第十一讲 简单的抽屉原理

小学数学知识点例题精讲《抽屉原理》学生版同学们，今天我们要学习的是数学中一个非常有趣的知识点——抽屉原理。

这个原理听起来可能有些抽象，但它是解决很多实际问题的重要工具。

下面，我将通过一些生动的例子，帮助大家更好地理解抽屉原理。

一、抽屉原理的基本概念抽屉原理，又称为鸽巢原理，是一种非常直观的数学原理。

它说的是：如果你有n个抽屉和n+1个物品，那么至少有一个抽屉里会有两个或更多的物品。

这个原理看似简单，但它的应用却非常广泛，可以帮助我们解决很多实际问题。

二、抽屉原理的例题讲解例题1：有10个抽屉和11个物品，至少有一个抽屉里会有两个物品。

解答：根据抽屉原理，10个抽屉只能放下10个物品，但这里有11个物品，所以至少有一个抽屉里会有两个物品。

例题2：一个班级有30名学生，他们的生日都在同一年。

至少有两名学生的生日是同一天。

解答：这个问题也可以用抽屉原理来解决。

一年有365天，相当于365个抽屉，但班级里有30名学生，相当于30个物品。

根据抽屉原理，至少有一个抽屉（即一天）里会有两个物品（即两名学生的生日）。

三、抽屉原理的拓展应用抽屉原理不仅可以用在数学问题中，还可以用在我们的日常生活中。

比如，如果你有10个朋友，他们的生日都在同一年，那么至少有两人的生日是同一天。

这是因为一年有365天，而你有10个朋友，所以至少有一个朋友的生日会在同一天。

四、生活中的抽屉原理同学们，抽屉原理不仅仅是一个数学概念，它在我们的日常生活中也有着广泛的应用。

比如，当你有一堆袜子需要整理时，你可能会发现，无论你如何尝试，总有一只袜子找不到它的配对。

这是因为你拥有的袜子数量（物品）超过了你抽屉的数量（抽屉），所以至少有一只袜子（物品）没有找到它的配对抽屉（抽屉）。

五、趣味性的抽屉原理问题为了让大家更好地理解抽屉原理，让我们来看一个有趣的问题：如果你有五双不同颜色的手套，并且这些手套都被打乱了，你至少需要拿出多少只手套才能保证有一双手套是同一颜色的？解答：这个问题可以用抽屉原理来解决。

第十一讲简单的抽屉原理把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到：抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。

比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。

应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。

例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

抽屉原理的三个公式小学
抽屉原理是数学中的基本原理之一，也是解决数学问题时常用的方法。

它可以应用于很多领域，包括组合数学、概率论等等。

在这篇文档中，我们将介绍抽屉原理的三个公式在小学数学中的应用。

公式一：抽屉原理
在一组物体中，如果物体的数量多于抽屉的数量，那么必然会有至少一个抽屉放了多于一个物体。

例子：
小明有10个橙子，他想把这些橙子放到5个抽屉中去。

根据抽屉原理的公式一，我们可以得出结论：至少有一个抽屉中放了多于两个橙子。

公式二：补集公式
给定一个集合A，设全集为U。

那么A的补集A’中的元素个数等于U中的元素个数减去A中的元素个数。

例子：
小明有一个装满了糖果的盒子，里面有20颗不同的糖果。

他把其中10颗糖果拿出来放到另一个盒子中。

根据补集公式，我们可以得出结论：另一个盒子中糖果的数量为20减去10，即10颗糖果。

公式三：计数公式
如果一个问题可以分解为若干个独立的步骤，并且每个步骤都有相同的选择数目，那么解决这个问题的总方案数等于每个步骤的选择数目的连乘积。

例子：
小明有3件上衣和2条裤子，他想知道他可以有多少种不同的组合方式。

根据计数公式，我们可以得出结论：有3种选择上衣的方式和2种选择裤子的方式，所以总的组合方式为3乘以2，即6种组合方式。

结论
抽屉原理的这三个公式在小学数学中的应用非常广泛。

它们可以帮助我们解决很多有关组合、概率等问题。

通过这篇文档的学习，我们可以更加深入地理解和应用抽屉原理，提高我们解决问题的能力。

希望这篇文档能够对你理解和应用抽屉原理提供帮助！。

本系列共15讲第十一讲简单的抽屉原理.文档贡献者：与你的缘把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里。

尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果。

由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了。

由此得到：抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理。

不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。

比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔…等十二种生肖）相同。

怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚。

事实上，由于人数（13）比属相（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13个人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。

应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。

例1：有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。

请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉，把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉，由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

例2：一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？分析与解答扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况。

抽屉原理（又名鸽笼原理）什么是“抽屉原理”？举个简单例子来说明：把3个苹果分放在2个抽屉里，必定有1个抽屉里放了2个或2个以上苹果。

这就是“抽屉原理”。

道理很简单，谁都能理解，很容易用反证法证明。

用数学语言表达如下：抽屉原理一：把多于n个物体(n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放2个或2个以上的物体。

