求根公式与根的判别式(2)

本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。

对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。

⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。

如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。

在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。

如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。

当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。

许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。

这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。

对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。

关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。

方程12级 特殊根问题方程11级 解特殊复杂方程方程10级 判别式与求根公式判断风波漫画释义满分晋级阶梯2一元二次方程的 判别式与求根公式题型切片（两个）对应题目题型目标公式法解一元二次方程例1；例2；演练1；演练2；一元二次方程的判别式例3；例4；演练3；例5；例6；演练4；演练5；例7；例8．定义示例剖析公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a b c，，的值；③代入24b ac-中计算其值，判断方程是否有实数根；解方程：2310x x-+=解：131a b c==-=，，()224341150b ac-=--⨯⨯=>()2354352212b b acxa--±-±-±===⨯知识导航模块一公式法解一元二次方程知识互联网题型切片④若240b ac -≥，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．（先计算24b ac -减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）∴12353522x x +-==，【例1】 用公式法解方程：⑴ 2220x x --=； ⑵ 2361x x -=；⑶ 2312x x -=-； ⑷ ()()1122x x x +-=；⑸ 26140x x ++=； ⑹ 2323+2=0x x -⑺ 22+2+1=0x bx b -【例2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程．①x 2－3x +1=0； ②(x －1)2=3；③x 2－3x =0； ④x 2－2x =4．能力提升夯实基础定 义示例剖析设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．解方程：2330x x -+= 解：()224341330b ac ∆=-=--⨯⨯=-<， 所以原方程无实数根．【例3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-⑶ 27150x x ++= ⑷ 22320x x --+=⑸ 22330x x -+= ⑹ ()2102mx m x -++=（m 为常数）夯实基础知识导航模块二 一元二次方程根的判别式【例4】 ⑴已知关于x 的一元二次方程()()2212110k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ；⑵若关于x 的方程()21104k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________.【例5】 ⑴ 已知a b c 、、为ABC △的三边，请判断关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况．⑵ 已知a b c 、、是ABC △的三边，且方程()()()220x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例6】 已知关于x 的方程()21220x k x k -++-=⑴ 求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵ 若等腰ABC △一边3a =，另两边b c 、恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【例7】 若关于x 的方程2420kx x +-=有实根，求k 的取值范围．能力提升【例8】 已知关于x 的一元二次方程()22120mx m x -++=⑴求证：此方程总有两个实数根；⑵若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值； ⑶若此方程的两个实数根分别为x 1、x 2，求代数式()()()()33221212122125m x x m x x x x +-+++++的值．真题赏析知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练【演练1】 选择适当的方法解方程：⑴ ()20x x x +-=； ⑵ 2132x x -=； ⑶22330x x +-=．【演练2】 若关于x 的一元二次方程()222560m x x m m ++---=有一个根是0，则m =________，另一个根是________．知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练【演练3】 如果关于x 的一元二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实根，那么以正数a b c ，，为边长的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【演练4】 已知关于x 的一元二次方程()213104a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值．【演练5】 设a b c ，，为一个ABC △的三条边长，方程()()()23204b c x a c x a c ++---=有两个相等的实数根，且 a b c ，，满足520a b c -+=． ⑴求证：ABC △是等腰三角形；⑵求:a b c :的值．实战演练第十六种品格：感恩感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。

一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一般实系数四次方程可以写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a, b, c, d, e均为实数且a \neq 0。

解这种四次方程是一个相对复杂且困难的问题，因为不像二次方程有求根公式那样简单。

我们可以通过一些方法来解决这个问题。

我们来看一种求根公式的推导过程。

假设我们已经知道了四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0的根为x_1, x_2, x_3, x_4，我们可以将它写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)我们可以将右边展开得到：a(x^4 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x^3 + \cdots + x_1x_2x_3x_4) = 0比较两边系数可得：\begin{cases}b = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)\\c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4\\d = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)\\e = x_1x_2x_3x_4\end{cases}这些方程可以用来求解四次方程的根。

