下载文档原格式
公式法与根的判别式公式法和根的判别式是解二次方程的两种方法。
解二次方程是高中数学中的一个重要内容，掌握好这两种方法可以帮助我们更好地理解和求解二次方程。
一、公式法公式法是通过二次方程的求根公式来求解的。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a1.根的个数与判别式根的个数与判别式有关，判别式的值决定了二次方程的根的情况。
判别式（D）= b²-4ac当判别式D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当判别式D=0时，二次方程有两个相等的实根；当判别式D<0时，二次方程没有实根，但有两个虚根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的值来判断二次方程的根的情况；(3)如果二次方程有根，根据求根公式计算根的值。
根的判别式又称判别式法。
它通过判别式的符号来确定二次方程的根的情况。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，根的判别式如下：判别式（D）= b²-4ac1.根的个数与判别式判别式的符号决定了二次方程的根的情况。
当D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当D=0时，二次方程有两个相等的实根；当D<0时，二次方程没有实根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的符号来判断二次方程的根的情况。
公式法通过使用求根公式来解二次方程，公式中的判别式决定了二次方程的根的情况。
在使用公式法时，我们需要先计算判别式的值，然后根据判别式的值来判断二次方程的根的情况，最后再根据求根公式计算出根的值。
根的判别式法则是通过判别式的符号来判定二次方程的根的情况。
判别式的值决定了二次方程的根的性质，因此根的判别式也可以用来计算判别式的值，进而判断二次方程的根的情况。
由此可见，根的判别式是公式法的基础，根的判别式提供了公式法所需要的判别二次方程根的信息。
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
八年级数学学科总计20 课时第5课时课题________教学目标：1熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力教学重点：1求根公式的推导和用公式法解一元二次方程2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.教学难点：1正确理解“当b2 -4ac :: 0时，方程ax2 bx弋=0@厂0）无实数根.2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围一、学习新知，推导公式我们以前学过的一元一次方程ax • b = 0 （其中a、b是已知数，且a* 0）的根唯一存一 b 2在，它的根可以用已知数a、b表示为x ,那么对于一元二次方程ax bx 0 （其a中a、b、c是已知数，且a丰0）,它的根情况怎样？能不能用已知数a、b、c来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.用配方法解一元二次方程ax2bx ■ c = 0（a严0）解：ax2• bx - -c 移常数项x2二-- 方程两边同除以二次项系数（由于a*0,因此不需要分类讨论）a a2 b b 2 c b 2x x （）（）两边配上一次项系数一半的平方a 2a a 2a2（x •——）2=- 4一转化为（x • m）2二n的形式2a 4a注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。
因此对上面这个方程要进行讨论因为a = 0所以4a202a1、如果b 2 -4ac =0，那么方程有两个相等的实数根，即X i2a2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果 b 2 -4ac 一 0，那么可代入公式求出方程的根， 如果b 2 -4ac ::: 0，那么方程无实数根, 这种解一元而次方程的方法叫做公式法. 二、根的判别式:…b 二：b 2 - 4ac利用求根公式“一，可以解任何一个一元二次方程2ax bx c = 0(a = 0). 2-b + Jb 2 -4ac(1 )当b -4ac 0时，方程的根是治 ，X2=-b - b 2 -4ac2a2b(2)当b -4ac =0时，方程的根是 旨=x 2 ：b算：：：0。
所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。
如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。
若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。
如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。
可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。
⑶直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。
解：①两边开平方，得所以②配方，得所以所以③配方，得所以所以④因为所以=4＋20=24所以所以⑤配方：所以所以⑥整理，得所以⑦移项，提公因式，得所以小结：以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.解：当a=0时，原方程有实根为若a≠0时，当原方程有两个实根.故，综上所述a的取值范围是.小结：此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.(2)满足k<4的最大整数，即k=3.此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得所以m的值为0或例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教案1一. 教材分析《公式法及根的判别式》是浙教版数学八年级下册的教学内容，本节课主要介绍了求一元二次方程的解的方法——公式法，以及判断一元二次方程根的情况的判别式。
这部分内容是整个初中数学中非常重要的一部分，是学生解决一元二次方程问题的重要工具。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习过一元二次方程的定义、性质等基础知识，对解一元二次方程有一定的了解。
但公式法求解一元二次方程是一种新的方法，学生需要理解和掌握。
同时，根的判别式是判断一元二次方程根的情况的重要工具，学生需要理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解公式法的原理，掌握公式法求解一元二次方程的步骤；理解根的判别式的意义，掌握根的判别式的计算方法。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的探究能力和合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：公式法求解一元二次方程的步骤；根的判别式的计算方法。
2.难点：理解公式法的原理；根的判别式的意义。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流的教学方法。
教师引导学生通过自主学习，理解公式法的原理和步骤；通过合作交流，共同探讨根的判别式的意义和计算方法。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生准备：笔记本、笔。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出一元二次方程，并提出解决问题的方法——公式法。
呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的定义。
