下载文档原格式
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
四色猜想-四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
四色定理的简短证明四色定理的简短证明虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。
拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
;x大于1为偶数的时候，y=2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。
以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。
2013年12月31日16:59:41吴兴广参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼。
简洁破解四色猜想——“1+3”证明与“3+1”充要条件模型证明——李传学四色猜想与费马猜想、哥德巴赫猜想，是数学界三大难题。
本文利用“1+3”、“3+1”链锁思维方式，并结合计算机逻辑判断方式，给予地球四色猜想的有、且只有数学方法与应用方法的两种证明。
并在实践中，使链锁着色，直至组成四色猜想的（△）网状平面整（总）体地图。
一、四色猜想简洁证明的提出。
随着计算机运算速度的加快、人机对话智能的出现，极大加快了对四色猜想研究、证明的步伐。
1976年6月，美国哈肯与阿佩尔编制程序，利用1200个小时，分别在两台计算机上，作了100亿次判断，终于完成了四色猜想的证明。
到目前为止，仍是世界上唯一被认可的证明方法。
但是，由于计算机证明方法过程深长，不符合人的逻辑思维判断过程，缺乏简洁性，无法令人信服。
二、“四色”是地球“四方八位”的客观存在。
“四方八位”是个动态概念，存在于“天、地、人合一”的地球万物运动的整个过程中。
同样，数学界三大难题之一的四色猜想，也离不开这一客观规律。
地球，蕴育了万物。
天圆地方、“四方八位”、四面八方、东西南北、五湖四海是人类认识地球的思维方式。
远在史前人类整体文明时期，就有文物记载了地球上有关“四方八位”的许多概念。
如半坡人鱼盆、人网盆、含山玉版、澄湖陶罐、八角星陶豆、良渚陶璧、古埃及金字塔，以及其他图形、符号记载的伏羲八卦图、彝族八卦图、河图、洛书、五行属性，也都应用了“四方八位”概念。
四色绚丽的地球生生不息，是“天人合一”的赋予。
地球的天圆地（四）方是阴阳学说的核心和精髓，又是阴阳学说的具体体现，具有朴素的辩证法色彩，是古代人类认识世界的思维方式。
阴阳五行中的五色、四方位：即，木有青、东，金有白、西，火有红、南，水有黑、北，土有黄、中，以及罗盘定位、经纬仪、四季、纳米四大光波（红、蓝、绿、黄）、四色光谱仪都与地球上的“四方八位”寓意紧密相关。
当然，“四色猜想”也不例外，也只能有、且只有在地球图上的客观存在。
四色猜想：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家填上不同的颜色。
”
数学语言表示：“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
1852年，毕业于伦敦大学的格斯里发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
和其弟弟研究没成功。
1852年，格斯里的弟弟请教其老师著名数学家德·摩尔根但未能证明，摩尔根后向著名数学家哈密顿爵士请教，仍未证明。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题后，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
电子计算机问世后，演算速度迅速提高，加快了对四色猜想证明的进程。
在1976年，美国伊利若斯大学的两台不同的电子计算机，用1200个小时，作100亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了四色足够的特制邮戳，庆祝这一难题获得解决。
但证明并未止步，计算机证明无法给出令人信服的思考过程。
在长期的论证过程中，其他发现，人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
四色猜想 -四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem) 最初是由一位叫古德里 Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使拥有共同界限的国家着上不一样的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的地区每一个地区总能够用 1234 这四个数字之一来标志而不会使相邻的两个地区获得相同的数字。
