代数式与整式

代数式整式ppt xx年xx月xx日•代数式整式的定义和分类•代数式整式的运算•代数式整式的应用•代数式整式的化简和简化目•代数式整式的综合应用•代数式整式的拓展提升录01代数式整式的定义和分类代数式是一种数学表达式，它可以用字母、数字和运算符号进行组合。

代数式中可以包含加、减、乘、除等基本运算，也可以包含括号和幂运算等复杂运算。

代数式的定义整式是一种代数式，它只包含加、减、乘、除等基本运算，不包含幂运算。

整式中只允许使用整数或整数的加减乘除运算，不能使用小数、分数或根号等运算。

整式的定义代数式可以分为单项式和多项式两种类型，其中单项式只包含一个字母或数字，多项式则包含多个单项式。

整式也可以分为单项式和多项式两种类型，其中单项式的系数必须是整数，而多项式的系数则可以是整数或整数加减乘除运算的结果。

代数式和整式的分类02代数式整式的运算1 2 3代数式的加减法运算是在代数符号前面添加适当的数，并且根据加法和减法法则进行运算。

代数式的加减法可以合并同类项，即把相同的代数项合并起来，简化计算。

代数式的加减法可以化简复杂式子，即把式子中复杂的部分用简单的符号代替，从而简化计算。

03代数式的除法可以转化为乘法的倒数，即把除法转化为乘法的倒数进行计算。

01代数式的乘除法是通过在代数符号前面添加系数相乘或相除的数，并且根据乘法和除法的运算法则进行运算。

02代数式的乘法可以分配律展开，即把一个系数分别乘入代数式的每一项中。

代数式的乘方和幂运算01代数式的乘方是通过在代数符号前面添加系数自乘的数，并且根据乘方的运算法则进行运算。

02幂运算是指在一个数或代数符号前面添加指数，即表示该数或代数式的次数。

03代数式的乘方和幂运算可以结合使用，即一个数或代数式的幂可以与另一个数或代数式的乘方相乘。

03代数式整式的应用代数式是将实际问题抽象为数学模型的重要工具。

通过将实际问题的已知量和未知量之间的关系用数学符号表示出来，能够更好地理解和分析问题的本质。

本章知识结构框架图考试内容A （基本要求）B （略高要求）C （较高要求）代数式理解用字母表示数的意义 会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义代数式的值了解代数式的值的概念 会求代数式的值；能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算；能通过代数式的适当变形求代数式的值整式了解整式的概念，理解单项式的系数与次数、多项式的次数、项与项数的概念，明确它们之间的关系整式的加减运算理解整式加、减运算的法则会进行简单的整式加、减运算能合理运用整式的概念及其加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题代数式单项式多项式整式同类项 合并同类项去括号、添括号法则整式加减法系数次数项列代数式中考要求代数式与整式丰富的问题情景课时1 代数式、单项式、多项式基础过关代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时，应注意以下几点：（1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （2） 字母与字母相乘时可以省略乘号；（3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式；（4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起来；（5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.单项式： 像2-a ，2r π，213-x y ，-abc ，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-.单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式212-ab c ，它的指数为1214++=，是四次单项式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把47叫做单项式247x y 的系数.同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27319-+x x 是多项式.多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式： 单项式和多项式统称为整式.例题精讲1. 对单项式、多项式、整式进行判断例1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式． (1)－3xy 2； (2)2x 3＋1；(3)21(x ＋y ＋1)； (4)－a 2； (5)0；(6)yx 2； (7)32xy； (8)x21；(9)x 2＋x1－1； (10)11+x ； 解：单项式有：(1)－3xy 2，(4)－a 2，(5)0，(7)32xy； 多项式有：(2)2x 3＋1，(3)21(x ＋y ＋1)；不是整式的有：(6)y x 2，(8)x 21，(9)x 2＋x 1－1，(10)11+x ．知识体验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。

【代数式、整式】用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

注意：有等号和不等号连接的式子就不是代数式了。

整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。

单项式和多项式统称为整式。

（1）单项式的概念由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式（monomial ）。

单独一个数或一个字母也叫单项式，如Q ，-1，a 。

（2）单项式的系数1、单项式中的常数因数及性质符号叫做单项式的系数.2．如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为-1.（3）单项式的次数1、一个单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。

例：4xy 的系数为4，次数为2。

x 的指数是1，y 的指数是1，指数相加得2.（1）多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式。

多项式中的符号，看作各项的性质符号.一元N 次多项式最多N+1项。

例：在多项式2x-3中，2x 和-3是他的项，其中-3是常项数；在多项式x²+2x+18中它的项分别是x&sup2；，2x 和18，其中18是常数项。

（2）多项式的次数多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.（3）多项式的排列1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

