第十讲 简单抽屉原理

抽屉原理的三个公式抽屉原理（也称为鸽笼原理）是离散数学中的一项基本原理，用于解决一类关于集合和计数的问题。

该原理指出，当将n+1个物体放入n个容器中时，至少有一个容器中必然有两个或两个以上的物体。

这个原理虽然看似简单，却被广泛应用于各个领域，如图论、计算机科学等。

在本文中，我们将通过阐述抽屉原理的三个公式来进一步理解和应用这一原理。

公式一：抽屉问题公式在抽屉问题中，我们要研究的是如何将n个物体放入m个抽屉中，使得至少有一个抽屉中装有k个或更多的物体。

那么根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：n ≥ (k-1) * m + 1这个公式告诉我们，当抽屉的数量m不足以容纳k个物体时，至少有一个抽屉中会有k个以上的物体。

公式二：鸽笼问题公式鸽笼问题是抽屉原理的一种特殊形式，它要求从n个物体中选择m 个物体，保证至少有一个物体被选中两次。

根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：m ≥ n这个公式告诉我们，当鸽笼的数量m小于等于物体的数量n时，至少有一个鸽笼会被分配到两个或更多的物体。

公式三：化简公式在某些情况下，我们需要对抽屉原理进行化简，以求得更简洁的表达式。

当物体的数量n不足以填满抽屉的数量m时，我们可以利用抽屉原理进行化简，得到如下公式：n ≤ (k-1) * m这个公式告诉我们，当抽屉的数量m过多时，至少会有一个抽屉为空。

同时，它也提醒我们在实际问题中进行有效的资源利用，避免抽屉的浪费。

综上所述，抽屉原理是离散数学中一项重要的原理，通过公式的运用，我们能够更好地理解和应用这一原理。

通过抽屉问题公式，我们可以确定至少某抽屉中装有一定数量的物体；通过鸽笼问题公式，我们可以确定至少某个物体会被选中两次；通过化简公式，我们可以对抽屉原理进行简化，提醒我们有效利用资源。

无论是在理论还是实践中，抽屉原理的三个公式都具有重要的指导意义。

所以，我们应该深入学习和掌握这些公式，并能够在适当的时候灵活运用，解决实际问题。

六年级数学数学广角抽屉原理抽屉原理是数学中的一条重要原理，它在解决计数问题中起到了至关重要的作用。

在数学广角中，抽屉原理被广泛应用于解决各种排列组合、鸽巢原理等问题。

本文将详细介绍六年级数学中的抽屉原理以及其应用。

一、抽屉原理的概述抽屉原理，又称鸽巢原理或箱子原理，是由数学家约翰·拉默尔（Joseph-Louis Lagrange）在18世纪末提出的。

它基本思想是：如果有n+1个物体放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉里会放置多于一个物体。

这条原理旨在说明当物体数量超过容器数量时，必然存在容器里有多个物体的情况。

二、六年级数学中的抽屉原理应用1. 排列组合问题在六年级数学中，有很多排列组合问题可以通过抽屉原理来解决。

例如，考虑如下问题：将8个苹果放入3个篮子里，每个篮子至少要放2个苹果，问有多少种放置方式？通过抽屉原理，我们可以将这个问题转化为将8-2×3=2个苹果放入3个篮子里的问题，即将2个相同的苹果和3个篮子进行排列组合，解得答案。

这个问题的解题思路正是基于抽屉原理的应用。

2. 数字盒子问题在六年级数学中，常常会涉及到将数字放入盒子的问题。

例如，有一组数字{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，我们需要从中选取至少5个数字，使得选取的数字之和能够被3整除。

