共形映射

共形映射知识点总结1. 共形映射的定义共形映射是指一个保角映射，即保持角度不变的映射。

设f(z)是复平面上的一个函数，如果存在一个映射关系g(z)，使得对于任意z1和z2，它们的连线与x轴的夹角相等，则称f(z)是一个共形映射。

一个映射f(z)在z处保持共形，如果它在z处可微且其导数不为0，且满足下面的Cauchy-Riemann条件：\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partialu}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]其中f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是复平面上的一个函数，u和v是实数函数。

2. 共形映射的性质（1）共形映射保持曲线的角度不变。

设f(z)是一个共形映射，若曲线C经过f(z)映射后变为C'，则曲线C与C'在每个点处的切线夹角相等。

（2）共形映射保持比例不变。

设曲线C经过f(z)映射后变为C'，则C'的任意两点之间的距离与C的对应两点之间的距离之比在每个点处相等。

（3）共形映射不存在全纯的双全纯函数。

3. 共形映射的应用共形映射在多个领域有着广泛的应用，包括：（1）在解析几何中，共形映射可以用来描述复平面上的曲线和曲面，它可以将复平面上的各种曲线映射到圆盘上的圆或者半平面上的线段，从而简化对曲线和曲面的研究。

（2）在物理学中，共形映射被广泛应用于流体力学、电磁学和热力学等领域，因为共形映射保持角度和比例不变，它可以帮助研究者简化复杂的物理问题，得到更简洁的物理模型。

（3）在工程领域中，共形映射可以用来处理复杂的结构和材料的问题，比如用共形映射可以将一个复杂结构的材料映射为一个简单的结构，从而方便分析和计算。

（4）在计算机科学和计算机图形学中，共形映射可以用来处理和分析复杂的图形和图像，比如可以利用共形映射将一个图形映射到另一个图形，从而方便比较和分析。

第六章 共形映射§1. 共形映射的概念 补充概念:映射的概念映射的定义:一. 导数的几何意义. , ,, , , 的点集之间的对应关系上必须看成是两个复平面的几何图形表示出来因而无法用同一平面内之间的对应关系和由于它反映了两对变量对于复变函数y x v u ).()( * )( )( , , 或变换的映射函数值集合平面上的一个点集变到定义集合平面上的一个点集是把在几何上就可以看作那末函数值的平面上的点表示函数而用另一个平面的值平面上的点表示自变量如果用G w G z z f w w w z z =. )( 所构成的映射函数这个映射通常简称为由z f w =1. 伸缩率与旋转角若极限z w limz ∆∆∆0→存在，则称此极限值为曲线C 经过映射()z f w =下在0z 点的伸缩率，称角00θϕ-为曲线C 经过映射()z f w =下在0z 点的旋转角. 2. 伸缩率不变性3. 旋转角不变性与保角性例1. 求函数3z w =在z =i 与z =0处的导数，并说明几何意义., ,)(0内一点为内解析在区域设函数D z D z f w =.)(,0)(0的伸缩率不变在那末映射且z z f w z f =≠' , ,)(0内一点为内解析在区域设函数D z D z f w =.)(,0)(0的旋转角不变在那末映射且z z f w z f =≠'部分缩小？哪一平面的哪一部分放大？转动角，并说明它将处的在试求映射z i z z z z f w 212)(2+-=+==例2二. 共形映射的概念定义: 对于定义在区域D 内的映射()z f w =，如果它在D 内任意一点都具有保角性及伸缩率不变性，则称()z f w =为第一类保角映射；如果它在D 内任意一点都保持曲线的交角的大小不变但方向相反，且伸缩率不变，则称()z f w =为第二类保角映射.定理1 若函数()z f w =在区域D 内解析，且()0≠'z f 恒成立，则它所构成的映射为第 一类保角映射.例2. 考察映射z w =.定义 设()z f w =是区域D 内的第一类保角映射，且对于任意21z z ≠，有()()21z f z f ≠成立，则称()z f w =为共形映射.例3. 判断ze w =是否为共形映射.§2. 共形映射的基本问题一. 解析函数的保域性与边界对应原理定理2 （保域性定理）设函数()z f w =在区域D 内解析，且不恒为常数，则像集合()D f G =为区域.定理3 （边界对应原理）设区域D 的边界为简单闭曲线C ，函数()z f w =在C D D =上解析，且将C 双方单值地映射成简单闭曲线Γ.