二倍角的三角函数课件

你能根据二倍角公式解答下面各题吗？看谁做得既快又准
① 2sin15 cos15
③ 1 2sin15
⑤
ππ 2 sin cos
88
①1
⑤2
2
②2
2
⑥3
3
② cos22.5 sin 22.5
④ 2cos30 1
⑥
2 1
t an75 t an75
③
3 2
④
1 2
例1.已知角a是第二象限角，cosα = 3 , 求 sin 2α, cos2α, tan2α 5
点评：直接运用公式将已知角转化为特殊角求值.
根据上题的启示怎样去思考这道题呢？
cos20 cos40 cos80
那这道题又该怎么去解呢？
sin10 sin 30 sin 50 sin 70
1.二倍角的正弦，余弦，正切公式
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos2α sin2α = 2 cos2α
2tan 22.5 (3) 1 tan2 22.5 ;
(4)1 2sin2 75 .
解： (1)原式 1 (2sin15 cos15 ) 1 sin 30 1
2
2
4
(2)原式 cos 2
42
(3)原式 tan 45 1
(4)原式 cos150 cos(180 30 ) cos30 3 2
S2α
cos 2α = cos2α sin2α
C2α
= 2 cos2α 1=1 2sin2α
tan2α = 2 tanα
1 t an2α
T 2α
公式的作用：
1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来 表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单 角的三角函数之间的互化问题； 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中， 取两角相等时推导出来的，记忆时可联想相应 角的公式.

描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
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二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。

θ＝
cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2 θ＝ cos2 θ1－csions22 θθ＝cos2 θ(1－tan2 θ)＝左边．
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明
1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手， 左边
证明一边等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0， 右边
＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等 式成立的条件．
(1)sin 2π4·cos 2π4·cos 1π2；
(2)1－2sin2 750°；
(3)tan
1π2－tan1
π. 12
解：(1)原式＝122sin
π 24cos
π 24·cos
1π2＝12sin
1π2·cos
1π2＝142sin
1π2·cos
π 12
＝14sin
π6＝18.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝
1＋cos（2A＋2B）
(1)证明：左边＝
2
＝
1－cos（2A－2B）
2
＝
cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）
2
＝
12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin
2Asin 2B)＝
cos 2Acos 2B＝右边，
所以原式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ1－cossi2nθ2
cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.

解 由 tan α＋tan1 α＝52得，
sin cos
αα＋csoins
αα＝52，则sin22α＝52
∴sin 2α＝45，又 α∈π4，π2
∴2α∈2π，π
∴cos 2α＝－35
∴sin2α＋π4＝sin
2α·cosπ4＋cos
π 2α·sin4
＝45×
22＋－35×
22＝
2 10
.
题型二 化简求值
解 (1)∵f(x)＝sin24π＋x＋cos2 x＋12 ＝1－cos22π＋2x＋1＋c2os 2x＋12 ＝12sin 2x＋12cos 2x＋32 ＝ 22sin2x＋4π＋32. ∴f(x)的最大值为 22＋32， 最小值为－ 22＋32；最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由(1)知要使 f(x)≥32，只需 22sin2x＋4π≥0， 即 sin2x＋4π≥0， 由 2kπ≤2x＋4π≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π(k∈Z)， 又 x∈[0，π]， ∴0≤x≤38π或78π≤x≤π.
＝
1－sin 2α＝
17 3.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)
＝13×－
317＝－
17 9.
tan 2α＝csoins 22αα＝81717.
法二 ∵sin α＋cos α＝13， 平方得 sin αcos α＝－49， ∴sin α、cos α 可看成方程 x2－13x－49＝0 的两根， 解方程 x2－13x－49＝0，得 x1＝1＋6 17，x2＝1－6 17， ∵α∈(0，π)， ∴sin α＞0，
[思路探索] 属于倍角公式的直接应用．

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第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
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地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
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第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
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第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
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)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)

