公式法和根的判别式

一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。

1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。

2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。

(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。

例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。

(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。

公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。

3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。

判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

此时，方程的根可以通过求根公式求解。

(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。

(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。

公式法与根的判别式公式法和根的判别式是解二次方程的两种方法。

解二次方程是高中数学中的一个重要内容，掌握好这两种方法可以帮助我们更好地理解和求解二次方程。

一、公式法公式法是通过二次方程的求根公式来求解的。

对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a1.根的个数与判别式根的个数与判别式有关，判别式的值决定了二次方程的根的情况。

判别式（D）= b²-4ac当判别式D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当判别式D=0时，二次方程有两个相等的实根；当判别式D<0时，二次方程没有实根，但有两个虚根。

2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的值来判断二次方程的根的情况；(3)如果二次方程有根，根据求根公式计算根的值。

根的判别式又称判别式法。

它通过判别式的符号来确定二次方程的根的情况。

对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，根的判别式如下：判别式（D）= b²-4ac1.根的个数与判别式判别式的符号决定了二次方程的根的情况。

当D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当D=0时，二次方程有两个相等的实根；当D<0时，二次方程没有实根。

2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的符号来判断二次方程的根的情况。

公式法通过使用求根公式来解二次方程，公式中的判别式决定了二次方程的根的情况。

在使用公式法时，我们需要先计算判别式的值，然后根据判别式的值来判断二次方程的根的情况，最后再根据求根公式计算出根的值。

根的判别式法则是通过判别式的符号来判定二次方程的根的情况。

判别式的值决定了二次方程的根的性质，因此根的判别式也可以用来计算判别式的值，进而判断二次方程的根的情况。

由此可见，根的判别式是公式法的基础，根的判别式提供了公式法所需要的判别二次方程根的信息。

一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。

时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。

例题讲解例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。

特别注意“0≠a ”！例3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系课堂练习1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。

3、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠25、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7、 m 取何值时，方程()0112)2(22=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根8、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。

二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。

2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。

3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。

4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。

（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。

浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教案1一. 教材分析《公式法及根的判别式》是浙教版数学八年级下册的教学内容，本节课主要介绍了求一元二次方程的解的方法——公式法，以及判断一元二次方程根的情况的判别式。

这部分内容是整个初中数学中非常重要的一部分，是学生解决一元二次方程问题的重要工具。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习过一元二次方程的定义、性质等基础知识，对解一元二次方程有一定的了解。

但公式法求解一元二次方程是一种新的方法，学生需要理解和掌握。

同时，根的判别式是判断一元二次方程根的情况的重要工具，学生需要理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：理解公式法的原理，掌握公式法求解一元二次方程的步骤；理解根的判别式的意义，掌握根的判别式的计算方法。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的探究能力和合作能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。

四. 教学重难点1.重点：公式法求解一元二次方程的步骤；根的判别式的计算方法。

2.难点：理解公式法的原理；根的判别式的意义。

五. 教学方法采用自主学习、合作交流的教学方法。

教师引导学生通过自主学习，理解公式法的原理和步骤；通过合作交流，共同探讨根的判别式的意义和计算方法。

六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、粉笔。

2.学生准备：笔记本、笔。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出一元二次方程，并提出解决问题的方法——公式法。

呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的定义。

操练（15分钟）教师引导学生分组进行练习，运用公式法求解一元二次方程，并判断根的情况。

巩固（10分钟）教师通过一些典型的问题，帮助学生巩固公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的计算方法。

拓展（10分钟）教师引导学生思考：还有没有其他方法可以判断一元二次方程的根的情况？激发学生的探究欲望。

第8讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。

（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；（3）x （3x －2）－6x 2-2＝0； （4）x 2＋(3＋1)x ＝0；（5）x （x ＋8）＝-16； （6）（x ＋2）（x －5）＝1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)例2. m 取什么值时，关于x 的方程x 2-2x ＋m －2＝0（1）有两个相等的实数根？ （2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1) x 2－6x ＋1＝0； (2)2x 2－x ＝6；(3)4x 2－3x －1＝x －2； (4)3x(x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).（5）x 2+16x-13=0 （6）（x ＋1）2＝2（x ＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根.2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥215．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）．A ．0B ．1C ．-1D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．y=32-±B ．y=32±C ．y=32±D ．y=32-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知关于x 的一元二次方程0322=--k x x 有两个相等的实数根，则k 的值为___ __．10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．12．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x +k=0有两个不相等的实数根，则k 可取的最大整数为 ．13．已知关于x 的一元二次方程()0212x 22=-+++k x k 的两根为1x 和2x ，且()()02211=--x x x ，则k 的值是 ________。