抽屉原理二：把多于m×n个物体（m、n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放m+1个或m+1个以上的物体。

以上原理是德国数学家狄利克雷首先发现的，所以也叫狄利克雷原理。

它是一个重要而又基本的数学原理。

应用它可以解决一些有趣的看起来相当复杂的问题。

举两个简单的例子：1．第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。

试证明：在我国至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。

解：50年的秒数约等于15.8亿秒，设2秒为1个抽屉，抽屉总数小于8亿个，所以至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。

2．某工厂生产一种天平托盘1000付，要求每付两个托盘的重量相差≤1毫克，而该厂的冲床设备生产的产品重量误差是±5毫克，问该厂用这种冲床设备，至少要生产多少个托盘才能配出1000付符合要求的托盘？解：设10个重量相差为1毫克以内的抽屉：（－5＜－4），（－4＜－3），（－3＜－2）……（+3＜+4），（+4≤+5）。

最差的情况是每一个抽屉都是奇数，那么有10个托盘不能配对，所以只要生产2010个合格托盘，就能配出1000付符合要求的托盘。

以下几道题，请读者自己解：1．证明：在25人中，至少有3人属相相同。

2．6个小朋友，每人至少有1本书，一共有20本书，试证明：至少有2个小朋友有相同数量的书。

（提示：如果每人的书数量都不相同，至少要21本书。

）3．在2行5列的2×5的方格子中，随意用红、绿两种颜色染上，证明：不管怎样染，至少有两列着色完全相同.关于抽屉原理关于整除问题a.任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数例1：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

抽屉原理（一）如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。

抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

说明这个原理是不难的。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。

这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。

从最不利原则也可以说明抽屉原理1。

为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。

这就说明了抽屉原理1。

例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。

把366天看作366个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。

这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。

因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。

我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。

一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。

将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。

这两个数的差必能被3整除。

简单的抽屉原理把3个苹果放入2个抽屉中，无论怎样放，必然有一个抽屉中有2个苹果，或者2个以上的苹果，也即不少于2个苹果。

也就是说，如果苹果比抽屉多，那么即使每个抽屉放一个苹果后，剩下1个的苹果无论放在哪个抽屉里，这个抽屉都会有至少2个苹果。

苹果越多，那就更可以保证了。

把41个苹果放入10个抽屉中，不管怎么放，必然有一个抽屉中有5个苹果，或者5个以上的苹果。

也就是说，如果苹果比抽屉的指定倍数还多，那么每个抽屉放入这么多个苹果后，剩下的苹果无论放在哪些抽屉里，这些抽屉都会有多于这个“指定倍数”的苹果。

当然，实际问题可能不是“苹果”和“抽屉”那么简单了。

那么，我们要把一些东西做成抽屉，再把“苹果”填进去。

实际问题当中，所谓的“苹果”可能是人，可能是物品，也可能是某些事件，等各种东西。

[例1] 四年级一班有38人在同一年出生。

证明他们中至少有四个人在同一月过生日。

分析与解答：在同一年中，不同的出生月份最多有12种情况，我们把12个月份做成12个抽屉。

在同一年出生的学生人数大于3×12=36。

因此至少有四个人被塞进同一个抽屉里，他们的出生月份相同。

这是最简单的抽屉原理问题。

不同的出生月份是“抽屉”，学生是“苹果”。

“苹果”比“抽屉”的3倍多的时候，至少有四个苹果在同一个抽屉中。

[例2] 在一米长的线段上任意点六个点。

证明这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。

分析与解答：把一米长的线段平均分成5份，每份长20厘米。

把这一份当作一个抽屉，那么同一个抽屉里任意两点的距离都不大于20厘米。

六个点中至少有两个点在同一个抽屉里。

这两个点的距离不大于20厘米。

[例3] 在一副52张的扑克牌中（不包括大小王牌），最少要拿出几张，才能保证四种花色都有？分析与解答：设想我们今天运气很差，很倒霉：如果取39张牌，最坏情况为39张牌中只有三种花色，每种13张。

这是，我们再取一张，肯定是第四种花色了。

因此至少取40张牌。

第01讲简单抽屉原理知识点、重点、难点抽屉原理1把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果.抽屉原理2把m 个苹果放入n 个抽屉（n m >），则（1）如果n m ÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“n m ÷”个苹果；（2）如果n m ÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“1+÷n m ”个苹果.例题精讲例1如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了_________个苹果.如果把97片培根放在8个盘子里，那么一定有盘子至少放了________片培根.如果把98只鸽子放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了________只鸽子.例2一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条.至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？例3一个布袋里有大小相同颜色不同的木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个.现在闭着眼睛从中摸球，请问：（1）至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？例4将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里.请问：（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（3）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）例5口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个.要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？例6小明把一副围棋子混装在一个盒子中（围棋有黑、白两种颜色），然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑每次摸出的4枚棋子的顺序）精选习题1.一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同的彩球？2.爷爷给小明买了一盒糖，这些糖有苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗.小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？3.袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只.现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问：（1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？4.中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜.至少有多少名学生，才能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同？。