图形的全等-PPT课件

三、概念剖析
为了方便书写，我们可以用符号表示两个三角形的全等.
例如△ABC与△DEF是全等的，
A
D
可以记作：“△ABC ≌△DEF”，
读作：“△ABC 全等于△DEF”． B
CE
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.
例如，△ABC与△DEF全等，点A 与点D、点B 与点E、点C 与点F为对应
三、概念剖析
猜想：全等三角形对应边和对应角有什么关系呢？ 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
应用格式 ∵△ABC≌△DEF，
A
D
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F B
CE
F
四、典型例题
例1.如图△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应点.
在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形， 这样的图形叫做全等形．研究全等形的性质和判定两个图形全等 的方法，是几何学的一个重要内容，本章将以三角形为例，对这 些问题进行研究．
同一种剪纸
风扇的叶片
上一章我们通过推理论证得到了三角形内角和定理等重要结 论．本章中，推理论证将发挥更大的作用.我们将通过证明三角 形全等来证明线段或角相等，利用全等三角形证明角的平分线的 性质.通过本章学习，你对三角形的认识会更加深入，推理论证 能力会进一步提高.
新知一览
全等三角形
“边边边”
全
等
三角形全等
“边角边”
三
的判定
“角边角”“角角边”
角
“斜边、直角边”
形 角平分线的性质
角平分线的性质
角平分线的判定
第十二章 全等三角形

全等图形
五环
奥运
同一张底片洗 出的相同尺寸 的照片
你发现了什么？
一模一样
几何中，我们把上面所列 举的“一模一样”的图形叫做 “全等图形”。
思考：
那么我们怎么给“全等图形” 下一个几何定义呢？
请您欣赏
可爱
的兔
子
好 好 学 习 报 效 祖 国
国旗
同一张底片 洗出的相同 尺寸的照片
国画
看了刚才的图片,你有什么发现?
第2个三角形是由第1个三角形怎样变换得到的？ 要画出第3个三角形，你应该先确定哪几个点？怎样确定？ 你有什么办法验证画出的三角形与原来的三角形是全等的吗？ 你能画出各组的第5、6个三角形吗？有什么发现？
请你用不同的方法沿着网格线把正方 形分割成两个全等的图形
练一练
我们看看下面的几种划分方法，与你的 划分方法对比一下，看看自己是如何划 分的。
艺术家 M.C.埃舍尔
把自己称为一个 “图形艺术家”他 专门从事于木板画。 在1956年举办的艺 次画展得到了许多 数学家的称赏，在 他的作品中数学的 原则和思想得到了 非同寻常的形象化。
定义
全等图形 两个能够重合的图 形称为全等图形
议一议：
1、说说你生活中见过的全等图形的例子。
下列同一类的两个图形是怎样由一个图形得到另一个图 形的？它们一定全等吗？
一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形一 定与原图形全等
议一议
2、观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
大小 不同
形状 相同 形状 不同
（正确） 半径相等的两个圆是全等图形
观察下图3组全等三角形，在各组图中，第2个三角形是怎 样由第1个三角形改变位置得到的？按照相同的方法，在图 （1）、（2）、（3）中分别画出第3、4个三角形

新知讲解
全等的表示方法
A
F
B
CD
E
△ABC 与△DEF 全等 记作“△ABC ≌△DEF ” 读作： △ABC 全等于△DEF 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
新知讲解
【议一议】 全等三角形对应边的高、中线相等吗？还有哪些相等的线段，举例 说明．
相等 全等三角形对应角的角平分线也相等
＝2∠CAB＋10°＝120°， ∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°， ∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°.
课堂总结
全等形：能够完全重合的 两个图形叫作全等形.
全等三角 形
全等三角形：能够完全重合的两个 三角形叫作全等三角形.
全等三角 形的性质
全等三角形的 对应边相等
新知讲解
【议一议】
如图 ，已知△ABC ≌ △A′ B′ C′ ，你如何在△A′ B′ C′ 中画出与线
段DE 相对应的线段？
A
A′
E
B
D
C B′
C′
新知讲解
【议一议】 如图 ，已知△ABC ≌ △A′ B′ C′ ，你如何在△A′ B′ C′ 中画出与线 段DE 相对应的线段？
①在A'B'上截取B'E'=BE,在B'C'上截取B'D'=BD
（1）你能说出生活中全等图形的例子吗？
（2）观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴交 流．
形状相同 大小不同
形状不同 大小相同
√
新知讲解
（3）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同吗？
全等图形的形状和大小都相同．

