简单抽屉原理与最不利原则(下)

第五讲抽屉原理二本讲知识点汇总：一、最不利原则：为了保．证．能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标．二、抽屉原理：形式1：把n 1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；形式2：把m n 1个苹果放到n 个抽屉中，一定有m 1个苹果放在一个抽屉里．例1．中国奥运代表团的173 名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水 6 种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？「分析」本题的“抽屉”是饮料的选法，“苹果”是 1 73名运动员．练习1、中国奥运代表团的83 名运动员到超市买饮料．超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？例2．国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有 4 个人参加的活动完全相同？「分析」本题的“抽屉”是参加活动的方法．练习2、高思运动会共有 4 个项目，每个学生至多参加3项，至少参加 1 项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有 5 个人参加的活动完全相同？例3．从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？「分析」思考一下：哪两个数的和是50？练习3、从1到35这35 个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和为34？例4．从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是 6 的倍数呢？「分析」两个数的和是7 的倍数，这两个数除以7 的余数要符合什么条件哪？练习4、从1至99这99 个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5 的倍数，至少要取多少个？例5．至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个整数的和或差是100 的倍数？「分析」从余数角度思考一下：什么样的两个数的和或差是100？例6．在边长为 2 的正六边形中，放入50 个点，任意三点不共线，请证明：一定能从中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于「分析」通过把正六边形均分，来构造“抽屉”1．四大发明之印刷术印刷术是中国古代的四大发明之一，是中国古代汉族劳动人民经过长期实践和研究才发明的．活字印刷的方法是先制成单字的阳文反文字模，然后按照稿件把单字排列在字盘内涂墨印刷．自从汉朝发明纸以后，书写材料比起过去用的甲骨、简牍、金石和缣帛要轻便、经济多了，但是抄写书籍还是非常费工的，远远不能适应社会的需要．至迟到东汉末年的熹平年间（公元172~178 年），出现了摹印和拓印石碑的方法．大约在公元600 年前后的隋朝，人们从刻印章中得到启发，在人类历史上最早发明了雕版印刷术．雕版印刷是在一定厚度的平滑的木板上，粘贴上抄写工整的书稿，薄而近乎透明的稿纸正面和木板相贴，字就成了反体，笔划清晰可辨．雕刻工人用刻刀把版面没有字迹的部分削去，就成了字体凸出的阳文，和字体凹入的碑石阴文截然不同．印刷的时候，在凸起的字体上涂上墨汁，然后把纸覆在它的上面，轻轻拂拭纸背，字迹就留在纸上了．到了宋朝，雕版印刷事业发展到全盛时期．雕版印刷对文化的传播起了重大作用，但是也存在明显缺点：第一，刻版费时费工费料；第二，大批书版存放不便；第三，有错字不容易更正．北宋平民发明家毕昇总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过反复试验，在宋仁宗庆历年间（公元1041~1048）制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命．毕昇的方法是这样的：用胶泥做成一个个规格一致的毛坯，在一端刻上反体单字，字划突起的高度象铜钱边缘的厚度一样，用火烧硬，成为单个的胶泥活字．为了适应排版的需要，一般常用字都备有几个甚至几十个，以备同一版内重复的时候使用．遇到不常用的冷僻字，如果事前没有准备，可以随制随用．为便于拣字，把胶泥活字按韵分类放在木格子里，贴上纸条标明．排字的时候，用一块带框的铁板作底托，上面敷一层用松脂、蜡和纸灰混合制成的药剂，然后把需要的胶泥活字拣出来一个个排进框内．排满一框就成为一版，再用火烘烤，等药剂稍微熔化，用一块平板把字面压平，药剂冷却凝固后，就成为版型．印刷的时候，只要在版型上刷上墨，覆上纸，加一定的压力就行了．为了可以连续印刷，就用两块铁板，一版加刷，另一版排字，两版交替使用．印完以后，用火把药剂烤化，用手轻轻一抖，活字就可以从铁板上脱落下来，再按韵放回原来木格里，以备下次再用．毕昇还试验过木活字印刷，由于木料纹理疏密不匀，刻制困难，木活字沾水后变形，以及和药剂粘在一起不容易分开等原因，所以毕昇没有采用．毕昇的胶泥活字版印书方法，如果只印二三本，不算省事，如果印成百上千份，工作效率就极其可观了，不仅能够节约大量的人力物力，而且可以大大提高印刷的速度和质量，比雕版印刷要优越得多．现代的凸版铅印，虽然在设备和技术条件上是宋朝毕昇的活字印刷术所无法比拟的，但是基本原理和方法是完全相同的．活字印刷术的发明，为人类文化做出了重大贡献．这中间，中国的平民发明家毕昇的功绩是不可磨灭的．可是关于毕昇的生平事迹，我们却一无所知，幸亏毕昇创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里．但是除开西夏文字的几本推测为活字印刷的佛经外，中原地区无发现活字印刷的中文印刷品！作业1. (1) 一个班有37个人，那么至少有多少人是同一星座的？(2) 一副扑克牌，共54张，那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同？2. 动物王国举行运动会，共有101位运动员，有短跑、跳高、跳远、10米跳台、3米跳板五个项目，每位运动员最多选三个项目，最少选一个项目. 那么至少有多少位运动员所选的项目都相同？3. 1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6?4. 1至40这40个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不是4的倍数？5. 在半径为1的圆内，画13个点，其中任意3点不共线?请证明：一定存在3个点，以6它们为顶点的三角形面积小于6第五讲抽屉原理二例7．答案：12．解答：共有C6215种不同的选择方式，而173 15 11L 8 ，所以至少有12 个人买的饮料完全相同．例8．答案：46．解答：共有C52C5115 种参加方法，所以至少15 3 1 46 人．例9．答案：27．解答：可构造出26个组数：(1 , 49)、( 2, 48)、…、(24, 26)、(25)、( 50).所以至少要取27个数才能保证取到一组和为50 的数．例10．答案：46, 37．解答：由题意可知,如果取出的数没有两个数的和是7的倍数,则：除以7余 1 的数与除以7余6的数不能共存,除以7 余 2 的数与除以7 余 5 的数不能共存,除以7 余 3 的数与除以7 余 4 的数不能共存．而除以7余0的数只能取1个,且100 14 7L 2,所以最不利的情况是取尽余1、余2、余3和一个余0的数, 共45 个数, 所以至少选出46个数才可满足要求．同理至少选出37个数才能保证是 6 的倍数．(注意此时除以 6 余 3 和余0 的数都只能选 1 个)例11 ．答案：52．解答：可构造出51 个组数：(1 , 8)、( 2 , 9)-( 7, 14 )； (15, 22 )、(16, 23 )???( 21, 28)；……(85, 92)、(86 , 93)-( 91, 98)； (99)、(100).每组数中的两数的差为7 ?只取出每个数组中较小的数显然不能满足要求,所以至少要取出52 个数,这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两个数．例12．解答：先将正六边形分割成 6 个边长为 2 的正三角形,再将每个三角形等分成 4 个边长为 1 的正三角形,这样就把正六边形分割成24 个边长为 1 的正三角形,则由抽屉原理知,必有 3 点在一个等边三角形中,以它们为顶点的三角形面积显然不大于1．(边长是 1 的等边三角形面积小于1)练习1、答案：14．简答：共有C426种不同的选择方式，而83 6 13 5 ，所以至少有14 个人买的饮料完全相同．练习2、答案：57．简答：共有C43C42C4114 种参加方法，所以至少14 4 1 57 人．练习3、答案：20．简答：可构造出19个组数：(1, 33)、( 2, 32)、…、(16,18)、(17)、(34)、( 35).所以至少要取20个数才能保证取到一组和为34的数．练习4、答案：42．简答：1~99这99 个数中除以5余 1 的有20个,余 2 的有20个,余3的有20个,余4的有20个, 余0 的有19 个,选出余 1 和余 2 的数,再选一个余0 的数,再任选一个数一定符合题意,20 20 1 1 42 个．作业6. 答案：（1）4个；（2）23 张.简答：（1）抽屉原理；（2）最不利原则.7. 答案：5位.简答：首先运动员的项目有C5 Cf c3 25种可能，根据抽屉原理，至少有5位运动员的项目相同.8. 答案：36个.简答：每12个数中最多取出6个.9. 答案：12个.简答：将1~40按照除以4的余数分为四组：A 组：｛1 , 5,…，37｝；B 组：｛2 , 6,…，38｝；C组：｛3，7,…，39｝；D 组：｛4 , 8，…，40｝.首先，B、D组最多取一个?取了A组就不能取C组.所以最多能取12个.10. 证明：将半径为1的圆六等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是在同一部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即-6 根据抽屉原理，至少有三个点6。

