四色定理

四色定理算法四色定理（four color map theorem）是一个著名的数学定理[1]，即对任意的（平面上的）地图染色，要求相邻的国家颜色不同，四种颜色即可完成着色。

南非数学家法兰西斯·古德里在1852年提出“四色问题”或“四色猜想”。

证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但是四色定理证明持续了很长时间。

四色定理不是地图学的定理，四色定理是第一个由计算机证明的数学定理。

1976年，哈肯及其学生在伊利诺伊大学（即现在UIUC）的IBM360电脑上编程，经过电脑1200小时的验证，他们终于在6月证明四色定理。

1976年6月22日，哈肯和阿佩尔在于多伦多大学召开的美国数学学会（A.M.S.）夏季会议公布他们的结果。

不久，伊利诺伊大学数学系的邮戳上加上了“四种颜色就够了”（FOUR COLORS SUFFICE）的一句话，以庆祝四色猜想得到解决。

1977年，哈肯和阿佩尔将结果写成名为《任何平面地图都能用四种颜色染色》（Every planar map is four colorable）的论文，分成上下两部分，发表在《伊利诺伊数学杂志》（Illinois Journal of Mathematics）上[2][3].这是现在伊利诺伊大学大学厄巴纳香槟分校数学系主楼（离我们CyberGIS办公楼大约2分钟步行距离）。

我和同事曾在午饭后参观过UIUC数学楼，学术氛围非常浓厚。

四色定理被证明后，经历了十几年争议、修正和改进的过程。

1986年，哈肯和阿佩尔应《数学情报》杂志的邀请，发表了1篇清晰易懂的证明总结文章，1989年的最终的定稿超过400页（貌似图论中的经典定理证明都比较长）。

四色定理不是地图学定理，但它是地图学的经典问题。

地图设计的专著中对四色定理描述很少。

四色定理在地图中的应用其实没有想象的那么广，其实原因比较多，第一个是地图着色中可能会有飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家（例如美国的阿拉斯加州），而地图着色时仍需要这两个区域涂上同样颜色。

中科院谈论四色定理中科院谈论四色定理1. 引言：四色定理是一条著名的图论定理，它给出了一个惊人的结论，即任意平面图都可以用四种颜色给图中的所有国家着色，使得任意相邻的国家颜色不同。

