2019年高考理科数学真题全国卷1卷word版本可编辑最新

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科教学全国1卷一、选择鼠本题共12小乳每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合始N={x| x2-x-6<0h 贝I] MAU=A.:X!-4<K<3}B.{xi-4<x<-2)C.(x -2<x<2}D.(xi2<>:<3}2.设复数z满是;zT|=l, z在复平面内对应的点为(x, y),则A.(x + 1/ + y2 = 1E.(x-\)2^y2 = 1C.妒+。

_ 1)2=1D./十(y+l，= 13.已知a=】()9. 0-2 > b= 20 2, c= 0.2°七则A.a<b<cB.a<c<bc. c<a<bD. b<c<aL古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是史2(也1!=0.618.称乏为黄金分割比例)，著名的"断2 2臂维纳斯“便是如此。

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是&。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长2为105cci,头顶至脖子下端的长度为26cm.、则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC.185 cmD.190 cm5.函数的［-芷诳图像大致为cosx+x6.我国古代典籍《周易》用"卦〃描述万物的变化'每一“重卦〃由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“一"和阴爻，右图就是一重卦。

在所有重三 = 卦中随机取一重卦，则垓重卦恰有3个阳爻的概率是弓二5 11 21 11A.—B. —C. —D.—16 32 32 167.已知非零向量A》满足|口|=2|》|＞且(^a-b)±b,贝她与力的夹角为71 71 17C5兀A. —B. —C.—— 6 3 3D.填入° 1 泌=1 +—— 2A9・记耳为等差数列｛劣｝的前n 项和.已卸岛=0 ,丹=5 ,则A . a n =2n-5 B. a n = 3n-10 c_ S n =2/22-8« D. S n =^n 2-2n10. 已知椭圆C 的焦点为F I (-1,0),F2(1,0),过Fz 的直线与C 交于A,B 两点，若AF 2 =2 FzB , |ABj=|BFib 则C 的方程为A 注+ C.f + >1 D.三十 J1 11. 关于函数f(x) = sin|x| +|sinx|有下述四个结论：12. 已知三棱锥P ・ABC 的四个顶点在球。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前.考生务必将S己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题吋，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题0的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦•后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时.将答案写在笞题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交问。