操练（15分钟）教师引导学生分组进行练习，运用公式法求解一元二次方程，并判断根的情况。
巩固（10分钟）教师通过一些典型的问题，帮助学生巩固公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的计算方法。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：还有没有其他方法可以判断一元二次方程的根的情况？激发学生的探究欲望。
![21.2.2 公式法(第一课时[根的判别式])](https://img.taocdn.com/s1/m/d9b3a49d9ec3d5bbfc0a7414.png)
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教学设计1一. 教材分析《公式法及根的判别式》是浙教版数学八年级下册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生掌握一元二次方程的公式法求解和根的判别式的应用。
教材通过引入一元二次方程的求解，让学生理解公式法的原理，并运用根的判别式来判断方程的根的情况。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的图像和性质，对一元二次方程有一定的了解。
但是，对于公式法的应用和根的判别式的理解还需要进一步的引导和讲解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握公式法和根的判别式的应用。
三. 教学目标1.理解公式法的原理，掌握一元二次方程的公式法求解。
2.理解根的判别式的含义，能够运用根的判别式判断方程的根的情况。
3.能够运用公式法和根的判别式解决实际问题。
四. 教学重难点1.公式法的原理和应用。
2.根的判别式的理解和应用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解公式法的原理和根的判别式的含义，让学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析具体的例子，让学生更好地理解和运用公式法和根的判别式。
3.练习法：通过布置相应的练习题，让学生巩固所学的知识。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，辅助讲解和展示教学内容。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解公式法的原理，引导学生理解一元二次方程的公式法求解过程。
同时，介绍根的判别式的含义和应用。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的例题，运用公式法和根的判别式进行求解。
教师引导学生注意观察和理解公式法求解的步骤和根的判别式的运用。
4.巩固（10分钟）让学生完成一些相关的练习题，巩固所学的知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生更好地理解和掌握公式法和根的判别式。
一元二次方程的根的判别式1、用公式法解方程：（1）x2＋3x－1＝0解：∵a= ，b= ，c=∴b2－4ac=（）2－4×（）×（）= + = ＞0∴x1= ；x2= ；（2）4x2＋4x＋1＝0（3）x2－x＋1＝02、学习探索：解方程并讨论方程的解与什么有关系？根据上述结果填写下表：4、小结归纳：（1）b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用“△”表示；（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根的情况：b2－4ac >0时，方程有两个不相等实数根b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根b2－4ac <0时，方程没有实数根5、例题讲解：根的判别式的应用：例1：不解方程，判别方程3x2－2x＋1＝0 的根的情况强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出。
（2）判别根的情况，不必求出方程的根。
例2：已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＝0 ，当k取什么值时方程有两个相等的实数根？A组不解方程，判别下列方程的根的情况（1）2x2＋3x－4＝0解：∵a = ，b= ，c=∴△=b2－4ac=（）2－4×（）×（）= + =∴原方程_________实数根。
（2）9y2＋4＝12y解：原方程可变形为：∵a= ，b= ，c=∴△=b2－4ac =∴原方程 _______实数根。
（3）5(x2＋1)－7x＝0解：B组1、已知关于x的方程3x2＋2kx＋k2－3k＝0 ，当k取什么值时方程有两个相等的实数根？解：∵a= ，b= ，c=∴b2－4ac=（）2－4×（）×（）=∵方程有两个相等的实数根；∴△=b2－4ac___0∴∴k=2、k是什么实数时，方程x2－（2k＋1）x＋k2＝0 没有实数根？解：3、k是什么实数时，方程kx2－（2k＋1）x＋k2＝0 有两个不相等的实数根？解：。
八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式
教学目标：
1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.
2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.
3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.
4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.
教学重点：
1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.
2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.
教学难点：
1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根.
2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.
一、学习新知，推导公式
我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a
b x -=，那么对于一元二次方程02=++
c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.
用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
解： c bx ax -=+2
移常数项 a
c x a b x -=+2
方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a
ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。
因此对上面这个方程要进行讨论
因为2
040a a ≠>所以
（1）当2
40b ac -≥时，22404b ac a -≥。
利用开平方法，得22424b b ac x a a -+=± 则22424b b ac x a a
-=-± 所以242b b ac x a
-±-=， （2）当2
40b ac -<时，22404b ac a -<。
在实数范围内，x 取任何值都不能使方程22244)2(a
ac b a b x -=+左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当042≥-ac b 时，它有两个实数根：
242b b ac x a
-±-=（04,02≥-≠ac b a ） 这就是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式.