这个定理在数学界引起了广泛的关注和研究。

在本文中，我们将从深度和广度两个角度来探讨中科院在谈论四色定理时所提出的观点和理解。

2. 深度探讨：2.1 背景介绍：四色定理最早由英国数学家弗朗西斯·格斯伊在1852年提出，并在正式发表于1977年之前一直是一个猜想。

这个定理经过了长时间的推导和证明，才最终被证明是成立的。

2.2 中科院的观点：中科院认为四色定理在图论领域具有重要的理论和实际意义。

通过研究四色定理，人们能够更好地理解和应用图论的相关概念和方法，同时也为一些实际问题的解决提供了启示。

在地图着色问题中，四色定理的应用可以帮助我们有效地解决颜色分配的困难。

2.3 个人观点：我认为四色定理的证明过程非常复杂和深奥，需要借助大量的数学工具和推导过程。

通过深入研究四色定理，我意识到数学的广度和深度远远超出了我们的想象。

作为一名写手，我深深体会到了数学的美妙之处，也进一步认识到数学在现实生活中的重要性。

3. 广度探讨：3.1 相关概念解析：在讨论四色定理时，我们需要了解一些相关概念，如平面图、着色、相邻等。

平面图是指可以画在平面上，并且不同的边不会相交的图形。

着色是指给图中的每个国家或区域分配一种颜色的过程。

相邻是指在图中两个共享边或顶点的国家之间的关系。

3.2 解决方法：中科院指出，四色定理的证明过程需要借助大量的数学推理和证据，其中最重要的是运用了红蓝可授、细分、降维等方法。

这些方法的运用使得人们能够更好地理解和证明四色定理的正确性。

3.3 总结回顾：通过对四色定理的深入研究，我认识到解决问题的方法和途径远远超出了我们的想象。

在数学领域，我们需要运用多种方法和策略来解决复杂的问题，而这些方法也可以在其他领域或生活中得到应用。

四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界三大数学猜想之一。

四色定理是一个著名的数学定理，通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

1976年借助电子计算机证明了四色问题，问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理。

【问题的提出】1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。

这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。

【肯普的研究】1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。

大家都认为四色猜想从此也就解决了，但其实肯普并没有证明四色问题。

11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。

他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。

不久泰勒的证明也被人们否定了。

人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。

就是说对地图着色，用五种颜色就够了。

不过，让数学家感到欣慰的是，希伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，希伍德证明了较弱的五色定理。

数学中的图的着色问题与四色定理数学中的图论是一门研究图及其性质的学科，其中一个重要的问题就是图的着色问题。

图的着色问题是指如何用有限种颜色给图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边不具有相同的颜色。

这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如地图着色、时间表的安排等。

在图的着色问题中，最著名的就是四色定理。

四色定理是指任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不具有相同的颜色。

这个定理在1852年被英国数学家弗朗西斯·格思·韦尔斯顿和威廉·哈姆顿·伯奇证明，被认为是图论中的一个里程碑。

证明四色定理的过程非常复杂，需要运用大量的数学知识和技巧。

其中一个重要的思想就是通过对图进行适当的分割，将大问题转化为小问题，然后逐步解决。

这种分割的方法被称为“规约法”，即将一个复杂的问题规约为一系列简单的子问题。

通过这种方法，韦尔斯顿和伯奇最终证明了四色定理的正确性。

四色定理的证明引起了广泛的关注和讨论。

人们对于这个问题的兴趣不仅在于它的应用价值，更在于它背后的数学原理和思维方式。

四色定理的证明过程中，涉及到了众多的数学概念和定理，如图的平面性、图的连通性、图的染色等。

这些概念和定理的研究不仅推动了图论的发展，也对其他领域的数学研究产生了重要影响。

除了四色定理，图的着色问题还有其他一些重要的结果。

比如，五色定理指出任何平面图都可以用五种颜色进行着色，六色定理指出任何平面图都可以用六种颜色进行着色。

这些定理的证明过程和四色定理类似，都需要运用复杂的数学技巧和方法。

图的着色问题不仅在理论上有着重要的意义，也在实际应用中发挥着重要的作用。

比如，在地图着色中，我们可以用不同的颜色表示不同的国家或地区，以便更好地区分它们。

在时间表的安排中，我们可以用不同的颜色表示不同的活动或任务，以便更好地组织和管理。

这些应用都离不开图的着色问题的研究和应用。

总之，图的着色问题是数学中一个重要且有趣的问题。

四色定理四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。

德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

基本介绍四色问题又称四色猜想、四色定理是世界近代三大数学难题之一。

地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里FrancisGuthrie的英国大学生提出来的。

德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。

他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。

一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。

1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史：来自地图的启示相传四色问题是一名英国绘图员提出来的此人叫格思里。

