【新题型】2020年新高考数学多选题与热点解答题组合练 提升套餐练02(解析版)

提升套餐练06一、多选题1．某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg ）变化情况：对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数较健身前增加了2人 B ．他们健身后，体重原在区间[)100,110内的人员一定无变化 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[]110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直方图计算健身前后体重分别在区间[)90,100、[)100,110、[]110,120的人数以及平均数，进而可得出结论. 【详解】体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，增加了2人，故A 正确； 他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故B 错误； 他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[]110,120内的人员，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查直方图的应用，考查频数以及平均数的计算与应用，考查计算能力，属于基础题. 2．给出下面四个推断，其中正确的为（ ）. A ．若,(0,)a b ∈+∞，则2b a a b+；B ．若,(0,)x y ∈+∞则lg lg 2lg lg x y x +⋅C ．若a ∈R ，0a ≠，则44a a+； D ．若,x y ∈R ，0xy <，则2x yy x+≤-. 【答案】AD 【解析】 【分析】由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D 正确，选项B ，C 错误. 【详解】解：对于选项A ，因为,(0,)a b ∈+∞，则22b a b aa b a b+⨯=，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，即选项A 正确；对于选项B ，当,(0,1)x y ∈时，lg ,lg (,0)x y ∈-∞，lg lg 2lg lg x y x +⋅B 错误；对于选项C ，当0a <时，44a a+显然不成立，即选项C 错误； 对于选项D ，0xy <，则0,0y x x y ->->，则[()()]2()()2x y x y x yy x y x y x+=--+-≤--⨯-=-，当且仅当()()x yy x-=-，即x y =-时取等号，即选项D 正确， 即四个推段中正确的为AD ，故答案为：AD. 【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题.3．已知向量(22cos 3m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 （ ） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的周期为π C ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】解：()22cos 3sin 2cos23sin 21f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确； 当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确； 当,03x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确.故选：ABD. 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.4．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE ∆是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥时，平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥时，直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为104C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM =EN 【答案】AC 【解析】 【分析】推导出BC ⊥平面CDE ，结合面面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，证明出EF ⊥平面ABCD ，找出直线EA 与平面ABCD 所成的角，并计算出该角的正弦值，可判断B 选项的正误；利用反证法可判断C 选项的正误；计算出线段BM 和EN 的长度，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】因为BC CD ⊥，BC DE ⊥，CDDE D =，所以BC ⊥平面CDE ，BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，则EF CD ⊥. 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE .EF ∴⊥平面ABCD ，设EA 平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，223EF CE CF =-=225AF AD FD =+=，2222AE EF AF =+=6sin 4EF EA θ==，B 项错误；连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B 、M 、E 确定的面即为平面BDE ， 当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确； 连接FN ，FN ⊂平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，EF FN ∴⊥，F 、N 分别为CD 、BD 的中点，则112FN BC ==， 又3EF=222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+BM EN ≠，D 项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、线面角的计算以及异面直线的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、解答题5．已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，3sin b aB =. （1）求角A 的大小；（2）若4a =3b c -的取值范围. 【答案】（1）6π；（2）(4,43. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得tan A 的值，进而求得角A 的大小.（2）利用正弦定理求出,b c 的表达式，利用辅助角公式进行化简，然后根据三角函数值域的求法，求得3b c -的取值范围.【详解】 （1）由3sin cos b a B A =及正弦定理得：sin 3sin cos B AB A=， ∴3tan A =， 又∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6A π=.（2）28sin a RA，)531323sin 83sin 8cos 62b c RB C B B B B π⎫⎡⎤⎛⎫-=-=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎦⎝⎭8sin 6B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又∵ABC 为锐角三角形， ∴,32B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即,663B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，(34,43b c -∈. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查辅助角公式以及三角函数值域的求法，属于中档题. 6．已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析，212n n n a +=；（2）2552nnn S +=-. 【解析】 【分析】（1）将等式11122n n n a a --=+变形为11222n n n n a a --=+，进而可证明出{}2n n a 是等差数列，确定数列{}2nna 的首项和公差，可求得2nna的表达式，进而可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n S .【详解】 （1）因为()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N ，所以11222n n n n a a --=+，即11222n n n n a a ---=， 所以数列{}2nn a 是等差数列，且公差2d =，其首项123a =所以23(1)221nn a n n =+-⨯=+，解得212n nn a +=； （2）231357212122222n n n n n S --+=+++⋅⋅⋅++，① 42313572121222222n n n S n n +-+=+++⋅⋅⋅++，② ①-②，得23111112131112132142212222222212n n n n n S n n -++⎛⎫⨯⨯- ⎪++⎛⎫⎝⎭=+⨯++⋅⋅⋅+-=+- ⎪⎝⎭-152522n n ++=-， 所以2552n nn S +=-. 【点睛】本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，2SA AB BC ===，1AD =.（1）若M 为棱SB 的中点，求证：AM //平面SCD ；（2）当2SM MB =时，求平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求当sin θ取最大值时点N 的位置. 【答案】（1）见解析；（26（3）即点N 在线段CD 上且115ND =【解析】 【分析】（1）取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．可证AMED 是平行四边形，从而有//AM DE ，则可得线面平行；（2）以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面AMC 与平面SAB 的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<，求出MN ，由MN 与平面SAB 所成角的正弦值为MN 与平面SAB 的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论． 【详解】（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．在中，ME 为中位线，∴//ME BC 且12ME BC =， ∵//AD BC 且12AD BC =，∴//ME AD 且ME AD =， ∴四边形AMED 为平行四边形． ∴//AM DE ．∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ， ∴//AM 平面SCD ．（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()A 0,0,0，()B 0,2,0，()C 2,2,0，()D 1,0,0，()S 0,0,2，由条件得M 为线段SB 近B 点的三等分点． 于是2142(0,,)3333AM AB AC =+=，即42M 0,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设平面AMC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00AM n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，将坐标代入并取1y =，得(1,1,2)n =--． 另外易知平面SAB 的一个法向量为m ()1,0,0=， 所以平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为m n m n⋅66=． （3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<． 由于42M 0,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN 102x,2x ,33⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．所以221sin 401041041401553993MN m x MN mx x x xθ⋅===-+⋅-⋅+， 可知当401153208x 269-=-=，即26x 15=时分母有最小值，此时有最大值，此时，2622N ,,01515⎛⎫⎪⎝⎭，即点N 在线段CD 上且115ND =． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．8．某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100的为一等品；指标在区间[)60,80的为二等品.现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：()1若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；()2将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体.若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）56；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值； （2）由题意知随机变量X ～B （3，45），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】()1由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中有一等品：()0.040.030.01510040(++⨯⨯=件)， 二等品：1004060(-=件)，所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件． 记事件A 为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，则()36310C 5P A 1C 6=-=；()2由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中，一等品的频率为()0.040.060.040.0250.8+++⨯=， 二等品的频率为0.2；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数4X B 3,5⎛⎫⎪⎝⎭～， 所以()0303141P X 0C ()()55125==⋅⋅=，()12131412P X 1C ()()55125==⋅⋅=， ()21231448P X 2C ()()55125==⋅⋅=，()30331464P X 3C ()()55125==⋅⋅=；X ∴的分布列为：X 0123P1125 12125 48125 64125所以数学期望为()E X 3.55=⨯= 【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的应用问题，是中档题,第二问关键是确定为二项分布.9．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ6；（Ⅲ）1. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（Ⅰ）由题意得222c =，所以2c =又63c e a ==，所以3a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则()222212121264114m AB k x k x x x x ⨯-+-++-， 易得当20m =时，max ||6AB =AB 6； （Ⅲ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式2211AB k x =+-变形为221212||1()4AB k x x x x =++-关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.10．（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-. 【答案】（Ⅰ）函数()f x 在(1-22-+，上单调递减，在()-22,+∞单调递增；（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）先对函数()f x 求导，再对x 的取值范围进行讨论，即可得()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()22ln 11x g x x ax x =++-+，先对函数()g x 求导，再对a 的取值范围进行讨论函数()g x 的单调性，进而可得a 的最小值；（Ⅲ）先由已知条件求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和，再把11ln 2n n n na S a a ++>-转化为()()111ln 112123n n n n ++<+++++，由（Ⅱ）可得()()2ln 121x x x x ++<+， 0x >，令1x n =，可得()1111ln 1ln 21n n n n n⎛⎫+-+-< ⎪+⎝⎭，进而可证()()111ln 112123n n n n++<+++++，即可证11ln 2n n n na S a a ++>-．试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()1-+∞，， ()()22421x x f x x ++=+'1分当122x -<<-+ ()0f x '<，当22x >-+ ()0f x '>2分所以函数()f x 在(1-22-+，上单调递减，在()-22,++∞单调递增. 3分 （Ⅱ）设()()22ln 11x g x x ax x =++-+，则 ()()()()()22222121142112111x x x x g x a a a x x x +++-++⎛⎫=-=-=--+- ⎪+⎝⎭++'因为x ≥0，故211101x ⎛⎫-<--≤ ⎪+⎝⎭5分（ⅰ）当2a ≥时， 20a -≤， ()0g x '≤，所以()g x 在[)0,+∞单调递减，而()00g =，所以对所有的x ≥0， ()g x ≤0，即()f x ≤ax ；（ⅱ）当12a <<时， 021a <-<，若220,a ax ⎛-+-∈ ⎝⎭，则()0g x '>， ()g x 单调递增，而()00g =，所以当220,a ax ⎛-+-∈ ⎝⎭时， ()0g x >，即()f x ax >； （ⅲ）当1a ≤时， 21a -≥， ()0g x '>，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，而()00g =，所以对所有的0x >， ()0g x >，即()f x ax >； 综上， a 的最小值为2. 8分（Ⅲ）由()()1111n n a a +-+=得， 11n n n n a a a a ++-=⋅，由11a =得， 0n a ≠， 所以1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列， 故1n n a =， 1n a n =， 111n a n +=+9分 11ln 2n n n na S a a ++>- ⇔ ()()111ln 112123n n n n++<+++++由（Ⅱ）知2a =时， ()22ln 121x x x x ++≤+， 0x >， 即()()2ln 121x x x x ++<+， 0x >. 10分法一：令1x n=，得()111ln 21n n n n n ++<+， 即()1111ln 1ln 21n n n n n⎛⎫+-+-< ⎪+⎝⎭ 因为()()()1111ln 1ln ln 12121nk nk k n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑11分 所以()()111ln 112123n n n n++<+++++12分 故11ln 2n n n na S a a ++>-12分 法二：11ln 2n n n na S a a ++>- ⇔ ()()1111ln 12321nn n n ++++>+++ 下面用数学归纳法证明．（1）当1n =时，令1x =代入()()2ln 121x x x x ++<+，即得11ln24>+，不等式成立（2）假设()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即()()1111ln 12321k k k k ++++>+++ 则1n k =+时， ()()111111ln 1231211k k k k k k +++++>++++++ 令11x k =+代入()()2ln 121x x x x ++<+，得()()121ln 11212k k k k k +>+++++ ()()()()()()121ln 1ln 1ln 211211212k k k k k k k k k k k ++++>++++++++++()()()()()()211ln 2ln 221222k k k k k k k k +++=++=+++++即()()111121ln 223122k k k k +++++>++++ 由（1）（2）可知不等式()()1111ln 12321n n n n ++++>+++对任何n *N ∈都成立. 故11ln 2n n n na S a a ++>-12分 考点：1利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n 项和；5、不等式的证明．视频。