虽然这种方法比直接解四次方程要复杂一些，但是它可以帮助我们推导出四次方程的求根公式。

接下来，我们来看一下如何判别四次方程的根的情况。

根据代数基本定理，一个次数为n的多项式方程有n个复数根（包括重根）。

但是对于四次方程，通常我们更感兴趣的是它的实根情况。

我们可以通过计算四次方程的判别式来判断它的实根个数。

对于一般的四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，它的判别式可以表示为：\Delta = 256a^3e^3 - 192a^2bde^2 - 128a^2c^2e^2 + 144a^2cd^2e - 27a^2d^4 + 16ab^4e - 4ab^3cd - 8abc^3e +4abcd^2 + b^2c^2e^2 - b^2d^2e - 4bc^3d如果判别式\Delta > 0，则四次方程有两对不相等的实根。

所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。

⑴公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。

如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。

⑵配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。

若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。

如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。

可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。

⑶直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。

⑷因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。

解：①两边开平方，得所以②配方，得所以所以③配方，得所以所以④因为所以=4＋20=24所以所以⑤配方：所以所以⑥整理，得所以⑦移项，提公因式，得所以小结：以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。

例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.解：当a=0时，原方程有实根为若a≠0时，当原方程有两个实根.故，综上所述a的取值范围是.小结：此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.(2)满足k<4的最大整数，即k=3.此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得所以m的值为0或例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。

运用根的判别式解题根的判别式是指对于一次方程 ax^2+bx+c=0 来说，其判别式Δ=b^2-4ac能够反映出方程的根的性质。

根据判别式，我们可以分为以下三种情况进行解题：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。

下面我们将通过实例来具体说明如何运用根的判别式进行解题。

实例1：求解方程x^2-5x+6=0的根。

首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=1由于Δ=1>0，所以该方程有两个不相等的实数根。

然后，我们利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a) 进行计算。

带入方程的系数a=1，b=-5，c=6，即可得到：x1=[5+√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5+√1)/2=3x2=[5-√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5-√1)/2=2因此，方程x^2-5x+6=0的两个根分别为x1=3和x2=2实例2：求解方程2x^2-4x+3=0的根。

首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(3)=-8由于Δ=-8<0，所以该方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。

然后，我们需要将方程转换为复数形式进行求解。

利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a)，带入方程的系数 a=2，b=-4，c=3，即可得到：x1=[-(-4)+√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4+√(-8))/4=(4+2i)/4=1/2+i/2x2=[-(-4)-√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4-√(-8))/4=(4-2i)/4=1/2-i/2因此，方程2x^2-4x+3=0的两个根分别为x1=1/2+i/2和x2=1/2-i/2实例3：求解方程x^2+4x+5=0的根。

一元二次方程一．根的判别式与求根公式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为错误!未找到引用源。

．①因为a≠0，所以，4a2＞0．于是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程a x2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－错误!未找到引用源。

；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．【练习1】判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数）．（1）x2-4=0 ；（2）x2+5x=0；（3）4x2+12x＋9=0（4）x2－3x＋3＝0；（5）x2－ax－1＝0；（6） x2－2x＋a＝0．【变式】方程222330x kx k-+=的根的情况是（）A、有一个实数根B、有两个不相等的实数根C、有两个相等的实数根D、没有实数根★解一元二次方程的常用招式：分解因式（十字相乘）法、公式法和配方法【练习2】解下列方程：①3x2-11x＋10＝0②x2-5x-2＝0③x2-4x＋2＝0【变式】.若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围（ ） A 、m ＜14 B 、m ＞－14C 、m ＜14，且m ≠0D 、m ＞－14，且m ≠0二、韦达定理若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则有 错误!未找到引用源。

；错误!未找到引用源。

．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝错误!未找到引用源。

二次函数的根与判别式二次函数是一种重要的代数函数形式，可表示为y = ax^2 + bx + c的形式，其中a、b、c为实数且a不等于零。

在解析几何和数学建模中，二次函数经常被用来描述抛物线、物体的运动轨迹、经济增长模型等等。

对于二次函数而言，其根和判别式是非常重要的概念。

一、二次函数的根一元二次方程的解，又被称为方程的根。

对于二次函数y = ax^2 +bx + c来说，我们可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0来确定其根。