”这里所指的相邻地区是指有一整段界限是公共的。
假如两个地区只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
由于用相同的颜色给它们着色不会惹起混杂。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使拥有共同界限的国家着上不一样的颜色。
”也就是说在不惹起混杂的状况下一张地图只要四种颜色来标志就行发展历史可是状况也不是过分消极。
数学家希奇早在 1936年就以为议论的状况是有限的可是特别之大大到可能有 10000种。
关于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今日的人都理解：计算机。
从 1950年起希奇就与其学生丢莱研究如何用计算机去考证各样种类的图形。
这时计算机才刚才发明。
两人的思想堪称十分超前。
1972 年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改良。
到 1976 年他们以为问题已经压缩到能够用计算机证明的地步了。
于是从 1 月份起他们就在伊利诺伊大学的 IBM360 机上分 1482 种状况检查历时 1200 个小时，作了 100 亿个判断最后证了然四色定理。
在当地的信封上盖“Fourcolorssutfice 四色”，足够了的邮戳就是他们想到的一种流传这一惊人消息的新奇的方法。
人类破天荒运用计算机证明有名数学猜想应当说是十分惊动的。
欣赏者有之，思疑者也许多，由于真实确性一时不可以一定。
以后也确实有人指出其错误。
1989 年，黑肯与阿佩尔发布文章声称错误已被改正。
1998 年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依靠于计算机。
不论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了很多重要的新思想。
四色猜想的证明四色猜想的内容是：如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要4种颜色就足够了。
要证明四色猜想，首先需要定义一些新的概念：1、国家的表示法——点由于该猜想的内容中不涉及与国家形状有关的问题，而只涉及国与国之间的相邻关系，因此任何一个国家都用点来表示。
2、相邻与不相邻在叙述时，用符号“=”表示相邻，用“#”表示不相邻，如果用图示法表示相邻与不相邻则要复杂一些，先看下图：(a)(b) (c)图1在图1（a）与（b）中，分别用了直线和曲线连接两个国家A和B，表示国家A与B相邻，为了简便起见，这里只用直线表示相邻，图1（c）中是已知A与B相邻，叫你判断C 与D能否相邻，连接CD、CD与AB相交，相交是否就是不相邻呢？我们先看一组图:图2图2是把图进行等分后的结果，从三等分开始，如果每一份代表一个国家，这表示等分后的所有国家相聚于一点，从四等分后的国家A 、B、C、D可知，如果国家之间点的接触算是相邻，则A与B，C与D都为相邻，显然这时的A与B，C与D是交叉相邻，与图1（c）中的情况相同,此时A与B，C与D的交点表示接触点。
若点的接触不算相邻，那么连接A与B的直线可以看作一道墙，在这中间不能有任何直线通过。
因此，由于C与D的连线与AB相交，据此判断出C与D不能相邻。
但是当相邻用曲线进行表示，C与D却能够相邻，这是否说明用直线表示相邻有问题呢？当然不是，仔细分析就可以发现，用曲线表示相邻同样不能有相交的情况出现，因此，用直线表示相邻时，适当移动C或D的位置就可以使C与D相邻。
3、完全相邻这是一个关键问题，可以这么说，没有这一概念的证明都是伪证明，现在给出完全相邻的定义：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家两相邻，那么我们就称这N个国家完全相邻。
由于1个国家没有相邻关系，因此上面的N要求要大于1。
如果是3个国家完全相邻，它们的相邻关系为：（这三个国家分别设为1、2、3）1=2，1=3，2=3有了以上这些概念之后，就有了证明四色猜想的基础。
四色猜想的证明吴道凌（广东省广州市，510620）摘要：四色猜想至今未得到书面证明。
根据其定义的国家概念和着色要求，揭示了无限平面或球面上任意国家及其邻国的构成和着色规律，从而给四色猜想一个书面证明。
关键词：四色；猜想；证明；国家；着色中图分类号：O157.5 文献标识码：A1852年，英国学者弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)提出，“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色”，这就是后来数学上著名的四色猜想。
对此猜想，一百多年来曾有无数学者予以研究，但人工验证均无功而返。
