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高三数学一轮复习二倍角的三角函数课件

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高中数 二倍角的三角函数课件 北师大必修

高中数 二倍角的三角函数课件 北师大必修
选择题
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性

第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习

第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
内容索引
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.

苏教版高三数学复习课件3.6 二倍角的三角函数

苏教版高三数学复习课件3.6 二倍角的三角函数

等于________(用cos α)表示． 用 表示． 等于 表示 .
－1， ，
1．三角函数式的化简 ． (1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少； 化简的要求： 能求出值的应求出值； 尽量使三角函数种数最少； 化简的要求 ③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不 尽量使项数最少； 尽量使分母不含三角函数； 含三角函数． 含三角函数． (2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等． 化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等． 化简的方法 2．已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所 ．已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： 先化简所 求式子； 观察已知条件与所求式子之间的联系 从三角函数名及角入手)； 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手 求式子 ； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系 从三角函数名及角入手 ； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 将已知条件代入所求式子，化简求值． 将已知条件代入所求式子
从角入手) 解：解法一：(从角入手 解法一： 从角入手 原式＝ 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ ＋ － ＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ ＋ － (2cos2α－1)(2cos2β－1) － －
(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) － － ＋
【例3】化简 2α·sin2β＋cos2α·cos2β－ cos 2α·cos 2β. 】化简sin ＋ － 思路点拨：三角函数式化简的目标是： 次数尽可能低 次数尽可能低； 角尽可能 思路点拨：三角函数式化简的目标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能 三角函数名称尽可能统一； 项数尽可能少 项数尽可能少． 少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少．观察欲化简的式子 三角函数名称尽可能统一 发现： 有降次的可能 有降次的可能； 涉及的角有 涉及的角有α， ， ， 需要把 需要把2α化 发现：(1)有降次的可能；(2)涉及的角有 ，β，2α，2β(需要把 化 化为β)； 函数名称为正弦 余弦(可以利用平方关系进行名 函数名称为正弦、 为α，2β化为 ；(3)函数名称为正弦、余弦 可以利用平方关系进行名 ， 化为 称的统一)； 共有 共有3项 需要减少项数 由于侧重的角度不同， 需要减少项数)， 称的统一 ；(4)共有 项(需要减少项数 ，由于侧重的角度不同，出发点不 同，故本题的化简方法不止一种． 故本题的化简方法不止一种．

高考数文一轮总复习课件 两角和差及二倍角公式

高考数文一轮总复习课件 两角和差及二倍角公式

解析： （2）正确.如 α ，β中有一个为 0，此式即可成立.
（3）错误.两角和的余弦公式为 cos（α ＋β）＝cos α cos β －sin α sin β两项中间应为“－”.
（4）正确.tan α ＋tan β＝tan（α ＋β） （1－tan α tan β）. ∵α ＋β＝45°，∴tan（α ＋β）＝1， ∴tan α ＋tan β＝1－tan α tan β.
基础梳理
１. 两角和与差的三角函数公式
S（α ±β） ：sin（α ±β）= sinαcosβ±cosαsinβ C（α ±β） ：cos（α ±β）＝ cosαcosβ∓sinαsinβ ； tanα ±tanβ T（α ±β） ：tan（α ±β）＝ 1∓tanα tanβ .
2. 二倍角公式
3sin 10° 规范解答： 原式＝2sin 50°＋sin 10°×1＋ × cos 10° cos 10°＋ 3sin 10° ＝2sin 50°＋sin 10°× × cos 10°
2sin 80°
2sin 80°（2 分）
最新考纲
§3.3 两角和、差及二倍角公式
1. 能用向量数量积推导出两角差的余弦公式． 2. 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3. 能利用两角和的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式
及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
最新考纲 基础梳理
第 三 节
自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选
题型分类 ·典例研析
题型1 · 三角函数式的求值
例 1 求[２ｓｉｎ ５０°＋ｓｉｎ １０°×(１＋ ３ｔａｎ １ ０°)]× ２ｓｉｎ ２ ８０° 的值.

高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件

高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件

3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°

两角和、差及倍角公式课件-2025届高三数学一轮复习

两角和、差及倍角公式课件-2025届高三数学一轮复习
=

.故选C.

2.已知 , , ∈

,

则下列式子成立的是(
A. − =
C. − =

−


−

， + = , + = ，
)
B. − =
D. − =
√




解析：选D.由题意知, = − , = − ,
− + − = ，所以 − = −.故选C.
)

(

2
（2） + ∘ + ∘ =___.
解析： + ∘ + ∘ = + ∘ + ∘ + ∘
=




× −




× =−

.

定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”，以便构造出适合公式的形式.
∘ ∘
1.
− ∘

A.

=(
)
B.
√


∘ ∘
解析：选.
− ∘
=
∘ ∘
∘

C.