二倍角公式：
sin 2 2 sin cos
S 2
2
cos 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos sin
2
C 2
2 tan tan 2 2 1 tan
k k Z ,且 k ， 2 2 4
T2
二倍角公式
sin 2 2 sin cos
练习:
sin sin 2 （1）化简 1 cos cos 2
（2） 8 cos
tan

32
cos
（3）若
x 2 sin 1 8 2 f _______ f x 2 tan x ，则 x x 12 sin cos 2 2
2
cos sin 16 8 32
理解公式的推导方法
S(α-β) 以－β代β C(α-β)
作 商
S(α+β) C(α+β)
作 商
β＝α
S2α C2α
作 商
T(α-β)
以－β代β
T(α+β)
β＝α
T2α
1 2sin 2。 注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 2cos 1
3 例1 已知 sin , 是第三象限角, 求 sin 2 , 5 sin 2 2 sin cos cos 2 , tan 2 . 3 解： sin , 是第三象限角 5 4 3 2 2 cos 1 sin 1 ( ) 5 5 3 4 24 sin 2 2sin cos 2 ( ) ( ) 5 5 25 3 2 7 2 cos 2 1 2sin 1 2 ( ) 5 25 2 tan 24 2 2 tan2 cos2 cos sin 2 7 1 tan 2

14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．

42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
由题意得
sinα2－cosα2
2＝
1 5
，即1－sinα＝
1 5
，
得sinα＝45.而450°<α<540°，
∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－sicnoαsα＝1－4－35＝2. 5
[规律总结]
利用半角公式求tan
α 2
的值时，为避免讨论，
一般尽量采用半角正切公式的有理式tan
α 2
＝
sinα 1＋cosα
(2)要使 f(x)≥32，只需 22sin(2x＋π4)≥0， 即 sin(2x＋π4)≥0， 由 2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z， 又 x∈[0，π]，∴0≤x≤38π或78π≤x≤π. 故使不等式 f(x)≥32(x∈[0，π])成立的 x 的取值范围是[0，38π] ∪[78π，π]．
2．半角公式 (1)sinα2＝±____1_－__2c_o_s_α_.
1＋cosα (2)cosα2＝±_______2____. (3)tanα2＝_±____11_－＋__ccoo_ss_αα_＝___1_＋_s_icn_oα_s_α___＝___1_－s_i_cno_αs_α____. 在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函 数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面 的正、负两个符号．

练习 1：2sin 15°cos 15°＝________.
练习 2：cos2α2－sin2α2＝________.
练习 3：1－2tatnan22α2α＝________.
2tan α 1－tan2α 练习：1.12 2.cos α 3.tan 4α
二、二倍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α3是α6的 二倍角等等．又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…，2αn ＝2×2nα＋1等等．
∴tan α<0，tan β<0.
∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3，
∵α，β∈－π2，π2，且 tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈－π2，0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－23π.
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
利用二倍角公式化简与证明
已已知tatann2β2＝β＝tanta2αn＋2α＋co1s2α求.求证证：：cos 2α－2c
cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
(2)当 α＝kπ＋2π，(k∈Z)时，tan α 的值不存在，
这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin3π≠2sinπ6.
(4)公式的逆用变形
升幂公式：
1＋cos α＝________，1－cos α＝________，
1±sin 2α＝________