第五单元数学广角——鸽巢问题（抽屉原理）一、最不利原则：为了保证能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标。

二、抽屉原理：形式1：把n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；形式2：把m×n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有m+1个苹果放在一个抽屉里。

模块一抽屉原理【例题1】把3个苹果放到两个抽屉中，有（）种放法。

【练习1】把4支铅笔放进3个笔筒中，有（）种放法。

【例题2】把8个桃子放到7个果盘里，一定有一个果盘里至少放进了（）桃子。

【练习2】把7本书放进6个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进（）本书。

【例题3】五年级一班有28个学生，保证至少有几个同学在同一个月出生？【练习3】在任意25个人中，至少有几个人的星座相同？【例题4】把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球？【练习4】把17本书最多放到（）个空书架上，才能保证至少有一个书架上有5本书。

【例题5】平安路小学组织862名同学去参观甲、乙、丙3处景点。

规定每名同学至少参观一处，最多可以参观两处，至少有多少名同学参观的景点相同？【练习5】中国奥运代表团的173名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水6种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？【例题6】国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项。

那么至少有多少个学生，才能保证至少有4个人参加的活动完成相同？【练习6】桂苑小学六年级每名学生都订阅了《数学小灵通》、《小学生作文》、《英语天地》、《科学画报》这4种报刊中的2种，他们当中至少有34名学生订阅的报刊种类相同。

你知道桂苑小学六年级至少有多少名学生吗？【例题7】从1，2，3，……，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？【练习7】1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6？【例题8】从1，4，7，10，……37，40这14个自然数，至少任取多少个数才能保证其中至少有2个数的和是41？【练习8】从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？【例题9】从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是6的倍数呢？【练习9】从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5的倍数，至少要取多少个？【例题10】某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有多少人的头发根数一样多？【练习10】49名同学共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁。

【精品】简单抽屉原理与最不利原则（下）(★★★)在一个盒子里装着形状相同的三种口味的果冻，分别是苹果口味、巧克力口味和香芋口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻。

请问：⑴至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有香芋口味的？⑵至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？(★★★)口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？(★★★)一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球，其中红色的有10个，白色的有9个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。

那么一次最少取出多少个球，才能保证有4个颜色相同的球？(★★★★)将1只白手套、2只黑手套、3只红手套、8只黄手套和9只绿手套放入一个布袋里，请问：⑴一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色相同的两双手套？⑵一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色不同的两双手套？(两只手套颜色相同即为一双)(★★★★)一副扑克牌54张。

⑴一次至少要抽出多少张才能保证有3张花色相同？⑵一次至少要抽出多少张才能保证3种花色都有？(★★★★★)⑴从大街上至少选出多少人，才能保证至少有3人属相相同？⑵为保证至少5个人的属相相同，但不保证有6人属相相同，那么总人数应在什么范围内？(★★★★★)幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？重点例题：例2，例4，例6在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．(★★★)在一个袋子里装着形状相同的四种口味的糖果，分别是草莓口味、巧克力口味、菠萝口味和苹果口味的，每种糖果各有15块。