_、选择题：本题共12小题.每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。

l.己知集合W = {.r-4<x<2}, W=（XX2-X-6<0},则（）D.{x|2 <x<3）A. {x\- 4<x<3} 3. {x|- 4 < x < -2} C.{x|-2<x<2}2.设复数z满足|z+l,z在复平面内对应的点为（x,^）.则（）A.（又十l）2十y2= 1B. （x-l）2+y2 =1 c.x2 +（J/-1）2 = 1 D. X2 +（J 十I）2 =13.己知a = log2 0.2. b =202, c = 0.2°\ 则■）k.a<b<c B.a<c<h C.c < a <b D.b<c<a4.古希腊吋期，人们认力最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是«0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，13美人体的头顶至咽头顶至脖了-下端的长度力26cm,则其身高可能是（>A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5.设函数f（X）= Sln -V~-\在［-牙，冗］的图像为（）cosx + x~V5-1喉的长度勾咽喉至肚脐的长度之比也是V5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,A. B. c. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下之上排列的6个爻三三组成，爻分为阳爻“一一”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重二—卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( ) -----5 11 21 11A.—B.—C.—D.—16 32 32 167.已知非零向fifl,石满足p| = 2@,且(Z-石)丄则5与S的夹角为( )5TVD.—6的程序框图，图巾空白框中应填入( )8.右图足求1 -2 1 + 2 +A'A = 2 + AB. A = 2 +—AC. -------------- A=} + 2A D」9.记S.,为等差数列｛a fl ｝的前《项和.己知54=0, a 5 = 5， A.a… =2« 5Ba… = = 3/7 10=2n~ -8/71 , = — n~ -2/7 210.已知椭圆C 的焦点为6(-1,0) , 6(1,0),过6的直线勾ex 于AS 两点.若pG| = 2|6S|， \AB\ = l\BF^,则C 的方程为( )11.关于函数/(x) = sin|x| + |sinx|竹下述四个结论：①/(x)是偶函数 ②./‘(J)在区间单调递增 ③f(x)在区间有四个零点 ④/U)的最大值为2X 2I. ----2其中所有正确结论的编号是(A.①②④ 3.②④ C.①④ D.①③12.己知三棱锥P-ABC的四个顶点在球0的球而上，PA = PB = PC, \ABC是边长为2的正三角形，■分别是PA,AB的中点，ZCFF = 90 ,则球0的体积为( >A. 8>/6^B. 4-76^C. 2>/6^ 0.^67：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1 卷参考版）【含答案及解析】姓名 _____________ 班级 ________________ 分数 ____________、选择题1. 设集合 ， ，则（ A ） （ B ）（ C ）（ D ）2. 设，其中， 实数，则（ A ） 1 （ B ）（ C ）（ D ） 2前 9 项的和为 27， B ） 99 （ C ） 984. 某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ）5. 已知方程 表 示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ） （ B ）（ C ） （ D ）6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是 ，则它的表面积是3. 已知等差数列 （ A ） 100，则 （ D ） 978. 若，则（ A ）（ B ）B ）（C ），则输出 x，y 的值满足9. 执行右面的程序框图，如果输入的A )B )C )D )10.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、 B两点，交 C 的准线于 D、E两点. 已知|AB|= ， |DE|= ，则 C的焦点到准线的距离为（ A ） 2 （ B ） 4 （ C ） 6 （ D ） 811.平面过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A，// 平面 CB 1 D 1 ，平面 ABCD=，m 平面 AB B 1 A 1 =n ，则 m、n 所成角的正弦值为（ A ） _______________________ （ B ）_________________ （ C ）________________ （ D ）12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ A ） 11 （ B ） 9 （ C ） 7 （ D ） 5二、填空题13.设向量 a= （ m，1 ），b= （ 1，2 ），且|a+b| 2 =|a| 2 +|b| 2 ，则m= ____________________________________ .14.的展开式中， x 3 的系数是 __________________________ . （用数字填写答案）15.设等比数列满足 a 1 +a 3 =10 ，a 2 +a 4 =5 ，则 a 1 a 2 ⋯a n 的最大值为 _____________________________________ ．16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3个工时．生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元三、解答题17.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（Ⅰ）求 C；（Ⅱ）若的面积为，求的周长．18.如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是．Ⅰ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；Ⅱ）求二面角 E-BC-A 的余弦值．19.某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ ）若要求，确定的最小值；（Ⅲ ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？20.设圆的圆心为 A，直线 l 过点 B （ 1,0 ）且与 x 轴不重合， l 交圆 A于 C，D两点，过 B 作 AC的平行线交 AD于点 E.（Ⅰ）证明为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M,N两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围 .21.已知函数有两个零点（Ⅰ）求 a 的取值范围；Ⅱ）设 x 1 ，x 2 是的两个零点，证明：22.选修 4-1 ：几何证明选讲如图，△ OAB是等腰三角形，∠ AOB=12°0 .以 O为圆心，OA为半径作圆 .Ⅰ）证明：直线 AB 与O 相切；Ⅱ）点 C,D 在⊙O上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB∥CD.23.选修 4— 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 C 1 的参数方程为（ t 为参数， a>0 ）．在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 ：ρ=.（Ⅰ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C 3 的极坐标方程为，其中满足 tan =2 ，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a ．24.选修 4— 5：不等式选讲已知函数 .（Ⅰ）在图中画出的图像；（Ⅱ）求不等式的解集．参考答案及解析第1 题【答案】第2 题【答案】第3 题【答案】第4 题【答案】第5 题【答案】第6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第 10 题【答案】第 11 题【答案】第 12 题【答案】第 14 题【答案】第 15 题【答案】第 13 题【答案】第 16 题【答案】216000【解析】 试题分析：设生产产品/、产品E 分别为工、•匸件，束厢之和为二元，那么1.5x+0.5r n 150.x÷0 3.V M 90.■ 5工十3儿600. ①x...0,Iy-O-目⅛⅛数二= 210(k + 900)∙・二元一次不尊式组①竽价于3x+.v n 300.10x + 3.v n 900,• 5x÷3y n 600,② x..0,L y... 0.作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如團)，即可行域.7 7 7p ■ =2100r + 900v 变形，得尸-丁十扁，平行直线―-丁 ,当直线JU 一丁十硫 经过 点M 时J -取得最大值， 10r + 3υ = 900V5x+3v≡600U •解方程组 ,得M 的坐标(6(HOO).所以当X =60 , 3 =100 时，∑aaχ=2100×60 + 900×100 = 216000 .第 17 题【答案】第 18 题【答案】（I ）见解析（∏） 一匹19【解析】试题分析；（I ＞证明AF 丄平面EFDC ,结合AFU 平面ABEF 、可得平面ABEF 丄平面 EFDC .（II ）建立空间坐标系，利用向量求.试题解析：（I 〉由已知可得AF 丄DF ,AFdFE ,所以AF 丄平面EFDC .又AFU 平面ABEF ；故平面ABEF 丄平面EFDC •〈II 〉过D 作DG 丄EF ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面ABEF ・以G 为坐标原点、，GF 的方向为X 轴正方向，IGFl 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 由(I > 知ZDFE 为二面角D-AF-E 的平面角，故ZDFE = 60。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ） A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为（ ） A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，是（ ） A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= ．14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 ．15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为____ ____．16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592=0.09≈．20．（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．21．（12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为41x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l a．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x) = –x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│．（1）当a=1时，求不等式f(x) ≥ g(x)的解集；（2）若不等式f(x) ≥ g(x)的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．参考答案（理科数学）一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B B C D C B D D A D A二、填空题13．2314．5 15．23316．415三、解答题。