∘



=
∘
D.2
∘ + ∘ ,
所以原式=
∘
∘
= .
∘
=

∘

+



∘ =
考点二 三角公式的逆用与变形应用
例2（1） (2022·新高考Ⅱ卷)若

2020版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式课件

2020版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式课件

A．12
C．
3 2
[解析]
cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝
2 2.
B．
2 2
D．－
2 2
(B )
4．(2018·课标Ⅲ，4)若 sinα＝13，则 cos2α＝
(B )
A．89
B．79
C．－79
D．－89
[解析] 本题考查三角恒等变换．因为 sinα＝13，所以 cos2α＝1－2sin2α＝1
2 2
[解析]
D．
3 2
原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选
A．
另解：原式＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝12.故选 A．
2．(2018·湖北枣阳模拟)若 sinα＝35(0<α<π2)，则 sin(α＋π6)＝
－2×(13)2＝1－29＝79.故选 B．
5．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为
A．sin(2α＋β)
B．cos(α－2β)
C．cosα
D．cosβ
[解析] 原式即cos(α－β＋β)＝cosα.
(C)
6．(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值为
(D)
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－
tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.故选D．
A．3Βιβλιοθήκη 3－4 10B．3
3＋4 10

湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式

湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式

B.tan(α-β)=-1
C.tan(α+β)=1
D.tan(α+β)=-1
解析 因为 tan
sin-cos
β=
,所以
sin+cos
tan
以 1+tan αtan β=tan α-tan β,所以
tan-1
β=
,所以
tan+1
tan αtan β+tan β=tan α-1,所
tan-tan
=
α- α
.
α+ α
2.两角和与差的正切公式的变形:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
(2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
3.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
+
π
2cos(α+ )sin
4
π
2sin(α+ )cos
4
π
2sin[(α+4)+β]=
β.又 sin(α+β)+cos(α+β)=2 2cos
3
sin αcos
1
sin(α-β)=3,cos
αsin
αsin
1
β=6,则
1
β=6,∴sin(α-β)=sin
1
β= . ∵sin(α+β)=sin
2
αcos β-cos αsin β=
αcos β+cos αsin
2 2 1

5.5.1二倍角的正弦余弦正切公式课件共17张PPT

5.5.1二倍角的正弦余弦正切公式课件共17张PPT
1 tan A tan B 2
tan
2A
2B
2 1
tan
tan 2
A B A B
44 117
巩固练习
变式：在ABC中, sin A 4 , tan B 2,
5
tan A 3
求 tan 2 A 2B 的值.
4
分A为钝角和锐角讨论
当A为钝角时，可求得tan(A+B)>0,与题 意不符，舍去
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
k (k Z )
2
k (k Z )
2
k (k Z )
2
学习新知 思考：能利用S(±)、C(±)、 T(±)推导出 sin2,cos2,tan2的公式吗？
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
( T(+) ) ( T(-) )
2
和 k , k Z时 ,公 式 才 有 意 义 .
42
学习新知
2.倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
=1-2sin2
=2cos2-1
tan
2
2 tan 1 tan2
学习新知
1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数 公式与和角的三角函数公式之间关系.