现在闭着眼睛从盒子里拿果冻，那么至少要从中拿出( )块，才能保证拿出的果冻中有菠萝口味的糖果。

A．16B．31C．46D．602．(★★★)口袋中有四种颜色的筷子各6双，至少取( )根才能保证四种颜色都取到；至少取( )根才能保证有2双颜色相同的筷子。

Hale Waihona Puke 简单抽屉原理与最不利原则(下)
【例1】(★★) 现有10把钥匙分别能开10把锁，但是不晓得哪 有 把钥 能 把 晓 把钥匙能开哪把锁。倒霉李最少要试验多少次 才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？
【例2】(★★) 在一个盒子里装着形状相同的三种口味的果冻， 分别是苹果口味、巧克力口味和香芋口味的， 每种果冻都有20个 现在闭着眼睛从盒子里拿 每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里拿 果冻。请问： ⑴至少要从中拿出多少个 才能保证拿出的果 ⑴至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果 冻中有香芋口味的？ ⑵至少要从中拿出多少个 才能保证拿出的果 ⑵至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果 冻中至少有两种口味？
【例6】(★★★) 一副扑克牌54张。 一次至少要抽出多少张才能保证有3张花色相同？ 一次至少要抽出多少张才能保证3种花色都有？
• 例1答案：45次 例 答案 • 例2答案：⑴41 • 例3答案：⑴21 • 例4答案：14 • 例5答案：⑴13 ⑵14
2
⑵21 ⑵13 ⑶10
• 例6答案：⑴11 ⑵29
1
【例5】(★★★) 将1只白手套、2只黑手套、3只红手套、8只黄 手套和9只绿手套放入一个布袋里，请问： ⑴一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有 颜色相同的两双手套？ ⑵ 次 少 摸出多少 手套才能保 ⑵一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有 定有 颜色不同的两双手套？(两只手套颜色相同即 为一双)
【例3】(★★★) 口袋中有三种颜色的筷子各10 根，问： ⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ ⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？ ⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？
【例4】(★★★) 一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球，其中 红色的有10个，白色的有9个，黄色的有8个，蓝色 的有3个 绿色的有1个 那么 次最少取出多少个 的有3个，绿色的有1个。那么一次最少取出多少个 球，才能保证有4个颜色相同的球？

第五讲 抽屉原理二本讲知识点汇总：一、 最不利原则：为了保证．．能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标．二、 抽屉原理：形式1：把个苹果放到n 个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里； 形式2：把个苹果放到n 个抽屉中，一定有个苹果放在一个抽屉里．例1． 中国奥运代表团的173名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水6种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？ 「分析」本题的“抽屉”是饮料的选法，“苹果”是173名运动员．练习1、中国奥运代表团的83名运动员到超市买饮料．超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？例2． 国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有4个人参加的活动完全相同？「分析」本题的“抽屉”是参加活动的方法．练习2、高思运动会共有4个项目，每个学生至多参加3项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有5个人参加的活动完全相同？1m + 1m n ⨯+ 1n +例3．从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？「分析」思考一下：哪两个数的和是50？练习3、从1到35这35个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和为34？例4．从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是6的倍数呢？「分析」两个数的和是7的倍数，这两个数除以7的余数要符合什么条件哪？练习4、从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5的倍数，至少要取多少个？例5．至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个整数的和或差是100的倍数？「分析」从余数角度思考一下：什么样的两个数的和或差是100？例6．在边长为2的正六边形中，放入50个点，任意三点不共线，请证明：一定能从中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于1．「分析」通过把正六边形均分，来构造“抽屉”．四大发明之印刷术印刷术是中国古代的四大发明之一，是中国古代汉族劳动人民经过长期实践和研究才发明的．活字印刷的方法是先制成单字的阳文反文字模，然后按照稿件把单字排列在字盘内涂墨印刷．自从汉朝发明纸以后，书写材料比起过去用的甲骨、简牍、金石和缣帛要轻便、经济多了，但是抄写书籍还是非常费工的，远远不能适应社会的需要．至迟到东汉末年的熹平年间（公元172~178年），出现了摹印和拓印石碑的方法．大约在公元600年前后的隋朝，人们从刻印章中得到启发，在人类历史上最早发明了雕版印刷术．雕版印刷是在一定厚度的平滑的木板上，粘贴上抄写工整的书稿，薄而近乎透明的稿纸正面和木板相贴，字就成了反体，笔划清晰可辨．雕刻工人用刻刀把版面没有字迹的部分削去，就成了字体凸出的阳文，和字体凹入的碑石阴文截然不同．印刷的时候，在凸起的字体上涂上墨汁，然后把纸覆在它的上面，轻轻拂拭纸背，字迹就留在纸上了．到了宋朝，雕版印刷事业发展到全盛时期．雕版印刷对文化的传播起了重大作用，但是也存在明显缺点：第一，刻版费时费工费料；第二，大批书版存放不便；第三，有错字不容易更正．北宋平民发明家毕昇总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过反复试验，在宋仁宗庆历年间（公元1041~1048）制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命．毕昇的方法是这样的：用胶泥做成一个个规格一致的毛坯，在一端刻上反体单字，字划突起的高度象铜钱边缘的厚度一样，用火烧硬，成为单个的胶泥活字．为了适应排版的需要，一般常用字都备有几个甚至几十个，以备同一版内重复的时候使用．遇到不常用的冷僻字，如果事前没有准备，可以随制随用．为便于拣字，把胶泥活字按韵分类放在木格子里，贴上纸条标明．排字的时候，用一块带框的铁板作底托，上面敷一层用松脂、蜡和纸灰混合制成的药剂，然后把需要的胶泥活字拣出来一个个排进框内．排满一框就成为一版，再用火烘烤，等药剂稍微熔化，用一块平板把字面压平，药剂冷却凝固后，就成为版型．印刷的时候，只要在版型上刷上墨，覆上纸，加一定的压力就行了．为了可以连续印刷，就用两块铁板，一版加刷，另一版排字，两版交替使用．印完以后，用火把药剂烤化，用手轻轻一抖，活字就可以从铁板上脱落下来，再按韵放回原来木格里，以备下次再用．毕昇还试验过木活字印刷，由于木料纹理疏密不匀，刻制困难，木活字沾水后变形，以及和药剂粘在一起不容易分开等原因，所以毕昇没有采用．毕昇的胶泥活字版印书方法，如果只印二三本，不算省事，如果印成百上千份，工作效率就极其可观了，不仅能够节约大量的人力物力，而且可以大大提高印刷的速度和质量，比雕版印刷要优越得多．现代的凸版铅印，虽然在设备和技术条件上是宋朝毕昇的活字印刷术所无法比拟的，但是基本原理和方法是完全相同的．活字印刷术的发明，为人类文化做出了重大贡献．这中间，中国的平民发明家毕昇的功绩是不可磨灭的．可是关于毕昇的生平事迹，我们却一无所知，幸亏毕昇创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里．但是除开西夏文字的几本推测为活字印刷的佛经外，中原地区无发现活字印刷的中文印刷品！作业1. （1）一个班有37个人，那么至少有多少人是同一星座的？（2）一副扑克牌，共54张，那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同？2. 动物王国举行运动会，共有101位运动员，有短跑、跳高、跳远、10米跳台、3米跳板五个项目，每位运动员最多选三个项目，最少选一个项目．那么至少有多少位运动员所选的项目都相同？3. 1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6？4. 1至40这40个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不是4的倍数？5. 在半径为1的圆内，画13个点，其中任意3点不共线．请证明：一定存在3个点，以它们为顶点的三角形面积小于6．第五讲抽屉原理二例7．答案：12．解答：共有2615C=种不同的选择方式，而17315118÷=L，所以至少有12个人买的饮料完全相同．例8．答案：46．解答：共有215515C C+=种参加方法，所以至少153146⨯+=人．例9．答案：27．解答：可构造出26个组数：（1，49）、（2，48）、…、（24，26）、（25）、（50）．所以至少要取27个数才能保证取到一组和为50的数．例10．答案：46，37．解答：由题意可知，如果取出的数没有两个数的和是7的倍数，则：除以7余1的数与除以7余6的数不能共存，除以7余2的数与除以7余5的数不能共存，除以7余3的数与除以7余4的数不能共存．而除以7余0的数只能取1个，且1001472=⨯L，所以最不利的情况是取尽余1、余2、余3和一个余0的数，共45个数，所以至少选出46个数才可满足要求．同理至少选出37个数才能保证是6的倍数．（注意此时除以6余3和余0的数都只能选1个）例11．答案：52．解答：可构造出51个组数：（1，8）、（2，9）…（7，14）；（15，22）、（16，23）…（21，28）；……（85，92）、（86，93）…（91，98）；（99）、（100）．每组数中的两数的差为7．只取出每个数组中较小的数显然不能满足要求，所以至少要取出52个数，这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两个数．例12．解答：先将正六边形分割成6个边长为2的正三角形，再将每个三角形等分成4个边长为1的正三角形，这样就把正六边形分割成24个边长为1的正三角形，则由抽屉原理知，必有3点在一个等边三角形中，以它们为顶点的三角形面积显然不大于1．（边长是1的等边三角形面积小于1）练习1、答案：14．简答：共有246C=种不同的选择方式，而836135=⨯+，所以至少有14个人买的饮料完全相同．练习2、答案：57．简答：共有32144414C C C++=种参加方法，所以至少144157⨯+=人．练习3、答案：20．简答：可构造出19个组数：（1，33）、（2，32）、…、（16，18）、（17）、（34）、（35）．所以至少要取20个数才能保证取到一组和为34的数．练习4、答案：42．简答：1~99这99个数中除以5余1的有20个，余2的有20个，余3的有20个，余4的有20个，余0的有19个，选出余1和余2的数，再选一个余0的数，再任选一个数一定符合题意，20201142+++=个．作业6. 答案：（1）4个；（2）23张．简答：（1）抽屉原理；（2）最不利原则．7. 答案：5位．简答：首先运动员的项目有12355525C C C ++=种可能，根据抽屉原理，至少有5位运动员的项目相同．8. 答案：36个．简答：每12个数中最多取出6个．9. 答案：12个．简答：将1~40按照除以4的余数分为四组：A 组：{1，5，…，37}；B 组：{2，6，…，38}；C 组：{3，7，…，39}；D 组：{4，8，…，40}．首先，B 、D 组最多取一个．取了A 组就不能取C 组． 所以最多能取12个．10. 证明：将半径为1的圆六等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是6π．根据抽屉原理，至少有三个点在同一部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即6π．。