根的个数与二次方程的判别式有关，判别式的计算公式为Δ = b^2 -4ac。

根据判别式的三种情况可以推导出二次函数的根的情况：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。

此时，抛物线与x轴相交于两点，分别称为根。

2. 当Δ = 0时，方程有且仅有一个实根。

此时，抛物线与x轴相切于一个点，即有一个重根。

3. 当Δ < 0时，方程无实根。

此时，抛物线与x轴没有交点。

在求解根的过程中，可以应用二次方程的求根公式。

根据求根公式，当Δ > 0时，方程的两个根分别为x1 = (-b + √Δ)/(2a)和x2 = (-b -√Δ)/(2a)；当Δ = 0时，方程的根为x = -b/(2a)；当Δ < 0时，方程无实根。

二、二次函数判别式的意义判别式Δ在解析几何和数学建模中有重要的实际意义。

首先，根的个数与判别式的正负有关，因此可以通过判别式的值来判断方程的解的情况。

其次，在几何意义上，判别式Δ反映了二次函数与x轴的交点情况。

具体而言：1. 当Δ > 0时，判别式大于零，方程有两个不相等的实根。

此时，抛物线与x轴相交于两点。

2. 当Δ = 0时，判别式等于零，方程有一个实根。

此时，抛物线与x轴相切于一个点。

3. 当Δ < 0时，判别式小于零，方程无实根。

此时，抛物线与x轴没有交点。

通过判别式的值，我们可以快速了解二次函数的性质，比如抛物线开口的方向、与x轴的交点情况等。

一元二次方程的根的判别式为了判断一元二次方程的根的情况，我们可以使用根的判别式。

根的判别式表示为Δ=b^2-4ac，其中Δ代表判别式，b代表x的一次项的系数，a代表x的二次项的系数，c代表常数项。

根的判别式Δ的值决定了一元二次方程的根的数量和性质。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

当判别式Δ大于零时，方程的根可以用求根公式来计算，即x=(-b±√Δ)/(2a)。

由于Δ大于零，所以√Δ也是实数，因此方程有两个实数根。

举个例子，假设我们有方程x^2-3x+2=0，将a=1，b=-3，c=2代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(-3)^2-4(1)(2)=9-8=1、因为Δ大于零，所以这个方程有两个实数根。

2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

当判别式Δ等于零时，方程的根仍然可以用求根公式来计算，即x=(-b±√Δ)/(2a)。

但是由于Δ等于零，所以方程的两个根将会相等。

举个例子，假设我们有方程x^2-4x+4=0，将a=1，b=-4，c=4代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(-4)^2-4(1)(4)=16-16=0。

因为Δ等于零，所以这个方程有两个相等的实数根。

3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个虚数根。

当判别式Δ小于零时，方程没有实数根，而有两个虚数根。

此时，无法使用求根公式来计算方程的根，因为虚数不能直接在实数范围内进行计算。

举个例子，假设我们有方程x^2+2x+5=0，将a=1，b=2，c=5代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(2)^2-4(1)(5)=4-20=-16、因为Δ小于零，所以这个方程没有实数根，而有两个虚数根。

通过根的判别式，我们可以方便地判断一元二次方程的根的情况。

请牢记，Δ大于零时，方程有两个不相等的实数根；Δ等于零时，方程有两个相等的实数根；Δ小于零时，方程没有实数根，而有两个虚数根。

这一判别式是解决一元二次方程问题的重要基础。

二次方程求根问题二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

求解二次方程的根是解决数学和应用问题中常见的任务之一。

本文将对二次方程求根的方法和应用进行详细的讨论。

一、解法一：求根公式对于一般的二次方程ax²+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。

求根公式如下：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)根据判别式b²-4ac的正负和零的情况，可以得到二次方程的不同解的情况：1. 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；3. 当b²-4ac<0时，方程没有实数根，但可求得两个共轭复数根。