2025高考数学一轮复习-20.1-两角和与差的三角函数、二倍角公式【课件】

2025高考数学一轮复习-20.1-两角和与差的三角函数、二倍角公式【课件】

3 .
3．(多选)下列等式成立的是
( ABC )
A．sin 2＋π2＝cos 2
B．cos
73°cos
28°＋sin
73°sin
28°＝
2 2
C．tan 15°＝2－ 3
D．12sin 40°＋ 23cos 40°＝sin 70°
【解析】sin 2＋π2＝cos 2，故 A 正确； cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos (73°－28°)＝cos
20.1-两角和与差的三角函数、二倍角公式
1．计算：cos 51π2＝
激活思维
A．
6－ 4
2
C．
3＋ 4
2
B．
6＋ 4
2
D．
2－ 4
6
【解析】cos
51π2＝cos
π6＋π4＝
3 2×
22－12×
22＝
6－ 4
2 .
( A)
2．若
cos
θ＝－3且θ∈ 5
π2，π
，则
sin
θ＋π3 的值为
( A)
tan (α＋β)＝__1_－__ta_n__α_ta_n__β__ tan α－tan β
tan (α－β)＝__1_＋__t_a_n_α_t_a_n_β___
说明：正切公式中，α，β，α＋β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z).
(2) 辅助角公式：
函数 f(α)＝a cos α＋b sin α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a2＋b2sin (α＋φ)或 f(α)＝ a2＋b2cos (α－φ)，其中 φ 可由 a，b 的值确定．
cos θ＋sin 80 °·sin θ＝0，所以 2cos 40 °＋cos 80 °＋sin 80 °tan θ＝0，即 tan θ＝－
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6．化简 2＋cos2－sin21的结果是__________．
[答案] 3cos1 [解析] 原式＝ 2＋2cos21－1－sin21 ＝ 2cos21＋1－sin21＝ 3cos21＝ 3cos1.
7．已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的最大值、最小值． [解析] (1)f(x)＝cos4x－sin4x－2sinxcosx ＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x ＝cos2x－sin2x＝ 2cos2x＋π4， ∴f(x)的最小正周期 T＝22π＝π. (2)当 cos2x＋4π＝1 时，f(x)max＝ 2； 当 cos2x＋π4＝－1 时，f(x)min＝－ 2.
[例 1] 化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β. [分析]观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角 公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦， 可异名化同名等等．
[解析]解法 1：(从“角”入手，复角化单角) 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(2cos2α－1)(2cos2β －1)
基础自测
1．(2011·新乡模拟)函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值
和最大值分别为( )
A．－3,1
B．－2,2
C．－3，32
D．－2，32
[答案] C
[解析] f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－122＋32， ∴sinx＝12时，f(x)max＝32， sinx＝－1 时，f(x)min＝－3，故选 C.
解法 3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原
式
＝
1－cos2α 2
1－cos2β ·2
＋
1＋cos2α 2
1＋cos2β ·2
－
1 2
cos2α·cos2β
＝
1 4
(1
＋
cos2α·cos2β
－
cos2α
－
cos2β)
＋
1 4
(1
＋
cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12·cos2α·cos2β＝14＋14＝12.
[答案] π [解析] f(x)＝sin(2x－π4)－2 2sin2x ＝sin(2x－4π)－ 2(1－cos2x) ＝sin(2x－4π)＋ 2cos2x－ 2 ＝sin2xcos4π－cos2xsin4π＋ 2cos2x－ 2
＝ 22sin2x＋ 22cos2x－ 2＝sin(2x＋π4)－ 2， 所以 T＝2ωπ＝22π＝π.
＝
sin2α·sin2β
＋
cos2α·cos2β
－
1 2
·(4cos2α·cos2β
－
2cos2α
－
2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－12
＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.
[点评] 对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同， 出发点不同，化简的方法也不惟一．对于三角函数式化简 的目标是：
(1)次数尽可能低； (2)角尽可能少； (3)三角函数名称尽可能统一； (4)项数尽可能少．
计算：cos27π·cos47π·cos67π.
[分析] 构造运用二倍角公式，由诱导公式、恒等式 求解．
解法 2：(从“名”入手，异名化同名)
原
式
＝
sin2α·sin2β
＋
(1
－
sin2α)·cos2β
－
1 2
cos2α·cos2β
＝
cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2α·cos2β
＝cos2β－cos2β·sin2α＋12cos2α ＝1＋c2os2β－cos2βsin2α＋121－2sin2α ＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
考纲解读 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍 角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(对半角 公式不要求记忆)．
考向预测 1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等 变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内 容． 2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能 力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的 面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题． 3．多以解答题的形式呈现，属中、低档题．
2．(2010·福建文)计算 1－2sin222.5°的结果等于( )
1 A.2
3 C. 3
2 B. 2
3 D. 2
[答案] B [解析] 本题主要考查二倍角公式．
1－2sin2225°＝cos45°＝
2 2.
3．(2010·江西理)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的 三等分点，则tan∠ECF＝( )、
)
1
2
A.2
B. 2
C．2 [答案] [解析]
3 D. 2
C 原式＝2－3－1＋sinc2o7s02°0°＝33－－cs2oins7200°°
＝2·33－ －ssiinn7700°°＝2，故选 C.
5．(2010·浙江理)函数 f(x)＝sin(2x－π4)－2 2sin2x 的最 小正周期是________．
[解析]
2π 4π 6π cos 7 ·cos 7 ·cos 7
2π 2π 4π 6π
2sin ＝
7
·cos
7
·cos 2π
7
·cos
7
2sin 7
4π 4π 6π 8π 6π
sin ＝
7
cos
7 cos 2π
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin2α＝ 2sinαcosα ；
C2α：cos2α＝ cos2αsin2α
＝ 1－2sin2α
ห้องสมุดไป่ตู้
＝
2cos2α－1 ；
T2α：tan2α＝
2．半角公式
3．升、降幂公式主要用于化简、求值和证明． 其形式为： 升幂公式1＋cos2α＝ 2cos2α ， 1－cos2α＝ 2sin2α .
16
2
A.27
B.3
3
3
C. 3
D.4
[答案] D
[解析] 如图，设 CB＝AC＝1，则 AB＝ 2，又取 AB 的中点为 H，连 CH，则 CH⊥ AB，由题意知 EH＝ 62， CH＝ 22，得 tan∠ECH＝13.
故 tan∠ECF＝tan2∠ECH＝34， 选 D.
4.23－－csoins27100°°＝(