四色定理的理论证明

四色定理数学证明过程“四色定理”是指，由Kempe于1879年提出，即任意一个地图只需要四种颜色来涂色，就可以保证相邻区域颜色不同。

在过去的几十年中，数学家一直在努力寻找证明“四色定理”的正确方法。

在1976年，法国数学家A. Appel和W. Haken终于证明了“四色定理”的正确性。

本文将分享一下“四色定理数学证明”的过程。

证明“四色定理”的方法是“规约法”。

即将“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题，然后通过算法求解。

步骤一：将“涂色问题”转化为图论问题首先要把“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题。

通过数学家Halstead的研究，人们发现只需要涂四种颜色的是那些“好”的地图，将其进行编码，最终将地图还原成图。

这里的“好”的地图指的是那些没有的海岸线被其它地图穿过的地图。

步骤二：将“图论问题”转化为无矛盾的有限数学问题其次，将图论问题转化为有限的概率问题。

通过构建一个叫做“网格图”的数据结构，将图论问题通过计算概率，可以变成一个有限的数学问题。

然后通过数学的力量，我们可以证明这个数学问题是有解的。

这个证明过程中涉及到多项式定理、双射、图的对称性等。

步骤三：验证证明的正确性最后，通过计算机程序验证证明的正确性，确保其结果无误。

这个过程还涉及到超过1200页的论文撰写和审核，以及超过100万行的计算机程序代码，所有的证明过程都由计算机来完成。

总结作为一个数学难题，“四色定理”的证明让人们深入感受到数学的魅力。

它不仅仅让我们了解到了数学的应用价值，而且让人们更好地理解了数学这个学科本身的精或。

通过“规约法”，我们成功将这个看似无从下手的问题转化为计算机可处理的图论问题，最终证明了“四色定理”的正确性，为人类解决了一个具有重要实际意义的问题。

探索四色定理的数学证法一四色定理每幅㊣ (正规地图。

公认的定义见附图注)至多需要四种色能使相邻国着不同色。

它从1852年问世至今尚未获得数学证明。

二定理定义引理肯普定理：每幅㊣至少有一国有两、三、四或五个邻国，无每一国都大于五个邻国的情形。

按此，㊣可分为二构形、…、☆(五构形)四种情形。

定义：1-对各种构形，称邻国数最少的国家为构形国。

2-（可）约定㊣所有国家连成一片内部无空区域，则称内部和外部的界线（简单闭曲线）为㊣边界。

3-国B一段边界或一点在㊣边界上，则称B为边沿国。

4-一些国家包围了其它国家，则称这些国家形成的环为圈。

引理1：☆的国家数的集W＝｛12,14,15，…,n,…｝。

证：构造无穷多“四圈”☆。

类似图1的☆，内外圈各一国，中间两圈上取数列6，7，…，m，…（m≥6）⑴中的同一项，得国家数由大于12的偶数组成数列14，…,2（m+1）,…⑵；虚线将P分成两国，得国家数由大于13的奇数组成数列15，…，2m+3,…⑶。

合并数列⑵⑶及12得到所有☆的国家数的集W=｛12,14,15，…,n,…｝。

易验证1—13中仅12有☆。

除12外W中每个n所对应☆不同结构的个数复杂程度无论如何，皆视为由“四圈”☆演变而成。

引理2：任意☆中存在构形国不是边沿国。

证：假设命题不成立，则有一个☆G，使得构形国都是边沿国。

因平面地图与球面地图等价，故可使G的以边沿国形成的圈T在球面上并把球面分成对称的两部分。

令每部分被T包围的国家S对称地布满，示意如图2。

由此知T上每一国的邻国数（原来不一定都是五）都大于七，其余国家的邻国数都大于五，就得到一幅（STS）每一国的邻国数都大于五的㊣。

与肯普定理矛盾，故G不存在。

即任意☆中存在构形国不是边沿国。

引理3：在n≥15的☆中，若包围构形国Q的每个邻国与Q只有一条共同边界，Q 的邻国两两相邻的组数是五，这五个邻国中存在邻国数大于五的国家，则□（四色定理成立）。

证：若☆每一国的邻国数都是五，由欧拉公式知n=12。

四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。

用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。

人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。

人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。

在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。

假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。

假设没有飞地，国土连通。

飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。

假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。

假设国家的数量有限，不是无限多。

假设国家的形状任意。

这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。

需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。

因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。

二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。

令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。

四色定理的证明一、四色定理的介绍地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

1976年美国数学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

二、四色定理的证明通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。

反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。

由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。

所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。

1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。

分别如下：图 2说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。

b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分边界。

将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。

内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。

2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中一个分成两个。

对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。

分别如下：图5图6 图8从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。

3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。

方法是先把图形X 分成2个小图形A 和B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。

又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。

四色定理的简单证明虽然现在已经有不少人用不同方法证明出了四色定理，但我认为四色定理的证明还是有点复杂,所以给出以下证明。

（注：图形与图形的位置关系可分为相离、包含、内向接、内向切、外向接、外向切，在此文中由于题意关系不妨重新分为以下关系：1 把包含、内向接、内向切，统一划分为包含关系。