基础套餐练10一、【多选题】1．下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．B ．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16． 2．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有（ ）.A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于点,08π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x的图象可由函数2y x =的图象向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到. 3．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()()22f x f x f -=+成立，当[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A ．()()()()12320190f f f f +++⋅⋅⋅+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[]7,7-上有5个零点D ．函数()y f x =在[]7,5--上为减函数4．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()xg x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12BC ．2e D二、【热点解答题】5．在ABC ∆中，三个内角分别为、、A B C ，已知sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求角A 的值； （2）若0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5A B -=，求sin B .6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()233n n S a n N +=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记41n nn b a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T .7．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为四边形，ABD ∆是边长为2的正三角形，BC CD ⊥，BC CD =，PD AB ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD .（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）若二面角C PB D --的平面角的余弦值为6，求PD 的长.8．某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间()t ，结果如下：类别 铁观音 龙井 金骏眉 大红袍 顾客数（人）20 30 40 10 时间t （分钟/人） 2346注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率. （1）求服务员恰好在第6分种开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；（2）用X 表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X 的分布列及数学期望.9．已知椭圆E ：()22221?0,?0x y a b a b +=>>的离心率32e =，并且经过定点1 (3,)2P （1）求椭圆E 的方程；（2）问是否存在直线y=-x+m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，满足125OA OB ⋅=，若存在求m 值，若不存在说明理由．10．已知函数()ln (0)f x x x x =>. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意23(0,),()2x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值.。

2020年高考题型练习一、【多选题提升练】1．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B ．支出最高值与支出最低值的比是5:1C ．第三季度平均收入为5000元D ．利润最高的月份是3月份和10月份 【解析】对于A 选项，4至5月份的收入的变化率为30502054-=--，11至12月份的变化率为5070201211-=--，因而两个变化率相同，所以A 项正确.对于B 选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是6:1，故B 项错误.对于C 选项，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为405060503++=百元，故C 选项正确.对于D 选项，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D 项正确.综上可知，正确的为ACD ，故选：ACD.2．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线()32222:16C x yx y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程()3222216(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限【解析】把2x =，2y =代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C 在第一象限过点(2,2)， 由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M ，对于A 选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知， 曲线C 只经过整点(0,0)，即A 错误；对于B 选项，因为222(0,0)x y xy x y +>>…， 所以222x y xy +„，所以()()()22232222222161644x y x y x y x y ++=⨯=+„，所以224x y +„，即B 正确；对于C 选项，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即C 错误；对于D 选项，因为0xy >，所以x 与y 同号，仅限与第一和三象限，即D 正确.故选:BD .3．已知函数f （x ）＝|sinx ||cosx |，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称B ．f （x ）的周期为2πC ．（π，0）是f （x ）的一个对称中心D ．f （x ）在区间42，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【解析】因为函数f （x ）＝|sinx ||cosx |＝|sinxcosx |12=|sin 2x |，画出函数图象，如图所示；由图可知，f （x ）的对称轴是x 4k π=，k ∈Z ；所以x 2π=是f （x ）图象的一条对称轴， A 正确；f （x ）的最小正周期是2π，所以B 正确； f （x ）是偶函数，没有对称中心，C 错误；由图可知，f （x ）12=|sin 2x |在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，D 错误.故选：AB.4．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( )A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立 不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形【解析】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无②直角顶点A在1理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标③直角顶点A在x轴上，斜边在1仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无④直角顶点A在x轴上，斜边不在1理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确．故选：ACD ．二、【热点解答题提升练】5. （10分）(开放题) 已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①33()b ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【解析】（1）由①()33b a c c a b -+=+得，()2223a c b +-=-，所以222cos 23a cb B ac +-==-， 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以28623c c =++⨯，即2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==6. （12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S S +=+，n *∈N . （1）证明：数列{}1n S +为等比数列；（2）已知曲线()22:191n n C x a y +-=若n C 为椭圆，求n 的值；（3）若33log 22n n n a a b ⎛⎫⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）对任意的n *∈N ，132n nS S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=， 所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31nn S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩， n N *∈Q ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅L ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅L ，②①-②得()()012111312312333333132n n n nnnn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=-L ， 因此，()21314n nn T -⋅+=. 7．（12分）如图,直角三角形ABD 所在的平面与半圆弧»BD 所在平面相交于BD ,2AB BD ==，E ,F 分别为AD ,BD 的中点, C 是»BD上异于B ,D 的点, EC =（1）证明:平面CEF ⊥平面BCD ;（2）若点C 为半圆弧»BD上的一个三等分点(靠近点D )求二面角A CE B --的余弦值. 【解析】（1）证明：因为C 半圆弧»BD上的一点，所以BC BD ⊥. 在ABD ∆中，,E F 分别为,AD BD 的中点，所以112EF AB ==，且//EF AB . 于是在EFC ∆中， 222112EF FC EC +=+==， 所以EFC ∆为直角三角形，且EF FC ⊥. 因为AB BD ⊥，//EF AB ,所以.因为EF FC ⊥，，BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD .又EF ⊂平面CEF ，所以平面CEF ⊥平面BCD .（2）由已知120BFC ∠=o ，以F 为坐标原点，分别以垂直于BD 、向量,FD FE u u u r u u u r所在方向作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则31(,0)2C ，(0,0,1)E ，(0,1,0)B -，(0,1,2)A -, 31=(,1)2CE -u u u r ,(0,1,1)BE =u u u r ,(0,1,1)AE =-u u u r .设平面ACE 的一个法向量为111(,,)x y z =m ,则·0·0AE m CE m ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v 即11111031022y z x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取11z =,得33=（）m . 设平面BCE 的法向量222(,,)x y z =n ,则·0·0BE nCE n⎧=⎨=⎩u u u vu u u v即222223122y zx y z+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z=,得3,1,1=-（）n.所以105cos,=||||2153<>==⨯gm nm nm n，又二面角A CE B--为锐角，所以二面角A CE B--的余弦值为105.8. （12分）已知椭圆(222:122x yC aa+=>的右焦点为F，P是椭圆C上一点，PF x⊥轴，22PF=. （1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且2OM=求AOB∆面积的最大值.【解析】（1）设椭圆C的焦距为()20c c>，由题知，点2,2P c⎛±⎝⎭，2b=则有2222212ca⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234ca∴=，又22222a b c c=+=+，28a∴=，26c=，因此，椭圆C的标准方程为22182x y+=；（2）当AB x⊥轴时，M位于x轴上，且OM AB⊥，由2OM=可得6AB=132AOBS OM AB∆=⋅=；当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y kx t=+，与椭圆交于()11,A x y，()22,B x y，由22182x yy kx t⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t+++-=.122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t Sk k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2.9. （12分） 某中学有4位学生申请A 、B 、C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望()E X ．【解析】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()1232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 10. （12分）已知函数()()2112xa f x e x e x =--，0a <． （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极小值； （3）求函数()f x 的零点个数． 【解析】（1）因为()()2112xa f x ex e x =--，所以()x a f x xe xe '=-． 所以()01f =-，()00f '=．所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为1y =-； （2）因为()()xaxaf x xe xe x e e'=-=-，令()0f x '=，得0x =或()0x a a =<．列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -∞和()0,∞+，单调递减区间为(),0a ， 所以，当0x =时，函数()y f x =有极小值()01f =-； （3）当1x ≤时，()0f x <，且()222220af e e e =->->．由（2）可知，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()y f x =的零点个数为1．。