第十五讲抽屉原理与最不利原则
一、抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。

原理1: 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

原理2: 把多于m×n+1(n不为0)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体。

原理3: 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

注意以下几点：
1、抽屉原理讨论的是苹果的数目与抽屉数目之间的关系，要求苹果数大于抽屉数；
2、抽屉原理用来解决存在性的问题，“必有一个”就是必然存在的意思；存在就行，不关心满足要求的抽屉到底是哪个、有多少个；常见的提示语“保证至少有一个”
3、解决问题的关键在于分辨苹果与抽屉，经常需要构造抽屉。

二、最不利原则
最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。

抽屉原理和最不利原则一、抽屉原理抽屉原理（也被称为鸽笼原理）是数学中一种基本原理，它是由鸽笼和抽屉的类比而得名。

根据抽屉原理，如果n+1个物体被放置到n个容器之中，那么至少有一个容器内含有两个或者更多的物体。

换句话说，抽屉原理表明，当物体数量超过容器数量时，至少有一个容器将会装有多个物体。

这个原理可以应用于各种场景，例如，如果有11个学生坐在一排座位上，而只有10个座位，那么至少有一个学生将会没有座位坐。

抽屉原理在数学和计算机科学中有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，抽屉原理可以用来证明哈希函数的碰撞概率、证明图的着色问题等等。

最不利原则是指在做决策时，应该假设每一项决策都是以对自己最不利的方式进行的。

也就是说，在进行决策时，应该考虑最不利的情况，并希望能够在最不利的情况下找到最好的解决方案。

最不利原则在决策分析和优化问题中具有重要作用。

通过考虑最不利的情况，可以防止决策者产生过于乐观或者主观的判断，从而更好地制定决策方案。

最不利原则可以应用于各种领域，例如商业决策、政治决策和战略决策等。

在商业决策中，经营者应该考虑到市场环境变化和竞争对手的行动，以保持企业的竞争力。

在政治决策中，政府领导者应该考虑到各种社会和经济因素，以制定合理的政策。

在战略决策中，军事指挥官应该考虑到敌方的最强势和最危险的行动，以便做出战略部署。

最不利原则帮助我们克服幻觉和假设，从而更加客观地进行决策。

通过考虑最不利的情况，我们能够更好地准备好应对各种风险和挑战，并找到最佳的解决方案。

总结：抽屉原理和最不利原则都是数学领域中的重要原则，它们在不同的背景下有着不同的应用。

抽屉原理通过简单的类比，帮助我们理解当物体数量超过容器数量时，必然会有一些容器装有多个物体的情况。

最不利原则则在决策分析和优化问题中起着重要的作用，通过考虑最不利的情况，可以制定出最佳的决策方案。

这两个原则都帮助我们在面对不同的问题和情境时，能够更加准确地进行分析和决策。

抽屉原理一、抽屉原理的定义（1）举例桌上有10个苹果，要把这10个苹果放到9个抽展里，无论怎样放，有的抽屉可以放1个，有的可以放2个，有的可以放5个，但最终我们会发规至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义一般情况下，把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

二、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉=商……余数余数：（1）余数=1，结论：至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数=x至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数=0，结论至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（ニ）、利用最值原理解题（最不利原则：一切最不利情况+1=成功）将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法。

类型：“必有2个”原理；必有m+1个”原理要点：最不利原则；保证与至少精讲例题一：某校六年级有367名学生，请问有没有2名学生的生日是在同一天?为什么?【思路导航】把一年的天数看成是抽屉，把学生数看成是元素即至少有2名学生的生日是在同一天。