2 把外向接单独划分为相接关系。

3把相离、外相切统一划分为相离关系。

）此证明过程中把图的组合形式按照其位置关系而抽离出了以下四种基本有效模式：1 若要存在只需用一种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中所有图形必定满足彼此相离。

如下图：图（1）分析：这是最简单的一种图形关系模式暂且称为模式a。

2 若要存在只需用两种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中的所有图形必定满足最多只存在两个图形的两两相交的图形。

各种有效图形关系如下图：图（2）分析：两个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。

由于图（1）存在包含关系，被包含的图形是对外部无影响的，所以图（1）仍属于模式a。

所以两个图形的两两相交只有图（2）的相交关系模式的图形有效的，我们暂且称之为模式b。

3 若要存在只需用三种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在三个图形的两两相交图形。

各种有效图形关系如下图：图（3）分析：三个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。

由于图（2）属于存在包含关系，同理整体回归于模式a。

所以三个图形的两两相交只有图（1）的相接关系模式的图形是有效图形模式，我们暂且称之为模式c。

4 若要存在只需用四种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在四个图形的两两相交图形。

各种有效图形关系如下图：图（4）分析：四个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系。

由于图（2）属于存在包含关系，同理可得出整体也就回归于图形模式a。

四色定理，也被称为四色问题，是一个著名的图论问题，它提出了一个简洁而有趣的断言：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意两个相邻的地区颜色不同。

尽管四色定理的最简单证明仍然非常复杂，需要使用高级数学工具，但我可以尝试为您提供一个基本的思路。

思路如下：
1. 假设存在一个需要五种或更多颜色才能正确着色的地图。

2. 选择其中一个地图并标记为A。

3. 找到A与其他地图相邻的地图，标记为B。

4. 找到A与B相邻的地图，标记为C。

5. 找到A、B和C都相邻的地图，标记为D。

6. 因为A、B、C和D都相邻，根据四色定理，它们应该可以用不超过四种颜色进行着色。

然而，根据假设，我们需要五种或更多颜色。

这导致了矛盾。

7. 因此，根据反证法，我们可以得出结论：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色。

需要注意的是，这只是一个简单的思路，而且四色定理的详细证明涉及复杂的图论和组合数学的技术。

数学家们在数十年的努力中最终证明了这个定理的正确性。

四色定理证明
四色定理的内容是:在平面内任意分割区块，只用四种颜色就能保证所有相邻的区块不同色。

证明：
设有五种不同的颜色，把它们看作5个点，连实线代表两颜色相邻，连虚线代表两颜色不相邻，所以不可能有两个实线交叉。

如果这五个点两两连实线并且无交叉（总假设），则四色定理不成立。

下面来证明这种情况不可能发生：
方法/步骤
1
我们先看三个点的情况：
2
此时，添加第四个点D有两个情况：三角里面或三角外面。

观察发现，两个图的本质是一样的。

3
再添加第五个点E，也是大三角形内外两种情况，但发现无论如何会有一条虚线，
所以，总假设不成立，即四色定理成立。

四色定理证明方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四色定理是数学上一个非常重要的定理，它指出任何一个地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域彼此颜色不同。