△ABC≌△FDE
对应的位置上.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 全等三角形的有关概念及性质
例 如图，已知△ABD≌△CDB，∠ABD＝∠CDB，写出其对应边和对应角．
解：BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边； ∠A与∠C，∠ABD与∠CDB，∠ADB与 ∠CBD是对应角．
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
角形的定义.
A
D
B
CE
F
定义：能够完全重合的两个三角形,叫作全等三角形.重合的点 叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
全等三角形的有关概念及性质
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
A
F
B
CD
E 记两个三角形全等
时，通常把表示对
应顶点的字母写在
全等三角形的有关概念及性质
对应元素 确定方法
对应边
长对长，短对短，中对中 公共边一定是对应边
大角对大角，小角对小角 对应角 公共角一定是对应角
对顶角一定是对应角
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
全等三角形的有关概念及性质
练一练：如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角 形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.
那么BC的长是( A ) A.7cm
C
D
B.5cm
C.4cm
D.无法确定
A
B
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
3.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°， 则∠EAC的度数为( B ) A.40° B.35° C.30° D.25°

EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
E
D
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°， ∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， ∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7， ∴CF＝BC－BF＝7－4＝3．
C A
F B
典型例题
例4．如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝ 25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．
探究新知
②如图，已知△ABC≌△A′B′C′，在△A′B′C′中画出与线段DE相 等的对应线段．
典型例题
例1．下列四个图形是全等图形的是（ C）
A ．（1）和（3） C ．（2）和（4）
B ．（2）和（3） D ．（3）和（4）
典型例题
例2．如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三
探究新知
下面这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们 就能重合．你能分别从图中找出这样的图形吗？
定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形．
探究新知
观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？
全等图形的性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同．
探究新知
A
D
B
C
E
F
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（2）如图，△ACB≌△A′C′B′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数 为___3_0_°_____ ．
随堂练习
（3）如图，C为直线BE上一点，△ABC≌△ADC，∠DCF＝ ∠ECF，则AC和CF的位置关系是 A_C__⊥__C_F．
随堂练习
4．找出下列图形中的全等图形．
（1） （2） （3） （4） （5） （6）

∴AC=AD .
讲解新课
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A
AB=AC
∠B=∠C
∴ △ABE≌△ACD （ASA)
∴AD=AE
∵AB=AC
∴BD=CE
.
课
堂 如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件
E
的条件，不难发现图3是由图2平移而得。 利用AE=CF，可得：AF=CE
证明：∵AD∥BC（已知）
F
B
C
图3
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE 在△AFD 和△CEB 中
AD=CB（已知）
问：若求证∠D=∠B ，
如何证明？
∠A=∠C（已证）
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
D C
.
小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？A 在原有条件下，还能推出什么结论？
B
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
.
D C
归纳：二个三角形全等的判定方法
对应 相等 的元
素
两边一角 两角一边
两边及其 两边及其 两角及其 两角及其
写为“ASA”)
.
讲解新课:
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明：∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理） 在△ACB和△ADB中
∠DAB=∠CAB AB=AB （共用边） ∠ABD=∠ACD

即：AF⊥CD
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021 1:19:18 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/282021/2/282021/2/28Feb-2128-Feb-21
又∵AC=AB+BD
∴∠B＝2∠C
∴CE=DE
根据等腰三角形的两个底角相等 ∴∠C＝∠EDC
14、如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝
∠E，∠BAF＝∠EAF，试说明AF⊥CD。
解答：连结AC、AD
A
在△ABC与△AED中
∵AB＝AE
∠B＝∠E
B
E
BC＝ED
∴△ABC≌△AED (SAS)
CF D
M
解： △MPQ ≌ △PNR
P 因为P是MN的中点，
Q
所以MP=PN，
N
R又因为MQ=PR，P源自=NR，根据SSS可以知道，
△MPQ ≌ △PNR。
5.点A，B，E在同一直线上，∠ DBE=∠ CBE，
BC=BD，找出图中所有全等的三角形，并说明
理由。你能说出两组相等的角吗？
C
A
B
解：△CBE≌ △DBE
D
A' E' C
A
B
E
8、如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D， BE⊥AC，垂足为E，AD、BE相交于点F。如果
BF＝AC，那么∠ABC的度数是 （ B ）