1976年，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)和哈肯(Wolfgang Haken)利用电子计算机，作了大量判断，对四色猜想进行了机器证明，但这一证明不能由人工直接验证，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任，因此并不被人们普遍接受。
本文拟根据四色猜想定义的国家概念和着色要求，研究无限平面或球面上国家的构成及其着色规律，寻找对四色猜想的书面证明。
1 四色猜想相关定义及表述方法四色猜想所指的国家，是指连续的区域，可为单连通区域，也可为多连通区域，不连续的区域不属一个国家。
共同边界指相邻国家有无数个共同点，四个或四个以上的国家不交于一点，或者说，这种交点不认为是共同边界，只有这种交点的国家不需区分着色。
四色猜想并未限制地图范围，地图可定义在球面或无限平面上。
在球面上的任何国家，将存在一个外边界，由一条简单闭曲线构成，在无限平面上的国家，一般也由一条简单闭曲线构成外边界，个别国家也许在某些区间不存在边界（即区域无限延伸），其外边界将由若干段曲线构成，对于这种情况，我们可在其无限远处虚拟若干个国家若干段边界，与实在的若干段边界构成一条简单闭曲线边界，这种做法实际上提高了这些国家的着色要求，因此不影响本命题的论证。
如为单连通区域，国家里边将不存在内边界，如为多连通区域，国家里边将存在若干由简单闭曲线构成的内边界。
因此，为使命题具有普遍性，把国家定义为具有一个外边界和若干内边界的区域，每一边界均为该国与若干邻国的共同边界构成的简单闭曲线，如图1示。
下面把构成一条这种共同边界闭曲线的若干邻国称为一个邻国圈。
用小圆圈表示邻国，两国相邻时，用线条连接两个小圆圈，一个邻国在共同边界多处出现时，各处分别用小圆圈表示，并用线条连接各处表示连通。
把一个国家表示为由其若干邻国圈构成的闭合圈围闭的区域，如图2示。
其中，外闭合圈之外，一些邻国可能跨越闭合圈上的一个或多个邻国与其它一个或多个邻国相邻，一些邻国也可能多处出现在闭合圈上，这些情况将使闭合圈外存在若干邻国之间的连线，同理，每个内闭合圈之内也将可能存在若干邻国之间的连线。
另外，邻国里边也许包含若干小区域，两国连邻时，共有边界也许不只一段，多段共有边界之间将存在若干小区域，相当于圆圈及连线里边可能包含若干小区域，各小区域分别由若干国家组成，这些小区域并不影响对所需研究的国家及其邻国的着色讨论，因此，暂不予考虑。
除了若干闭合圈围闭的阴影部分区域为所需研究的一收稿日期：2009-3-26作者简介：吴道凌，高级工程师，硕士个国家外，其它圈线围闭的若干区域可以不存在其它国家，也可以存在若干国家。
这里未反映国家外可能存在的不属于任何国家的区域情况，对于这种情况，我们可把这种区域也当作国家，只是，如果这种区域有不相连通的多个时，为不与本猜想命题相左，这种区域的着色可不统一。
根据国家及共同边界定义，这种表示两国相邻或一国连通的连线总是不相交的。
2 一个国家及其邻国圈构色2.1 国链及三色圈的构色及链接规律若干个国家以某种方式连接而成的构造形式简称构形，使构形相邻国家着上不同颜色的过程简称构色，最多只需三种颜色的构形简称三色构形。
由若干个国家一个连接一个形成的一条区域链简称国链（用L表示），除首尾两国仅与一国连接外，其余各国均与另两国连接，当构成国链的国家个数为奇数个（包括一个）时，称为奇链，为偶数个时，称为偶链。
现为国链构色，自左至右，当第一个国家着色A时，第二个国家可着色B，以后逢单着色A，逢双着色B，最后一个国家，奇链可着色A，偶链可着色B。
由此可见，国链可以两种颜色构色。
将上述国链的首尾相接即构成闭合国链，简称国圈，国圈上各国家之间，每一国仅与另两国连接。
对国圈进行构色时，两色偶链首尾着色不同，首尾相接时原来的着色即能满足要求；两色奇链首尾着色相同，不能满足国圈着色要求，但只要将首尾中的一个国家改变为第三种着色，国圈即可构色。
因此，最多采用三种颜色即可对国圈进行构色。
以后将最多只有三种构色的国圈称为三色圈（用S表示）。
国链及国圈构色示意图如图3示。
将一条国链的两端国分别与一个构形的一个国家连接，或与同一个国家连接，称为链接。
如果链接的是一个三色构形，国链构色时在涵盖构形可能有的三色范围内选择颜色，自国链一端开始，受与之连接的构形一个国家的一个约束，首个国家只剩余两种选择，依此类推，倒数第二个也有两种选择，但最后一个多了一个来自构形的约束，如果这个约束与倒数第二个一致，那最后一个仍有两种选择，如果这个约束与倒数第二个不一致，那最后一个仍有一种选择。
因此，一条国链链接一个三色构形而成的新构形仍为三色构形，链接不需增加三色或三色以上构形的构色。
图4示意了国链与一个三色圈的链接情况。
三色圈链接一条国链后，新构形仍为三色构形，继续链接其它国链，构形仍保持为三色构形。
将构造一个构形后剩余的区域叫余域（用Y表示）。
可以看到，在一个无限平面或球面上，构造一个三色圈后，一般出现两个不相连通或相邻的余域，每个余域均由该三色圈围闭。