这个定理虽然看似简单，但却是一个深奥的数学问题，其证明方法也非常复杂。

四色定理最早由英国数学家弗朗西斯·加思顿在1852年提出，并且在1976年由美国数学家凯尼思·阿普尔和沃夫冈·哈肯证明。

这个定理的证明方法主要是通过图论和逻辑推理来完成。

我们来介绍一下四色定理的一些基本概念。

在地图着色问题中，地图可以看作是由一些区域和它们之间的边界组成的。

而一个合法的地图着色方案就是给每个区域都分配一种颜色，使得相邻的区域颜色不同。

四色定理的证明方法涉及到很多复杂的数学理论，其中最主要的是图论。

图论是一门研究图和网络结构的数学学科，它在证明四色定理中起着至关重要的作用。

在证明四色定理时，数学家们首先将地图转化为一个特殊的图的形式，这个图被称为地图的双图。

地图的双图是在地图的基础上构造出来的一个图，在这个图中每个区域对应一个顶点，而边界对应一条连接这两个顶点的边。

这样一来，地图的问题就被转化为图的问题。

为了证明四色定理，数学家们需要证明对于任意一个地图的双图，我们都可以使用四种颜色进行着色。

证明的关键在于通过逻辑推理来排除一些特殊情况，使得我们只需要考虑一些简单的情况。

数学家们通过对图的结构和特性进行分析和归纳，最终找到了一种方法来证明四色定理的真实性。

除了图论，证明四色定理还涉及到概率论、逻辑推理和计算机算法等领域的知识。

数学家们通过将不同学科的知识相结合，从不同角度来审视这个问题，最终找到了证明四色定理的方法。

四色定理的证明方法是一个集合多种数学技巧和理论的综合性问题，它不仅考验数学家们的数学功底和逻辑思维能力，同时也展示了数学的复杂性和魅力。

四色定理虽然已经被证明，但它依然是数学领域中一个重要而且有趣的问题，相信在未来会有更多数学家对这个问题进行深入的研究和探索。

数学中的四色定理证明在数学中，有一项非常著名的命题被称为四色定理。

这项命题的内容是：对于任何一个平面图，只要它的区域数（包括无限远处的区域）不超过四个，那么就可以用四种不同的颜色给每一个区域都染色，使得相邻的区域颜色不同。

这个定理虽然看起来很简单，但是却极其难以证明。

在 1852 年，英国的一位数学家 Francis Guthrie 发现了这个定理，并向他的教授请教。

几十年过去，当 Guthrie 的教授告诉他已经找到了一个反例时，这个猜想被否定了。

但是至今为止，对于四色定理到底成不成立，数学家们仍然没有得到完全的证明。

在 1976 年，Kempe 发表了一篇文章，声称他已经证明了四色定理。

但随后，一位来自伯明翰大学的数学家 A.K. 阿普尔比汀对他的证明中的一个错误进行了纠正。

这个错误的发现一方面表明了四色定理确实非常难以证明，另一方面也启发了其他数学家，让他们继续尝试寻找证明的方法。

经过长达100 多年的探求，直到1976 年才被证明成立。

当时，国际上的四名著名数学家通过使用现代计算机技术，给出了一个完美的证明。

这个证明是非常复杂和深奥的，令人不得不惊叹于人类智慧的力量。

笔者在此不打算深入讨论这个证明的细节，而是从另一个角度出发，来理解四色定理的意义。

首先，四色定理告诉我们，即使是看似很简单的问题，也可能存在着极其复杂的答案。

如果我们不去深入研究、探求，很容易会得出错误的结论。

这也是为什么很多人随便就能口胡一些东西，却很难真正去理解和掌握某一项学问的基本原理。

其次，通过四色定理的证明，我们也可以看到人类智慧和科技的力量。

在过去，证明这个定理是极其困难的，但现在，我们可以依靠计算机技术，借助各种数学方法，从最细微的角度去找到证明。

最后，四色定理的证明也告诉我们一个很重要的思想：无论遇到多么困难和棘手的问题，我们都应该尝试着去解决它。

这需要勇气、毅力和耐心，同时也需要一些创新和发明。

正是因为几名著名数学家的努力，四色定理的证明才能变成现实。

4色定理的证明：对（连通的简单）平面图（记为G）的结点数n进行归纳。

当n=1时，结论当然成立。

假设当n=k(k是自然数)时结论成立，当n=k+1时：根据（连通的简单）平面图的性质，必存在一个结点，设为v，其度（记为d(v)）<=5。

1、当d(v)<4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。

而结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色，故结论成立。

2、当d(v)=4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。

设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4，其着色各不相同，依此为c1,c2,c3,c4（着色若有相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），如图1所示。

现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。

从结点v1出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c1和c3交替出现，依此为c1,c3,c1,c3,c1,c3,c1,c3，……。

若该结点集不包含结点v3，则结点v3就可以用c1进行着色，而不影响其他结点的着色，那么，结点v就可以用c3进行着色。

若该结点集包含结点v3，则从结点v2出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c2和c4交替出现，依此为c2,c4,c2,c4,c2,c4,c2,c4，……。

则该结点集不可能包含结点v4（否则，就不是平面图了），那么，结点v4就可以用c2进行着色，那么，结点v就可以用c4进行着色。

3、当d(v)=5时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。

设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4,v5，且只有2个结点的着色相同（若有2个以上结点的着色相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），着色相同的结点对的物理位置有相邻和相隔2种情况：（1）相邻。

与结点v相联的结点的着色依此为c1,c1,c2,c3,c4，如图2所示。

现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。