当z 沿着C 的正向绕行时，相应的w 的绕行方向定为Γ的正向，并令G 是以Γ为边界的区域，则()z f w =将D 共形映射成G .例4. 设区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<=10,2arg 0|z z z D π，求D 在映射3z w =下的像集.二. 共形映射的存在惟一性定理4 （黎曼存在惟一性定理）设D 和G 是任意给定的两个单连域，它们的边界至少包含两个点，则一定存在解析函数()z f w =把D 保形地映射为G .如果在D 内和G 内再分别任意指定两个点0z 和0w ，并任给一个实数0θ()πθπ≤<-0，要求函数()z f w =满足()(),z f arg ,w z f 0000θ='=则映射()z f w =是惟一的.§3. 分式线性映射由分式线性函数()0,,,≠-++=bc ad d c b a dcz baz w 为复常数， 构成的映射称为分式线性映射.其逆映射也为分式线性映射.特别地，当0=c 时，则称为（整式）线性映射.一. 分式线性映射的分解 结论：任意一个分式线性映射都可以分解为以下四种映射.()()()()()()()zw r rz w zew b b z w i 14032100=>==+=反演映射相似映射为实数旋转映射为复常数平移映射θθ例5. 将分式线性映射i z z w +=2分解.1. 平移、旋转与相似映射2. 反演映射结论 反演映射是由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成.二.分式线性映射的保形性定理5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射.三. 分式线性映射的保圆性定理6 在扩充复平面上分式线性函数把圆映射为圆.例6. 求实轴在映射i z z w +=2下的像曲线.例7. 求区域{}21,21|<+<-=z z z D在映射i z i z w +-=下的像.四. 分式线性映射的保对称点性引理 扩充复平面上的两点21,z z 关于圆C 对称的充要条件是通过1z 与2z 的任意圆都与圆C 正交.定理7 （保对称点定理）设21,z z 关于圆C 对称，则在分式线性映射下，它们的像点21,w w 关于C 的像曲线Γ对称.例8 求一分式线性映射d cz b az w ++=，将单位圆内部变为上半个平面.五.惟一决定分式线性映射的条件定理8 在z 平面上任给三个不同的点321,,z z z ，在w 平面上任给三个不同的点321,,w w w ，则存在惟一的分式线性映射d cz b az w ++=，把321,,z z z 分别依次地映射为321,,w w w .231321231321::z z z z z z z z w w w w w w w w ----=----（对应点公式）推论1 如果k z 或k w 中有一个是∞，则只需将对应点公式中含∞的项换为1。

复变函数理论中的共形映射及其性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究复平面上的复数函数。

复变函数理论的一个重要概念是共形映射。

共形映射是指保持角度不变的映射关系。

本文将讨论复变函数理论中的共形映射及其性质。

一、共形映射的定义共形映射是指保持角度不变的映射关系。

设f(z)是一个定义在复平面上的复变函数，如果对于平面上任意两条非平行的曲线，这两条曲线在映射f下的对应曲线的切线之间的夹角等于原曲线对应切线的夹角，那么称f(z)是一个共形映射。

二、共形映射的性质1. 保角性质：共形映射保持角度不变。

设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，如果z1、z2、w1和w2在同一条直线上，那么它们的夹角相等。

2. 保距性质：共形映射保持距离不变。

设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，那么z1和z2之间的距离等于w1和w2之间的距离。

3. 保边界性质：共形映射保持边界不变。

若一个区域的边界曲线在共形映射下映射到另一个区域，那么映射后的曲线仍然是原来区域的边界曲线。

4. 保圆性质：共形映射将圆映射为圆。

具体来说，若一个圆在共形映射下映射为另一个曲线，那么映射后的曲线仍然是圆。

三、常见的共形映射复平面上的共形映射有很多种，下面介绍几种常见的共形映射：1. 线性变换：线性变换是一类共形映射，表达形式为f(z)=az+b，其中a和b是复数，a≠0。

