长定理说明了一个物体的切线长度与其相对速度有关,而与物体的质量、形状等因素无关。

这个定理在物体运动分析、机械力学、相对论等领域都有广泛的应用。

中考内容中考要求A B C直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系;会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题;能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩概念切线长定理定理相关结论概念切线长定理与弦切角定理弦切角定理定理相交弦定理圆幂定理切割线定理割线定理一、切线长定理1、切线长的概念在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．BAPO【注意】在新课讲解时需要讲解为什么从圆外一点引圆的两条切线．切线长定理与弦切角定理中考大纲知识精讲知识网络图3、相关结论（1）圆的两条平行切线,切点间的线段是直径. （2)圆外切四边形的两组对边和相等. （3）圆外切平行四边形是菱形。

（4）圆心和圆外这点的连线垂直平分两切点的连线. 【注意】：切线是直线，切线长是线段长;二、弦切角定理(选讲） 1、弦切角顶点在圆上,一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 2、弦切角定理定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等【注意】1、明确弦切角所夹的弧是在弦切角内部的一条弧。

2、弦切角必须具备的三个条件：（1）顶点在圆上（2)一边与圆相切(3)一边与圆相交3、弦切角和圆周角的联系与区别弦切角可以看做是圆周角的一边绕顶点旋转到圆相切时所成的角，顶点都在圆上。

弦切角的一边是过顶点的弦，另一边是切线上以切点为端点的一条射线，而圆周角的两边均是弦。

三、圆幂定理(选讲） 1、相交弦定理（1)相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． 如图,弦AB 和CD 交于⊙O 内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．P ODC A【证明】如图，AB 、CD 为⊙O 的两条任意弦.相交于点P ，连接AD 、BC ，由于B ∠与D ∠同为弧AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知:B D ∠=∠，同理A C ∠=∠，所以PAD PCB ∽△△. 所以有：PA PDPC PB=，即：PA PB PC PD ⨯=⨯．PDCBA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 2、切割线定理如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的切线，AD 是⊙O 的割线，则题意中满足2AB AC AD =⋅．ODCB A3、割线定理从从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B ；C 、D ,则有··PA PB PC PD =1、圆的切线长定理是解决圆内求线段长、角度数，证明线段相等和成比例等的重要工具,在解题过程中常： (1）连结圆心和切点构造直角三角形; （2）连结圆心和圆外这一点构造角平分线； （3）连结两切点等构造等腰三角形或垂直关系。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。