一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数123,12 ()1,222x xf x xf x⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A．若函数()=-y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭B．关于x的方程*1()0()2nf x n N-=∈有24n+个不同的解C．对于实数[1,)x∈+∞，不等式2()30xf x-≤恒成立D．当1[2,2](*)n nx n N-∈∈时，函数()f x的图象与x轴围成的图形的面积为1【答案】AC【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.【详解】当312x≤≤时，()22f x x=-；当322x<≤时，()42f x x=-；当23x<≤，则3122<≤x，1()1222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当34x<≤，则3222<≤x，1()2222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当46x<≤，则232<≤x，11()2242⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当68x<≤，则342<≤x，1()1224⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；依次类推，作出函数()f x的图像：对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈⎪⎝⎭k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（ ）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，由()0g t =，得1221t t ==-，，由2122t x x ==--12x x ⇒=由223412t x x x x =-=--⇒==所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，， 22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；当20()t f x ==，得1213x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.3．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”；对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a b b b->≥ ，当220a b -≤时，b ≤恒成立，()f x ∴=“控制增长函数”；对于C.()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD 【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.4．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ）A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010mn ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”；D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，， 单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.5．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 【详解】解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同， 而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5， 由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称， ∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．6．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.7．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．12e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与x y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=， 设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.8．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.10．已知函数12()123x x x f x x x x ++=+++++，下列关于函数()f x 的结论正确的为（ ） A ．()f x 在定义域内有三个零点 B ．函数()f x 的值域为R C ．()f x 在定义域内为周期函数 D ．()f x 图象是中心对称图象【答案】ABD 【分析】将函数变形为111()3123f x x x x ⎛⎫=-++⎪+++⎝⎭，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC ，由零点存在定理结合单调性可判断A ，由()()46f x f x --=+可求出函数的对称点，即可判断D. 【详解】解：由题意知，1111()111312311123f x x x x x x x ⎛⎫=-+-+-=-++ ⎪++++++⎝⎭， 定义域为()()()(),33,22,11,-∞-⋃--⋃--⋃-+∞，()()()22211()01213f x x x x '=++>+++，所以函数在()()()(),3,3,2,2,1,1,-∞------+∞定义域上单调递增，C 不正确； 当1x >-时，()3371230,004111523f f ⎛⎫-=-++<=+> ⎪⎝⎭，则()1,-+∞上有一个零点， 当()2,1x ∈--时，750,044f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()2,1x ∈--上有一个零点， 当()3,2x ∈--时，1450,052f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()3,2x ∈--上有一个零点， 当3x <-，()0f x >，所以在定义域内函数有三个零点，A 正确； 当0x <，1x +→-时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 又函数在()1,-+∞递增，且在()1,-+∞上有一个零点，则值域为R ，B 正确；()1111(4)363612311123f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++=--++=- ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以()()46f x f x --=+，所以函数图象关于()2,3-对称，D 正确； 故选:ABD. 【点睛】 结论点睛:1、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称；2、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称；3、()y f x =与()2y f a x =-图象关于x a =轴对称；4、()y f x =与()2y a f x =-图象关于y a =轴对称；5、()y f x =与()22y b f a x =--图象关于(),a b 轴对称.二、导数及其应用多选题11．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”；C 中，由函数()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．12．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=， 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=， 则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()10t F t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-， 所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<， 由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.13．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ）A．函数在x e=处取得极大值12eB．函数的值域为1,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．()f x有两个不同的零点D．(2)()(3)f f fπ<<【答案】ABD【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD选项.【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln212ln()x x x xxf xx x⋅-⋅-'==，令()0f x'=，解得：x e=x()0,e e(),e+∞()'f x+0-()f x极大值所以当x e=时，函数有极大值()2f ee=，故A正确；对于BCD，令()0f x=，得ln0x=，即1x=，当x→+∞时，ln0x>，20x>，则()0f x>作出函数()f x的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦，故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数()f x在),e+∞32eπ<<<，则(2)3)f f fπ<<，故D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．14．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点 C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．所以()f x在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x在)+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x >-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解，所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x +=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x=当x>()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数． 当0x<<时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数． 所以()22max e eg x g e ==-=． 故2ek <，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.15．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.16．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x'-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.17．已知函数()()2214sin 2x xe xf x e -=+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xx f x e x e'=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xx g x e x e=-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x x g x e x x e'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.18．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x ='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误； D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n na a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.19．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.20．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。