线性变换可以将直线映射为直线或者圆。

2. 幂函数：幂函数是一种共形映射，表达形式为f(z)=z^n，其中n是整数。

幂函数可以将圆映射为圆或者直线。

3. 分式线性变换：分式线性变换是另一类共形映射，表达形式为f(z)=(az+b)/(cz+d)，其中a、b、c和d是复数，ad-bc≠0。

分式线性变换可以将圆、直线或者半平面映射为圆、直线或者半平面。

四、应用领域共形映射在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有广泛的应用。

内容简介
在第一章曾讲过w=f (z )在几何上，可以看作是平面上的一个点集G (定义集合)变到w 平面上的点集G* (函数值集合)的映射(或变换)，这个映射通常称为由函数w=f (z )所构成的映射。

*)(G
w G z z f w ∈⎯⎯→⎯∈=称为的原象。

的象点（映象），而为z z w ~~~~~~~~~~~~~~~~
第六章共形映射
第六章共形映射
:C 增大时点它的正向取t 1. 曲线的切线
)()(000方向相同则割线的方向向量t t z t t z p Δ−Δ+，的参数分别为若t t t t z ,,0)('000∈≠设连续曲线方向。

对应于参数割线p p 0
2. 解析函数导数的几何意义,,)(0∈=f D z D z f w 且内解析在区域设]
,[)(::0βα∈=t t z z C z D 引一条有向光滑曲线内过在)(00增大方向的曲线，正向取过点—t z f w =Γ)
(),(000t z z t =∈βα取0)('0≠t z :)(:)(w w t z z C z z f w Γ→==平面上平面上~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3. 共形映射的概念
)(00为共形的，或称在变性具有保角性和伸缩率不的邻域内有定义，且在在设f w z z z f w ==~~~~~~
定义)()(内是共形映射在区域内每一点都是共形的，在若D z f w D z f w ==~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~。

复分析中的共形映射与Riemann映射定理在复分析领域中，共形映射和Riemann映射定理是重要的概念和定理。

本文将介绍这两个概念以及它们的应用。

一、共形映射共形映射是指在复平面上保持角度不变的映射。

具体来说，设f(z)是一个定义在复平面上的函数，如果对于复平面上的任意两条曲线，它们的切线之间的夹角在映射后保持不变，即有：∠(f'(z1), f'(z2)) = ∠(z1, z2)，其中z1和z2是复平面上的任意两点，f'(z)表示f(z)的导数。

共形映射具有许多重要性质，例如保持曲率、保持距离等。

在复分析中，共形映射在解析函数论、几何学等领域都有广泛的应用。

二、Riemann映射定理Riemann映射定理是Riemann几何学的重要结果之一，它表明任何两个连通开集之间都存在一个共形映射。

具体来说，设D和G是两个连通的开集，且它们都不等于整个复平面。

那么存在一个共形映射f，把D映射为G。

Riemann映射定理的重要性在于它使得我们可以用简单的几何形状来研究更复杂的区域。

通过将一个区域映射为另一个简单的区域，我们可以更好地理解和研究原始区域的性质。

三、共形映射的应用共形映射在许多领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用：1. 圆内映射共形映射可以将一个圆内的区域映射为单位圆内的区域。

这个应用在物理学、工程学等领域中有广泛的应用，例如将电场的分布映射为圆形导体上的电荷分布。

2. 图像处理共形映射在图像处理中也有重要的应用。

通过共形映射，我们可以将图像的某一部分映射为另一个形状，从而实现图像的扭曲、旋转等效果。

3. 地图投影地图投影是指将地球的曲面映射到平面上，以便于制作地图。

共形映射在地图投影中具有重要的作用，它可以保持地球上的角度关系，使得地图在保持几何形状的同时能够更好地表示各个地区的相对位置。

四、Riemann映射定理的应用Riemann映射定理的应用非常广泛，以下列举几个典型的应用：1. 解析函数的性质研究通过Riemann映射定理，我们可以将解析函数的定义域映射为单位圆内的区域，从而可以更好地研究解析函数的性质。