已知 sinα＝35，cosα＝45，则 sin2α等于(
)
A.7B.125源自5C.1225D.2245
[答案] D
[解析] sin2α＝2sinαcosα＝2245.
已知 cosα＝13，则 cos2α等于(
)
A.13
B.23
C．－79
D.79
[答案] C
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.
[拓展]倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用： 2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α； cosα＝s2isni2nαα； cos2α－sin2α＝cos2α； 1－2tatannα2α＝tan2α.
(2)公式的有关变形： 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα ＝(sinα±cosα)2； 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α； cos2α＝1＋c2os2α；sin2α＝1－c2os2α.
自主预习 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
简记 S(α＋β) S2α C(α＋β) C2α
T(α＋β) T2α
[总结]对倍角公式的理解： ①成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角， T2α则只有当α≠k2π＋π4(k∈Z)时才成立． ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的 二倍、α是α2的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的．
B．π
C．3π

sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2

cos 2 1 2sin2 cos 2 2cos2 1
这样我们就得到了二倍角的正弦、余弦、正切公式
2 cos 2 1 1 2 sin2
不仅“2α”是“α”，而且 “4α”是“2α”的二倍角，只要一个角是另一个角的两倍就可以用二倍角公式
例 1 (1)cosπ7cos37πcos57π的值为(
注意： T2α公式成立的条件
二倍角的余弦公式的变形
cos 2 cos2 sin2
cos2 1 sin 2
(1 sin2 ) sin2
1 2 sin 2
cos 2 cos2 sin2
sin2 1 cos2
cos2 (1 cos2 )
2 cos2 1
7
cos
7 π
cos
7
2sin ＝
7
cos π
7
sin ＝
7π＝－18.
8sin7
8sin7
8sin7
7
(2)求下列各式的值： ①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③1－tatnan7257°5°；
④sin110°－cos 310°.
(2)[解] ①cos415°－sin415° ＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°) ＝cos215°－sin215° ＝cos 30°
sinA 1 cos2 A 3，所以tanA sinA 3，
5
cosA 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
tan2 A
2tanA 1 tan2 A
24 . 7
又 tan
B
2，所以tan2B
2 tan B 1 tan2 B
4. 3
于是tan(2A 2B) tan2A tan 2B 44 . 1 tan2Atan 2B 117

1 2 ( 5 )2 119 ; 13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2，求 tan(2A 2B)的值. 5
解法1 在△ABC中，
Байду номын сангаас
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 22
4. 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 . 117
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
cos 2 co（ s )
cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式.
简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1

两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.

＝2sin（π4c＋osx（）π4·＋coxs（）π4＋x）＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0＜x＜π4，
∴π4＋x∈(π4，π2)，
∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2（π4＋x）＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
二倍角公式
名称
公式
二倍角的正弦 sin 2α＝ 2sin αcos α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
[例 1] 求下列各式的值：
(1)sin
π 12 cos
＝8sisnin12600°°＝18.
[例 2] 已知 sin(π4－x)＝153，0＜x＜π4，求cos（coπs4＋2xx）的值． [思路点拨] 注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导 公式的应用 cos 2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．
[精解详析]
原式＝scions（（π2π4＋＋2xx））
＝cos 10°＋
3sin
10°＝2（12cos
10°＋
3 2 sin
10°）
2
2
2 sin 40°
2 sin 40°
＝2 s2insi4n04°0°＝2 2

2tan

sin
（3）注意多种方法的应用；（4）由式子结构，可运用 2＝1−tan2和tan 2 ＝1+cos 求解.
高中数学
必修第二册
北师大版
1−2cos2
解：（1）原式＝
2

8
−cos
＝
2

4
2
＝- 4 .
（2）原式＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝- 3.
π
< 4 + < 2π.
3
π
π
4
π
4
∵cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝ − 1 − cos 2 ( 4 + )＝-5，∴tan( 4 + )＝-3.
π
π
π
9
7
又-cos( 2 + 2)＝-cos2( 4 + )＝-[2cos 2 ( 4 + ) − 1]＝1-2 × 25＝25.
π
3
7π
5π
，∴
4
3
π
π
π
< 4 + < 2π，∴sin( 4 + ) < 0.
4
又cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝− 5.
π
π
π
π
sin 2+2sin2 2sin cos +2sin2 2sin cos (cos +sin ) sin 2· 2(sin 4 cos +cos 4 sin ) −cos( 2 +2)sin( 4 +)
9
4