把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，至少在一个抽屉里有2名学生，因此肯定有2名学生的生日是在同一天。

试一试：1.某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是在同一天，为什么?2.某校有30名学生是2月份出生的。

能否至少有2名学生的生日是在同一天?3.15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生?精讲例题二：某班学生去买语文书、数学书、英语书。

买书的情况是:有买一本的、两本的，也有买三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)试一试：1.某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。

买书的情况是：有买一本的，有买两本的，有买三本、四本的。

问至少去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)2学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。

六下（人教）第五单元数学广角 - 鸽巢问题（抽屉原理）（附答案六下人教版同步奥数第五单元数学广角――鸽巢问题能力提升思维突破挑战极限第五单元数学广角――鸽巢问题（抽屉原理）一、最不利原则：为了保证能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标。

二、抽屉原理：形式1：把n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；形式2：把m×n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有m+1个苹果放在一个抽屉里。

模块一抽屉原理【例题1】把3个苹果放到两个抽屉中，有（）种放法。

【练习1】把4支铅笔放进3个笔筒中，有（）种放法。

【例题2】把8个桃子放到7个果盘里，一定有一个果盘里至少放进了（）桃子。

【练习2】把7本书放进6个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进（）本书。

【例题3】五年级一班有28个学生，保证至少有几个同学在同一个月出生？【练习3】在任意25个人中，至少有几个人的星座相同？【例题4】把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球？【练习4】把17本书最多放到（）个空书架上，才能保证至少有一个书架上有5本书。

第 1 页共 14 页六下人教版同步奥数第五单元数学广角――鸽巢问题能力提升思维突破挑战极限【例题5】平安路小学组织862名同学去参观甲、乙、丙3处景点。

规定每名同学至少参观一处，最多可以参观两处，至少有多少名同学参观的景点相同？【练习5】中国奥运代表团的173名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水6种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？【例题6】国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项。

那么至少有多少个学生，才能保证至少有4个人参加的活动完成相同？【练习6】桂苑小学六年级每名学生都订阅了《数学小灵通》、《小学生作文》、《英语天地》、《科学画报》这4种报刊中的2种，他们当中至少有34名学生订阅的报刊种类相同。