4色原理
四色定理是图论中的一个定理，它指出任何平面图都可以用最多四种颜色来进行着色，使得任意相邻的区域具有不同的颜色。

这个定理的证明相当复杂，但可以简化为以下几个步骤：
1. 首先，我们可以将平面图进行简化，移除所有的重复或相交的边。

这样可以保证我们在着色时不会有任何冲突。

2. 接下来，我们可以选择一个任意的区域，并将其标记为第一种颜色。

然后，我们可以依次考虑其他的区域，并根据它们与已经着色的区域的关系来确定它们的颜色。

3. 当我们考虑一个新的区域时，我们需要检查它与已经着色的区域的关系。

如果这个新区域与已经标记为第一种颜色的区域相邻，那么我们可以将新区域标记为第二种颜色。

类似地，如果新区域与第二种颜色的区域相邻，我们可以将其标记为第三种颜色，以此类推。

4. 如果在着色的过程中，我们找不到一种颜色来标记一个新的区域，那么意味着我们需要引入一种新的颜色。

由于我们最多只能使用四种颜色，所以这个定理得到了证明。

需要注意的是，这个定理只适用于平面图，即在一个平面上可以画出来的图形。

如果图形是在三维空间中或者具有其他特殊的拓扑结构，四色定理可能不再适用。

四色定理的证明
王为民（四川南充龙门中学）
四色定理：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

证明：
公理：平面地图上，只有一点相邻的区域不增加颜色的种类，至少有一边相邻才增加颜色的种类。

可以假设平面地图上的区域原来只有一个，后来分出了无数的区域，但是，证明只需要四种颜色就可以把它们区分出来就可以了。

1、地图上的一个连续区域。

2、在这个连续区域内部增加一条线将其一分为二，就增加一个区域，变成两个相邻区域，也就增加一种颜色。

3、在它们的相邻边上增加一个区域，变成三个相邻的区域，又增加一种颜色。

4、选择在三个区域相邻的点再增加一个区域，变成四个相邻的区域，又增加一种颜色，共有四种颜色。

5、在这样的情况下，无论在什么位置选择新增加一个新的的区域，都不能做到五个区域相邻。

也就不能增加区分区域颜色的种类。

6、我们无论怎样重复2、3、4、5这些步骤，把平面上的一个区域分成无论怎样的形状，得到任意形状的地图，我们都无法作出五个有相邻边的区域。

所以，每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

证毕。

肯普证明四色定理引言四色定理是图论中的一个经典问题，它指出任何一个平面上的地图，只需要四种颜色就可以将相邻的区域彼此区分开来。

这一定理由英国数学家弗朗西斯·伯尔·肯普于1976年给出了证明，被誉为图论史上的里程碑。

本文将介绍肯普的证明思路和关键步骤。

一、引入概念为了更好地理解肯普证明四色定理，我们首先需要明确一些关键概念。

在图论中，我们将地图看作是由一系列区域（也称为节点）和相邻关系（也称为边）组成的图。

而四色定理的目标就是要找到一种颜色方案，使得相邻的区域不会被相同的颜色所标记。

二、肯普证明思路肯普的证明思路可以概括为以下四个步骤：分割、约简、重组和验证。

1. 分割：首先，我们需要将地图划分为若干个不相交的区域。

这可以通过引入一些辅助线来实现，使得每个区域都是简单多边形。

分割后的地图称为简化地图。

2. 约简：在简化地图的基础上，我们需要进行约简操作，即将一些特殊的情况转化为一般情况。

其中一个重要的约简操作是将地图中的桥连接（即只有两个节点相邻的边）删除，这样可以减少问题的复杂性。

3. 重组：在约简后的地图上，我们需要将某些区域进行合并，形成更大的区域。

这一步骤的目的是为了将问题转化为一个更简单的形式，使得我们可以通过归纳法来证明四色定理。

4. 验证：最后，我们需要验证合并后的地图是否满足四色定理。

这可以通过逐步添加边，检查是否存在相邻区域被相同颜色标记的情况来进行。

如果我们可以找到一种颜色方案，使得每个区域都与相邻的区域有不同的颜色，那么四色定理就被证明了。

三、关键步骤解析以上是肯普证明四色定理的整体思路，下面将对其中的关键步骤进行详细解析。

1. 分割：在分割地图时，肯普引入了一个概念叫作“三角形邻域”。

他通过添加一些辅助线，将地图分割成一个个简单多边形，并保证每个多边形都有一个三角形邻域。

这样一来，每个多边形就都可以通过三角形邻域与其他多边形相连。

2. 约简：肯普证明了在简化地图的过程中，可以通过删除桥连接来减少问题的复杂性。

四色定理的证明一、四色定理的介绍地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

1976年美国数学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

二、四色定理的证明通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。

反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。

由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。

所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。

1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。

分别如下：图 2说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。

b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分边界。

将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。

内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。

2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中一个分成两个。

对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。

分别如下：图5图6 图8从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。

3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。

方法是先把图形X 分成2个小图形A 和B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。

又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。

四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

用数学语言表示即将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。

数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。

对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。

从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。

这时计算机才刚刚发明。

两人的思想可谓十分超前。

1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。

到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。

于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。

在当地的信封上盖Four colorssutfice四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。