二、解法二：配方法对于特殊的二次方程，我们可以使用配方法进行求解。

具体步骤如下：1. 将二次方程写成完全平方的形式，即a(x+m)²+n=0，其中m、n 为待定常数；2. 将该形式展开得到ax²+2amx+am²+n=0；3. 通过对比系数，得出am=b和am²+n=c；4. 求解得出m，然后代入am=b求解得出a；5. 得到方程的新形式(x+m)²=n/a；6. 开方，得到方程的解。

三、解法三：图像法利用二次函数的图像特点，可以利用图像法来求解二次方程的根。

具体步骤如下：1. 将二次方程转化为二次函数y=ax²+bx+c的形式，其中y表示纵坐标，x表示横坐标；2. 根据二次函数的相关性质，绘制出对应的抛物线图像；3. 通过图像与x轴的交点，即抛物线与x轴的交点，得到二次方程的根。

四、应用举例：1. 物理问题：根据抛物线的特性，可以利用二次方程求解抛物线的顶点、焦点等问题；2. 经济问题：二次方程可以用来描述成本、收益、利润等与数量关系的问题；3. 工程问题：二次方程可以用来求解工程问题中的最优解、最大值、最小值等问题。

求根公式分解因式根公式是一种用于求解二次方程的方法，即形如ax^2+bx+c=0的方程。

根公式可以用来分解因式和求方程的根。

根公式是根据二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0来得出的，其中a、b、c是已知数且a ≠ 0。

根公式的表达式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中±表示两个解，即正根和负根。

b^2-4ac称为判别式，根据判别式的正负可以判断方程的根的情况：1.当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根。

2.当判别式等于0时，方程有且仅有一个实数根，且该根为重根。

3.当判别式小于0时，方程没有实数根，有两个共轭复数根。

除了在分解因式和求解二次方程时使用根公式外，根公式还可以拓展到更高次方程的求解中。

对于三次方程和四次方程，也可以使用类似的根公式来求解其根。

例子1：分解因式将二次方程x^2+5x+6=0进行因式分解。

首先，计算判别式：b^2-4ac = 5^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1由于判别式大于0，所以方程有两个不相等的实数根。

根据根公式，可以得到解为：x = (-5±√1)/(2*1) = (-5±1)/2所以方程的解为：x = -3或x = -2因此，可以将方程因式分解为(x+3)(x+2)=0。

例子2：求解二次方程的根求解二次方程2x^2-5x-3=0。

首先，计算判别式：b^2-4ac = (-5)^2 - 4*2*(-3) = 25 + 24 = 49由于判别式大于0，所以方程有两个不相等的实数根。

根据根公式，可以得到解为：x = (5±√49)/(2*2) = (5±7)/4所以方程的解为：x = 3/2或x = -1因此，该方程的根为3/2和-1。

拓展：除了二次方程外，也可以使用类似的方法来求解高次方程。

对于三次方程，可以使用卡尔达诺公式来求解；对于四次方程，可以使用费拉里公式来求解。

九年级数学第九讲 公式法及根的判别式学习目标：1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨的学习态度.4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.学习重点：1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.学习难点：1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.课前准备：一、公式法与根的判别式的概念： 利用公式()042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为的形式，当ac b 42-0≥时，方程的解为()042422≥--±-=ac b aac b b x ，当ac b 42-<0时，一元二次方程无解。

用公式法解一元二次方程时一定要把一元二次方程化为的形式，准确确定a 、b 、c 的值。

ac b 42-叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=，“△”读作“delta ”.一元二次方程的根的情况与判别式△的关系： 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根 ，当0=∆时，方程有两个相等的实数根 ，当0<∆时，方程没有实数根。

注意：根的判别式是ac b 42-，是不带有根号的！二、求根公式的推导过程：用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2移常数项a c x ab x -=+2方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++两边配上一次项系数一半的平方)0(02≠=++a c bx ax )0(02≠=++a c bx ax )0(02≠=++a c bx ax22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。