在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

27.2.3切线长定理导学案学习目标1.了解切线长定理的探究与演绎推理，会运用切线长定理进行计算和证明.2.知道三角形的内切圆和内心以及圆的外切三角形的意义.学习策略1.在操作与测量中发现分析，总结归纳，在例题探究中规范推理过程.2.注意独立思考与分组交流结合，共同探究加深理解.学习过程一.复习回顾：1.什么是圆的切线？圆的切线有什么性质？2.怎样判断一条直线是圆的切线？3.过圆外一点画圆的切线，可以画几条？二.新课学习：1.自学教材P53，回答以下问题：1、自己任意画一个圆，并在圆外任意取一点，过这点画圆的两条切线，测量到切点的线段长度，对比分析测量结果.2、切线长的定义是什么？3、结合1中的测量对比，猜想切线长的关系：4、并运用轴对称的性质分析总结切线长定理：5. 自己运用切线的性质定理结合全等三角形的知识演绎证明切线长定理.2.自学教材P54，回答以下问题：1、什么是三角形的内切圆？什么是三角形的内心？什么是圆的外切三角形？2、三角形的内心怎样确定？3.怎样画三角形的内切圆？自己任意画三角形，并画其内切圆：三.尝试应用：1. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD 的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．102. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于.3.如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．四.自主总结：（1）切线长定理：（2）相关概念：三角形的内切圆：、内心：和圆的外切三角形： .五.达标测试一．选择题（共4小题）1．下列说法中不正确的是（）A．三角形只有一个外接圆B．三角形只有一个内切圆C．三角形的内心到三个顶点的距离相等D．三角形的内心到这个三角形三边的距离相等2．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（）A．B．C．D．3．如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A=60°，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，则DF的长等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．10二．填空题（共3小题）5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．6．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是cm．7．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为．三．解答题（共3小题）8．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．9．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．10．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，求△PED的周长．1.【分析】分别根据三角形外接圆以及内切圆和内心的性质判断得出即可．【解答】解：A、三角形只有一个外接圆，此选项正确，不合题意；B、三角形只有一个内切圆，此选项正确，不合题意；C、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，错误，符合题意；D、此选项正确，不合题意．故选：C．2.【分析】根据等边三角形三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．【解答】解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，∴∠OBD=30°，BD=，∴tan∠BOD==，∴内切圆半径OD=×=a．故选：A．3.【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD=BE，CE=CF，AD=AF，进而得出△ADF是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，∴BD=BE，CE=CF，AD=AF，∵BE+EC=BD+FC=6，∴AD=AF=（AB+AC+BC﹣BC﹣BD﹣CF）=（16﹣6﹣6）=2，∵∠A=60°，∴△ADF是等边三角形，∴DF=2．故选：A．4.【分析】由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA=PB，同理可得：CA=CE，DE=DB．∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，∴△PCD的周长=10，故选D．5.【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故答案为：2．6.【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．【解答】解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC，∴∠OAB=∠CAB=60°∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴由勾股定理得OB=3cm，∴光盘的直径6cm．故答案为：6．7.【分析】根据勾股定理的逆定理推出∠C=90°，连接OE、OQ，根据圆O是三角形ABC的内切圆，得到AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=90°，OE=OQ，推出正方形OECQ，设OE=CE=CQ=OQ=a，得到方程12﹣a+5﹣a=13，求出方程的解即可．【解答】解：∵AC2+BC2=25+144=169，AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，连接OE、OQ，∵圆O是三角形ABC的内切圆，∴AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=∠C=90°，OE=OQ，∴四边形OECQ是正方形，∴设OE=CE=CQ=OQ=a，∵AF+BF=13，∴12﹣a+5﹣a=13，∴a=2，故答案为：2．8.【分析】（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；（2）首先连结OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．【解答】解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，∵AB=AC，∴AB﹣AD=AC﹣AF，即BD=CF，∴BE=CE；解法二：（1）证明：连结OB、OC、OE∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，∴OE⊥BC，∴BE=CE；（2）解：连结OD、OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，又∵OD=OF，∴四边形ODAF是正方形，设OD=AD=AF=r，则BE=BD=CF=CE=2﹣r，在△ABC中，∠A=90°，∴，又∵BC=BE+CE，∴（2﹣r）+（2﹣r）=，得：r=，∴⊙O的半径是．9.【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBE+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°；（2）由（1）知，∠BOC=90°．∵OB=6cm，OC=8cm，∴由勾股定理得到：BC==10cm，∴BE+CG=BC=10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF==4.8cm．10.【分析】由PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，根据切线长定理得到PA=PB=4，同理得DC=DA，EC=EB，再根据三角形周长的定义得到△PED的周长=PD+DE+PE，然后利用等相等代换得到△PDE的周长=PD+DA+EB+PE=PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA=PB=4，∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，∴DC=DA，EC=EB，∴△PED的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．。

相交弦定 COO 中，AB 为直径，CDLABPC = PA- PB.理的推论/于P.|（特殊情况）|127用相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（PA 长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得4.弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定7. 与圆有关的比例线段 定理 已知结论证法OO 中，AB CD 为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连 结 AC 、 BD ,证： 于 P.△ APCo A DPB.到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

直线AB 切OO 于P , PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）相交弦定8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数］L「一厂| （R为圆半径），因为--「叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。

解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理+巴“丄A1_3「£)5 = 1--恥二1 + —二一4=4 4 43- = 3：5P T2=PA- PBPBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD交OO于A COO 中，割线PB交OO 于P'C - P'D = r2A, CD为弦OP'2PA- PB= OP—r2r为OO的半径连结TA、TB ,证：△PTB^A PAT过P作PT切OO于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）延长P'O交OO于M延长OP'交OO于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证OO中，PT切OO于T,割线PB交OO于A【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

直线AB切OO于P, PG PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

已知OO 中，AB CD为弦，交PA- PB= PG- PD. 连结AG、BD, 证：于P.△ APS A DPB.结论证法OO 中，AB为直径，CDL ABPC= PA- PB. 于P. 用相交弦定理•3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另2OO 中，割线PB 交OO 于P'C - P'D = r —延长P'O 交OO 于 M 延 2 A , CD 为弦 OP' 长OP'交OO 于N,用相交PA- PB= OP — r 2 弦定理证；过P 作切线用r 为OO 的半径 切割线定理勾股定理证8.圆幕定理：过一定点P 向OO 作任一直线，交OO 于两点，贝洎定点P 到两交点的两条线段之积为常数 |一_亠-| （R 为圆半径），因为OP 2 -R 2叫做点对于OO 的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。

切割线定 T , PT 2= PA - PB 连结 TA 、TB , 证： △ PTB^A PAT 理推论 PBPD 为OO 的两条割线，PA- PB= PC- PD 交OO 于A C 过P 作PT 切OO 于T ,用 两次切割线定理。