基础套餐练01一、多选题1．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）A ．成绩在[)70,80分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分 【来源】第九章统计本章达标检测 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图计算可得. 【详解】解：由频率分布直方图可得，成绩在[)70,80内的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[)40,60的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得，平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；因为成绩在[)40,70内的频率为0.45，[)70,80的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误， 故选：ABC . 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.2．若函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，则结论不成立的是（ ） A ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]【来源】2020届山东省枣庄市第八中学东校区高三一调模拟考试数学试题 【答案】ABC 【解析】 【分析】先将点(0,2)代入()f x 中可得4πθ=,则化简后()cos21f x x =+,进而根据余弦型函数的性质依次判断选项即可 【详解】由函数()2sin(2)cos f x x x θ=+⋅02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2),可得2sin 22θ=,即sin 21θ=,02θπ<<,22πθ∴=,4πθ∴=,故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+, 当4x π=时,()1f x =,故A 、B 都不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=,故C 不正确； 显然,()cos 21[0,2]f x x =+∈,故D 正确,故选:ABC 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1,F 2,F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若1215sin F PF ∠=，则对双曲线中,a ,b ,c e 的有关结论可能正确的是（ ） A ．6e =B ．2e =C ．5b a =D ．3b a =【来源】2020届山东省临沂市费县高三上学期期末数学试题 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及焦点三角形中的余弦定理求解,a c 的关系再化简即可. 【详解】由双曲线的定义有122PF PF a -=,又122PF PF =,故22PF a =,14PFa =. 又1215sin F PF ∠=,所以212151cos 144F PF ⎛⎫∠=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭.在焦点三角形12F PF ∆中, 222121222122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠,即222141642424c a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅± ⎪⎝⎭,化简得226c a =或224c a =,即6e =或2e =.当226c a =时2222265a b a b a +=⇒=即5b a =. 当224c a =时2222243a b a b a +=⇒=即3b a =. 综上,ABCD 均可能正确. 故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的性质与焦点三角形中的关系求解双曲线基本量关系的方法.属于中档题. 4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD DD ．三棱锥B CEF -的体积为定值【来源】2020届山东省临沂市费县高三上学期期末数学试题 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明BM CF ⊥再证明BM ⊥平面1CC F 即可. 对C,根据BF 与平面11CC D D 有交点判定即可.对D,根据三棱锥B CEF -以BCF 为底,且同底高不变,故体积不变判定即可. 【详解】在A 中,因为,F M 分别是,AD CD 的中点,所以11////FM AC AC ,故A 正确; 在B 中,因为tan 2BC BMC CM ∠==,tan 2CDCFD FD∠==,故BMC CFD ∠=∠, 故2BMC DCF CFD DCF π∠+∠=∠+∠=.故BM CF ⊥,又有1BM C C ⊥,所以BM ⊥平面1CC F ,故B 正确；在C 中,BF 与平面11CC D D 有交点,所以不存在点E ,使得平面//BEF 平面11CC D D ,故C 错误. 在D 中,三棱锥B CEF -以面BCF 为底,则高是定值,所以三棱锥B CEF -的体积为定值,故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.二、解答题5．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564. 【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷带解析)【答案】（1）2;n a n （2）见解析 【解析】 【详解】 （1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项， 所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项， 所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.6．在ABC 中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(233)m a b c =-，向量(cos ,cos )n B C =，且m n ∥.（1）求角C 的大小； （2）求sin +3sin()3y A B π=-的最大值.【来源】2020届江苏省无锡市高三上学期期末数学试题 【答案】（1）6π（2）2 【解析】 【分析】（1）根据向量平行关系2cos 3cos 3cos 0a C b C c B --=，结合正弦定理化简即可求解； （2）结合（1）的结果si sin +3)3n 32A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-，利用三角恒等变换，化简为52sin ,0,36A A ππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得最大值. 【详解】（1）因为//m n ，所以2cos 3cos 3cos 0a C b C c B --= 由正弦定理知:2sin cos 3(sin cos sin cos )0A C B C C B +=，2sin cos 3)0A C B C -+=2sin cos 3)0A C A π--=，2sin cos 30A C A =，又A 为三角形内角，故sin 0A >， 所以，2cos 30C -=，即3cos 2C =，C 为三角形内角，故6C π=；（2）由（1）知:56A B C ππ+=-=，则5,0,326B A A πππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以si sin +3sin()3n 3sin 2A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-5sin 3cos 2sin ,0,36A A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故32A ππ+=， 即6A π=时，y 取最大值2.【点睛】此题考查平面向量共线的坐标表示，利用正弦定理结合三角恒等变换求解最大值，需要注意考虑最大值取得的条件.7．如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠︒＝，30EAB ∠=︒，23AB =，3AD =.（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值； （2）求二面角A DE C --的正弦值.【来源】2020届江苏省无锡市高三上学期期末数学试题 【答案】（16（210【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据333(0,3,3),,322OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭即可求解异面直线所成角的余弦值；（2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值. 【详解】矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，在平面AEB 内过O 作AB 的垂线交AE 于M ，根据面面垂直的性质可得MO ⊥平面ABCD ，同理在平面ABCD 内过O 作AB 的垂线交CD 于N ，根据面面垂直的性质可得NO ⊥平面AEB ，所以,,OM OB ON 两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，因为90,30AEB EAB ︒︒∠=∠=，所以132BE AB == 易得()333,3),(0,3,3),,,0,3,022C D E A ⎛⎫⎪⎝⎭，（1）由上述点坐标可知，333(0,3,3),,32OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以直线OC 与DE 所成角的余弦值99||62||||92739944OC DE OC DE θ-⋅===⋅+⋅++（2）因为333(0,0,3),,,3,(0,23,0)2AD DE DC ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为()111,,m x y z =，则111130333302AD m z DE m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得11130x y z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，取11y =，可得(3,1,0)m =-，设平面DEC 的法向量为()222,,n x y z =，则2222230333302DC n y DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得22220x z y =⎧⎨=⎩，取1z =，可得(2,0,1)n =，设二面角A DE C --的平面角为α，则|||cos |||||31m n mn α⋅===⋅+， 所以sin 5α===. 【点睛】此题考查求异面直线的夹角和二面角的大小，建立空间直角坐标系，利用向量求解，需要注意准确计算，防止出现计算错误.8．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如表：（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为091002201002501480250300x y x x ≤≤⎧⎪=≤⎨⎪≤⎩，，＜，＜，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为11111163612126，，，，，.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i ）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.【来源】2020届河南省高三上学期末数学理科试题【答案】（1）23114；（2）（i ）详见解析；（ii ）会超过；详见解析 【解析】 【分析】（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.（2）（i ）写出X 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.（ii ）由（i ）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果. 【详解】（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P （ξ＝2）21614320738C C C ==，P （ξ＝3）36320157C C ==， 则这3天中空气质量至少有2天为优的概率 为71233857114+=； （2）（i ）()()201001001005P X P x ==≤≤==， ()()70722010025010010P X P x ==<≤==，()()101148025030010010P X P x ==<≤==，X 的分布列如下：（ii ）由（i ）可得： E （X ）＝015⨯+220710⨯+1480110⨯=302（元）， 故该企业9月的经济损失的数学期望为30E （X ）， 即30E （X ）＝9060元，设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元， 可得：()1110632P Y ==+=，()1111220612123P Y ==++=，()114806P Y ==， E （Y ）＝016⨯+22013⨯+148016⨯=320（元）， 所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.【点睛】本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。

基础套餐练02一、【多选题】1．（2020·广东金山中学高二期末）空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： AQI 指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 300>空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日-20日AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好2．（2020·山东高一期末）已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b c a a >B ．c c ab b a+>+ C ．log log b c a a <D ．b cb ac a>++ 3．（2020·广东金山中学高二期末）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足()22,22322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有()()12f x f x >C ．若当(]0,x a ∈时，()f x 的最小值为1，则51,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D ．若关于x 的方程()32f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-4．（2020·山东枣庄八中高三月考）如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连接1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥;B ．翻折过程中，CN 的长是定值；C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥；D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.二、【热点解答题】5．（2020·福建高三期末（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，3c =.（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围．6．（2020·四川高三月考（理））已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和,2458,15a a S ⋅==;等比数列{}n b 的前n 项和21nn T =-(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)当{}n a 各项为正时,设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和.7．（2020·广西柳州高级中学高二月考（理））在ABC 中（图1），5AB =，7AC =，D 为线段AC 上的点，且4BD CD ==.以BD 为折线，把BDC 翻折，得到如图2所示的图形，M 为BC 的中点，且AM BC ⊥，连接AC.（1）求证：AB CD ⊥；（2）求二面角B AC D --的余弦值.8．（2020·全国高一课时练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．9．（2020·陕西西安中学高二期末（文））已知过抛物线()220y px p => 的焦点，斜率为22()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且9AB = .（1）求抛物线的方程;（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+ ，求λ的值.10．（2020·湖南高三期末（文））已知函数2()(2)ln 47()f x x x ax x a a =++-+∈R .（1）若12a =，求函数()f x 的所有零点； （2）若12a ≥，证明函数()f x 不存在的极值.。

一、函数的概念与基本初等函数多选题1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间 C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m =-=--,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.2．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈，()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．3．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A ．01()12f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202个 【答案】AC 【分析】由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23πω=，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】由()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12f x +=-，002(1)()3x x πωϕωϕω++-+==， ∴()f x 的最小正周期为23T πω==，故A 、C 正确，B 错误；在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.4．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+5．设s,t 0>，若满足关于xs 恰有三个不同的实数解123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）A ．1230x x x ++>B ．6425s t ⋅=C ．45t s = D ．14425s t +=【答案】CD 【分析】 设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程()=f x s 必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】 设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号； ②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()f x s ==，54454x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=， 又()f x 在(),t +∞上递增，35 4x t ∴=，即3564516=,42545x s t t s t =====， 6454144, 2516525t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.6．已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】ABC 【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-， 作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->， 故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.7．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x -为无理数时，x 也为无理数∴()0f x -= ∴1()()0()x f x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x -=()f x ∴是偶函数，A 对；易知B 对；1x =时，()((1))11f f f ==∴C 对(())()f f x f x =的解为全体有理数∴D 错故选：ABC. 【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.8．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，.()()11111+11++1xxx x xxe e ef x f x e e e ------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.9．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.10．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.二、导数及其应用多选题11．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确；若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.12．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数.所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-.由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.13．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.14．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．15．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos fθθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.16．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.17．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.18．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.19．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>， 则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=， 将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.20．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12xf x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.三、三角函数与解三角形多选题21．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值，即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．22．知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+， 所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．23．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确.。