☆2个D o坏了，一个抽屉只牡放个.剰一于敝半进去了把10个苹果放进9个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有先拿4亍吧，别让 爸植右见.不黨又 得挨揍. /第十三讲 简单抽屉原理厂臭小子！敢脩 人寂沐西乍☆苹果•这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理.一般地，我们有如下结论：抽屉原理I把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果.以9个抽屉为例：把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹果平均放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果.但如果把10个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果.因为即使每个抽屉都放1个苹果时，也只能放进1 9 9个苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，都会使该抽屉中有2个苹果.类似的，把99个苹果放进9个抽屉，苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果.事实上，我们还可以发现：如果这99个苹果平均放进9个抽屉中，每个抽屉里放99 9 11个苹果，如果放得不平均，则肯定有某个抽屉里的苹果多于11个.但如果把100个苹果放进9个抽屉，即使每个抽屉都放11个苹果，只能放99个苹果，剩下1个苹果再放进抽屉中，一定会使得某个抽屉至少有12个苹果.我们把“抽屉原理I”加以推广，就可以得到一个更全面的抽屉原理.抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”，是19世纪德国数学家狄利克莱最早提出的，在组合数学中有着非常重要的地位.如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了 __________ 苹果.如果把97片培根放在8个盘子，那么一定有盘子至少放了 __________ 培根.如果把98只羊放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了 __________ 羊.构分呢？因为只有这样做才能使得放入同一个抽屉的苹果尽量少，求出的结果才是至少个•虽然我们算的是分到同一个抽屉的苹果，但考虑的时候却是让同一抽屉中的苹果尽量少—这种从反面考虑的分析方法又叫做“最不利原则”，即考虑最坏的情形.这一原则不仅体现在抽屉原理中，它还在解决很多与“至多”、“至少”相关的问题时非常有用.一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条•至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？分析：如果没有满足“有5条相同品种的鱼”的要求，最“倒霉”的情况是什么？换句话说，当结论不成立时，最多可能有多少条鱼？只要比这个“最多的”还要多，结论就肯定成立了.一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球, 才能保证其中有6个相同颜色的彩球？一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个•现在闭着眼睛从中摸球，请问：(1)至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？(2)至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？分析：仍旧考虑问题的反面，当本题中的结论不成立时，最多能取出多少个球？爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗•小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少需要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）分析：结论的反面是什么？在不满足结论的情况下，最多能摸出多少只袜子？练习3〉袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只•现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问:（1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张.现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？分析：本题中我们要保证“至少包含三种花色”和“这三种花色的牌至少都有3张”这两个条件，如果不能同时保证这两个条件，那么最多可能取出多少张牌？口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个•要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？大头把一副围棋子混装在一个盒子中（围棋子有黑、白两种颜色），然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑每次摸出的4枚棋子的顺序）分析：摸出的4枚棋子的颜色情况都有哪几种？如果结论不成立，最多可能摸了几次?首先发现•鸽巢原理在组合学中占据着非常重要的地位，它常被用来证明一些关于存在性的数学 问题，并且在数论和密码学中也有着广泛的应用•使用鸽巢原理解题的关键是巧妙构造鸽巢或抽 屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则•鸽巢原理的应用在几何图形中:例：在边长为2的等边三角形内任意选择 5个点，存在2个点，其间距离至多为 1. 分析：由题意，可以构造出 4个抽屉，每个抽屉满足在其中的距离至多为1•根据抽屉原理，在4个抽屉里分别放置 4个点，不论第5个点如何放置，都满足两点之间的距离最多为1.国王让阿凡提在8 8的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒.结果每个格子里至少放一粒米, 无论怎么放都至少有 3个格子里的米粒一样多，那么至多有多少个米粒?分析：至少有3个格子里的米粒一样多的反面是最多只有 2个格子的米粒数一样多，想想 这时格子里至少有多少个米粒？故 小 鸽巢原理鸽巢原理 又名抽屉原理 或狄利克雷原理，它由德国数学家狄利克雷(Divichlet ，1805— 1855)事例题6二桃杀三士作业1.口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个•小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球.他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？2.小钱的存钱罐中有4种硬币：1分、2分、5分、1角，这四种硬币分别有5个、10个、15个、20个.小钱闭着眼睛向外摸硬币，他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的面值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有5分硬币也有1角硬币？3.如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有10根.在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的廷子，最少要取多少根才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）#4.盒子里一共有4种不同形状的零件，分别有9、10、11和12个，至少要从中摸出多少个零件,才能保证有3种不同形状的零件，并且这三种零件中每种至少有5.中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜. 能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同? 3个？至少有多少名学生，才解答：17•最不利情况是没有5条相同品种的鱼，这时最多每个品种都有4条鱼，一共4 4 16条•只要比16条多，就能保证有5条相同品种的鱼了•因此至少捞出17条鱼.2. 例题2答案：(1) 19; ( 2) 15.解答：(1)如果取出的球没有三种颜色，最不利的情况是尽量多地取出其中的某两种，红球和黄球最多，全都取出共有10 8 18个球•只要多于18个，就能保证有三种颜色的球了，因此至少取出19个.(2)如果取出的球中红球和黄球不同时出现，最不利的情况是首先蓝球和绿球都取出，并且红球和黄球中的一种也都取出，红球比黄球多，应将红球全部取出，此时共取出 3 1 10 14个球，因此至少取出15个球，才能保证红球黄球同时出现.3. 例题3答案：(1) 13; ( 2) 14.解答：(1)如果没有颜色相同的两双袜子，这时每种颜色的袜子至多3只，一共至多1 2 3 3 3 12只.因此至少摸出13只才能保证有两双颜色相同的袜子.(2)如果没有颜色不同的两双袜子，那么最不利情况是成双成对的袜子都是同一种颜色的，这时最多有9 1111 13只袜子•因此至少摸出14只才能保证有两双颜色不同的袜子.4. 例题4答案：33.解答：反过来考虑，就是“最多只有2种花色的牌不少于3张，其余花色都不到3张.”最不利的情况就要使取的牌尽量多，我们应该将其中两种花色尽量多取、剩下两种花色都取2张，包括2张大小王牌，最多能取13 2 2 2 2 32张牌•因此至少取出33张才能保证满足要求.5. 例题5答案：11.解答：摸出的棋子的颜色情况有五种：4白、3白1黑、2白2黑、1白3黑、4黑•根据最不利原则，如果没有三次摸出棋子颜色情况相同，最多是每种情况各摸出2次，一共2 5 10次•只要摸的次数比10次多，就能保证至少有三次摸出棋子颜色情况相同•因此至少摸11次.6. 例题6答案：1055.简答：如果不满足条件，最多只有两个格子中的米粒数一样多，则64个格子里至少有1 1 2 2 3 3 L 32 32 1056个米粒•如果少于1056个米粒，就必然有三个格子里的米粒数一样多，因此至多有1055个米粒.7. 练习1答案：36.简答：如果不满足条件，最多可以取出7 5 35个彩球，因此取出36个彩球就能保证有6个颜色相同的.8. 练习2答案：61；31.简答：第一个问题，如果不满足条件，拿的都不是苹果味的，最多拿光了桔子味的和菠萝味的，一共30 30 60颗.因此至少拿61颗，才能保证拿到苹果味的.第二个问题，如果拿的不到两种口味，最多一种口味，最多可以拿30颗，因此至少拿31颗才能保证拿到两种口味.9. 练习3答案：(1) 10; ( 2) 13.简答：(1 )至少摸出3 3 3 1 10只袜子.(2)至少摸出10 1 2 1 13只袜子.答案：219.简答：如果不满足条件，其中两种颜色的珠子尽量多，另外八种颜色的珠子都不到10个，这时最多100 100 2 9 218个珠子•因此至少拿219个珠子，才能保证有三种颜色的珠子都至少10个.11. 作业1答案：16.简答：如果不满足要求，最多摸出三种颜色的球，最多有 5 3 15个•因此至少摸出16个球就能满足要求.12. 作业2答案：21; 36.简答：第一个问题，如果不满足要求，就只摸出一种面值的，最多20个，因此至少摸出21才能满足要求.第二个问题，如果不满足要求，5分硬币和1角硬币缺一种，最多有5 10 20 35个硬币，因此至少摸出36 个硬币才能满足要求.13. 作业3答案：16; 15.简答：与例题5方法相同•第一个问题，至少取出 3 5 1 16根才能满足要求•第二个问题，至少取出10 1 4 1 15根才能满足要求.14. 作业4答案：28.简答：与例题4方法相同，至少摸出11 12 2 2 1 28个零件才能满足要求.15. 作业5答案：41 •简答：从5种菜中选择2种不同的菜，有10种方式•如果不满足要求，最多选出 4 10 40名学生，因此选出41名学生即可满足要求.。