这个问题可以通过抽屉原理来解决。

我们将这组数字中的每个数字除以3得到的余数作为抽屉，将数字放入对应的抽屉中，根据抽屉原理，至少存在一个抽屉里放置了至少5个数字。

将这些数字相加即可得到满足条件的数字之和。

3. 奇偶数问题六年级数学中，奇偶数问题也是抽屉原理的常见应用之一。

例如，考虑以下问题：将六个不同的奇数放入三个盒子里，使得每个盒子里的数字之和都是偶数，问有多少种放置方式。

通过抽屉原理，我们可以将这个问题转化为将三个偶数和六个奇数放入三个盒子里，并满足每个盒子里的数字之和都是偶数的问题。

然后通过排列组合的思路，得到问题的解答。

抽屉原理的讲解和应用1. 什么是抽屉原理？抽屉原理，又称为鸽巢原理、鸽笼原理，是一种数学上的原理。

简单来说，抽屉原理指的是将n+1个物体放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放置两个物体。

2. 抽屉原理的简单解释抽屉原理可以通过一个简单的例子来解释。

假设有10对袜子，每对袜子的颜色不同，共有10种颜色。

现在你要从这些袜子中选择11只袜子，无论怎么选择，必然会有两只袜子的颜色相同。

这是因为我们抽取的数量多于可供选择的不同颜色数目。

3. 抽屉原理的数学证明抽屉原理有一个简单的数学证明。

假设有n个抽屉和k个物体，如果每个抽屉中物体的平均数目为m，则总物体数恰好为n * m。

考虑特殊情况，假设所有抽屉中物体的数目都小于m，则总物体数小于n * m，与实际情况相矛盾。

因此，至少存在一个抽屉中物体的数目大于等于m。

4. 抽屉原理的应用抽屉原理在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是一些常见的抽屉原理的应用场景：4.1. 数据库概念在数据库中，抽屉原理被应用于关系型模型的设计和查询优化。

关系型数据库的设计需要将数据存储在不同的表中，通过关系连接来实现数据的关联。

抽屉原理可以帮助我们确定存储数据的表结构，以及进行查询性能的优化。

4.2. 数学概念在数学中，抽屉原理经常被用于证明或推导数学定理。

例如，鸽巢原理可以用来证明素数的存在性，即任意大于1的整数集中，一定存在无穷多个素数。

4.3. 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理常常被用于解决算法和数据结构中的问题。

例如，Hash函数中的哈希冲突问题是一个经典的抽屉原理应用。

当一组键被映射到有限的哈希表时，很可能会出现不同的键被映射到同一个槽位的情况。

4.4. 加密算法在加密算法中，抽屉原理被用于解决碰撞问题。

碰撞问题指的是存在不同的输入数据，但在加密过程中却生成相同的输出。

通过抽屉原理，我们可以证明在某种情况下，无论算法多么复杂，总会存在碰撞问题。

5. 总结抽屉原理是一种简单而强大的数学原理，通过它我们可以解决各种实际问题。

巨人学校数学尖子、实验班 ○五年级上学期第十讲_抽屉原理 姓名：知识点1. 简单的抽屉原理：把多于n 个苹果放入n 个抽屉里，则至少会有一个抽屉有2个或2个以上的苹果；2. 加强的抽屉原理：把多于m ⨯n 个苹果放入n 个抽屉里，则至少会有一个抽屉有m +1个或m +1个以上的苹果；3. 学会运用最不利原则解题．注：回家后把“例题与练习”尽量完成．．．．，独立思考．．．．，“思考题”根据兴趣和能力完成。

巩固本讲内容，可参考《导引》五年级上学期09讲；《课本》五年级上学期11、12讲。

例题与练习1. 10个人参加一次集会，请说明：必然有两个人握手的次数相同．2. 某省有4千万人口，每个人的头发根数不超过15万根，那么该省中至少有______人的头发根数一样多．3. 有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗放在同一个口袋里，为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，一次至少要取_______颗．4. 一副扑克牌共有54张（包括大王、小王），至少从中取_____张牌，才能保证其中必有3种花色．5. 1~20这些自然数中：（1）任意取出13个数，其中两个数之差是6的至少有_____对；（2）任意取出15个数，其中两个数之差是6的至少有_____对．6. 1~2008这些自然数中，最多能选出_____个数，使得其中任意两个的差都不等于6．7. 能否在8⨯8的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1或2或3，使每行、每列及两条对角线上的数字之和互不相同？请说明理由．8. 在边长为1的正方形内部任取51个点。

求证：一定可以从中找出3点，以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50．思考题9. 九位科学家在一次国际会议上相遇，他们之中的任意三个人中，至少有两个人会说同一种语言。

假设每位科学家最多会说三种语言，试说明：至少三位科学家会说同一种语言．。

抽屉原理课件抽屉原理课件抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是一个在离散数学中被广泛应用的概念。