10．如图，△ABC≌△DBE，AB⊥BC，DE的延长线交AC于点F ，那么DF与AC垂直吗？为什么？
∴∠DBE＝90°
∴DF⊥AC
F
E
D
C
B
A
三、解答题
请按暂停键完成此题
请按暂停键完成各题
课外研讨
12、如图，△ABC≌△ADE，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC，DE相交于点F，求∠DFB的度数。
∵△ABC≌△FDE
∴A B=F D，A C=F E，B C=D E（全等三角形对应边相等）
∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形对应角相等）
6、全等三角形的性质
如图△ABC≌ △A’B’C’图中红色线段是对应边中线，紫色线段为对应边角平分线，蓝色线段为对应边高
3、还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积也相等．
北师大版数学七年级下册第四章 三角形图形的全等
1.了解全等图形的概念，会判断两个图形是不是全等图形.2.理解全等三角形的概念，能正确表示全等三角形，能识别全等三角形中的对应边、对应角.(难点）3.掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质解决相关问题.（重点）
学习目标
图形的全等
把它们叠在一起，能够完全重合
F
E
D
C
B
A
我校要修一座等边三角形花池（形状如下），有这么几种方案： 1、把它分成两个全等的三角形 2、把它分成三个全等的三角形 3、把它分成四个全等的三角形请你设计图纸
请按暂停键完成此设计
完全重合
对应顶点
对应边
对应角
相等
相等
对应位置
3.最长边与最长边（最短边与最短边）为对应边； 最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；

D
B
∵△AOC≌△BOD
∴AO=BO,AC=BD,OC=OD.
∴∠A=∠B,∠C=∠D,
O
∠AOC= ∠BOD.
A
C
规律二：有对顶角的，对顶角是对应角
试一试4：
先写出全等式，再指出它们的对应边 和对应角
∵△ABC≌△ADE
A
∴AB=AD,AC=AE,BC=DE
∴∠A=∠A,∠B=∠D, ∠ACB= ∠AED.
则∠OAD=______°
B
A
D
C
3. 如图,已知Rt△ABD中,∠ABD=90°,
E
以B为中心把△ABD绕B点顺时针旋转90° 得△EBC,若∠A=35°,则∠ECB的度数=______°
D
A
BC
4.如图，
(1)∵△ABE≌△CDF（已知）
∴AE=_____( )
即____+ EF = ____ + EF
C
E
D
B
规律三：有公共角的，公共角是对应角
试一试5：
先写出全等式，再指出它们的对应边 和对应角
∵△ABC≌△DEC
∴AB=DE,AC=DC, BC=EC
∴∠A=∠D,
A
∠B=∠E,
∠ACB= ∠DCE.
C
E
D
B
规律四：一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边
试一试6：
先写出全等式，再指出它们的对应边 和对应角
对应角是: ∠BOF和∠COE、 ∠BFO 和∠CEO、 ∠ FOB和 ∠EOC。对应边是：OF和OE、OB和OC、BF和CE。
课堂检测
D
C
1. 如图,△ABC ≌ △ BAD,如果AB=6cm,

以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，
长度为2.5cm的边所对的角为40° ，
情况又怎样？动手画一画，你发现了
什Hale Waihona Puke ？CFA 40°
B
40°
D
E
结论：两边及其一边所对的角相等，
两个三角形不一定全等
巩
若AB=AC
固
练
则添加什么条件可得ΔABD≌ΔACD
习
A
ΔABD≌ΔACD
S
A
S
AD=AD ∠BAD= ∠ CAD AB=AC
回顾与思考
如果已知两个三角形有两边和一角对应相
等时，应分为几种情形讨论？
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ａ’
Ａ’
Ｂ’
Ｃ’
边－角－边
Ｂ’
Ｃ’
边－边－角
做 一 做
画一个三角形，使它的一个内角为
45° ,夹这个角的一条边为３厘米，另
一条边长为４厘米.
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
CF
3cm
45°
AD 4cm
BE
实践与探索
壮词与结尾一句话是否相符？
相符。 一方面表明了前面所描述的年轻时的
经历现在只是一种追忆。 一方面说明自己已年近半百，还能有
机会实现自己的理想吗? 所以最后一句也是壮语，只是它已变
雄壮为悲壮，充满了作者壮志不遂的抑郁、 愤慨。
本文凭什么可以称得上是“壮词”？
•
明确： • 从题材看写军营生活； • 从情感看表达了建功立业的雄心壮志； • 从语言看豪放、壮丽。
“沙场秋点兵”。 秋天在沙场上检阅军队，阵 容威武雄壮秋高马肥，把杀气腾腾的气氛渲染 得符合实际 。