2020年高考题型练习一、【多选题提升练】1．PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：3μg/m ）的折线图，则下列说法正确的是（ ）A ．这10天中PM2.5日均值的众数为33B ．这10天中PM2.5日均值的中位数是32C ．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D ．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差 2．实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（ ） A ．1y x -的最大值为3B ．1y x -的最小值为3-C ．1y x -的最大值为33 D ．1y x -的最小值为33-3．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是（ ） A ．若2a =，则2(log 3)3f = B ．若()f x 为R 上的增函数，则312a << C ．若(0)1f =-，则32a =D ．函数()f x 为R 上奇函数4．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 的最小值为355B ．DP 的最小值为5C ．1AP PC +的最小值为6D ．1AP PC +的最小值为1705二、【热点解答题练】5．如图，在直角ACB △中，2ACB π∠=，3CAB π∠=，2AC =，点M 在线段AB 上.（1）若3sin 3CMA ∠=，求CM 的长； （2）点N 是线段CB 上一点，7MN =，且12BMN ACB S S =△△，求BM BN +的值.6．等差数列{}()*N n a n ∈中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行1669（1）请选择一个可能的{}123,,a a a 组合，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记（1）中您选择的{}n a 的前n 项和为n S ，判断是否存在正整数k ，使得1a ，k a ，+2k S 成等比数列，若有，请求出k 的值；若没有，请说明理由.7．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，其右顶点为(2,0)M .（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 且斜率为k 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，点()00,P x y 是椭圆上异于A ，B 的一动点，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 为定值吗？若是，求出该定值；若不是，说明理由.9．为了了解某年龄段人群的午休睡眠质量，随机抽取了1000名该年龄段的人作为被调查者，统计了他们的午休睡眠时间，得到如图所示频率分布直方图.。

提升套餐练03一、多选题 1．若随机变量()0,1N ξ，()()x P x φξ=≤，其中0x >，下列等式成立有( )A ．()()1x x φφ-=-B ．()()22x x φφ=C ．()()21P x x ξφ<=-D ．()()2P x x ξφ>=-【答案】AC 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，得到正态曲线关于0ξ=对称，再结合正态分布的密度曲线定义()(x P x φξ=，0)x >，由此可解决问题． 【详解】随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，∴正态曲线关于0ξ=对称，()(x P x φξ=，0)x >，根据曲线的对称性可得：A.()()1()x x x φφξφ-=≥=-，所以该命题正确；B.(2)(2),2()2()x x x x φφξφφξ=≤=≤，所以()()22x x φφ=错误；C.(||)=()12()12[1()]2()1P x P x x x x x ξξφφφ<-≤≤=--=--=-，所以该命题正确；D.(||)(P x P x ξξ>=>或)=1()()1()1()22()x x x x x x ξφφφφφ<--+-=-+-=-，所以该命题错误． 故选：AC ． 【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．设,a b ∈R ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．222a b ab +≥B ．12a a+≥C ．212+≥b bD ．2b aa b+≥ 【答案】ACD 【解析】 【分析】逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立. 【详解】A.当,a b ∈R 时，222a b ab +≥成立，故A 正确；B.当0a >时，12a a +≥，等号成立的条件是1a =，当0a <时，12a a+≤-，等号成立的条件是1a =-，故B 不正确；C.当b R ∈时，()221210b b b +-=-≥，所以212+≥b b ，故C 正确；D.0,0b a a b >>，所以22b a b aa b a b+≥⨯=，等号成立的条件是当且仅当b a a b =，即22a b =，故D 正确. 故答案为：ACD 【点睛】本题考查判断基本不等式使用是否正确，意在考查基本公式的简单应用，属于基础题型. 3．已知函数1()cos f x x x=+，中正确结论有（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；B ．()f x 在(0,)π上的最小值为2π；C ．()f x 在(0,2)π上至少有两个零点；D ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数； 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据1y x=和cos y x =的单调性判断A ，B 选项，根据函数图像判断C. 【详解】 由题得，函数1y x =和cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上都是减函数，可知()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则A 正确；同理可得()f x 在(0,)π上是减函数，则()f x 在(0,)π上没有最小值，B 不正确；若()f x 在(0,2)π上至少有两个零点，则1()cos 0f x x x =+=在定义域上至少有两个实根，即1cos x x=-，分别作出1y x =-和cos y x =在(0,2)π上的函数图像如图，又1cos 1ππ=-<-，由图可知，两函数图像在(0,2)π上有2个交点，故C 正确，由A 知，D 不正确.综上，正确结论是AC. 故选：AC【点睛】本题考查函数单调性，极值以及利用数形结合的方法确定函数零点个数.4．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球所得平面图形的面积为94π【答案】ABD 【解析】 【分析】若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =∈，，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11AC 中点时，DP 有最小值为3=，可判断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为32=，可得D . 【详解】 如图：∵正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；∵()313PD =，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11AC 中点时，DP ()22213+=故C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球所得平面图形2221322122++=，面积为94π，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.二、解答题5．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .设S 为ABC 的面积，满足)22234S a c b =+-. (1)求B ； (2)若3b =)312a c +的最大值.【答案】(1)3π；(2)6【解析】 【分析】(1)根据条件形式选择1sin 2S ac B =，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出； (2)由(1)求出角3B π=，利用正弦定理和消元思想，可分别用角A 的三角函数值表示出,a c ，即可得到())2312231sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换，化简为()312264a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求出最大值．【详解】(1)∵1sin 2S ac B =，222cos 2a c b B ac+-=即2222cos a c b ac B =+-，∴)2223S a c b =+-变形得：13sin 2cos 2ac B ac B =， 整理得：tan 3B =又0B π<<，∴3B π=；(2)∵A B C π++=，∴203A π<<， 由正弦定理知sin 3sin 2sin sin sin 3b A Aa A B π===，sin 22sin sin 3b C c A B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴))2312231sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭)2231sin 4sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭23sin 23cos A A =+26264A π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭4A π=时取最大值．故)312a c +的最大值为26【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题 6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且26n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）123n n a -=；（2）()21318n n n T -+=. 【解析】 【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，再令2n ≥，由26n n S a =-得出1126n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的公比，可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得132n n n b -⋅=，利用错位相减法可求得n T .【详解】（1）当1n =时，1126S a =-，所以12a =； 当2n ≥时，由26n n S a =-，可得1126n n S a --=-， 上述两个等式相减得12n n n a a a -=-，113n n a a -∴=， 所以数列{}n a 是以2为首项，以13为公比的等比数列，1112233n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭； （2）由（1）可知132n n n b -⨯=，故01113233222n n n T -⨯⨯⨯=++⋅⋅⋅+，① ()112131323332222n n n n n T --⨯⨯⨯⨯=++⋅⋅⋅++.② ①-②，得()()01111312311333332222221324nn n nn n n n n T ---⋅-⨯⨯⨯-=++⋅⋅⋅+-=-=-， 化简得()21318n n n T -+=．【点睛】本题考查利用n S 与n a 之间的关系求通项，同时也考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题. 7．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)155.【解析】 【分析】(1)按照题目定义，只要证明AB ⊥面11ACC A 即可，而由1AA AB ⊥，AB AC ⊥即可证出AB ⊥面11ACC A ；(2)先根据基本不等式求出当2AB AC ==1C ABC -体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角11C A B C --的余弦值． 【详解】(1)∵1A A ⊥底面ABC ，AB 面ABC∴1A A AB ⊥ 又AB AC ⊥，1A AAC A =∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形 ∴四棱锥11B A ACC -为阳马．(2)∵AB AC ⊥，2BC =，∴224AB AC += 又∵1A A ⊥底面ABC ， ∴111132C ABC V C C AB AC -=⋅⋅⋅ 221123323AB AC AB AC +=⋅⋅≤⋅= 当且仅当2AB AC ==113C ABC V AB AC -=⋅⋅取最大值∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系()2,0,0B，()0,2,0C ，()10,0,2A()12,0,2A B =-，()2,2,0BC =-，()110,2,0AC =设面1A BC 的一个法向量()1111,,n x y z = 由1110n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()122,1n =同理得()22,0,1n =∴12121215cos ,5||||n n n n n n ⋅==⋅ 二面角11C A B C --的余弦值为155．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．8．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 3 6 2 4 9 0分(不满意)16344（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由. 【答案】（1）2950（2）分布列见解析，数学期望25（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望； （3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，， 因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为： 01 21625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++ 乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++ 因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市． 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点)3,16.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上.【答案】（1）22162x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，进而可得出椭圆C 的标准方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，设直线AB 的方程为4x my =+，将该直线的方程与椭圆C 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点D 的坐标表达式，并代入韦达定理，消去λ，可得出点D 的横坐标，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意得2222263311c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得26a =，22b =. 所以椭圆C 的方程是22162x y +=；（2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=.()()222840305m m m ∆=-+>⇒>，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=，得12y y λ-=，由AD DB λ=-，可得12012011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()21212112012122102442233444811213m my my x x my my y m x y m y y m y λλλλ⨯+-+-+===+=+=+=---+++，212112012122102225381213y y y y ym y y m y y m m y λλ⨯-+=====---+++，综上，点D 在定直线32x =上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 10．设函数()()2cos sin f x x x x =+-，()f x '是函数()f x 的导数.（1）证明：()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有零点；（2）证明：在()0,x ∈+∞上，()0f x >. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用不等式的基本性质可证得()0f x '>对任意的,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立，进而可得出结论； （2）由()()sin 2cos 2cos x f x x x x ⎛⎫=+-⎪+⎝⎭以及2cos 0x +>，只需证sin 02cos xx x->+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，通过构造函数()sin 2cos xF x x x=-+，利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合单调性可证明出结论成立. 【详解】 （1）()()2cos sin f x x x x =+-，()2sin f x x x ∴=-'，当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()2sin 2sin 2202f x x x x x x π=-≥>'->-->，因此，函数()y f x ='在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上没有零点； （2）()()()sin 2cos sin 2cos 2cos x f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-⎪+⎝⎭，由[]cos 1,1x ∈-，所以2cos 0x +>恒成立，故只需证明sin 02cos xx x->+即可．设sin ()2cos xF x x x=-+，()()()()()222221cos 22cos 1cos 2cos 3102cos 2cos 2cos x x x x F x x x x +++++=-==++'>+， 故函数()sin 2cos xF x x x=-+在区间()0,+∞上单调递增，所以()()00F x F >=．所以当0x >时，()0F x >，即()0f x >. 【点睛】本题考查利用导数证明函数不等式以及研究函数的零点问题，利用导数分析函数的单调性是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.。