它的基本思想是：如果有十个苹果放入九个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会有两个苹果。

虽然这个原理看起来很简单，但它在解决很多实际问题中起着重要的作用。

在本文中，我们将探讨抽屉原理的应用以及它对我们日常生活的影响。

抽屉原理最早由德国数学家约瑟夫·斯图尔特在19世纪末提出。

他认为，当我们将苹果放入抽屉中时，我们可以将苹果视为物体，抽屉视为容器。

这个原理可以用来解决很多实际问题，比如密码学、计算机科学、概率论等等。

在密码学中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组随机生成的密码中，总会有一些密码是相同的。

在计算机科学中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组数据中，总会有一些数据具有相同的特征。

在概率论中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组随机事件中，总会有一些事件具有相同的概率。

抽屉原理的应用不仅限于数学领域，它还可以用来解释一些日常生活中的现象。

比如，我们常常会发现，当我们去购买衣服时，总会有一些衣服的尺寸不合适。

这可以用抽屉原理来解释，因为在一组不同尺寸的衣服中，总会有一些尺寸与我们的身体尺寸相匹配。

又比如，当我们在超市购买水果时，总会发现一些水果有瑕疵。

这可以用抽屉原理来解释，因为在一组水果中，总会有一些水果因为各种原因而变质或者损坏。

抽屉原理的深层次含义在于，它告诉我们世界上的事物是有规律可循的。

无论是数学中的问题，还是生活中的现象，都可以通过抽屉原理来解释和理解。

这也意味着我们需要保持警觉，不要被表面现象所迷惑，而要去寻找问题的本质和规律。

只有这样，我们才能更好地应对挑战和解决问题。

在教育领域，抽屉原理也有着重要的应用价值。

通过将抽屉原理引入课堂教学，可以帮助学生培养逻辑思维和问题解决能力。

例如，在数学课上，老师可以通过抽屉原理的例子来教授概率论，让学生更好地理解概率的概念和计算方法。

在物理课上，老师可以通过抽屉原理的例子来教授力学的基本原理，让学生了解物体在受力作用下的运动规律。

第10讲 抽屉原理抽屉原理又叫鸽笼原理、狄里克雷( P. G. Dirchlet,1805～1895,德国)原理、重叠原理、鞋盒原理. 这一最简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用. 抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现,抽屉原理I ：把1+n 件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。

抽屉原理II ：把m件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 件东西。

抽屉原理III ：如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。

应用抽屉原理解题，关键在于构造抽屉。

构造抽屉的常见方法有：图形分割、区间划分、整数分类（剩余类分类、表达式分类等）、坐标分类、染色分类等等，下面举例说明。

A 类例题例1 如图，分别标有1到8的两组滚珠均匀放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同，当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．分析 转动一周形成7个内外两环两对数字相同的时刻，以此构造抽屉。

证明 内外两个圆环转动可把一个看成是相对静止的，只有一个外环在转动．当外环转动一周后，每个滚珠都会有一次内环上标有相同数字的滚珠相对的时刻，这样的时刻将出现8次．但一开始没有标有相同数字的滚珠相对，所以外环转动一周的过程中最多出现7个时刻内外标有相同数字的滚珠相对，故必有一个时刻内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．说明 转动一周内外两环两对的8个时刻排除显然不合题意的初始时刻是本题的突破口。

例2 7月份的天热得人都不想工作，只想呆在有空调的房间里．可小张却没有办法休假，因为他是一个空调修理工，为了让更多人好好休息，他只能放弃自己的休息．在过去的7月份里，小张每天至少修理了一台空调．由于技术过硬，每一台空调都能在当天修理好．8月1日结算的时候，大家发现小张在7月份一共修理了56台空调．求证：存在连续的若干天（也可以是1天），在这些天里，小张恰好修理了5台空调． 分析 本题的难点在于将题中结论转化为抽屉原理的数学模型。