问题：1、在求根公式中，如果042=-ac b 时，根的情况如何？
2、如何用求根公式求一元二次方程的根？
解答：
1、如果042=-ac b ，那么方程有两个相等的实数根，即a b x x 221-
==. 2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果042≥-ac b ，那么可代
入公式求出方程的根，如果042
<-ac b ，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做公式法.
二、根的判别式： 利用求根公式242b b ac x a
-±-=，可以解任何一个一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠. （1）当2
40b ac ->时，方程的根是221244,22b b ac b b ac x x a a -+----==. （2）当240b ac -=时，方程的根是122b x x a
==-.
（3）当2
40b ac -<时，方程没有实数根.
提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？
1、定义：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“△”表示，记作△=24b ac -.
2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，
当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；
当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；
当△=240b ac -<时，方程没有实数根.
例题精讲：
例1：用公式法解下列方程：
（1）25610x x ++= （2）22(1)(2)1x x x -=-+
注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定a 、b 、c 的值，并且注意a 、b 、c 的符号。
例2、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）24530x x --=； （2）22430x x ++=； （3）22326x x +=.
例3、关于x 的方程2(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗?为什么？
三、一元二次方程两根之间的关系：（韦达定理） 当一元二次方程有实数解221244,22b b ac b b ac x x a a
-+----== 22124422b b ac b b ac b x x a a a
-+----+=+=- 22124422b b ac b b ac c x x a a a
-+----⋅=⋅= 例4：已知12,x x 是一元二次方程2
2370x x --=的两个根，求2212x x +的值。
四、与根的判别式相关的证明题： 例5：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，
求证：关于x 的方程222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根。
巩固练习
一、填空题：
1、运用公式法解一元二次方程时，先把方程化为一般式 ，接着确定 的值，然后求出 ，最后代入 。
2、方程2523x x +=中，24b ac -= 。
3、若代数式2425x x --与221x +的值互为相反数，则x 的值为 。
4、当x= 时，23x x +与15x +既是最简根式又是同类二次根式。
5、一元二次方程232620x x -+=的根的判别式的值等于 。
6、不解方程，判定方程2257x x -=-是实根的个数为 。
7、方程22(2)(2)30m x m x -++-=，当m= 时，是关于x 的一元二次方程， 它的根的判别式∆= 。
8、已知方程220mx mx -+=有两个相等的实数根，则m 的值为 。
二、求下列方程中24b ac -的值：
1、265x x -=
2、28160x x -+=
3、2232x x =-
4、222x x =+
5、
211042x x -= 6、21x x -=
7、2x q px +=- 8、2(23)60x x -++=
三、不解方程，判断下列方程根的情况：
1、22520x x -+=
2、21302
x x --=
3、22230x x -+=
4、2
41290x x -+=
5、21
1
022x x ++=
6、23330x x -+=
7、250x +=
8、22104x x -+=
四、用公式法解下列方程：
1、22220x x --=
2、222x x +=
3、22220x x +-=
4、291220x x -+=
5、24421x x =+
6、296610
x x -+=
7、23510x x --+= 8、215102
x x -
-+=
9、20.090.210.10y y -+= 10、(1)(1)22x x x +-=
11、2
2442x x -= 12、24(28)20y y -++=
五、解答题：
1、判断关于x 的方程20x px q +-=的根的情况。
2、关于x 的方程2(2)20x m x m -++=一定有实根吗？为什么?
3、如果关于x 的一元二次方程28160kx x -+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
能力提高
一、不解方程，判定下列方程根的情况
1、222(1)240m x mx m ++++=
2、222220x mx m -+=
3、29(7)30x p x p -++-=
4、2213022
x mx m m -+++=
二、用公式法求关于x 的方程的解
1、22
40x x k --= 2、210x px +-=
3、2222(3)0x s t x s t ---+=
4、29(1)2(3)0(,1)7
k x k x k k k ---+=<
≠-
二、解答题：
1、关于x 的方程2(3)30mx m x +++=一定有实数根吗？为什么？
2、若t 是非负整数，且一元二次方程22(1)2(1)10t x t x -+--=有两个实数根，求t 的值及对应方程的根。
思维拓展
1、 求证：关于x 的方程()()1x a x a b ---=的两根中一个大于a ，另一个小于a.。