抽屉原理（一）如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。

抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

说明这个原理是不难的。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。

这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。

从最不利原则也可以说明抽屉原理1。

为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。

这就说明了抽屉原理1。

例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。

把366天看作366个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。

这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。

因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。

我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。

一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。

将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。

这两个数的差必能被3整除。

第十三讲简单抽屉原理- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 把10个苹果放进9个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理．一般地，我们有如下结论： 抽屉原理I把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．以9个抽屉为例：把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹果平均放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果．但如果把10个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．因为即使每个抽屉都放1个苹果时，也只能放进199⨯=个苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，都会使该抽屉中有2个苹果．类似的，把99个苹果放进9个抽屉，苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．事实上，我们还可以发现：如果这99个苹果平均放进9个抽屉中，每个抽屉里放99911÷=个苹果，如果放得不平均，则肯定有某个抽屉里的苹果多于11个．但如果把100个苹果放进9个抽屉，即使每个抽屉都放11个苹果，只能放99个苹果，剩下1个苹果再放进抽屉中，一定会使得某个抽屉至少有12个苹果．我们把“抽屉原理I ”加以推广，就可以得到一个更全面的抽屉原理．抽屉原理II把m 个苹果放入n 个抽屉（m 大于n ），结果有两种可能：（1）如果m n ÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷”个苹果；（2）如果m n ÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷的商再加1”个苹果． 抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”，是19世纪德国数学家狄利克莱最早提出的，在组合数学中有着非常重要的地位．回想刚才得出抽屉原理的过程，在计算时我们都使用了平均分配的思想．为什么要平如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了________个苹果．如果把97片培根放在8个盘子，那么一定有盘子至少放了________片培根．如果把98只羊放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了________只羊．练 一 练均分呢？因为只有这样做才能使得放入同一个抽屉的苹果尽量少，求出的结果才是至少．．几个．虽然我们算的是分到同一个抽屉的苹果，但考虑的时候却是让同一抽屉中的苹果尽量少——这种从反面考虑的分析方法又叫做“最不利原则”，即考虑最坏的情形．这一原则不仅体现在抽屉原理中，它还在解决很多与“至多”、“至少”相关的问题时非常有用． - 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抽屉原理一、最不利的原则：例1、一副扑克牌去掉两张王牌后还有52张牌，共有黑桃、红心、方块及梅花4种花色，每种花色各有13张，问：（1）一次至少要摸出多少张牌，才可以保证摸出的牌中至少有3张是不同花色的牌？（2）一次至少要摸出多少张牌，才可以保证摸出的牌中至少有3张是同花色的牌？（3）一次至少要摸出多少张牌，才可以保证摸出的牌中至少有一张“K”？例2、口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：（1）至少取多少要才能保证三种颜色都取到？（2）至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？（3）至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？同类练习：1、在一副扑克牌中，最少要拿出多少张牌，才能保证拿出的牌中四种花色都有？2、一把钥匙只能开一把锁，现在10把锁的10把钥匙，最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相匹配？3、一把钥匙只能开一把锁，现在有10把锁和其中的8把钥匙，要保证将这8把钥匙都配上锁，至少要试多少次？4、抽屉里有4支红铅笔和3支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸，一次必须拿出几支，才能保证至少有1支蓝铅笔？5、将100个苹果分给10个小朋友，第个小朋友分得的苹果个数互不相同，分得苹果个数最多的小朋友至少得到多少个苹果？6、将400本书随意分给若干同学，但每人不得超过11本，问至少有多少同学得到的书的本数相同？二、简单抽屉原理例1、实验小学去年招收学生730人，他们都是同一个出生的，问至少有几名学生同一天出生？例2、班上有49个人，老师至少拿几本书，随意分给大家，才能保证至少有一个同学得到三本书？同类练习：1、2010年新入校的学生中，有31名学生是6月份出生，那么其中至少有多少名学生的生日是同一天？2、32个小朋友聚在一起，那么至少有多少个人属相是相同的？为什么？3、某校一年级有370名学生，问这370名学生中至少有多少人同一天出生？4、五（1）班有40名学生，老师至少要拿多少本本子随意分给大家，才能保证至少有一个学生拿到4本或4本以上的本子？例3、任意取多少个不同的自然数，其中至少有两个自然数的差是7的倍数？例4、25名同学进行跳绳测试，每位同学每分钟的次数均在150~160次之间，那么每分钟跳绳相同的至少有多少人？同类练习：1、任意取多少个不同的自然数，其中至少有两个自然数的差是4的倍数？2、六年级一班共有48个学生参加跳绳比赛在规定时间里，最多的跳175次，最少的跳160次，那么在该班至少挑出多少个学生，从中必能选中3个在规定时间内跳绳次数相同的学生？3、口袋里放着足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现在有31人轮流从口供中取球，每人各取3个球，至少有几个人取出的球颜色情况完全相同？4、某班学生去买语文书、数学书、外语书买书情况是：有买一本的，两本的，也有买三本的，那么至少要去几名学生才能保证一定有两位同学买到相同科的书（注：每科书最多买一本）？5、有红、黄、蓝、黑4种颜色的小球各若干个。

抽屉原理抽屉原理抽屉王：苹果个数最多的抽屉抽屉原理问题：找到抽屉王最少能有多少个．抽屉王最少：总数要平均分，余数也要平均分．抽屉原理：把m个苹果放入n个抽屉（m>n），假设m÷n=a…b结果有两种可能：（1）如果b=0，那么就一定有抽屉至少放了a个苹果；（2）如果b≠0，那么就一定有抽屉至少放了a+1个苹果。

例1.把9个苹果放入3个抽屉，抽屉王至少有几个苹果？例2.把10个苹果放入3个抽屉，抽屉王至少有几个苹果？例3.把11个苹果放入3个抽屉，抽屉王至少有几个苹果？例4.把100个苹果放入3个抽屉，抽屉王至少有几个苹果？例5.把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了____个苹果．例6.把98只鸡放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了____只鸡．例7.把1000个苹果放入6个抽屉，那么一定有抽屉至少放了____个苹果．例8.把至少____只鸡放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了3只鸡．最不利原则最不利原则：最倒霉原则．最不利原则问题：要保证一件事在最倒霉的情况下也能做到．最不利原则的题目要先找出最不利的情况：最不利情况+1=成功．题目中有两个要求的问题，保证每个问题都是最倒霉情况（例14，例15）．例9.一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条．至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？例10.一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同颜色的彩球？例11.一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个．现在闭着眼睛从中摸球，请问：至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？例12.一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个．现在闭着眼睛从中摸球，请问：至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？例13.将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里．请问：一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？例14.将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里．请问：一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）例15.一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张．现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？思考题1.口袋里放有3种不同颜色的球共20个，其中红球7个，黄球5个，绿球8个．如果闭上眼睛从袋中取球，最多可以取出________个球，仍能够保证余下的球中至少还有4个同色球，以及至少还有3个另一种颜色的同色球．2.圆桌周围恰好有90把椅子，现已有一些人在桌边就坐，当再有一人入座时，就必须和已就坐的某个人相邻，则已就坐的最少有________人．3.25个人围坐在一个正方形桌子旁边（每个角上都可以坐一个人）开会，那么人数最少的那条边上最多能坐________人．。

三年级奥数（19）抽屉原理【类型一：最不利原则】 【例1】粗心的小明将他的2双黑袜子和3双白袜子散乱地放在了衣箱里，如果取得时候不看颜色，至少要取出几只袜子，才能确保组成颜色相同的一双袜子？两双袜子呢？变式1：一个口袋里有红、白、黑3色玻璃球各10个，一次最少摸出多少个，才能保证有5个玻璃球是相同颜色的？变式2：丽英小学共有684个学生，其中至少有几个学生的生日是同一天？【例2】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。

那么至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？变式1：一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？变式2：一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。

那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？变式3：一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。

那么至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？【例3】会议室某排有15个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻，那么小宇就座之前，这一排至少已坐了_______人。

抽屉原理一：多于n 个“苹果”任意放入n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉里的“苹果”有2个或2个以上。

抽屉原理二：将多于m ×n 个“苹果”任意放入n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉的“苹果”有（m+1）个或（m+1）个以上。

运用抽屉原理解题，可以分为以下几步：（1）确定什么是“抽屉”（2）确定什么是“苹果”（3）根据抽屉原理一或抽屉原理二得出结论变式1：圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐。