2020年高考题型练习一、【多选题提升练】1．PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：3μg/m ）的折线图，则下列说法正确的是（ ）A ．这10天中PM2.5日均值的众数为33B ．这10天中PM2.5日均值的中位数是32C ．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D ．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差【答案】ABD【解析】由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数为3133322+=，中位数小于平均数；前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差.故选：ABD2．实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1y x -的判断正确的是（ ） A ．1y x -3 B ．1y x -的最小值为3-C ．1y x -的最大值为33 D ．1y x -的最小值为33- 【答案】CD【解析】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆， 由1y x -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值， 设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =，即211k =+，整理可得231k =解得33k =±， 所以33[,]1y x ∈--，即1y x -的最大值为3，最小值为3-。

故选：CD .3．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是（ ）A ．若2a =，则2(log 3)3f =B ．若()f x 为R 上的增函数，则312a <<C ．若(0)1f =-，则32a = D ．函数()f x 为R 上奇函数【答案】BCD【解析】对于选项A ，(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以选项A 错误；对于选项B ，因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++，()2f x π-= cos si |()|()|2n sin |cos 2x x x x ππ+-=+-，所以() ()22f x f x ππ+=-，所以函数()f x 的图象是轴对称图形，所以选项B 正确；对于选项C ，易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的最大值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin 2sin()4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=处取得最大值为2，所以选项C 正确；对于选项D ，由5444x πππ≤-≤，得12sin()24x π-≤-≤，所以函数()f x 的最小值为1-，所以选项D 正确．故选BCD ．4．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 35B ．DP 5。

基础套餐练01一、多选题1．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）A ．成绩在[)70,80分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分 【来源】第九章统计本章达标检测 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图计算可得. 【详解】解：由频率分布直方图可得，成绩在[)70,80内的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[)40,60的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得，平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；因为成绩在[)40,70内的频率为0.45，[)70,80的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误， 故选：ABC . 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题. 2．若函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，则结论不成立的是（ ） A ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]【来源】2020届山东省枣庄市第八中学东校区高三一调模拟考试数学试题 【答案】ABC 【解析】 【分析】先将点(0,2)代入()f x 中可得4πθ=,则化简后()cos21f x x =+,进而根据余弦型函数的性质依次判断选项即可 【详解】由函数()2sin(2)cos f x x x θ=+⋅02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2), 可得2sin 22θ=,即sin 21θ=,02θπ<<,22πθ∴=,4πθ∴=,故2()2sin(2)cos 2cos cos21f x x x x x θ=+⋅==+, 当4x π=时,()1f x =,故A 、B 都不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=,故C 不正确； 显然,()cos 21[0,2]f x x =+∈,故D 正确,故选:ABC 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1,F 2,F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若1215sin F PF ∠=，则对双曲线中,a ,b ,c e 的有关结论可能正确的是（ ） A ．6e =B ．2e =C ．5b a =D ．3b a =【来源】2020届山东省临沂市费县高三上学期期末数学试题 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及焦点三角形中的余弦定理求解,a c 的关系再化简即可. 【详解】由双曲线的定义有122PF PF a -=,又122PF PF =,故22PFa =,14PF a =. 又1215sin F PF ∠=,所以212151cos 144F PF ⎛⎫∠=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭.在焦点三角形12F PF ∆中, 222121222122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠,即222141642424c a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅± ⎪⎝⎭,化简得226c a =或224c a =,即6e =2e =.当226c a =时2222265a b a b a +=⇒=即5b a =. 当224c a =时2222243a b a b a +=⇒=即3b a =. 综上,ABCD 均可能正确. 故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的性质与焦点三角形中的关系求解双曲线基本量关系的方法.属于中档题. 4．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，动点E 在线段11AC 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD DD ．三棱锥B CEF -的体积为定值【来源】2020届山东省临沂市费县高三上学期期末数学试题 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明BM CF ⊥再证明BM ⊥平面1CC F 即可. 对C,根据BF 与平面11CC D D 有交点判定即可.对D,根据三棱锥B CEF -以BCF 为底,且同底高不变,故体积不变判定即可. 【详解】在A 中,因为,F M 分别是,AD CD 的中点,所以11////FM AC AC ,故A 正确; 在B 中,因为tan 2BC BMC CM ∠==,tan 2CDCFD FD∠==,故BMC CFD ∠=∠, 故2BMC DCF CFD DCF π∠+∠=∠+∠=.故BM CF ⊥,又有1BM C C ⊥,所以BM ⊥平面1CC F ,故B 正确；在C 中,BF 与平面11CC D D 有交点,所以不存在点E ,使得平面//BEF 平面11CC D D ,故C 错误. 在D 中,三棱锥B CEF -以面BCF 为底,则高是定值,所以三棱锥B CEF -的体积为定值,故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.二、解答题5．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564. 【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷带解析) 【答案】（1）2;n a n =（2）见解析 【解析】 【详解】 （1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项， 所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项， 所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.6．在ABC 中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(233)m a b c =，向量(cos ,cos )n B C =，且m n ∥.（1）求角C 的大小； （2）求sin +3)3y A B π=-的最大值.【来源】2020届江苏省无锡市高三上学期期末数学试题 【答案】（1）6π（2）2 【解析】 【分析】（1）根据向量平行关系2cos 3cos 3cos 0a C b C c B =，结合正弦定理化简即可求解； （2）结合（1）的结果si sin +3)3n 32A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-，利用三角恒等变换，化简为52sin ,0,36A A ππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得最大值. 【详解】（1）因为//m n ，所以2cos 3cos 3cos 0a C b C c B = 由正弦定理知:2sin cos 3(sin cos sin cos )0A C B C C B +=，2sin cos 3sin()0A C B C -+=2sin cos 3sin()0A C A π--=，2sin cos 3sin 0A C A -=，又A 为三角形内角，故sin 0A >， 所以，2cos 30C -=，即3cos 2C =，C 为三角形内角，故6C π=；（2）由（1）知:56A B C ππ+=-=，则5,0,326B A A πππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以si sin +3sin()3n 3sin 2A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-5sin 3cos 2sin ,0,36A A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故32A ππ+=， 即6A π=时，y 取最大值2.【点睛】此题考查平面向量共线的坐标表示，利用正弦定理结合三角恒等变换求解最大值，需要注意考虑最大值取得的条件.7．如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠︒＝，30EAB ∠=︒，23AB =，3AD =.（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值； （2）求二面角A DE C --的正弦值.【来源】2020届江苏省无锡市高三上学期期末数学试题 【答案】（1）68（2）105【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据333(0,3,3),,,322OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭即可求解异面直线所成角的余弦值； （2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值. 【详解】矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，在平面AEB 内过O 作AB 的垂线交AE 于M ，根据面面垂直的性质可得MO ⊥平面ABCD ，同理在平面ABCD 内过O 作AB 的垂线交CD 于N ，根据面面垂直的性质可得NO ⊥平面AEB ，所以,,OM OB ON 两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，因为90,30AEB EAB ︒︒∠=∠=，所以132BE AB == 易得()333,3),(0,3,3),,0,3,02C D E A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，（1）由上述点坐标可知，333(0,3,3),,322OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以直线OC 与DE 所成角的余弦值99||62||||92739944OC DE OC DE θ-⋅===⋅+⋅++（2）因为333(0,0,3),,,3,(0,23,0)22AD DE DC ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为()111,,m x y z =，则1111303333022AD m z DE m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得11130x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =，可得(3,1,0)m =-，设平面DEC 的法向量为()222,,n x y z =，则2222230333302DC n y DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 解得22220x z y =⎧⎨=⎩，取1z =，可得(2,0,1)n =，设二面角A DE C --的平面角为α，则||233|cos |||||31415m n m n α⋅===⋅+⋅+ 所以2310sin 1cos 155αα=-=-=【点睛】此题考查求异面直线的夹角和二面角的大小，建立空间直角坐标系，利用向量求解，需要注意准确计算，防止出现计算错误.8．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如表： AQI []0,50(]50,100(]100,150(]150,200(]200,250(]250,300空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 61418272510（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为091002201002501480250300x y x x ≤≤⎧⎪=≤⎨⎪≤⎩，，＜，＜，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为11111163612126，，，，，.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i ）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.【来源】2020届河南省高三上学期末数学理科试题 【答案】（1）23114；（2）（i ）详见解析；（ii ）会超过；详见解析 【解析】 【分析】（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.（2）（i ）写出X 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.（ii ）由（i ）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果. 【详解】（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P （ξ＝2）21614320738C C C ==，P （ξ＝3）36320157C C ==， 则这3天中空气质量至少有2天为优的概率 为71233857114+=； （2）（i ）()()201001001005P X P x ==≤≤==， ()()70722010025010010P X P x ==<≤==，()()101148025030010010P X P x ==<≤==，X 的分布列如下：X 0 220 1480 P15 710 110（ii ）由（i ）可得：E （X ）＝015⨯+220710⨯+1480110⨯=302（元）， 故该企业9月的经济损失的数学期望为30E （X ），即30E （X ）＝9060元，设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元，可得：()1110632P Y ==+=， ()1111220612123P Y ==++=，()114806P Y ==， E （Y ）＝016⨯+22013⨯+148016⨯=320（元）， 所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.【点睛】本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。