随堂练习1、下列整式：―52x 2，21（a+b ）c ，3xy ，0，332 a ，―5a 2+a 中，是单项式的有 ，是多项式的有 .2． 多项式―35a 3b ―7ab ―6ab 4+1是 次 项式，它最高项的系数是 . 3． 温度由10℃上升了t ℃后是 ℃.4． 商场中某牌子的电视机有A ，B ，C 三种型号，售价分别为3000元，3500元，4000元，三月份商场出售的这三种型号的电视机数量分别是：A 型的a 台，B 型的b 台，C 型的c 台， 则该商场三月份这三种电视的销售额是 元.5． 在y 3+1，m 3+1，―x 2y ，cab ―1，―8z ，0中，整式的个数是（ ） A. 6 B.3 C.4 D.56． 下列说法正确的是（ ）A.8―z2是多项式 B. ―x 2yz 是三次单项式，系数为0 C. x 2―3xy 2+2 x 2y 3―1是五次多项式 D. x b 5-是单项式 7． 下列结论中，正确的是（ ）A 、单项式52ab 2的系数是2，次数是2 B 、单项式a 既没有系数，也没有指数 C 、单项式—ab 2c 的系数是—1，次数是4 D 、没有加减运算的代数式是单项式8． 单项式―x 2yz 2的系数、次数分别是（ ）A ．0，2 B.0，4 C. ―1，5 D. 1，49． 下列说法正确的是（ ）A. 没有加、减运算的式子叫单项式B. 35πab 的系数是35，次数是3 C. 单项式―1的次数是0 D. 2a 2b ―2ab+3是二次三项式10．如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式的任何一项的次数（ ）A ．都小于5 B. 都等于5 C.都不小于5 D.都不大于511．某市出租车收费标准是：起步价7元，当路程超过4km 时，每km 收费1.5元，如果某出租车行驶P （P >4），司机应收费（单位：元）( )A. 7+1.5PB. 7―1.5PC.7+（P ―4）×1.5D. 7―（P ―4）×1.512．如果单项式3a 2b43-m 的次数与单项式31x 3y 2z 2的次数相同，试求m 的值。

整式与代数式代数是数学中的一个分支，主要研究的是数与数之间的关系以及这种关系的运算规律。

其中，整式和代数式是代数学中两个重要的概念。

一、整式整式是指由常数、变量及它们的乘积与幂的和或差组成的代数式。

常数可以是整数、有理数或实数，变量可以是字母或字母组合。

通常用字母表示整式中的变量，例如x、y、z等。

整式的形式可以是：1. 单项式：只包含一个项的整式。

例如2x、-3y^2。

2. 多项式：包含多个项的整式，各项之间通过加减运算符连接。

例如3x + 4y、-2x^2 + 5xy - 7。

整式的运算规则与整数的运算规则类似，可以进行加法、减法、乘法和幂运算。

例如，对于整式3x^2 + 2xy - 5y^2，可以进行如下的运算：1. 加法：将同类项合并，即将具有相同字母部分的项加在一起。

例如，3x^2 + 2xy - 5y^2 + x^2 - 4xy可以合并为4x^2 - 2xy - 5y^2。

2. 减法：将减数取相反数，再按加法规则进行运算。

例如，3x^2 +2xy - 5y^2 - (x^2 - 4xy)可以转化为3x^2 + 2xy - 5y^2 - x^2 + 4xy。

3. 乘法：将两个整式中的每个项相乘，然后将乘积相加。

例如，(3x + 2y)(2x - 5y)可以展开为6x^2 - 15xy + 4xy - 10y^2。

4. 幂运算：将整式中的每个项进行指数运算。

例如，(2x - 3y)^2可以展开为4x^2 - 12xy + 9y^2。

二、代数式代数式是指由常数、变量及它们的乘积与幂的和、差、积、商组成的表达式。

代数式可以包括整式，也可以包括其他的代数式。

代数式的形式可以是：1. 整式：由前面讲到的整式形式组成。

2. 分式：由两个代数式通过除法运算符相除得到的表达式。

例如，(3x^2 + 2xy - 5y^2)/(2x - 3y)。

3. 根式：由代数式的开方运算得到的表达式。

例如，√(x^2 + y^2)。

第2课时代数式与整式一、用字母表示数意义：用字母表示数,字母和数一样可以参与运算,可以用式子把数量关系简明地表示出来. 用字母表示数的书写规则：1、字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“点”。

2、字母与数相乘时，数通常写在字母的前面；3、带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数；4、字母与字母相除时，要写成分数的形式。