当再有一人入座时，就必须和已就坐的某人相邻。

问：已就坐的最少有多少人？变式2：31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？变式3：（2007年第五届“小机灵杯”复赛第4题）一根电缆包括20根缆线，每种相同颜色的缆线有4根。

第五讲简单抽屉原理、最不利原则知识框架一、对抽屉原理两个版本的认识抽屉原理1：将n+1个物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

原理要点：（1）物品数比抽屉数多1。

只有物品数比抽屉数多时抽屉原理才会成立。

（2）物品是“任意放”到抽屉中。

（3）其中“物品不少于2件”的抽屉是一定存在的，但是不确定是哪一个。

（4）原理的结论是：“至少有一个抽屉中的物品数不少于2件”，也可以这么说，“至少有2件物品在同一个抽屉中”。

原理讲解：只要有一个抽屉中的物品数不少于2件，抽屉原理1 就是成立的。

当我们可以往抽屉中任意放物品时，最不利的情形就是“平均分”，这样所有抽屉中的物品数都不会太多。

n+1个物品平均地放入n个抽屉，每个抽屉放一个，由于物品数比抽屉数多，就会余出一个物品。

最后，余出的这个物品放入某个抽屉，这个抽屉中就有了2个物品。

此外，其它情形，只要有一个抽屉是空的，那么就一定会有另外的抽屉中有2个或2个以上的物品。

例子：4只鸽子飞回三个鸟笼，有几种方法？每种方法中，都会有一个鸟笼中的鸽子数不少于2。

在有些地方抽屉原理又叫做“鸽笼原理”。

原理要点：（1）物品数比抽屉数多，抽屉原理1的情形包含于这个原理中；（2）解决的是抽屉的存在性；（3）在解题时，遇到“有一个抽屉中的物品数不少于A件”，其中A>2时，应使用抽屉原理2。

（4）原理的结论也可以理解为：“总有不少于m÷n件（或[m÷n]+1件）物品在同一个抽屉中。

”相同的即为“抽屉”。

原理讲解：最不利的情形就是“平均分”，这样每个抽屉中的物品数都不太多都是[m÷n]个。

若m÷n有余数，那么多出来的余数个物品也按照最不利的情形来分配，这样就能保证抽屉中的物品尽量地少。

也就是说这余数个物品也平均地往抽屉中放，这样有的抽屉会再放入一个物品，而有的就分不到，那么至少会有一个抽屉中的物品数不少于[m ÷n]+1个。

第十三讲简单抽屉原理1.例题1答案：17⨯=解答：17．最不利情况是没有5条相同品种的鱼，这时最多每个品种都有4条鱼，一共4416条．只要比16条多，就能保证有5条相同品种的鱼了．因此至少捞出17条鱼．2.例题2答案：（1）19；（2）15．解答：（1）如果取出的球没有三种颜色，最不利的情况是尽量多地取出其中的某两种，红球和+=个球．只要多于18个，就能保证有三种颜色的球了，因此黄球最多，全都取出共有10818至少取出19个．（2）如果取出的球中红球和黄球不同时出现，最不利的情况是首先蓝球和绿球都取出，并且红++=个球，球和黄球中的一种也都取出，红球比黄球多，应将红球全部取出，此时共取出311014因此至少取出15个球，才能保证红球黄球同时出现．3.例题3答案：（1）13；（2）14．解答：（1）如果没有颜色相同的两双袜子，这时每种颜色的袜子至多3只，一共至多++++=只．因此至少摸出13只才能保证有两双颜色相同的袜子．1233312（2）如果没有颜色不同的两双袜子，那么最不利情况是成双成对的袜子都是同一种颜色的，这++++=只袜子．因此至少摸出14只才能保证有两双颜色不同的袜子．时最多有91111134.例题4答案：33．解答：反过来考虑，就是“最多只有2种花色的牌不少于3张，其余花色都不到3张．”最不利的情况就要使取的牌尽量多，我们应该将其中两种花色尽量多取、剩下两种花色都取2张，包⨯+⨯+=张牌．因此至少取出33张才能保证满足要求．括2张大小王牌，最多能取132222325.例题5答案：11．解答：摸出的棋子的颜色情况有五种：4白、3白1黑、2白2黑、1白3黑、4黑．根据最不利⨯=次．只原则，如果没有三次摸出棋子颜色情况相同，最多是每种情况各摸出2次，一共2510要摸的次数比10次多，就能保证至少有三次摸出棋子颜色情况相同．因此至少摸11次．6.例题6答案：1055．简答：如果不满足条件，最多只有两个格子中的米粒数一样多，则64个格子里至少有++++++++=个米粒．如果少于1056个米粒，就必然有三个格子里的米11223332321056粒数一样多，因此至多有1055个米粒．7.练习1答案：36．⨯=个彩球，因此取出36个彩球就能保证有6个颜简答：如果不满足条件，最多可以取出7535色相同的．8.练习2答案：61；31．简答：第一个问题，如果不满足条件，拿的都不是苹果味的，最多拿光了桔子味的和菠萝味的，+=颗．因此至少拿61颗，才能保证拿到苹果味的．第二个问题，如果拿的不到两一共303060种口味，最多一种口味，最多可以拿30颗，因此至少拿31颗才能保证拿到两种口味．9. 练习3答案：（1）10；（2）13．简答：（1）至少摸出333110+++=只袜子．（2）至少摸出1012113+⨯+=只袜子． 10. 练习4答案：219．简答：如果不满足条件，其中两种颜色的珠子尽量多，另外八种颜色的珠子都不到10个，这时最多可以有10010029218++⨯=个珠子．因此至少拿219个珠子，才能保证有三种颜色的珠子都至少10个．11. 作业1答案：16．简答：如果不满足要求，最多摸出三种颜色的球，最多有5315⨯=个．因此至少摸出16个球就能满足要求．12. 作业2答案：21；36．简答：第一个问题，如果不满足要求，就只摸出一种面值的，最多20个，因此至少摸出21才能满足要求．第二个问题，如果不满足要求，5分硬币和1角硬币缺一种，最多有5102035++=个硬币，因此至少摸出36个硬币才能满足要求．13. 作业3答案：16；15．简答：与例题5方法相同．第一个问题，至少取出35116⨯+=根才能满足要求．第二个问题，至少取出1014115+⨯+=根才能满足要求．14. 作业4答案：28．简答：与例题4方法相同，至少摸出111222128++++=个零件才能满足要求．15. 作业5答案：41．简答：从5种菜中选择2种不同的菜，有10种方式．如果不满足要求，最多选出41040⨯=名学生，因此选出41名学生即可满足要求．。