六年级抽屉原理知识点抽屉原理是一种数学原理，也是我们日常生活中常常涉及到的一种现象。

它解释了一个重要的问题，即当物体放入抽屉中时，是否一定会有某些抽屉为空或者某些抽屉中有多个物体。

下面我们将详细介绍六年级学生需要了解的抽屉原理知识点。

1. 抽屉原理的概念抽屉原理，又称为鸽巢原理或鸽笼原理，是由数学家克劳德·贝尔纳德·博利亚（Claude Bernard Bolay），于1769年提出的。

抽屉原理的核心思想是，如果有N个物体放入少于N个的抽屉中，那么至少有一个抽屉是空的。

2. 抽屉原理的应用抽屉原理在许多领域都有广泛的应用，包括概率论、计算机科学、密码学等。

在生活中，我们也会经常遇到抽屉原理的应用。

2.1 衣柜中的抽屉想象一下，当我们的衣物放入衣柜中时，如果衣柜抽屉数量有限，而衣物的数量超过了抽屉的数量，那么就会出现至少一个抽屉里装有多件衣物的情况。

这就是抽屉原理在我们日常生活中的应用之一。

2.2 宿舍中的同班学生假设一间宿舍里住了N个同班的学生，而每个学生的抽屉数量有限。

如果N个学生将自己的物品放入抽屉中，抽屉的数量不够多，那么至少有一个抽屉里会有两个或更多的学生的物品。

这也是抽屉原理的应用之一。

3. 抽屉原理的证明抽屉原理通常可以通过反证法来证明。

假设每个抽屉中都至少有一个物体，并且所有抽屉加起来的物体数量小于或等于总物体数量。

然而，我们可以通过计数来证明这个假设是错误的，因为总物体数量明显大于实际抽屉的数量。

因此，我们得出结论，至少有一个抽屉是空的或者有多个物体。

4. 抽屉原理的启示抽屉原理的应用不仅仅局限于数学或日常生活，它还可以引发我们的思考。

它告诉我们，在某些情况下，无论如何都无法避免某些特定的结果。

这给了我们一种认识事物的新思维方式，帮助我们在解决问题时更加灵活和创造性。

总结：抽屉原理是一个数学原理，它解释了当物体放入抽屉中时，某些抽屉可能为空或者某些抽屉中有多个物体。

简单的抽屉原理把3个苹果放入2个抽屉中，无论怎样放，必然有一个抽屉中有2个苹果，或者2个以上的苹果，也即不少于2个苹果。

也就是说，如果苹果比抽屉多，那么即使每个抽屉放一个苹果后，剩下1个的苹果无论放在哪个抽屉里，这个抽屉都会有至少2个苹果。

苹果越多，那就更可以保证了。

把41个苹果放入10个抽屉中，不管怎么放，必然有一个抽屉中有5个苹果，或者5个以上的苹果。

也就是说，如果苹果比抽屉的指定倍数还多，那么每个抽屉放入这么多个苹果后，剩下的苹果无论放在哪些抽屉里，这些抽屉都会有多于这个“指定倍数”的苹果。

当然，实际问题可能不是“苹果”和“抽屉”那么简单了。

那么，我们要把一些东西做成抽屉，再把“苹果”填进去。

实际问题当中，所谓的“苹果”可能是人，可能是物品，也可能是某些事件，等各种东西。

[例1] 四年级一班有38人在同一年出生。

证明他们中至少有四个人在同一月过生日。

分析与解答：在同一年中，不同的出生月份最多有12种情况，我们把12个月份做成12个抽屉。

在同一年出生的学生人数大于3×12=36。

因此至少有四个人被塞进同一个抽屉里，他们的出生月份相同。

这是最简单的抽屉原理问题。

不同的出生月份是“抽屉”，学生是“苹果”。

“苹果”比“抽屉”的3倍多的时候，至少有四个苹果在同一个抽屉中。

[例2] 在一米长的线段上任意点六个点。

证明这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。

分析与解答：把一米长的线段平均分成5份，每份长20厘米。

把这一份当作一个抽屉，那么同一个抽屉里任意两点的距离都不大于20厘米。

六个点中至少有两个点在同一个抽屉里。

这两个点的距离不大于20厘米。

[例3] 在一副52张的扑克牌中（不包括大小王牌），最少要拿出几张，才能保证四种花色都有？分析与解答：设想我们今天运气很差，很倒霉：如果取39张牌，最坏情况为39张牌中只有三种花色，每种13张。

这是，我们再取一张，肯定是第四种花色了。

因此至少取40张牌。

抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”。

这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。

在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。

这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。

（一）抽屉原理的常见形式定理1：如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。

证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。

在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。

定理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

证明：（反证法）若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能定理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

.定理4：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

证明：（反证法）若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，（二）抽屉原理研究的几类问题分析：（1）整除问题：例1：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：[0]，[1]，[2]①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3 +4+5=12)必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除.例1′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3①先考虑被3整除的情形由例2知，在11个任意整数中，必存在：3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1；同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b 2；同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3②再考虑b1、b2、b3被2整除.依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.（2）面积问题：例1：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.证明：如图，设直线EF将正方形分成两个梯形，作中位线MN。

第三讲抽屉原理（一）【专题导引】如果给你5盒饼干，让你把它们放进4个抽屉，可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。

如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。

如果把3本联系册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。

这些简单的例子就是数学中的“抽屉原理”。

基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。

（2）如果把m×x+k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。

利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，找出元素。

B、把元素放入（或取出）抽屉。

C、说明理由，得出结论。

本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。

【典型例题】【例1】某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？【试一试】1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有两个学生的生日是同一天，为什么？2、某校有30名学生是2月份出生的。

能否至少有两个学生的生日是在同一天？【例2】某班学生去买语文书、数学书、外语书。

买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？【试一试】1、某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。

买书的情况是：有买一本、二本、三本或四本的。

问至少去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。

每个学生从中任意借两本，那么至少要几个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？【例3】一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？【试一试】1、一只布袋中装有大小相同、颜色不同的手套。

颜色有黑、红、蓝、黄四种。