意义：1、用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍的表达出来，从具体的数字计算到抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃（同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示）。

2、用字母表示数时。

字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。

二、单项式：这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如单项式100t, a2h,-n的系数分别是100,1，-1.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，在单项式100t中，字母t的指数是1，在单项式a2h中字母a与h的和是3，a2h的次数是3。

1、判断下列各代数式中哪些是单项式?(1) a-3 ; (2)abc; (3)b2; (4)-5ab2; (5)y; (6)-xy2; (7)-5.2、下面各题的判断是否正确?(1)-7xy2的系数是7; (2)-x2y3与x3没有系数; (3)-ab3c2的次数是0+3+2; (4)-a3的系数是-1; (5)-32x2y3的次数是7; (6)πr2h的系数是.3、若单项式32x2y n是一个六次单项式，则单项式的系数是（），n=( )4、下列式子中，单项式有那些。

1、-3；2、13x2y;3、2a;4、2m3; 5、−12ab2; 6、−7x+29(3分母含有字母，6含有+号)注意：1、当一个单项式系数是1或-1时，1不写，但负号不能省略，2、当某个字母的指数是1时也省略不写，3、π是圆周率的代号，是一个准确的数值是常数，不是单项式概念中的字母。

代数式与正式的概念及运算一、代数式的概念1、代数式的概念用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．【注意点】代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号．例1 判断下列式子是不是代数式2、代数式的分类；单项式：都是数与字母的积的代数式叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式。

多项式：几个单项式的和叫做多项式整式：单项式和多项式统称整式.分式：如果整式A除以整式B,可以表示成AB的形式,且除式B中含有字母,那么称式子为分式.有理式：整式和分式统称有理式. 所以总结：; 2)1 ()8(;0)6(; )4(;01)2(+=≥-nnvtSx; )9(;0 4)7(;)5(;21)3(;43)1(tsxaahx=++练习：1、填空题（1）某种足球a 元，则涨价20%后是 元；（2）m 箱橘子重x kg ，每箱重 kg ；（3）购买单价为a 元的笔记本8本，共需人民币 元；（4）小明的体重是a kg ，小红比小明重b kg ，则小红的体重是 kg ；（5）练习本每本定价0.6元，铅笔每支定价0.2元，买a 本练习本，b 支铅笔共需_______元；（6）三个连续偶数中间的一个为2n ，则这三个数的和表示为_________。

2、选择题：（1）在一次数学测验中，30名男生平均得分为a,20名女生平均得分为b ，这个班所有同学的平均得分是（ ）。

Ａ．2a b + Ｂ．30202a b + Ｃ．302050a b + Ｄ． 50a b + （2）一种小麦磨成面粉后重量减轻15%，要得到m 千克面粉，需要小麦（ ）千克。

Ａ．（1+15%）m Ｂ．(1-15%)m Ｃ．15%m + Ｄ．15%m -3、设某数为x ，用x 表示下列各式：（1）某数与12的差；（2）某数的12与13的和；（3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数二、列代数式和代数式所表示的实际意义(1) 列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念．(2)代数式所表示的实际意义若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的含义，则代数式的内容显得丰富，富有内涵．说出代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相等，把实际问题中的数量关系用代数式表示后必须与原代数式吻合．在读代数式时，通常是按运算顺序选最后一步运算，依运算结果读．例2、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.（1）甲、乙两数的平方差；（2）甲、乙两数差的平方；（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.例3、（1）5a＋2b （2）abc－(a3＋b3＋c3)（3）3n+1 （4）100a＋50＋b解析：（1）与5a的差是b的2倍的数；（2）a、b、c三数的积与a、b、c三数立方和的差；（3）被3除余1的数；（4）百位数是a，十位数是5，个位数字是b的三位数三、代数式的求值1、直接代值例4、当X=2,Y=-3时，求代数式3X-2Y的值。

初中数学总复习代数式与整式一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1. 代数式的分类:2. 代数式的有关概念(1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式．（2）有理式： 和 统称有理式。

（3）无理式：3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

求代数式的值可以直接代入、计算。

如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。

4.整式有关概念（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。

单项式中____________叫做这个单项式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。

____________ 叫做常数项。

多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。

多项式中____________的个数，就是这个多项式的项数。

5.同类项、合并同类项（1）同类项：________________________________ 叫做同类项；（2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项；（3）合并同类项法则： 。

（4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________（5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都 。

6.整式的运算（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。

（2）整式的乘除法：①幂的运算：0;;();()11,(0,)m n m n m n m n m n mn n n np p a a a a a a a a ab a b a a a p a +--⋅=÷=====≠为整数②整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。