相同
大小 相同
(2)
全等图形必须形状、大小完全相同
请观察，并说出你看到的现象
请观察，并说出你看到的现象
结论：这两个三角形完全重合
能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形
平
移
A
D
B
CE
F
图中两个三角形全等吗？ 全等
D
B
旋 转
O
A
C
图中两个三角形全等吗？ 全等
C
翻 转
A
B
D 图中两个三角形全等吗？ 全等
请观察，并说出你看到的现象
请观察，并说出你看到的现象
请观察，并说出你看到的现象 结论：这两个图形能够完全重合
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形
这两个正方形就是全等正方形
全等形的特征：大小，形状完全相等。
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？
形状
(1)
练一练1：
先写出全等式，再指出它们的对应边 和对应角
C
F
A
D
B
E
本章小结： 1.全等形的定义 2.全等三角形的定义 3.全等三角形性质 4.能够找出三角形的对应角、对应边
作业：课本33页1翻 折、旋转后的图形全等

这两个三角形就是全等三角形
“全等”用符号“ ≌ ”来表示 读作“全等于”
A
D
B
CE
F
≌ 三角△形 ABC 全等于 三角△形 DEF
A
D
△ABC ≌△DEF
B
CE
F
互相重合的顶点叫做对应顶点
AD
BE
CF
互相重合的边叫做对应边

（20206年）10月和2日 （14）、（8）和（11）
6
沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个 全等图形（至少找出两种方法）
如果上图1是4×4的方格子有哪些分割方法？
2020年10月2日
7
2020年10月2日
8
2020年10月2日
9
随堂练习：
1、如图，做四个全等的小“L”型纸片， 将它们拼成一个与大“L”全等的图案。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
13
形状 相同
大小 相同
全等图形的形状和大小都相同
2020年10月2日
4
观察下列各组图形是不是全等图形?为什么?
1.
不全等
2.
全等
3. 4.
2020年10月2日
全等
不全等
5
（1）
（2） （3）
（4）
（5）
(6)
（7）
（8）
（9） （10）
（11）
（12）
（13）
（14） (15)
答：（2） 和（4）、（3）和（12）、（5）和（15）
2020年10月2日
12
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
七年级（下册）
2020年10月2日
1
请欣赏图片(一)
2020年10月2日

注意事项
在证明过程中，需要注意两边和所夹 的角分别相等的条件必须同时满足， 且所夹的角必须是两边的夹角，否则 不能得出全等的结论。
角边角（ASA）判定定理证明
基本思路
证明方法
注意事项
如果两个三角形有两个角和它们的夹边 分别相等，则这两个三角形全等。
可以通过构造法或者余弦定理来证明。 构造法可以构造出两个三角形，然后通 过证明它们有两个角和夹边分别相等来 得出它们全等的结论。余弦定理可以通 过三角形的边角关系来证明两个三角形 有两个角和夹边分别相等，从而得出它 们全等的结论。
注意事项
在证明过程中，需要注意两个角和其 中一个角的对边分别相等的条件必须 同时满足，否则不能得出全等的结论。 同时，AAS和ASA的区别在于所给的条 件不同，但都可以用来判定两个三角 形是否全等。
04
全等三角形的应用举例
Chapter
在几何证明中的应用
证明线段相等
通过证明两个三角形全等，可以推出它们对应的边相等，从而证 明线段相等。
全等三角形的判定ppt课件完整版
目录
• 引言 • 全等三角形的判定方法 • 全等三角形判定定理的证明 • 全等三角形的应用举例 • 实验操作与探究 • 全等三角形判定的拓展与延伸
01
引言
Chapter
三角形的定义与性质回顾
三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺 次相接所组成的图形。
三角形的分类
在证明过程中，需要注意两个角和夹边 分别相等的条件必须同时满足，且所夹 的边必须是两个角的夹边，否则不能得 出全等的结论。
角角边（AAS）判定定理证明
基本思路
证明方法
如果两个三角形有两个角和其中一个 角的对边分别相等，则这两个三角形 全等。