新高考数学数列多选题与热点解答题组合练附答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.2．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2【答案】AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111233n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =+++，2122k k k k k S S a a a ++-=+++，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----， 所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++---------- 1111111333n n a a a ++=-=----. 因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：由2159n nn a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111233n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.4．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk kS k +=-- 【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k kS k ++=--结论计算即可. 【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2, 则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错.对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．5．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．1q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】BC 【分析】 计算可得2q，故选项A 错误；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.【详解】∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.6．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.7．下列说法中正确的是（ ）A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有212n n n a a a ++=C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立； 必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-， 可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-==-=，所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有212n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B选项错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，()2122122n n n d S na -=+，()3133132n n n dS na -=+， 所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22n n S S =-，所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0， 故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】 方法点睛；1.判断等差数列有如下方法：（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）； （2）等差中项法：()122n n n a a a n N*++=+∈；（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；（4）前n 项和法：2n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.2.判断等比数列有如下方法：（1）定义法：1n na q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）； （2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠； （3）通项公式法：nn a p q =⋅（p 、q 为非零常数）； （4）前n 项和法：nn S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ） A ．2n S n = B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=，则22933k =，解得11k =，故C 正确；而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和； （2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值； （3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.9．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n ++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知，12n n n a a b +=+①，1312lnn n n n b a b n++=++②，①-②得，1131lnn n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式n nn a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB.【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。

提升套餐练01一、多选题1．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题结合图形即可得出结果． 【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：ABD ． 【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题．2．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b ->C ．若,,a b c d >>则a d b c ->-D ．若,0,a b c d >>>则a b d c >【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错； 若0ab >，0bc ad ->，则0bc adab ->，化简得0c d a b->，故B 对； 若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 对； 若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，常结合特值法解题，属于基础题． 3．已知函数f （x ）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称B ．f （x ）的周期为2πC ．（π，0）是f （x ）的一个对称中心D ．f （x ）在区间42，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AB 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简变形函数f （x ），再作出其图象，即可判断各选项的真假． 【详解】因为函数f （x ）＝|sinx ||cosx |＝|sinxcosx |12=|sin 2x |， 画出函数图象，如图所示；由图可知，f （x ）的对称轴是x 4k π=，k∈Z ； 所以x 2π=是f （x ）图象的一条对称轴， A 正确；f （x ）的最小正周期是2π，所以B 正确； f （x ）是偶函数，没有对称中心，C 错误； 由图可知，f （x ）12=|sin 2x |在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，D 错误. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，以及利用函数图象研究其性质，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题．4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC AF ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF ∆的面积与BEF V的面积相等 【答案】AD 【解析】 【分析】通过特殊化，点F 与点1B 重合可判定A 错误；正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，判定B 正确，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面11DD B B 距离是定值，可判定C 正确，△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，可判定D 错误. 【详解】A ．由题意及图形知，当点F 与点1B 重合时，160o CAB ∠=故选项A 错误； B ．//EF 平面ABCD ，由正方体1111ABCD A BCD -的两个底面平行，EF ⊂平面1111D C B A ，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确，不是正确选项；C ．三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面11DD B B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D ．由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，故D 是错误的． 故选：AD 【点睛】本题考查直线与平面平行、垂直的判定、棱锥的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．二、解答题5．,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A+=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3C π=，当ABC V 的面积取得最大值时，求ABC V 的周长.【答案】（1）1sin 8B =（2）5+【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；（2）根据3C π=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC V 的面积取得最大值时，ab 最大， 结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC V 的周长．（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=， 即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =.（2）因为48a b +=≥=， 所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立.因为ABC V 的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯=所以当44a b ==时，ABC V 的面积取得最大值，此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =，所以ABC V 的周长为5+【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力． 6．在数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：12b =，()*1n n n b a a n N +=-∈.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若21log n n nc b b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）()*2nn b n N =∈；（2）()()1*122n nS n n N +=--⨯-∈.【解析】 【分析】（1）由题意得出12n n a a k +=+，利用等比数列的定义可证明出数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，由此可求出数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法能求出n S .（1）Q 数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，12n n a a k +∴=+，12n n n n n n b a a a k a a k +∴=-=+-=+.()11222n n n n n b a k a k k a k b ++∴=+=++=+=，12n nbb +∴=， 12b =Q ，∴数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列. ∴数列{}n b 的通项公式为()*2n n b n N =∈；（2）由于2211log 2log 22n nn n n n c b n b ==⋅=-⋅， 231222322n n S n ∴-=⨯+⨯+⨯++⨯L ，①()23412122232122n n n S n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ，②①-②得()()2311121222222212212nnn n n nS n n n +++⨯-=++++-⨯=-⨯=--⨯--L .【点睛】本题考查利用等比数列的定义求数列的通项，同时也考查了利用错位相减法求数列的和，考查计算能力，属于中等题. 7．如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长为2，112A B AC ==，M 是棱BC 的中点.（1）求证：1A M ⊥平面ABC ；（2）求直线1B C与平面11ABB A 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）4214.【分析】（1）由题意证明1A M BC ⊥，1A M AM ⊥，即可证明1A M ⊥平面ABC ；（2）以点M 为坐标原点，分别以MA 、MB 、1MA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出向量1B C u u u r的坐标，求出平面11ABB A 的法向量n r ，计算1cos ,n B C u u u vv 即可.【详解】（1）连接AM ，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长为2，11A B AC ==M 是棱BC 的中点；所以1A M BC ⊥，所以11A M ===.又2AM AB ===12AA =，所以22211AM A M AA +=， 所以1A M AM ⊥，且AM BC M =I ，所以1A M ⊥平面ABC ；（2）分别以MA 、MB 、1MA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.则()0,0,0M ，)A，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()10,0,1A ，又()AB =u uu v ，()1AA =u u u v ， 所以()())1110,2,02,1B C BC BB BC AA =-=-=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，设平面11ABB A 的法向量为(),,n x y z =v，则100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u uv v，即00y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则y z ==(n =v；所以111cos ,n B C n B C n B C⋅==⨯u u u v v u u u v vu u u v v ， 所以直线1B C 与平面11ABBA 所成角的正弦值为14.【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：9[80,0) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a ，b ，c 成等差数列且2c a =.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； （3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X 的分布列和期望值. 【答案】（1）117.8（分）；（2）75分；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1，a ，b ，c 成等差数列，2c a =，解出,,a b c 的值，利用频率分布直方图，求出平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值. 【详解】（1）根据频率分布直方图得，()20.0240.0200.04101a b c +++++⨯= 又因2,a c b +=2c a =，解得0.008,a =0.012,b =0.016c =， 故数学成绩的平均分850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯117.8=（分）， （2）总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)， 所以物理成绩的中位数为75分.（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人， 因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学， 故两科均为“优”的人数为3人， 故X 的取值为0、1、2、3.33361(0),20C P X C ===1233369(1),20C C P X C ===2133369(2),20C C P X C ===33361(3)20C P X C ===.所以分布列为：期望值为：1991()012320202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯32=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分布列和数学期望，属于简单题.9．给定椭圆C:22221x y a b +=(0a b >>),称圆心在原点O,C 的“卫星圆”.若椭圆C的离心率2,点(在C 上.(1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长MN为定值.【答案】(1)22184x y +=,2212x y +=;(2)证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据题意列出222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩再结合222a b c =+即可解出a =2b =，从而得到椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；(2) 根据1l ⊥2l 分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设1l 无斜率)，可知其方程为x =x =-，这样可求出MN =()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，与椭圆方程联立，由0∆=可得()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===---，所以线段MN 应为“卫星圆”的直径，即MN = 【详解】(1)由条件可得:222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a =2b = 所以椭圆的方程为22184x y +=， 卫星圆的方程为2212x y +=(2)①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-，当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是 2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，∴12l l ⊥∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则，()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=，∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-= ∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===--- 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点()00,P x y ，又分别交“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 是“卫星圆”220012x y +=的直径，∴MN【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题．10．已知函数()()1ln f x a x a x =+∈R .（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若存在两个不等正实数1x 、2x ，满足()()12f x f x =，且122x x +=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调减区间为()0,1，单调增区间为()1,+∞；（2）()1,+∞.【解析】【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，求导，分别解不等式()0f x '<和()0f x '>可得出函数()y f x =的减区间和增区间；（2）根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数求解即可.【详解】（1）当1a =时()1ln f x x x=+，定义域为()0,∞+，则()22111x f x x x x -'=-=， 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以，函数()y f x =的单调减区间为()0,1，单调增区间为()1,+∞；（2）设120x x >>，由()()12f x f x =得121211ln ln a x a x x x +=+，则112212ln x x x a x x x -=，0a ∴>， 又122x x +=，2211212212212ln x x x x x a x x x x x -∴==-， 设121x t x =>，则12ln a t t t=-， 令()()12ln 1g t t a t t t =-->，则()2221t at g t t-+'=且()10g =， 由题意可知，函数()y g t =在区间()1,+∞上有且只有一个零点，设函数()y g t =的两个极值点分别为1t 、2t ，则121t t =，∴函数()y g t '=在()1,+∞上有且只有一个实根，()1220g a '=-<，解得1a >.综上，实数a 的取值范围为()1,+∞.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。