人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。

赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。

后来也的确有人指出其错误。

1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。

1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。

无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。

问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。

四色定理证明过程-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:四色定理是著名的图论问题，最初由英国数学家弗朗西斯·伯兰德提出。

该定理表明，任何平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得任何相邻的区域都拥有不同的颜色。

四色定理在图论中具有重要的地位，它不仅仅是一个数学问题，更是一种对于地图着色问题的普遍性解决思路。

通过证明四色定理，我们可以更好地理解颜色着色问题的本质，以及在实际应用中的意义。

本文将从四色定理的基本概念入手，介绍其证明过程和要点，希望可以帮助读者更深入地理解这一经典的数学问题。

1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分，将对四色定理进行简要概述，介绍文章的结构和目的。

正文部分将分为三个小节：四色定理简介、证明过程概述和证明要点。

在四色定理简介中，将介绍四色定理的背景和基本概念；在证明过程概述中，将介绍证明四色定理的主要思路和方法；在证明要点中，将详细展开证明过程中的关键步骤和技巧。

结论部分将总结全文内容，探讨四色定理的意义和展望。

通过本文，读者将对四色定理的证明过程有一个清晰的了解，同时也能认识到四色定理在数学领域的重要性和影响。

1.3 目的：本文的目的在于阐述四色定理的证明过程，通过详细分析和解释，让读者了解四色定理的重要性和深刻意义。

同时，通过揭示证明过程中的关键要点，帮助读者更好地理解数学领域中的重要定理和证明方法。

通过本文的阐述，希望能够激发读者对数学的兴趣，增强他们对数学知识的掌握和运用能力，促进数学领域的发展和进步。

2.正文2.1 四色定理简介四色定理是数学领域中一项著名的定理，它指出任何一个平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。

这个定理最早由英国数学家弗朗西斯·格斯特在1852年提出，并在1976年被美国数学家康韦·阿佩尔和沃夫冈·汉克尔利用电脑进行证明。

四色定理的重要性在于它证明了一个简单而直观的问题，却需要复杂的数学推理和计算才能得出结论。

四色定理的尝试证明
关于四色定理的证明：
1、容易知道：如果能用四种颜色填充一个平面图（相邻区域颜色不同），则一定能用五种颜色填充。

2、突破口：由此，要证明四色定理，只需证明平面图中的五个区域，不能两两相邻。

如果两两相邻，显然四种颜色是不够的，即此时至少需要五种颜色。

3、欧拉公式：V-E+F=2
V:顶点个数E：弧个数F：区域个数
4、绘图（直观的绘图，五个区域不能两两相邻；然而要得出五个区域不能两两相邻的结论，还需要证明。

）
对图—1的说明：上图分为五个区域，分别对五个区域着色（相邻区
域着不同的颜色）；显然在图—1中，各区域间的关系如下表：
相邻区域A B C D E
A sＹＹＹＹ
BＹsＹＹＹ
CＹＹsＹN
DＹＹＹsＹ
EＹＹＹs
概率法：
假设平面上有五个两两相邻的区域，面积相等；现在向该这五个区域随机地投掷两颗豆子，则：
【1】事件A:每个区域落入豆子的概率为1/5
【2】事件B:两颗豆子落在同一区域的概率为1/5
【3】事件C:两颗豆子落在相邻区域的概率为4/5（这是个假命题）【4】如何发现矛盾呢？————突破口：相邻区域落入豆子的概率不是4/5
不妨设五个区域分别为A、B、C、D、E。

由假设，每个区域必与其他四个区域相邻，那么两颗豆子分别落在A和B上的概率为2/25
‘已知’二维平面中五个不同区域不能两两相邻，而在三维区域中这是
可以实现的；因此，四色定理的证明，可以以非整数维空间来探讨。