一条国链链接三色圈后，根据定义，两个被链接国将把三色圈分为两段（当只有一个被链接国时，认为其中一段只有这一个国），分别与国链构成一个新三色圈，国链所在区域构造国链后将再出现两个余域，分别被两个新三色圈围闭。
在新构形的余域中再继续构造链接的国链，将可能再出现新三色圈围闭的新余域。
当然，上述将区域一分为二的提法是不定的，如果三色圈或国链扩大到充满一个或两个余域，余域将只有一个或不存在，如果某些国家或连接线里面还有余域，余域将可以更多，但无论如何，每个余域均由三色圈围闭，且互不连通或相邻。
2.2 邻国圈构色考察一个国家的外邻国圈。
当邻国圈各国之间每国仅与另两国相接，邻国圈将是一个国圈，最多只需三种构色。
但如上所述，一般邻国圈构成的闭合圈外，各邻国之间还可能存在其它连线，这些连线将不可能相交，可能的情况是多条连线层层包围，其中，最外围的一条连线将包围若干个邻国和连线，其外再也不存在邻国之间的连线。
把被最外围连线包围的邻国称近邻，一条最外围连线两端的邻国称被链接国，不存在这种跨邻国连线的邻国称邻国链，则一般邻国圈将由若干段近邻、被链接国和若干段邻国链连接而成，如图5（1）示， J1、J2、J3等为各段近邻（各段近邻内各邻国包括被链接国之间的可能连线未示），L1、L2、L3等为邻国链。
在不改变各国构形的情况下，将图5（1）等效表示为图5（2），由于各被链接国与各邻国链等最外层邻国（统称远邻）之间每国均与另两国连接，因此，它们将共同构成一个三色圈（图中外圈），简称远邻圈，一般邻国圈可看作各近邻通过被链接国与一个远邻圈连接而成。
其中，某段近邻（假设图中J1）对应的两个被链接国如果同属一个邻国，则将其合并为一个表示。
处于一条最外围连线范围内的一段近邻，各邻国之间的连线及与被链接国的连线同样不可能交叉，因此，一段近邻与三色圈的连接总可这样构成：自被链接国开始，逐一链接由部分邻国组成的国链。
如图6示的一段近邻，就可参照图4与三色圈连接，连接后的构形仍为三色构形，各近邻和被链接国将构成若干三色圈围闭可能存在的各余域。
依此类推构造其它近邻，最终形成的一个邻国圈将仍为三色构形，若干邻国围闭的可能存在的各个余域，包括先前暂未考虑的可能存在于各邻国或连线里边的余域，均由三色圈围闭。
把若干近邻和被链接国构成的若干三色圈统称为近邻圈。
同理可构造任一可能存在的内邻国圈，同样，把其最内层邻国构成的三色圈称为远邻圈，其它邻国构成的三色圈称为近邻圈。
因此，可得结论：推论一：任一国家，其所有邻国构成的邻国圈，将由最内和最外层邻国组成的若干远邻圈及其它邻国组成的若干近邻圈构成，所有邻国最多只需三种构色，可能存在的各个余域均由若干邻国组成的三色圈围闭。
2.3 一个国家构色如上所述，将一个国家着上有别于其邻国圈的最多第四种颜色，将可满足着色要求。
此时，该国家及其所有邻国总共最多只需四种构色，各余域由若干邻国构成的三色圈围闭。
3 双圈构形及其构色在上述任一由三色圈S1围闭的余域中对另一可能国家及其邻国继续构色，同理，该国家的所有邻国将构成若干三色圈，围闭余域中剩余的区域，其中，最外层邻国构成的三色圈S2将与S1共同围闭新余域，其它新余域全部由其自身邻国围闭，如图7示（其它可能三色圈未示）。
S1、S2之间，各国家可能存在各种连接情况，部分或全部国家可能是两个三色圈的共同国家（简称共域），因此，S1、S2的着色不一定能够统一，S1、S2的组合构形不一定是三色构形，其中的新余域不一定由三色圈围闭。
当S1、S2完全重叠时，全部国家均为共域，S1、S2为同一三色圈；当S1、S2之间各国完全不连接时，它们互不影响，各自可以统一的最多三种颜色构色，其中的新余域仍由三色圈围闭。
而一般的组合构形，构色则比较复杂。
由两个国圈及两圈之间各国的不同连接组合而成的构形称为双圈。
下面对各种可能的双圈构形及其构色予以研究。
3.1 不可变构形及其连接如图8示，上下两条国链L1、L2，自左至右构造各链的国家及它们之间的连接。
首先连接它们左端第一个国家组成基本链，而后在其右边每增加L1或L2一个国家时，该国总与L2或L1现有右端国连接，两条国链这种连接的构形称为不可变构形。
不可变构形中不可能再添加国链之间的连接线，构形的这种连接称为充分连接。
当所构造国家为L1、L2共域时，不可变构形终结，该共域为其单端域；或者当所构造国家不充分连接（即不与另一国链现有右端国连接）时，不可变构形也终结，构造该国前L1、L2各一个端国为其双端域。
不可变构形两端不断构造国家，如果L1、L2闭合成圈前两端分别出现上述终结情况之一，不可变构形将不闭合。
本节讨论的就是这种不可变构形，其端部按国家个数不同（即具有单端域或双端域）分两种形式，端部部分国家的一般构造形式如图9示。
由图8可见，用A、B、C三种颜色对不可变构形构色时，选定相邻两国构色后，以后连接的每国因总是受到前面两国的约束，在三色中能且只能有一种选择，因此，不可变构形是三色构形，且确定其中相邻两国构色后，在三色范围内每国的着色将不可变。