提升套餐练02一、多选题1．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ） A ．样本中支出在[)50,60元的频率为0.03 B ．样本中支出不少于40元的人数为132 C ．n 的值为200D ．若该校有2000名学生，则定有600人支出在[)50,60元【详解】样本中支出在[)50,60元的频率为()10.010.0240.036100.3-++⨯=，故A 错误； 样本中支出不少于40元的人数为0.03660601320.03⨯+=，故B 正确； 602000.3n ==，故n 的值为200，故C 正确； 若该校有2000名学生，则可能有0.32000⨯=600人支出在[50，60）元，故D 错误.故选：BC. 2．下列有关说法正确的是（ ）A ．当0x >时，1lg 2lg x x +≥； B ．当0x >时，2x x +≥；C ．当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin θθ+的最小值为22； D ．当0a >，0b >时，114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立【详解】A. 当01x <<时，lg 0x <，1lg 2lg x x+≥不成立，错误； B. 当0x >时，0x >，2x x+≥，正确； C. 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设sin t θ=，则01t <<，2sin sin θθ+2t t =+，函数2y t t =+在(0,1)上递减，无最小值，C 错，实际上22sin 2sin 22sin sin θθθθ+≥⋅=，取等号时2sin sin θθ=，即sin 2θ=，这是不可能的，即22这个最小值取不到；D. 当0a >，0b >时，12a a +≥，12b b +≥，∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，D 正确、故选：BD ．3．已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到【详解】2()sin 22sin 1sin 2cos 22sin 24f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为28f π⎛⎫=⎪⎝⎭为()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确； D 选项，设()2sin 2g x x =，则()2sin 22sin 22cos 2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：BC ．4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ） A ．AC BE ⊥ B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=为定值，D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误.故选：ABD 二、解答题5．（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的角,,A B C 所对的边，且2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求,a b ;（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值． 【解析】（Ⅰ）根据三角形面积公式可知：11sin 22S ab C ===推得333-；又根据三角形余弦公式可知：2222214cos 228a b c a b C ab +-+-===推得228a b +=．综上可得2a b ==． （Ⅱ）sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-= sin cos 2sin cos B A A A =当cos 0A =时，2A π=当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立224{2a b ab b a +-==，得a b ==222b a c =+，,36C A ππ=∴=，综上2A π=或6A π=． 解二：sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-= sin cos 2sin cos B A A A =当cos 0A =时，2A π=当cos 0A ≠时，212sin sin sin()sin 32A B A A A π==-=+，3sin 02)0,650,,6660.66A A A A A A A 即πππππππ∴=-=<<∴-<-<∴-==综上2A π=或6A π=．6．公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,故()()222141113a a a a d a a d =⋅⇒+=⋅+,化简得1a d =.又36S =故113362a d a d +=⇒+=.故11a d ==,()11na a n d n =+-=.即n a n =.(2) 22n nn n b a n =+=+,故()()12121222...212...22...2n n n T n n =++++++=++++++()()()()122121212122n n n n n n -+=+=-++-.7．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒.现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达点P .点M 、N 分别在PC 、PD 上，且A 、B 、M 、N 四点共面. （1）求证：//,a b ；（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，平面BMN 与平面BCD 夹角为30， 求PC 与平面BMN 所成角的正弦值. 【解析】（1）不妨设2AB =，则4AD =，在ABD ∆中，根据余弦定理可得2222BD AB AD AB AD COSA =++，计算得23BD =， 因为22241216AB BD AD +=+==，所以AB BD ⊥.因为//CD AB ，且A 、B 、M 、N 四点共面，所以//CD 平面ABMN . 又平面ABMN ⋂平面PCD MN =，所以//CD MN . 而CD BD ⊥，故MN BD ⊥.（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥， 因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30︒，所以30DBN ∠=︒， 从而在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点， 如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,0,2P ，()2,23,0C ，()0,3,1N ，()1,3,1M ，()1,0,0NM =，()0,3,1BN =，()2,23,2PC =-，设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =，则由00n NM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得030x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得()0,1,3n =-. 设PC 与平面BMN 所成角为θ，则()15sin 90n PC cos n PCθθ︒⋅=-==⋅。

基础套餐练04一、【多选题】1．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）下列判断正确的是（ ）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1E ξ=； D ．已知直线2ax by +=经过点()1,3，则28a b +的取值范围是[)4,+∞2．（2020·山东高三期末）对于函数()13f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（ ） A ．若2ω=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的最小值为12-；B ．若2ω=，则函数21y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()y f x =的图象； C ．若2ω=，则函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； D ．若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则2ω=. 3．（2020·海南高三月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( )A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x = 4．（2020·山东高三期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．直线BM 与平面11ADD A 平行B ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为3πD ．1MB MD +二、【热点解答题】5．（2020·全国高一专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a 、b 、c ，且2a cosC=2b-c ． （1）求角A 的大小；（2）若AB=3，AC 边上的中线BD△ABC 的面积．6．（2020·广东高三月考（理））在公差为d 的等差数列{}n a 中，16a d =，1a N ∈，d N ∈，且1a d >. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1a ，4a ，13a 成等比数列，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .7．（2020·河南高三期末（理））如图，四棱锥E ﹣ABCD 的侧棱DE 与四棱锥F ﹣ABCD 的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，AB //CD ，3,4,5,32AB AD CD AE AF =====.（1）证明：DF //平面BCE.（2）设平面ABF 与平面CDF 所成的二面角为θ，求cos2θ.8．（2020·河北衡水中学高三月考（理））2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[)[)[)20,30,30,40,,70,80,⋯，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在[)[)[)20,30,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()()0,1,2,,20P X k k ==⋯.当()P X k =最大时，求k 的值.9．（2020·河北衡水中学高三月考（理））已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆于P Q 、两点(直线l 与坐标轴不垂直)，若PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，直线ON 交直线3x =于M . (Ⅰ)求证：MF PQ ⊥；(Ⅱ)求PQ MF 的最大值.10．（2020·天津市南开中学滨海生态城学校高二月考）已知函数()()2102x f x axe ax ax a =--≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，函数()f x 在(),0-∞上的最小值为()g a ，若不等式()()ln g a ta a ≥--有解，求实数t 的取值范围．。