参考答案一、选择题1. C2. C3. B4. B5. D6. A7. B8. A9. A10. B11. C 12. D二、填空题13. y=3x14. 12115.0.1816.2三、解答题17.解：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=由正弦定理可得：222b c a bc +-= 2221cos 22b c a A bc +-∴== ()0,πA ∈3A π\= （2）22a b c +=sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3Aπ=1sin 2sin 2C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=(()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin 4C=或4因为sin 2sin 2sin 0B C A C =-=>所以sin 4C >，故sin 4C =.18.解：（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//ME ND ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE Ì平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O =，11111AC B D O =由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)A ，()0,1,2M，)1A ，D （0，-1,0）1,22N ⎫-⎪⎪⎝⎭ 取AB 中点F ，连接DF，则01,2F ⎫⎪⎪⎝⎭ 四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=BAD ∴∆为等边三角形 DF AB ∴⊥ 又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DF AA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,,022MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 132033022nMA x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令x =1y =，1z =-()3,1,1n ∴=- cos ,515DF nDF n DF n ⋅∴<>===⋅10sin ,5DF n ∴<>=∴二面角1A MA N --的正弦值为：19.解：（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++=1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=-->12m ∴< 121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =- ∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+ 联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+>13t ∴>- 122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB =123y y ∴=-21y ∴=-，13y =123y y ∴=-则33AB === 20.解： （1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= ∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< 即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 则0x x =为()g x 唯一的极大值点 即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x . （2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤=()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点 ②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 又()00f '=()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点 又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭ 10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '= ()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点 ③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点 ④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点21.解：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==- 则X 的分布列如下：（2）0.5α=，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅ （ii ）此方案合理.22.解:（1）由2211t x t -=+得：211x t x -=+，又()2222161t y t =+()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ 整理可得C 的直角坐标方程为：2214y x += 又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d == 当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =23.解:（1）1abc =111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥，b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc =()()()33324a b b c c a ∴+++++≥。